كيفية إيجاد قاعدة المنشور. قاعدة المنشور الثلاثي الأيمن

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات واتصالات مهمة.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية للأغراض الداخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المتنوعة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات من الهيئات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأسباب أخرى تتعلق بالمصلحة العامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

في الهندسة المكانية ، عند حل المشكلات باستخدام المناشير ، غالبًا ما توجد مشكلة في حساب مساحة الجوانب أو الوجوه التي تشكل هذه الأشكال ثلاثية الأبعاد. هذه المقالة مخصصة لمسألة تحديد مساحة قاعدة المنشور وسطحه الجانبي.

منشور الشكل

قبل الشروع في النظر في الصيغ الخاصة بمنطقة القاعدة وسطح المنشور من نوع أو آخر ، من الضروري فهم نوع الشكل الذي نتحدث عنه.

المنشور في الهندسة هو شكل مكاني يتكون من مضلعين متوازيين متساويين ، وعدة زوايا أو متوازي أضلاع. رقم الأخير يساوي دائمًا عدد رؤوس مضلع واحد. على سبيل المثال ، إذا كان الشكل مكونًا من جزأين متوازيين ، فسيكون عدد متوازي الأضلاع ن.

تسمى الأجزاء المتصلة من متوازي الأضلاع جوانب المنشور ، ومساحتها الإجمالية هي مساحة السطح الجانبي للشكل. تسمى n-gons نفسها القواعد.

يوضح الشكل أعلاه مثالاً لمنشور ورقي. المستطيل الأصفر هو قاعدته العلوية. على القاعدة الثانية من نفس الشكل يقف. المستطيلات الحمراء والخضراء هي الوجوه الجانبية.

ما هي المنشورات؟

هناك عدة أنواع من المناشير. كلهم يختلفون عن بعضهم البعض في معاملين فقط:

• نوع n-gon الذي يشكل القواعد ؛
• الزاوية بين n-gon والوجوه الجانبية.

على سبيل المثال ، إذا كانت القواعد مثلثات ، فإن المنشور يسمى مثلث ، إذا كان رباعي الأضلاع ، كما في الشكل السابق ، فإن الشكل يسمى منشور رباعي الزوايا ، وهكذا. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أن يكون n-gon محدبًا أو مقعرًا ، ثم تتم إضافة هذه الخاصية أيضًا إلى اسم المنشور.

يمكن أن تكون الزاوية بين الوجوه الجانبية والقاعدة مستقيمة أو حادة أو منفرجة. في الحالة الأولى ، يتحدثون عن منشور مستطيل ، في الحالة الثانية - عن مائل أو مائل.

تتميز المناشير المنتظمة بنوع خاص من الأشكال. لديهم أعلى تناظر بين المناشير الأخرى. سيكون صحيحًا فقط إذا كان مستطيلًا وقاعدته عبارة عن n-gon منتظم. يوضح الشكل أدناه مجموعة من المناشير المنتظمة ، حيث يختلف عدد جوانب n-gon من ثلاثة إلى ثمانية.

سطح المنشور

تحت سطح الشكل المدروس لنوع تعسفي يُفهم مجموع جميع النقاط التي تنتمي إلى وجوه المنشور. من الملائم دراسة سطح المنشور من خلال النظر في تطوره. يوجد أدناه مثال على هذا المسح للمنشور الثلاثي.

يمكن ملاحظة أن السطح بأكمله يتكون من مثلثين وثلاثة مستطيلات.

في حالة المنشور من النوع العام ، سيتكون سطحه من قاعدتين n-gonal و n رباعي الأضلاع.

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في مسألة حساب مساحة سطح المنشور من أنواع مختلفة.

منطقة قاعدة المنشور

ربما تكون أسهل مهمة عند العمل بالمنشورات هي مشكلة إيجاد منطقة الأساس لشكل منتظم. نظرًا لأنه يتكون من n-gon ، حيث تكون جميع الزوايا وأطوال الأضلاع متساوية ، فمن الممكن دائمًا تقسيمها إلى مثلثات متطابقة ، تُعرف بها الزوايا والأضلاع. ستكون المساحة الإجمالية للمثلثات هي مساحة n-gon.

هناك طريقة أخرى لتحديد جزء مساحة سطح المنشور (القاعدة) وهي استخدام صيغة معروفة جيدًا. تبدو هكذا:

S n = n / 4 * a 2 * ctg (pi / n)

أي أن المنطقة S n لـ n-gon يتم تحديدها بشكل فريد بناءً على معرفة طول جانبها a. يمكن أن تكون بعض الصعوبة في حساب الصيغة هي حساب ظل التمام ، خاصة عندما تكون n> 4 (بالنسبة لـ n≤4 ، تكون قيم ظل التمام عبارة عن بيانات جدولية). لتحديد هذه الدالة المثلثية ، يوصى باستخدام آلة حاسبة.

عند تحديد مشكلة هندسية ، يجب أن تكون حذرًا ، لأنك قد تحتاج إلى إيجاد مساحة قواعد المنشور. ثم يجب ضرب القيمة التي تم الحصول عليها بالصيغة في اثنين.

منطقة قاعدة المنشور الثلاثي

باستخدام مثال المنشور الثلاثي ، فكر في كيفية إيجاد مساحة قاعدة هذا الشكل.

أولاً ، ضع في اعتبارك حالة بسيطة - منشور عادي. يتم حساب مساحة القاعدة وفقًا للصيغة الواردة في الفقرة أعلاه ، تحتاج إلى استبدالها بـ n \ u003d 3. نحن نحصل:

S 3 = 3/4 * a 2 * ctg (pi / 3) = 3/4 * a 2 * 1 / √3 = √3 / 4 * a 2

يبقى أن نستبدل في التعبير القيم المحددة لطول الضلع أ لمثلث متساوي الأضلاع للحصول على مساحة القاعدة الواحدة.

افترض الآن أن لدينا منشورًا قاعدته مثلث عشوائي. ضلعاها a و b والزاوية بينهما α معروفة. هذا الرقم مبين أدناه.

كيف تجد مساحة قاعدة المنشور الثلاثي في ​​هذه الحالة؟ يجب أن نتذكر أن مساحة أي مثلث تساوي نصف حاصل ضرب الضلع وأن الارتفاع ينخفض ​​إلى هذا الجانب. يوضح الشكل الارتفاع h إلى الجانب b. الطول h يتوافق مع حاصل ضرب جيب الزاوية ألفا وطول الضلع أ. ثم مساحة المثلث بأكمله هي:

S = 1/2 * ب * ح = 1/2 * ب * أ * خطيئة (α)

هذه هي المنطقة الأساسية للمنشور الثلاثي الموضح.

السطح الجانبي

لقد توصلنا إلى كيفية إيجاد مساحة قاعدة المنشور. يتكون السطح الجانبي لهذا الشكل دائمًا من متوازي الأضلاع. بالنسبة للمنشورات المستقيمة ، تصبح متوازي الأضلاع مستطيلات ، لذلك من السهل حساب مساحتها الإجمالية:

S = ∑ أنا = 1 ن (أ أنا * ب)

هنا b هو طول الضلع الجانبي ، و i طول ضلع المستطيل i الذي يتطابق مع طول ضلع n-gon. في حالة المنشور العادي n-gonal ، نحصل على تعبير بسيط:

إذا كان المنشور مائلاً ، ثم لتحديد مساحة سطحه الجانبي ، يجب إجراء قطع عمودي ، وحساب محيطه P sr وضربه في طول الضلع الجانبي.

يوضح الشكل أعلاه كيف يجب إجراء هذا القطع لمنشور خماسي مائل.

مساحة السطح الجانبي للمنشور. مرحبًا! في هذا المنشور ، سنقوم بتحليل مجموعة من المهام على القياس الفراغي. ضع في اعتبارك مجموعة من الأجسام - المنشور والأسطوانة. في الوقت الحالي ، تكمل هذه المقالة السلسلة الكاملة من المقالات المتعلقة بالنظر في أنواع المهام في القياس الفراغي.

إذا ظهرت مهام جديدة في بنك المهام ، فستكون هناك بالطبع إضافات إلى المدونة في المستقبل. ولكن ما هو موجود بالفعل يكفي بحيث يمكنك تعلم كيفية حل جميع المشكلات بإجابة قصيرة كجزء من الامتحان. ستكون المادة كافية لسنوات قادمة (البرنامج في الرياضيات ثابت).

ترتبط المهام المعروضة بحساب مساحة المنشور. ألاحظ أننا نعتبر أدناه منشورًا مستقيمًا (وبالتالي ، أسطوانة مستقيمة).

بدون معرفة أي صيغ ، نفهم أن السطح الجانبي للمنشور هو كل أوجهه الجانبية. في المنشور المستقيم ، الوجوه الجانبية عبارة عن مستطيلات.

مساحة السطح الجانبي لهذا المنشور تساوي مجموع مساحات كل أوجهه الجانبية (أي المستطيلات). إذا كنا نتحدث عن منشور منتظم يتم فيه نقش أسطوانة ، فمن الواضح أن جميع أوجه هذا المنشور عبارة عن مستطيلات متساوية.

بشكل رسمي ، يمكن التعبير عن مساحة السطح الجانبية للمنشور العادي على النحو التالي:

27064. موشور رباعي الزوايا محدد حول أسطوانة نصف قطر قاعدتها وارتفاعها يساوي 1. أوجد مساحة السطح الجانبي للمنشور.

يتكون السطح الجانبي لهذا المنشور من أربعة مستطيلات متساوية في المساحة. ارتفاع الوجه هو 1 ، وحافة قاعدة المنشور هي 2 (وهما نصف قطر الأسطوانة) ، وبالتالي فإن مساحة الوجه الجانبي هي:

مساحة السطح الجانبية:

73023. أوجد مساحة السطح الجانبي لمنشور مثلث منتظم محصور حول أسطوانة نصف قطر قاعدتها √0.12 وارتفاعها 3.

مساحة السطح الجانبي لهذا المنشور تساوي مجموع مساحات الوجوه الجانبية الثلاثة (المستطيلات). لإيجاد مساحة الوجه الجانبي ، عليك معرفة ارتفاعه وطول حافة القاعدة. الارتفاع ثلاثة. أوجد طول حافة القاعدة. ضع في اعتبارك الإسقاط (منظر علوي):

لدينا مثلث منتظم كتبت فيه دائرة نصف قطرها 0.12. يمكننا إيجاد AC من المثلث القائم الزاوية AOC. ثم AD (AD = 2AC). حسب تعريف الظل:

إذن AD = 2AC = 1.2. وبالتالي ، فإن مساحة السطح الجانبي تساوي:

27066. أوجد مساحة السطح الجانبي لمنشور سداسي منتظم محصور حول أسطوانة نصف قطر قاعدتها √75 وارتفاعها 1.

المساحة المرغوبة تساوي مجموع مناطق كل الوجوه الجانبية. لمنشور سداسي منتظم ، تكون الوجوه الجانبية مستطيلات متساوية.

لمعرفة مساحة الوجه ، عليك معرفة ارتفاعه وطول حافة القاعدة. الارتفاع معروف ، إنه يساوي 1.

أوجد طول حافة القاعدة. ضع في اعتبارك الإسقاط (منظر علوي):

لدينا شكل سداسي منتظم كتب فيه نصف قطر √75.

ضع في اعتبارك مثلث قائم الزاوية ABO. نعرف الساق OB (هذا هو نصف قطر الأسطوانة). يمكننا أيضًا تحديد الزاوية AOB ، وهي تساوي 300 (المثلث AOC متساوي الأضلاع ، OB هو منصف).

دعنا نستخدم تعريف المماس في مثلث قائم الزاوية:

AC \ u003d 2AB ، نظرًا لأن OB متوسط ​​، أي أنه يقسم AC إلى نصفين ، مما يعني AC \ u003d 10.

وبالتالي ، فإن مساحة الوجه الجانبي هي 1 10 = 10 ومساحة السطح الجانبي هي:

76485. أوجد مساحة السطح الجانبي لمنشور مثلث منتظم منقوش في أسطوانة نصف قطر قاعدتها 8√3 وارتفاعها 6.

مساحة السطح الجانبي للمنشور المحدد لثلاثة أوجه متساوية الحجم (مستطيلات). لإيجاد المساحة ، عليك أن تعرف طول حافة قاعدة المنشور (نعرف الارتفاع). إذا أخذنا في الاعتبار الإسقاط (منظر علوي) ، فلدينا مثلث منتظم محفور في دائرة. يتم التعبير عن جانب هذا المثلث بدلالة نصف القطر على النحو التالي:

تفاصيل هذه العلاقة. لذلك ستكون متساوية

إذن مساحة الوجه الجانبي تساوي: 24 6 = 144. والمساحة المطلوبة:

245354. موشور منتظم رباعي الزوايا محصور بالقرب من أسطوانة نصف قطر قاعدتها 2. مساحة السطح الجانبي للمنشور 48. أوجد ارتفاع الأسطوانة.

نشور زجاجييسمى متعدد الوجوه الذي يكون وجهاه متساويان في n-gons (أسباب) ، مستلقية على مستويات متوازية ، والوجوه المتبقية n هي متوازيات أضلاع (حواف جانبية) . ضلع جانبي المنشور هو جانب الوجه الجانبي الذي لا ينتمي إلى القاعدة.

يسمى المنشور الذي تكون حوافه الجانبية متعامدة مع مستويات القواعد مباشرة المنشور (الشكل 1). إذا لم تكن الحواف الجانبية متعامدة مع مستويات القواعد ، فسيتم استدعاء المنشور منحرف - مائل . صيح المنشور هو منشور مستقيم أساسه مضلعات منتظمة.

ارتفاعالمنشور يسمى المسافة بين مستويات القواعد. قطري المنشور عبارة عن قطعة تربط رأسين لا ينتميان إلى نفس الوجه. قسم قطري يسمى جزء من منشور من مستوى يمر عبر حافتين جانبيتين لا ينتميان إلى نفس الوجه. مقطع عمودي يسمى قسم المنشور بمستوى عمودي على الحافة الجانبية للمنشور.

مساحة السطح الجانبية المنشور هو مجموع مناطق كل الوجوه الجانبية. مساحة السطح الكاملة يسمى مجموع مساحات جميع أوجه المنشور (أي مجموع مناطق الوجوه الجانبية ومناطق القواعد).

بالنسبة للمنشور التعسفي ، فإن الصيغ صحيحة:

أين لهو طول الضلع الجانبي.

ح- ارتفاع؛

ص

س

الجانب S.

S ممتلئ

S الرئيسيهي منطقة القواعد.

الخامسهو حجم المنشور.

بالنسبة للمنشور المستقيم ، فإن الصيغ التالية صحيحة:

أين ص- محيط القاعدة ؛

لهو طول الضلع الجانبي.

ح- ارتفاع.

متوازي السطوحيسمى المنشور الذي قاعدته متوازي الأضلاع. يسمى خط الموازي الذي تكون حوافه الجانبية متعامدة مع القواعد مباشرة (الصورة 2). إذا لم تكن الحواف الجانبية متعامدة مع القواعد ، فسيتم استدعاء خط الموازي منحرف - مائل . يسمى متوازي السطوح الأيمن قاعدته مستطيل مستطيلي. يسمى متوازي السطوح المستطيل الذي تتساوى فيه جميع الحواف مكعب.

تسمى وجوه خط الموازي التي لا تحتوي على رؤوس مشتركة ضد . تسمى أطوال الحواف المنبثقة من رأس واحد قياسات متوازي السطوح. نظرًا لأن الصندوق عبارة عن منشور ، يتم تحديد عناصره الرئيسية بنفس الطريقة التي تم تحديدها للمنشورات.

نظريات.

1. تتقاطع الأقطار الخاصة بخط متوازي السطوح عند نقطة واحدة وتنقسمها إلى نصفين.

2. في خط متوازي المستطيل ، يساوي مربع طول القطر مجموع مربعات أبعاده الثلاثة:

3. جميع الأقطار الأربعة في خط متوازي السطوح المستطيل متساوية مع بعضها البعض.

بالنسبة إلى خط الموازي التعسفي ، فإن الصيغ التالية صحيحة:

أين لهو طول الضلع الجانبي.

ح- ارتفاع؛

صهو محيط المقطع العمودي ؛

س- مساحة المقطع العمودي.

الجانب S.هي مساحة السطح الجانبية

S ممتلئهي المساحة الإجمالية ؛

S الرئيسيهي منطقة القواعد.

الخامسهو حجم المنشور.

بالنسبة إلى خط الموازي الصحيح ، تكون الصيغ التالية صحيحة:

أين ص- محيط القاعدة ؛

لهو طول الضلع الجانبي.

حهو ارتفاع خط الموازي الأيمن.

بالنسبة إلى خط متوازي السطوح المستطيل ، فإن الصيغ التالية صحيحة:

(3)

أين ص- محيط القاعدة ؛

ح- ارتفاع؛

د- قطري؛

أ ، ب ، ج- قياسات خط متوازي.

الصيغ الصحيحة للمكعب هي:

أين أهو طول الضلع.

دهو قطر المكعب.

مثال 1قطر المكعب المستطيل 33 dm ، وترتبط قياساته بـ 2: 6: 9 ، أوجد قياسات متوازي المستطيلات.

قرار.لإيجاد أبعاد خط الموازي ، نستخدم الصيغة (3) ، أي حقيقة أن مربع وتر المثلث في متوازي المستطيلات يساوي مجموع مربعات أبعاده. للدلالة به كمعامل التناسب. ثم أبعاد خط الموازي ستكون مساوية لـ 2 ك, 6كو 9 ك. نكتب الصيغة (3) لبيانات المشكلة:

حل هذه المعادلة ل ك، نحن نحصل:

ومن ثم ، فإن أبعاد خط الموازي هي 6 و 18 و 27 ديسيمتر.

إجابه: 6 ديسيمتر ، 18 ديسيمتر ، 27 ديسيمتر.

مثال 2أوجد حجم المنشور الثلاثي المائل الذي قاعدته مثلث متساوي الأضلاع ضلع 8 سم ، إذا كانت الحافة الجانبية تساوي ضلع القاعدة وتميل بزاوية 60º على القاعدة.

قرار . لنقم برسم (الشكل 3).

من أجل العثور على حجم المنشور المائل ، تحتاج إلى معرفة مساحة القاعدة والارتفاع. مساحة قاعدة هذا المنشور هي مساحة مثلث متساوي الأضلاع أضلاعه 8 سم ، دعونا نحسبها:

ارتفاع المنشور هو المسافة بين قاعدته. من الأعلى لكن 1 من القاعدة العلوية نخفض العمودي على مستوى القاعدة السفلية لكن 1 د. سيكون طوله ارتفاع المنشور. خذ بعين الاعتبار د لكن 1 ميلادي: لأن هذه هي زاوية ميل الضلع الجانبي لكن 1 لكنإلى مستوى القاعدة لكن 1 لكن= 8 سم ومن هذا المثلث نجد لكن 1 د:

الآن نحسب الحجم باستخدام الصيغة (1):

إجابه: 192 سم 3.

مثال 3تبلغ الحافة الجانبية للمنشور السداسي العادي 14 سم ، وتبلغ مساحة أكبر مقطع قطري 168 سم 2. أوجد مساحة السطح الكلية للمنشور.

قرار.لنقم برسم (الشكل 4)

أكبر قسم قطري هو مستطيل AA 1 DD 1 ، منذ قطري ميلاديمسدس منتظم ABCDEFهو الأكبر. من أجل حساب مساحة السطح الجانبية للمنشور ، من الضروري معرفة جانب القاعدة وطول الضلع الجانبي.

بمعرفة مساحة المقطع القطري (المستطيل) ، نجد قطر القاعدة.

منذ ذلك الحين

منذ ذلك الحين AB= 6 سم.

ثم محيط القاعدة هو:

أوجد مساحة السطح الجانبي للمنشور:

مساحة الشكل السداسي المنتظم ضلعه 6 سم هي:

أوجد مساحة السطح الكلية للمنشور:

إجابه:

مثال 4قاعدة خط الموازي الأيمن هي المعين. مساحات المقاطع القطرية 300 سم 2 و 875 سم 2. أوجد مساحة السطح الجانبي لخط الموازي.

قرار.لنقم برسم (الشكل 5).

دلالة على جانب معين من جانب أ، أقطار المعين د 1 و د 2 ، ارتفاع الصندوق ح. لإيجاد مساحة السطح الجانبي لخط متوازي مستقيم ، من الضروري ضرب محيط القاعدة في الارتفاع: (الصيغة (2)). محيط القاعدة ع = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a، مثل ا ب ت ث- دالتون. ح = AA 1 = ح. الذي - التي. تحتاج لتجد أو ح.

ضع في اعتبارك المقاطع القطرية. AA 1 SS 1 - مستطيل ، أحد ضلعه هو قطري من المعين تيار متردد = د 1 ، الثانية - حافة جانبية AA 1 = ح، من ثم

وبالمثل بالنسبة للقسم BB 1 DD 1 نحصل على:

باستخدام خاصية متوازي الأضلاع بحيث يكون مجموع مربعات الأقطار مساويًا لمجموع مربعات جميع جوانبها ، نحصل على المساواة نحصل على ما يلي.

تختلف المناشير المختلفة عن بعضها البعض. في نفس الوقت ، لديهم الكثير من القواسم المشتركة. لإيجاد مساحة قاعدة المنشور ، تحتاج إلى معرفة نوعه.

النظرية العامة

المنشور هو أي متعدد الوجوه يكون جوانبه على شكل متوازي أضلاع. علاوة على ذلك ، يمكن أن يكون أي متعدد السطوح في قاعدته - من مثلث إلى n-gon. علاوة على ذلك ، فإن قواعد المنشور دائمًا ما تكون متساوية مع بعضها البعض. ما لا ينطبق على الوجوه الجانبية - يمكن أن يختلف حجمها بشكل كبير.

عند حل المشكلات ، لا تتم مصادفة مساحة قاعدة المنشور فقط. قد يكون من الضروري معرفة السطح الجانبي ، أي كل الوجوه التي ليست قواعد. سيكون السطح الكامل بالفعل اتحادًا لجميع الوجوه التي يتكون منها المنشور.

تظهر الارتفاعات في بعض الأحيان في المهام. إنه عمودي على القواعد. قطري متعدد السطوح هو قطعة تربط في أزواج أي رأسين لا ينتميان إلى نفس الوجه.

وتجدر الإشارة إلى أن مساحة قاعدة المنشور المستقيم أو المائل لا تعتمد على الزاوية بينها وبين الوجوه الجانبية. إذا كان لديهم نفس الأشكال في الوجوه العلوية والسفلية ، فإن مناطقهم ستكون متساوية.

منشور ثلاثي

يوجد في القاعدة شكل به ثلاثة رؤوس ، أي مثلث. من المعروف أن تكون مختلفة. إذا كان يكفي أن نتذكر أن مساحتها تحدد بنصف منتج الساقين.

يبدو التدوين الرياضي كما يلي: S = ½ av.

لمعرفة مساحة القاعدة بشكل عام ، فإن الصيغ مفيدة: مالك الحزين والصيغة التي يتم فيها نقل نصف الجانب إلى الارتفاع المرسوم عليه.

يجب كتابة الصيغة الأولى على النحو التالي: S \ u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). يحتوي هذا المدخل على نصف محيط (p) ، أي مجموع ثلاثة جوانب مقسومًا على اثنين.

ثانيًا: S = ½ n a * a.

إذا كنت تريد معرفة مساحة قاعدة المنشور الثلاثي ، وهو أمر منتظم ، فسيكون المثلث متساوي الأضلاع. لها صيغتها الخاصة: S = ¼ a 2 * √3.

منشور رباعي الزوايا

قاعدتها هي أي من الأشكال الرباعية المعروفة. يمكن أن يكون مستطيلًا أو مربعًا أو متوازي السطوح أو معينًا. في كل حالة ، من أجل حساب مساحة قاعدة المنشور ، ستحتاج إلى الصيغة الخاصة بك.

إذا كانت القاعدة عبارة عن مستطيل ، فسيتم تحديد مساحتها على النحو التالي: S = av ، حيث a ، b هي جانبي المستطيل.

عندما يتعلق الأمر بمنشور رباعي الزوايا ، يتم حساب مساحة قاعدة المنشور العادي باستخدام صيغة المربع. لأنه هو الذي يقع في القاعدة. S \ u003d أ 2.

في الحالة التي تكون فيها القاعدة متوازية ، ستكون هناك حاجة إلى المساواة التالية: S \ u003d a * n a. يحدث أن يتم إعطاء جانب من خط متوازي وأحد الزوايا. بعد ذلك ، لحساب الارتفاع ، ستحتاج إلى استخدام صيغة إضافية: na \ u003d b * sin A. علاوة على ذلك ، فإن الزاوية A مجاورة للضلع "b" ، والارتفاع n هو المقابل لهذه الزاوية.

إذا كان المعين يقع في قاعدة المنشور ، فستكون هناك حاجة إلى نفس الصيغة لتحديد مساحته مثل متوازي الأضلاع (نظرًا لأنه يمثل حالة خاصة منه). لكن يمكنك أيضًا استخدام هذا: S = ½ d 1 d 2. هنا d 1 و d 2 قطران من المعين.

منشور خماسي منتظم

تتضمن هذه الحالة تقسيم المضلع إلى مثلثات يسهل اكتشاف مناطقها. على الرغم من أنه يحدث أن الأرقام يمكن أن تكون بعدد مختلف من الرؤوس.

بما أن قاعدة المنشور عبارة عن خماسي منتظم ، فيمكن تقسيمها إلى خمسة مثلثات متساوية الأضلاع. ثم مساحة قاعدة المنشور تساوي مساحة أحد هذه المثلث (يمكن رؤية الصيغة أعلاه) ، مضروبة بخمسة.

منشور سداسي منتظم

وفقًا للمبدأ الموصوف للمنشور الخماسي ، من الممكن تقسيم مسدس القاعدة إلى 6 مثلثات متساوية الأضلاع. تشبه صيغة مساحة قاعدة هذا المنشور السابقة. فقط فيه يجب ضرب ستة.

ستبدو الصيغة كما يلي: S = 3/2 و 2 * √3.

مهام

رقم 1. خط مستقيم منتظم ، قطره 22 سم ، ارتفاع متعدد السطوح 14 سم. احسب مساحة قاعدة المنشور والسطح بأكمله.

قرار.قاعدة المنشور مربعة لكن ضلعها غير معروف. يمكنك إيجاد قيمته من قطر المربع (x) المرتبط بقطر المنشور (d) وارتفاعه (n). س 2 \ u003d د 2 - ن 2. من ناحية أخرى ، هذا الجزء "x" هو وتر المثلث الذي تساوي أرجله ضلع المربع. أي x 2 \ u003d a 2 + a 2. وهكذا ، اتضح أن 2 \ u003d (د 2 - ن 2) / 2.

استبدل الرقم 22 بدلاً من d ، واستبدل "n" بقيمته - 14 ، اتضح أن ضلع المربع يساوي 12 سم. الآن من السهل معرفة مساحة القاعدة: 12 * 12 \ u003d 144 سم 2 .

لمعرفة مساحة السطح بالكامل ، تحتاج إلى إضافة ضعف قيمة مساحة القاعدة ومضاعفة الجانب أربع مرات. يسهل العثور على الأخير بواسطة صيغة المستطيل: اضرب ارتفاع متعدد السطوح وجانب القاعدة. أي ، 14 و 12 ، هذا الرقم سيساوي 168 سم 2. وُجد أن إجمالي مساحة سطح المنشور تساوي 960 سم 2.

إجابه.مساحة قاعدة المنشور 144 سم 2. السطح بالكامل - 960 سم 2.

رقم 2. دانا في القاعدة يوجد مثلث ضلع يبلغ 6 سم ، وفي هذه الحالة يكون قطر الوجه الجانبي 10 سم ، احسب المساحة: القاعدة والسطح الجانبي.

قرار.نظرًا لأن المنشور منتظم ، فإن قاعدته هي مثلث متساوي الأضلاع. لذلك ، فإن مساحتها تساوي 6 تربيع في ¼ والجذر التربيعي للرقم 3. تؤدي عملية حسابية بسيطة إلى النتيجة: 9√3 سم 2. هذه هي مساحة قاعدة المنشور الواحدة.

جميع أوجه الأضلاع متشابهة وهي مستطيلات طول ضلوعها 6 و 10 سم ، ولحساب مساحتها يكفي ضرب هذه الأعداد. ثم اضربهم في ثلاثة ، لأن للمنشور أوجهًا كثيرة جدًا. ثم يتم لف مساحة السطح الجانبي 180 سم 2.

إجابه.المساحات: القاعدة - 9√3 سم 2 ، السطح الجانبي للمنشور - 180 سم 2.