علامة على خط عمودي ومستوى. دليل مرئي (2019)

في هذا الدرس ، سوف نكرر النظرية ونثبت صفة نظرية عمودية الخط والمستوى.
في بداية الدرس ، نتذكر تعريف الخط المستقيم العمودي على المستوى. بعد ذلك ، نأخذ في الاعتبار ونثبت صفة نظرية عمودية الخط والمستوى. لإثبات هذه النظرية ، نتذكر خاصية المنصف العمودي.
بعد ذلك ، نحل العديد من المسائل المتعلقة عمودي الخط والمستوى.

الموضوع: عمودية الخط والمستوى

درس: إشارة عمودية الخط والمستوى

في هذا الدرس سوف نكرر النظرية ونثبت نظرية - علامة عمودية الخط والمستوى.

تعريف. مستقيم أيسمى عموديًا على مستوى α إذا كان عموديًا على أي خط يقع في هذا المستوى.

إذا كان الخط متعامدًا على خطين متقاطعين في مستوى ما ، فإنه يكون متعامدًا على ذلك المستوى.

دليل - إثبات.

دعونا نحصل على مستوى α. يوجد خطان متقاطعان في هذا المستوى. صو ف. مستقيم أعمودي على الخط صومباشر ف. نحن بحاجة إلى إثبات أن الخط أعمودي على المستوى α ، أي أن الخط a عمودي على أي خط يقع في المستوى α.

تذكير.

لإثبات ذلك ، علينا تذكر خواص المنصف العمودي على قطعة. عمودي متوسط صلهذا الجزء ABهو موضع النقاط على مسافة متساوية من نهايات المقطع. هذا هو ، إذا كانت النقطة معتقع على المنصف العمودي ص ، إذن أس = ق.

دع النقطة ا- نقطة تقاطع الخط أوالطائرة α (الشكل 2). دون فقدان العمومية ، سنفترض أن الخطوط صو فتتقاطع عند نقطة ا. علينا إثبات عمودية الخط المستقيم ألخط تعسفي ممن الطائرة α.

دعنا نمر عبر النقطة امباشرة ل، بالتوازي مع الخط م.على خط مستقيم أضع الشرائح جانبا OAو OV، و OA = OV، هذا هو الهدف ا- منتصف المقطع AB. لنرسم خطًا مستقيمًا PL, .

مستقيم صعمودي على الخط أ(من الشرط) ، (عن طريق البناء). وسائل، ص AB. نقطة صتقع على خط مستقيم ص. وسائل، RA = RV.

مستقيم فعمودي على الخط أ(من الشرط) ، (عن طريق البناء). وسائل، ف- عمودي متوسط ​​على القطعة AB. نقطة ستقع على خط مستقيم ف. وسائل، سؤال وجواب =QB.

مثلثات ARسو VRسمتساوية من ثلاث جهات (RA = RV, سؤال وجواب =QB ، صس-الجانب المشترك). حتى الزوايا ARسو VRسمتساوية.

مثلثات لكنPLو BPLمتساويان في الزاوية وضلعان متجاوران (∠ ARإل= ∠VRL ، RA = RV, PL- الجانب المشترك). من مساواة المثلثات نحصل على ذلك AL =BL.

خذ بعين الاعتبار المثلث ABL.إنه متساوي الأضلاع لأن AL =ب.في المثلث متساوي الساقين ، الوسيط لوهو أيضًا الارتفاع ، أي الخط لوعمودي AB.

لقد حصلنا على ذلك مباشرة أعمودي على الخط لومن ثم مباشرة م Q.E.D.

نقاط أ ، م ، أواستلقي على خط مستقيم عمودي على المستوى α والنقاط أوه ، ف ، سو دتكمن في المستوى α (الشكل 3). أي من الزوايا التالية صحيحة؟

قرار

لنفكر في الزاوية. مستقيم هيئة الأوراق الماليةعمودي على المستوى α ، ومن ثم الخط هيئة الأوراق الماليةعمودي على أي خط موجود في المستوى α ، بما في ذلك الخط في. وسائل، .

لنفكر في الزاوية. مستقيم هيئة الأوراق الماليةعمودي على الخط نظام التشغيل، يعني، .

لنفكر في الزاوية. مستقيم هيئة الأوراق الماليةعمودي على الخط اد، يعني، . خذ بعين الاعتبار المثلث DAO. يمكن أن يكون للمثلث زاوية قائمة واحدة فقط. إذن الزاوية سد- ليس مباشرا.

لنفكر في الزاوية. مستقيم هيئة الأوراق الماليةعمودي على الخط اد، يعني، .

لنفكر في الزاوية. هذه زاوية في مثلث قائم الزاوية BMO، لا يمكن أن تكون مستقيمة ، لأن الزاوية مذكرة تفاهم- مباشرة.

إجابه: .

في مثلث ABCمنح: ، تيار متردد= 6 سم ، شمس= 8 سم ، سم- متوسط ​​(الشكل 4). من خلال القمة معمباشرة SCعمودي على مستوى المثلث ABC، و SC= 12 سم موقع كم.

قرار:

لنجد الطول ABوفقًا لنظرية فيثاغورس: (سم).

وفقًا لخاصية المثلث القائم ، نقطة منتصف الوتر ممتساوية البعد عن رءوس المثلث. أي SM = AM = VM, (سم).

خذ بعين الاعتبار المثلث KSM. مستقيم كانساسعمودي على المستوى ABCمما يعني كانساسعمودي سم. إذاً المثلث KSM- مستطيلي. أوجد الوتر كممن نظرية فيثاغورس: (انظر).

1. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية (المستويات الأساسية والملف الشخصي) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة مصححة ومكملة - م: Mnemozina، 2008. - 288 ص: مريضة.

المهام 1 ، 2 ، 5 ، 6 صفحة 57

2. حدد عمودية الخط والمستوى.

3. حدد زوجًا في المكعب - حافة ووجهًا عموديًا.

4. نقطة لتقع خارج مستوى مثلث متساوي الساقين ABCوعلى مسافة متساوية من النقاط فيو مع. م- منتصف القاعدة شمس. إثبات أن الخط شمسعمودي على المستوى AKM.

في هذا الدرس ، سوف نكرر النظرية ونثبت صفة نظرية عمودية الخط والمستوى.
في بداية الدرس ، نتذكر تعريف الخط المستقيم العمودي على المستوى. بعد ذلك ، نأخذ في الاعتبار ونثبت صفة نظرية عمودية الخط والمستوى. لإثبات هذه النظرية ، نتذكر خاصية المنصف العمودي.
بعد ذلك ، نحل العديد من المسائل المتعلقة عمودي الخط والمستوى.

الموضوع: عمودية الخط والمستوى

درس: إشارة عمودية الخط والمستوى

في هذا الدرس سوف نكرر النظرية ونثبت نظرية - علامة عمودية الخط والمستوى.

تعريف. مستقيم أيسمى عموديًا على مستوى α إذا كان عموديًا على أي خط يقع في هذا المستوى.

إذا كان الخط متعامدًا على خطين متقاطعين في مستوى ما ، فإنه يكون متعامدًا على ذلك المستوى.

دليل - إثبات.

دعونا نحصل على مستوى α. يوجد خطان متقاطعان في هذا المستوى. صو ف. مستقيم أعمودي على الخط صومباشر ف. نحن بحاجة إلى إثبات أن الخط أعمودي على المستوى α ، أي أن الخط a عمودي على أي خط يقع في المستوى α.

تذكير.

لإثبات ذلك ، علينا تذكر خواص المنصف العمودي على قطعة. عمودي متوسط صلهذا الجزء ABهو موضع النقاط على مسافة متساوية من نهايات المقطع. هذا هو ، إذا كانت النقطة معتقع على المنصف العمودي ص ، إذن أس = ق.

دع النقطة ا- نقطة تقاطع الخط أوالطائرة α (الشكل 2). دون فقدان العمومية ، سنفترض أن الخطوط صو فتتقاطع عند نقطة ا. علينا إثبات عمودية الخط المستقيم ألخط تعسفي ممن الطائرة α.

دعنا نمر عبر النقطة امباشرة ل، بالتوازي مع الخط م.على خط مستقيم أضع الشرائح جانبا OAو OV، و OA = OV، هذا هو الهدف ا- منتصف المقطع AB. لنرسم خطًا مستقيمًا PL, .

مستقيم صعمودي على الخط أ(من الشرط) ، (عن طريق البناء). وسائل، ص AB. نقطة صتقع على خط مستقيم ص. وسائل، RA = RV.

مستقيم فعمودي على الخط أ(من الشرط) ، (عن طريق البناء). وسائل، ف- عمودي متوسط ​​على القطعة AB. نقطة ستقع على خط مستقيم ف. وسائل، سؤال وجواب =QB.

مثلثات ARسو VRسمتساوية من ثلاث جهات (RA = RV, سؤال وجواب =QB ، صس-الجانب المشترك). حتى الزوايا ARسو VRسمتساوية.

مثلثات لكنPLو BPLمتساويان في الزاوية وضلعان متجاوران (∠ ARإل= ∠VRL ، RA = RV, PL- الجانب المشترك). من مساواة المثلثات نحصل على ذلك AL =BL.

خذ بعين الاعتبار المثلث ABL.إنه متساوي الأضلاع لأن AL =ب.في المثلث متساوي الساقين ، الوسيط لوهو أيضًا الارتفاع ، أي الخط لوعمودي AB.

لقد حصلنا على ذلك مباشرة أعمودي على الخط لومن ثم مباشرة م Q.E.D.

نقاط أ ، م ، أواستلقي على خط مستقيم عمودي على المستوى α والنقاط أوه ، ف ، سو دتكمن في المستوى α (الشكل 3). أي من الزوايا التالية صحيحة؟

قرار

لنفكر في الزاوية. مستقيم هيئة الأوراق الماليةعمودي على المستوى α ، ومن ثم الخط هيئة الأوراق الماليةعمودي على أي خط موجود في المستوى α ، بما في ذلك الخط في. وسائل، .

لنفكر في الزاوية. مستقيم هيئة الأوراق الماليةعمودي على الخط نظام التشغيل، يعني، .

لنفكر في الزاوية. مستقيم هيئة الأوراق الماليةعمودي على الخط اد، يعني، . خذ بعين الاعتبار المثلث DAO. يمكن أن يكون للمثلث زاوية قائمة واحدة فقط. إذن الزاوية سد- ليس مباشرا.

لنفكر في الزاوية. مستقيم هيئة الأوراق الماليةعمودي على الخط اد، يعني، .

لنفكر في الزاوية. هذه زاوية في مثلث قائم الزاوية BMO، لا يمكن أن تكون مستقيمة ، لأن الزاوية مذكرة تفاهم- مباشرة.

إجابه: .

في مثلث ABCمنح: ، تيار متردد= 6 سم ، شمس= 8 سم ، سم- متوسط ​​(الشكل 4). من خلال القمة معمباشرة SCعمودي على مستوى المثلث ABC، و SC= 12 سم موقع كم.

قرار:

لنجد الطول ABوفقًا لنظرية فيثاغورس: (سم).

وفقًا لخاصية المثلث القائم ، نقطة منتصف الوتر ممتساوية البعد عن رءوس المثلث. أي SM = AM = VM, (سم).

خذ بعين الاعتبار المثلث KSM. مستقيم كانساسعمودي على المستوى ABCمما يعني كانساسعمودي سم. إذاً المثلث KSM- مستطيلي. أوجد الوتر كممن نظرية فيثاغورس: (انظر).

1. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية (المستويات الأساسية والملف الشخصي) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة مصححة ومكملة - م: Mnemozina، 2008. - 288 ص: مريضة.

المهام 1 ، 2 ، 5 ، 6 صفحة 57

2. حدد عمودية الخط والمستوى.

3. حدد زوجًا في المكعب - حافة ووجهًا عموديًا.

4. نقطة لتقع خارج مستوى مثلث متساوي الساقين ABCوعلى مسافة متساوية من النقاط فيو مع. م- منتصف القاعدة شمس. إثبات أن الخط شمسعمودي على المستوى AKM.

دعونا نصلح مفهوم عمودي الخط المستقيم والمستوى بملخص الدرس. سنقدم تعريفًا عامًا ونصيغ ونقدم أدلة على النظرية ، ونحل العديد من المشكلات لتوحيد المادة.

من المعروف من مسار الهندسة: يعتبر الخطان متعامدين عندما يتقاطعان بزاوية 90 درجة.

في تواصل مع

زملاء الصف

الجزء النظري

بالانتقال إلى دراسة خصائص الأشكال المكانية ، سنطبق مفهومًا جديدًا.

تعريف:

سيقال أن الخط متعامد على مستوى عندما يكون متعامدًا على خط على سطح يمر بشكل تعسفي عبر نقطة التقاطع.

بمعنى آخر ، إذا كان المقطع "AB" عموديًا على المستوى α ، فإن زاوية التقاطع مع أي جزء مرسوم على طول السطح المعطى من خلال "C" ، نقطة مرور "AB" عبر المستوى α ، ستكون 90 درجة.

مما سبق يتبع النظرية حول علامة عمودية الخط والمستوى:

إذا كان الخط المرسوم عبر المستوى عموديًا على خطين مرسومين على المستوى من خلال نقطة التقاطع ، فإنه يكون عموديًا على المستوى بأكمله.

بمعنى آخر ، إذا كانت الزاويتان ACD و ACE في الشكل 1 تساوي 90 درجة ، فإن الزاوية ACF ستكون أيضًا 90 درجة. انظر الشكل 3.

دليل - إثبات

وفقًا لشروط النظرية ، يتم رسم الخط "أ" بشكل عمودي على الخطوط دو ه. بمعنى آخر ، الزاويتان ACD و ACE تساويان 90 درجة. سنقدم البراهين بناءً على خصائص المساواة في المثلثات. انظر الشكل 3.

من خلال النقطة C مرور الخط أارسم خطًا عبر المستوى α Fفي اتجاه تعسفي. نعطي دليلاً على أنه سيكون عموديًا على القطعة AB أو أن الزاوية ACF ستكون 90 o.

على خط مستقيم أنضع جانبا شرائح من نفس الطول AC و AB. ارسم خطًا على السطح α xفي اتجاه اعتباطي وعدم المرور عبر التقاطع عند النقطة "ج". يجب أن يتقاطع الخط "x" مع الخطوط e و d و f.

قم بتوصيل النقاط F و D و E بالنقطتين A و B بخطوط مستقيمة.

ضع في اعتبارك مثلثين ACE و BCE. حسب شروط البناء:

1. يوجد ضلعان متطابقان AC و BC.
2. لديهم جانب CE مشترك في الأسفل.
3. زاويتان متساويتان ACE و BCE - 90 درجة لكل منهما.

لذلك ، وفقًا لشروط المساواة بين المثلثات ، إذا كان لدينا ضلعان متساويان ونفس الزاوية بينهما ، فإن هذين المثلثين متطابقان. من مساواة المثلثات يترتب على ذلك أن الجانبين AE و BE متساويان.

وفقًا لذلك ، تم إثبات المساواة بين المثلثات ACD و BCD ، بمعنى آخر ، المساواة بين الجانبين AD و BD.

فكر الآن في مثلثين AED و BED. ويترتب على المساواة المثبتة سابقًا للمثلثات أن هذه الأشكال لها نفس الجوانب AE مع BE و AD مع BD. يتم مشاركة جانب واحد من ED. من حالة المساواة بين المثلثات المحددة من قبل ثلاثة جوانب ، يترتب على ذلك تساوي الزوايا ADE و BDE.

مجموع الزوايا ADE و ADF هو 180 o. سيكون مجموع الزوايا BDE و BDF أيضًا 180 درجة. نظرًا لأن الزاويتين ADE و BDE متساويتان ، فإن الزاويتين ADF و BDF متساويتان أيضًا.

اعتبر مثلثين ADF و BDF. لديهم ضلعان متساويان AD و BD (تم إثباتهما سابقًا) ، DF جانب مشترك وزاوية متساوية بينهما ADF و BDF. إذن ، هذه المثلثات لها نفس الأضلاع. أي أن الضلع BF له نفس طول الضلع AF.

إذا أخذنا في الاعتبار المثلث AFB ، فسيكون متساوي الساقين (AF يساوي BF) ، والخط FC هو الوسيط ، لأنه وفقًا لشروط البناء ، فإن الضلع AC يساوي الضلع BC. إذن ، قياس الزاوية ACF يساوي 90 درجة. الذي كان ليتم إثباته.

نتيجة مهمة للنظرية أعلاه هي البيان:

إذا تقاطع اثنان متوازيان مع المستوى وكان أحدهما زاوية 90 درجة ، فإن الثاني يمر أيضًا عبر المستوى بزاوية 90 درجة.

وفقًا لظروف المشكلة ، يكون a و b متوازيين. انظر الشكل 4. الخط أ عمودي على السطح α. ويترتب على ذلك أن الخط b سيكون أيضًا عموديًا على السطح α.

لإثبات نقطتي تقاطع المستقيمين المتوازيين مع المستوى ، نرسم خطًا على السطح ج. وفقًا لنظرية الخط المستقيم العمودي على المستوى ، ستكون الزاوية DAB تساوي 90 o. من خصائص الخطوط المتوازية ، يترتب على ذلك أن الزاوية ABF ستكون أيضًا 90 درجة. لذلك ، بحكم التعريف ، الخط بسيكون عموديًا على السطح α.

استخدام النظرية لحل المسائل

لإصلاح المادة ، باستخدام الشروط الأساسية للعمود المستقيم والخط المستوي ، سنحل عدة مسائل.

مهمة 1

الظروف. من النقطة A ، أنشئ خطًا عموديًا على المستوى α. انظر الشكل 5.

ارسم خطًا عشوائيًا ب على السطح α. من خلال الخط ب والنقطة أ نبني السطح. ارسم القطعة AB من النقطة A إلى الخط b. من النقطة B على السطح α ارسم خطًا متعامدًا ج.

من النقطة أ إلى السطر معإسقاط عمودي AC. دعونا نثبت أن هذا الخط سيكون عموديًا على المستوى.

للإثبات من خلال النقطة C على السطح α ، نرسم خطًا d موازيًا لـ b ، وعبر الخط جوالنقطة أ نبني طائرة. الخط AC عمودي على الخط c حسب حالة البناء وعمودي على المستقيم d ، كنتيجة للخطين المتوازيين من نظرية العمودي ، حيث يكون الخط b ، حسب الحالة ، عموديًا على السطح.

لذلك ، من خلال تعريف عمودية الخط والمستوى ، يكون الجزء المبني AC عموديًا على السطح α.

المهمة رقم 2

الظروف. المقطع AB عمودي على المستوى α. يقع مثلث BDF على السطح α ولديه المعلمات التالية:

• ستكون زاوية DBF 90 درجة
• الجانب BD= 12 سم ؛
• الجانب BF = 16 سم ؛
• BC هو الوسيط.

انظر الشكل 6.

أوجد طول القطعة AC إذا كان AB = 24 سم.

قرار. وفقًا لنظرية فيثاغورس ، فإن الوتر أو الضلع DF يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات الساقين. طول BD تربيع هو 144 ، وبالتالي ، فإن BC تربيع سيكون 256. المجموع 400 ؛ بأخذ الجذر التربيعي ، نحصل على 20.

يقسم الوسيط BC في مثلث قائم الزاوية الوتر إلى جزأين متساويين ويساوي طول هذه المقاطع ، أي BC \ u003d DC \ u003d CF \ u003d 10.

تم استخدام نظرية فيثاغورس مرة أخرى ، ونحصل على: الوتر C = 26 ، وهو الجذر التربيعي لـ 675 ، ومجموع مربعات الساقين هو 576 (AB = 24 تربيع) و 100 (BC = 10 تربيع).

الجواب: طول قطعة AC 26 سم.