ما رأس متوازي المستطيلات. أنواع الصندوق

تعريف

متعدد الوجوهسوف نسمي سطحًا مغلقًا يتكون من مضلعات ويحيط بجزء من الفضاء.

يتم استدعاء الأجزاء التي هي جوانب هذه المضلعات ضلوعمتعدد الوجوه والمضلعات نفسها - وجوه. تسمى رؤوس المضلعات رؤوس متعدد السطوح.

سننظر فقط في الأشكال المتعددة السطوح المحدبة (هذا متعدد السطوح يوجد على جانب واحد من كل مستوى يحتوي على وجهه).

تشكل المضلعات التي يتكون منها متعدد الوجوه سطحه. يسمى الجزء من الفضاء الذي يحده متعدد الوجوه معين الجزء الداخلي.

التعريف: المنشور

ضع في اعتبارك مضلعين متساويين \ (A_1A_2A_3 ... A_n \) و \ (B_1B_2B_3 ... B_n \) يقعان في مستويات متوازية بحيث تكون المقاطع \ (A_1B_1، \ A_2B_2، ...، A_nB_n \)متوازية. متعدد السطوح مكون من مضلعات \ (A_1A_2A_3 ... A_n \) و \ (B_1B_2B_3 ... B_n \) ، بالإضافة إلى متوازي الأضلاع \ (A_1B_1B_2A_2، \ A_2B_2B_3A_3، ... \)يسمى (\ (n \) - فحم) نشور زجاجي.

تسمى المضلعات \ (A_1A_2A_3 ... A_n \) و \ (B_1B_2B_3 ... B_n \) قواعد المنشور ، متوازي الأضلاع \ (A_1B_1B_2A_2، \ A_2B_2B_3A_3، ... \)- الوجوه الجانبية والشرائح \ (A_1B_1، \ A_2B_2، \ ...، A_nB_n \)- الضلوع الجانبية.
وبالتالي ، فإن الحواف الجانبية للمنشور متوازية ومتساوية مع بعضها البعض.

تأمل في مثال - منشور \ (A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5 \)، قاعدته خماسي محدب.

ارتفاعالمنشور هو عمودي من أي نقطة على قاعدة ما إلى مستوى قاعدة أخرى.

إذا لم تكن الحواف الجانبية متعامدة على القاعدة ، فإن هذا المنشور يسمى منحرف - مائل(الشكل 1) ، وإلا - مباشرة. بالنسبة للمنشور المستقيم ، تكون الحواف الجانبية عبارة عن ارتفاعات ، وتكون الوجوه الجانبية مستطيلات متساوية.

إذا كان المضلع المنتظم يقع في قاعدة المنشور الأيمن ، فإن المنشور يسمى صيح.

التعريف: مفهوم الحجم

وحدة الحجم هي وحدة مكعب (مكعب بأبعاد \ (1 \ times1 \ times1 \) وحدات \ (^ 3 \) ، حيث تكون الوحدة عبارة عن وحدة قياس).

يمكننا القول أن حجم متعدد السطوح هو مقدار المساحة التي يحدها هذا متعدد السطوح. خلافًا لذلك: هي قيمة تشير قيمتها العددية إلى عدد مرات احتواء مكعب الوحدة وأجزائه في متعدد السطوح معين.

الحجم له نفس خصائص المنطقة:

1. أحجام الأرقام متساوية.

2. إذا كان متعدد السطوح مكونًا من عدة أشكال متعددة السطوح غير متقاطعة ، فإن حجمه يكون مساويًا لمجموع أحجام هذه المجسمات المتعددة السطوح.

3. الحجم قيمة غير سالبة.

4. يقاس الحجم بالسنتيمتر \ (^ 3 \) (سم مكعب) ، م \ (^ 3 \) (متر مكعب) ، إلخ.

نظرية

1. مساحة السطح الجانبي للمنشور تساوي حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع المنشور.
مساحة السطح الجانبية هي مجموع مساحات الوجوه الجانبية للمنشور.

2. حجم المنشور يساوي حاصل ضرب منطقة القاعدة وارتفاع المنشور: \

التعريف: صندوق

متوازي السطوحإنه منشور قاعدته متوازي الأضلاع.

جميع أوجه متوازي السطوح (\ (6 \): \ (4 \) الوجوه الجانبية و \ (2 \) القواعد) متوازية الأضلاع ، والأوجه المقابلة (الموازية لبعضها البعض) متوازيات أضلاع متساوية (الشكل 2).

قطري الصندوقعبارة عن مقطع يربط رأسين من خط متوازي لا يقعان في نفس الوجه (\ (8 \): \ (AC_1، \ A_1C، \ BD_1، \ B_1D \)إلخ.).

مكعباني شبيه بالمكعبهو متوازي سطوح يمين مع مستطيل في قاعدته.
لان هو خط متوازي سطوح يمينًا ، فإن الوجوه الجانبية عبارة عن مستطيلات. لذلك ، بشكل عام ، جميع أوجه متوازي السطوح المستطيلة عبارة عن مستطيلات.

جميع الأقطار في متوازي المستطيلات متساوية (هذا يتبع من مساواة المثلثات \ (\ مثلث ACC_1 = \ مثلث AA_1C = \ مثلث BDD_1 = \ مثلث BB_1D \)إلخ.).

تعليق

وبالتالي ، فإن خط الموازي له كل خصائص المنشور.

نظرية

مساحة السطح الجانبي لخط متوازي المستطيل تساوي \

المساحة الكلية لخط متوازي السطوح المستطيل هي \

نظرية

حجم متوازي المستطيلات يساوي حاصل ضرب حوافه الثلاثة الخارجة من رأس واحد (ثلاثة أبعاد متوازي المستطيلات): \

دليل - إثبات

لان بالنسبة إلى المستطيل المتوازي ، تكون الحواف الجانبية متعامدة على القاعدة ، ثم تكون أيضًا ارتفاعاتها ، أي \ (h = AA_1 = c \) القاعدة مستطيل \ (S _ (\ text (main)) = AB \ cdot AD = ab \). هذا هو المكان الذي تأتي منه الصيغة.

نظرية

يتم البحث عن قطري \ (د \) متوازي المستطيلات بواسطة الصيغة (حيث \ (أ ، ب ، ج \) هي أبعاد متوازي المستطيلات) \

دليل - إثبات

النظر في الشكل. 3. لأن القاعدة عبارة عن مستطيل ، ثم \ (\ المثلث ABD \) مستطيل ، وبالتالي ، وفقًا لنظرية فيثاغورس \ (BD ^ 2 = AB ^ 2 + AD ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 \).

لان كل الحواف الجانبية عمودية على القواعد ، إذن \ (BB_1 \ perp (ABC) \ Rightarrow BB_1 \)عمودي على أي خط في هذا المستوى ، أي \ (BB_1 \ perp BD \). إذن \ (\ مثلث BB_1D \) مستطيل. ثم حسب نظرية فيثاغورس \ (B_1D = BB_1 ^ 2 + BD ^ 2 = أ ^ 2 + ب ^ 2 + ج ^ 2 \)، thd.

التعريف: مكعب

مكعبهو متوازي سطوح مستطيل ، جميع جوانبه مربعات متساوية.

وبالتالي ، فإن الأبعاد الثلاثة متساوية مع بعضها البعض: \ (أ = ب = ج \). لذا فإن ما يلي صحيح

نظريات

1. حجم مكعب بحافة \ (أ \) هو \ (V _ (\ نص (مكعب)) = أ ^ 3 \).

2. يتم البحث عن قطر المكعب بالصيغة \ (d = a \ sqrt3 \).

3. المساحة الإجمالية للمكعب \ (S _ (\ text (تكرارات كاملة للمكعب)) = 6a ^ 2 \).

نظرية. في أي خط متوازي ، تكون الوجوه المتقابلة متساوية ومتوازية.

إذن ، الوجوه (الشكل) BB 1 C 1 C و AA 1 D 1 D متوازيتان ، لأن خطين متقاطعين BB 1 و B 1 C 1 لوجه واحد متوازيان مع خطين متقاطعين AA 1 و A 1 D 1 من الأخرى. هذه الوجوه متساوية ، حيث أن B 1 C 1 = A 1 D 1 ، B 1 B = A 1 A (كأضلاع متقابلة من متوازي الأضلاع) و ∠BB 1 C 1 = AA 1 D 1.

نظرية. في أي خط متوازي ، تتقاطع جميع الأقطار الأربعة عند نقطة واحدة وتنقسم إلى نصفين عندها.

خذ (الشكل) في خط متوازي أي قطرين ، على سبيل المثال ، AC 1 و DB 1 ، وارسم خطوطًا مستقيمة AB 1 و DC 1.

نظرًا لأن الحافتين AD و B 1 C 1 متساويتان ومتوازيتان على التوالي للحافة BC ، فهما متساويان ومتوازيان.

نتيجة لذلك ، فإن الشكل ADC 1 B 1 هو متوازي أضلاع يكون فيه C 1 A و DB 1 قطريين ، وفي متوازي الأضلاع تتقاطع الأقطار إلى نصفين.

يمكن تكرار هذا الإثبات لكل قطرين.

لذلك ، يتقاطع القطر AC 1 مع 1 BD في النصف ، والقطري BD 1 مع A 1 C في النصف.

وهكذا ، تتقاطع جميع الأقطار في النصف ، وبالتالي ، عند نقطة واحدة.

نظرية. في شكل متوازي المستطيلات ، يساوي مربع أي قطري مجموع مربعات أبعاده الثلاثة.

لنفترض (الشكل) AC 1 أن يكون قطريًا من خط متوازي المستطيل.

بعد رسم AC نحصل على مثلثين: AC 1 C و ACB. كلاهما مستطيل.

الأول لأن الصندوق مستقيم ، وبالتالي فإن الحافة CC 1 متعامدة على القاعدة ،

السبب الثاني هو أن خط الموازي مستطيل ، مما يعني أن المستطيل يقع في قاعدته.

من هذه المثلثات نجد:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 ، AC 2 = AB 2 + BC 2

لذلك ، AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

عاقبة. في شكل متوازي المستطيلات ، كل الأقطار متساوية.

المنشور يسمى متوازي السطوحإذا كانت قواعدها متوازية الأضلاع. سم. رسم بياني 1.

خصائص الصندوق:

الوجوه المعاكسة للخط المتوازي متوازية (أي تقع في مستويات متوازية) ومتساوية.

تتقاطع أقطار خط الموازي عند نقطة واحدة وتنقسم هذه النقطة.

الوجوه المتجاورة لمربعوجهان لهما حافة مشتركة.

الوجوه المقابلة لخط متوازي- الوجوه التي ليس لها حواف مشتركة.

القمم المقابلة للمربعهما رأسان لا ينتميان إلى نفس الوجه.

قطري الصندوققطعة مستقيمة تصل الرؤوس المتقابلة.

إذا كانت الحواف الجانبية عمودية على مستويات القواعد ، فإن خط الموازي يسمى مباشرة.

يسمى متوازي السطوح الأيمن الذي تكون قواعده مستطيلات مستطيلي. يسمى المنشور الذي تكون جميع وجوهه مربعات مكعب.

متوازي السطوحمنشور أساسه متوازي الأضلاع.

متوازي السطوح الأيمن- خط متوازي السطوح تكون حوافه الجانبية متعامدة مع مستوى القاعدة.

مكعباني شبيه بالمكعبهو خط متوازي سطوح صحيح قاعدته مستطيلات.

مكعبهو متوازي سطوح مستطيل ذو حواف متساوية.

متوازي السطوحيسمى المنشور ، قاعدته عبارة عن متوازي أضلاع ؛ وبالتالي ، فإن خط متوازي السطوح له ستة أوجه وكلها متوازيات أضلاع.

الوجوه المتقابلة متساوية ومتوازية. خط الموازي له أربعة أقطار ؛ يتقاطعون جميعًا عند نقطة واحدة وينقسمون إلى نصفين عند نقطة واحدة. يمكن اتخاذ أي وجه كقاعدة ؛ الحجم يساوي ناتج مساحة القاعدة والارتفاع: V = Sh.

يسمى الخط المتوازي الذي تكون وجوهه الجانبية الأربعة مستطيلات متوازي السطوح الأيمن.

يسمى خط متوازي السطوح الأيمن ، حيث تكون جميع الوجوه الستة مستطيلات ، مستطيلًا. سم. الصورة 2.

الحجم (V) لخط متوازي اليمين يساوي حاصل ضرب منطقة القاعدة (S) والارتفاع (ح): V = ش .

للحصول على خط متوازي المستطيل ، بالإضافة إلى الصيغة V = ABC، حيث أ ، ب ، ج هي الحواف.

يرتبط قطري (د) متوازي المستطيلات بحوافه من خلال العلاقة د 2 \ u003d أ 2 + ب 2 + ص 2 .

مكعباني شبيه بالمكعب- خط متوازي السطوح تكون حوافه الجانبية متعامدة مع القواعد ، وقواعده مستطيلة.

خصائص متوازي المستطيلات:

في شكل متوازي المستطيلات ، جميع الوجوه الستة مستطيلات.

جميع الزوايا ثنائية الأضلاع للمكعبات هي زوايا قائمة.

يساوي مربع قطري خط متوازي السطوح المستطيل مجموع مربعات أبعاده الثلاثة (أطوال ثلاثة حواف لها رأس مشترك).

قطري خط متوازي السطوح المستطيل متساويان.

يسمى خط متوازي السطوح المستطيل ، وكل وجوهه مربعة ، بالمكعب. جميع حواف المكعب متساوية ؛ يتم التعبير عن الحجم (V) للمكعب بالصيغة الخامس = أ 3، حيث أ هي حافة المكعب.

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد الالكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات واتصالات مهمة.
يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية للأغراض الداخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المتنوعة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات من الهيئات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأسباب أخرى تتعلق بالمصلحة العامة.
في حالة إعادة التنظيم أو الاندماج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

في الهندسة المفاهيم الرئيسيةهي مستوية ونقطة وخط وزاوية. باستخدام هذه المصطلحات ، يمكن وصف أي شكل هندسي. عادة ما يتم وصف المجسمات المتعددة الوجوه من حيث الأشكال الأبسط التي تقع في نفس المستوى ، مثل دائرة ، مثلث ، مربع ، مستطيل ، إلخ. في هذه المقالة ، سننظر في ماهية خط الموازي ، وسنصف أنواع خطوط متوازية السطوح ، وخصائصها ، والعناصر التي تتكون منها ، ونقدم أيضًا الصيغ الأساسية لحساب المساحة والحجم لكل نوع من خطوط متوازي السطوح.

تعريف

متوازي السطوح في الفضاء ثلاثي الأبعاد هو منشور ، وجميع جوانبه متوازية الأضلاع. وفقًا لذلك ، يمكن أن تحتوي فقط على ثلاثة أزواج من متوازي الأضلاع أو ستة أوجه.

لتصور الصندوق ، تخيل لبنة قياسية عادية. قالب طوب - مثال جيدمتوازي السطوح المستطيل الذي يمكن حتى للطفل تخيله. ومن الأمثلة الأخرى المنازل الجاهزة متعددة الطوابق والخزائن وحاويات التخزين منتجات الطعامالشكل المناسب ، إلخ.

أصناف من الشكل

لا يوجد سوى نوعين من خطوط متوازية السطوح:

مستطيل ، جميع أوجهه بزاوية 90 درجة للقاعدة وتكون مستطيلة.
مائل ، توجد أوجهه الجانبية بزاوية معينة من القاعدة.

ما العناصر التي يمكن تقسيم هذا الرقم إليها؟

كما هو الحال في أي شكل هندسي آخر ، في موازاة السطوح ، يُطلق على أي وجهين لهما حافة مشتركة اسم المجاور ، وتسمى تلك التي لا تحتوي عليها بالتوازي (بناءً على خاصية متوازي الأضلاع الذي له جانبان متوازيان متوازيان).
تسمى رؤوس خط الموازي التي لا تقع على نفس الوجه بالرؤوس المعاكسة.
الجزء الذي يربط بين هذه الرؤوس هو قطري.
أطوال الأضلاع الثلاثة لشكل متوازي المستطيلات التي تتصل برأس واحد هي أبعاده (أي الطول والعرض والارتفاع).

خصائص الشكل

دائمًا ما يكون مبنيًا بشكل متماثل فيما يتعلق بمنتصف القطر.
تقسم نقطة التقاطع لجميع الأقطار كل قطري إلى جزأين متساويين.
الأوجه المقابلة متساوية في الطول وتقع على خطوط متوازية.
إذا أضفت مربعات جميع أبعاد الصندوق ، فستكون القيمة الناتجة مساوية لمربع طول القطر.

صيغ الحساب

ستكون الصيغ الخاصة بكل حالة معينة من خط الموازي مختلفة.

بالنسبة إلى خط الموازي التعسفي ، يكون التأكيد صحيحًا على أن حجمه يساوي القيمة المطلقة للمنتج القياسي الثلاثي لمتجهات الأضلاع الثلاثة المنبثقة من رأس واحد. ومع ذلك ، لا توجد معادلة لحساب حجم خط موازٍ تعسفي.

بالنسبة إلى خط متوازي السطوح المستطيل ، تنطبق الصيغ التالية:

V = أ * ب * ج ؛
Sb = 2 * ج * (أ + ب) ؛
س = 2 * (أ * ب + ب * ج + أ * ج).

V هو حجم الشكل ؛
Sb - مساحة السطح الجانبية ؛
Sp - مساحة السطح الإجمالية ؛
طول؛
ب - العرض
ج - الارتفاع.

هناك حالة خاصة أخرى من خط الموازي حيث تكون جميع الجوانب مربعة وهي المكعب. إذا تم الإشارة إلى أي من جوانب المربع بالحرف أ ، فيمكن استخدام الصيغ التالية لمساحة وحجم هذا الشكل:

S = 6 * أ * 2 ؛
الخامس = 3 * أ.

S هي مساحة الشكل ،
V هو حجم الشكل ،
أ - طول وجه الشكل.

النوع الأخير من متوازي السطوح الذي نفكر فيه هو خط متوازي مستقيم. أنت تسأل ما هو الفرق بين متوازي المستطيلات ومكعبات. الحقيقة هي أن قاعدة خط متوازي السطوح المستطيل يمكن أن تكون أي متوازي أضلاع ، وقاعدة الخط المستقيم يمكن أن تكون مستطيلًا فقط. إذا قمنا بتعيين محيط القاعدة ، مساويًا لمجموع أطوال جميع الجوانب ، مثل Po ، وقمنا بتعيين الارتفاع كـ h ، فلدينا الحق في استخدام الصيغ التالية لحساب الحجم والمساحات الكاملة والجانبية الأسطح.