يتم الحصول على حجم الجسم عن طريق تدوير قوس الحلقة الدائرية. كيف تحسب حجم جسم ثورة باستخدام تكامل محدد؟ حساب مساحة الأشكال المستوية

دعونا نجد حجم الجسم الناتج عن دوران القوس الحلقي حول قاعدته. وجده روبرفال عن طريق كسر الجسم الناتج على شكل بيضة (الشكل 5.1) إلى طبقات رقيقة للغاية ، ونقش الأسطوانات في هذه الطبقات وإضافة أحجامها. الدليل طويل ومضجر وغير صارم تمامًا. لذلك ، لحسابها ، ننتقل إلى رياضيات أعلى. دعونا نضع المعادلة الحلقية حدوديًا.

في حساب التفاضل والتكامل ، عند دراسة المجلدات ، يستخدم الملاحظة التالية:

إذا تم إعطاء المنحنى الذي يحيط شبه المنحني المنحني من خلال المعادلات البارامترية وكانت الوظائف في هذه المعادلات تفي بشروط النظرية الخاصة بتغيير المتغير في تكامل معين ، فإن حجم جسم دوران شبه المنحرف حول محور الثور سوف تحسب بالصيغة:

دعنا نستخدم هذه الصيغة لإيجاد الحجم الذي نحتاجه.

بنفس الطريقة نحسب سطح هذا الجسم.

L = ((x، y): x = a (t - sin t)، y = a (1 - cost)، 0؟ t؟ 2р)

في حساب التفاضل والتكامل ، توجد الصيغة التالية لإيجاد مساحة سطح جسم ثورة حول المحور x لمنحنى محدد على قطعة بارامترية (t 0؟ t؟ t 1):

بتطبيق هذه الصيغة على معادلة السيكلويد الخاصة بنا ، نحصل على:

ضع في اعتبارك أيضًا سطحًا آخر ناتجًا عن دوران القوس الدائري. للقيام بذلك ، سوف نبني انعكاس المرآةأقواس دائرية بالنسبة لقاعدتها ، وسوف نقوم بتدوير الشكل البيضاوي الذي شكله دائري وانعكاسه حول محور KT (الشكل 5.2)

أولاً ، لنجد حجم الجسم المتكون من دوران القوس الحلقي حول محور KT. سيحسب حجمه بالصيغة (*):

وهكذا ، حسبنا حجم نصف جسم اللفت. ثم سيكون الحجم الإجمالي

الأقسام: رياضيات

نوع الدرس: مشترك.

الغرض من الدرس:تعلم كيفية حساب أحجام أجسام الثورة باستخدام التكاملات.

مهام:

• تعزيز القدرة على اختيار شبه المنحنيات المنحنية من عدد من الأشكال الهندسية وتطوير مهارة حساب مناطق شبه المنحنيات المنحنية ؛
• التعرف على مفهوم الشكل ثلاثي الأبعاد ؛
• تعلم كيفية حساب أحجام أجسام الثورة ؛
• لتعزيز تنمية التفكير المنطقي ، والكلام الرياضي المختص ، والدقة في بناء الرسومات ؛
• لزراعة الاهتمام بالموضوع ، والعمل بالمفاهيم والصور الرياضية ، وتنمية الإرادة ، والاستقلالية ، والمثابرة في تحقيق النتيجة النهائية.

خلال الفصول

I. لحظة تنظيمية.

تحية المجموعة. توصيل الطلاب بأهداف الدرس.

انعكاس. لحن هادئ.

أود أن أبدأ درس اليوم بمثل. "كان هناك رجل حكيم يعرف كل شيء. أراد شخص واحد إثبات أن الحكيم لا يعرف كل شيء. سأل وهو يمسك الفراشة بين يديه: "أخبرني ، يا حكيم ، أي فراشة في يدي: ميتة أم حية؟" وهو نفسه يفكر: "إذا قال الحي سأقتلها ، وإذا قال الميت فسأطلقها". أجاب الحكيم وهو يفكر: "كل شيء في يديك". (عرض تقديمي.الانزلاق)

- لذلك دعونا نعمل اليوم بشكل مثمر ، ونكتسب مخزونًا جديدًا من المعرفة ، وسنطبق المهارات والقدرات المكتسبة في الحياة اللاحقة وفي الأنشطة العملية. "كل شيء في يديك".

ثانيًا. تكرار المواد التي تم تعلمها مسبقًا.

دعونا نراجع النقاط الرئيسية للمادة التي تمت دراستها مسبقًا. للقيام بذلك ، دعنا نقوم بالمهمة "إزالة الكلمة الزائدة."(الانزلاق.)

(يذهب الطالب إلى ID بمساعدة ممحاة لإزالة الكلمة الزائدة.)

- صحيح "التفاضليه". حاول تسمية الكلمات المتبقية في كلمة واحدة مشتركة. (حساب التكامل.)

- لنتذكر المراحل والمفاهيم الرئيسية المتعلقة بحساب التفاضل والتكامل ..

"مجموعة رياضية".

ممارسه الرياضه. استعادة التصاريح. (يخرج الطالب ويكتب الكلمات الضرورية بالقلم).

- سوف نستمع إلى تقرير حول تطبيق التكاملات لاحقًا.

العمل في دفاتر الملاحظات.

- تم تطوير صيغة نيوتن-ليبنيز بواسطة الفيزيائي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643-1727) والفيلسوف الألماني جوتفريد لايبنيز (1646-1716). وهذا ليس مفاجئًا ، لأن الرياضيات هي اللغة التي تتحدث بها الطبيعة نفسها.

- فكر في كيفية استخدام هذه الصيغة في حل المهام العملية.

مثال 1: احسب مساحة شكل محدد بخطوط

الحل: لنقم ببناء رسوم بيانية للوظائف على المستوى الإحداثي . حدد منطقة الشكل ليتم العثور عليها.

ثالثا. تعلم مواد جديدة.

- انتبه للشاشة. ماذا يظهر في الصورة الأولى؟ (الانزلاق) (يوضح الشكل شكلًا مسطحًا.)

ماذا يظهر في الصورة الثانية؟ هل هذا الرقم مسطح؟ (الانزلاق) (يوضح الشكل شخصية ثلاثية الأبعاد.)

في الفضاء وعلى الأرض وفي الحياة اليوميةنلتقي ليس فقط بأشكال مسطحة ، ولكن أيضًا بأشكال ثلاثية الأبعاد ، ولكن كيف نحسب حجم هذه الأجسام؟ على سبيل المثال ، حجم كوكب ، مذنب ، نيزك ، إلخ.

- فكر في حجم وبناء البيوت ، وصب الماء من إناء إلى آخر. كان يجب أن تكون قواعد وطرق حساب الأحجام قد نشأت ، والشيء الآخر هو مدى دقتها ومبرراتها.

رسالة الطالب. (تيورينا فيرا.)

كان عام 1612 مثمرًا للغاية بالنسبة لسكان مدينة لينز النمساوية ، حيث عاش عالم الفلك الشهير يوهانس كيبلر ، وخاصةً العنب. كان الناس يحضرون براميل النبيذ ويريدون معرفة كيفية تحديد أحجامهم عمليًا. (الشريحة 2)

- وهكذا ، شكلت أعمال كيبلر المدروسة بداية لسلسلة كاملة من الأبحاث ، والتي بلغت ذروتها في الربع الأخير من القرن السابع عشر. التصميم في أعمال I.Notton و G.V. حساب التفاضل والتكامل لايبنيز. منذ ذلك الوقت ، احتلت رياضيات متغيرات الحجم مكانة رائدة في نظام المعرفة الرياضية.

- لذلك سننخرط اليوم في مثل هذه الأنشطة العملية ، لذلك ،

موضوع درسنا: "حساب حجوم أجساد الثورة باستخدام جزء لا يتجزأ". (الانزلاق)

- سوف تتعلم تعريف هيئة الثورة من خلال إكمال المهمة التالية.

"متاهة".

المتاهة (كلمة يونانية) تعني المرور إلى الزنزانة. المتاهة عبارة عن شبكة معقدة من المسارات والممرات والغرف التي تتواصل مع بعضها البعض.

لكن تعريف "تحطمت" ، كانت هناك تلميحات في شكل سهام.

ممارسه الرياضه. ابحث عن طريقة للخروج من الموقف المربك واكتب التعريف.

الانزلاق. "بطاقة التعليمات" حساب المجلدات.

باستخدام تكامل محدد ، يمكنك حساب حجم الجسم ، على وجه الخصوص ، جسم الثورة.

الجسم الثوري هو جسم يتم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحرف منحني الأضلاع حول قاعدته (الشكل 1 ، 2)

يتم حساب حجم جسم الثورة بإحدى الصيغ:

1. حول المحور السيني.

2. ، إذا كان دوران شبه منحني منحني حول المحور ص.

يتلقى كل طالب بطاقة تعليمات. المعلم يسلط الضوء على النقاط الرئيسية.

يشرح المعلم حل الأمثلة الموجودة على السبورة.

خذ بعين الاعتبار مقتطفًا من الحكاية الخيالية الشهيرة لـ A. S. (الشريحة 4):

…..
وجلب رسول مخمور
في نفس اليوم ، يكون الترتيب:
"القيصر يأمر البويار ،
لا تضيع الوقت ،
والملكة والنسل
ألقيت سرا في هاوية المياه ".
لا يوجد شيء نفعله: البويار ،
بعد أن حزن على الملك
والملكة الشابة
جاء حشد من الناس إلى غرفة نومها.
أعلن الوصية الملكية -
هي وابنها لهما مصير شرير ،
اقرأ المرسوم بصوت عالٍ
والملكة في نفس الوقت
وضعوني في برميل مع ابني ،
صلى ، توالت
وسمحوا لي بالدخول -
هكذا أمر دي القيصر سلطان.

وماذا يجب أن يكون حجم البرميل حتى تدخله الملكة وابنها؟

- النظر في المهام التالية

1. أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتناوب حول المحور y لشبه منحني منحني الخط ومحدود بخطوط: س 2 + ص 2 = 64 ، ص = -5 ، ص = 5 ، س = 0.

الجواب: 1163 سم 3 .

أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحرف مكافئ حول الإحداثية ص = ، س = 4 ، ص = 0.

رابعا. تثبيت مادة جديدة

مثال 2. احسب حجم الجسم المتكون من دوران البتلة حول المحور السيني ص \ u003d س 2 ، ص 2 \ u003d س.

دعنا نرسم الرسوم البيانية للدالة. ص = س 2 ، ص 2 = س. برنامج ص 2 = ستحول إلى النموذج ذ= .

نملك V \ u003d V 1 - V 2دعونا نحسب حجم كل دالة

- الآن ، دعونا نلقي نظرة على برج محطة إذاعية في موسكو في شابولوفكا ، تم بناؤه وفقًا لمشروع المهندس الروسي الرائع ، الأكاديمي الفخري في.جي.شوخوف. يتكون من أجزاء - hyperboloids للثورة. علاوة على ذلك ، كل منها مصنوع من قضبان معدنية مستقيمة تربط الدوائر المجاورة (الشكل 8 ، 9).

- تأمل المشكلة.

أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير أقواس القطع الزائد حول محوره التخيلي كما هو مبين في الشكل. 8 ، أين

مكعب الوحدات

تعيينات المجموعة. يرسم الطلاب الكثير من المهام ، ويتم عمل الرسومات على ورق ، ويدافع أحد ممثلي المجموعة عن العمل.

المجموعة الأولى.

يضرب! يضرب! ضربة أخرى!
كرة تطير في البوابة - الكرة!
وهذه كرة بطيخ
أخضر ، مستدير ، لذيذ.
تبدو أفضل - يا لها من كرة!
وهي مكونة من دوائر.
يقطع البطيخ إلى دوائر
وتذوقها.

أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالدوران حول محور OX لدالة محددة بها

خطأ! لم يتم تعريف الإشارة المرجعية.

- قل لي من فضلك أين نلتقي بهذا الرقم؟

منزل. مهمة للمجموعة 1. اسطوانة (الانزلاق) .

"اسطوانة - ما هذا؟" سألت والدي.
ضحك الأب: القبعة العلوية قبعة.
للحصول على فكرة صحيحة ،
لنفترض أن الأسطوانة عبارة عن علبة من الصفيح.
أنبوب الباخرة عبارة عن أسطوانة ،
الأنبوب الموجود على سطحنا أيضًا

جميع الأنابيب تشبه الاسطوانة.
وأعطيت مثالاً كهذا -
المشكال حبيبي,
لا يمكنك أن تغمض عينيك عنه.
يبدو أيضا مثل الاسطوانة.

- ممارسه الرياضه. الواجب المنزلي لرسم الدالة وحساب الحجم.

المجموعة الثانية. مخروط (الانزلاق).

قالت أمي: والآن
ستكون قصتي عن المخروط.
مراقب النجوم في قبعة عالية
تحصي النجوم على مدار السنة.
CONE - قبعة مراقب النجوم.
هذا ما هو عليه. فهمت؟ هذا هو.
كانت أمي على الطاولة
سكبت الزيت في زجاجات.
- أين القمع؟ لا يوجد قمع.
نظرة. لا تقف على الهامش.
- أمي ، لن أتحرك من المكان ،
أخبرني المزيد عن المخروط.
- القمع على شكل مخروط علبة سقي.
تعال ، جدني بسرعة.
لم أتمكن من العثور على القمع
لكن أمي صنعت حقيبة ،
لف الكرتون حول إصبعك
ومثبت بمهارة بمشبك ورق.
الزيت يتدفق ، أمي سعيدة
خرج المخروط بشكل صحيح.

ممارسه الرياضه. احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالدوران حول المحور السيني

منزل. مهمة للمجموعة الثانية. هرم(الانزلاق).

لقد شاهدت الصورة. في هذه الصورة
يوجد هرم في الصحراء الرملية.
كل شيء في الهرم غير عادي ،
فيه بعض الغموض والغموض.
برج سباسكايا في الميدان الأحمر
كل من الأطفال والكبار معروفون جيدًا.
انظر إلى البرج - عادي المظهر ،
ماذا يوجد فوقها؟ هرم!

ممارسه الرياضه.الواجب المنزلي يرسم دالة ويحسب حجم الهرم

- قمنا بحساب أحجام الهيئات المختلفة بناءً على الصيغة الأساسية لأحجام الأجسام باستخدام التكامل.

هذا تأكيد آخر على أن التكامل المحدد هو أساس ما لدراسة الرياضيات.

"الآن دعنا بعض الراحة."

ابحث عن زوجين.

مسرحيات الدومينو الرياضية.

"الطريق الذي كان يبحث عنه هو نفسه لن يُنسى أبدًا ..."

عمل بحثي. تطبيق لا يتجزأ في الاقتصاد والتكنولوجيا.

اختبارات للمتعلمين الأقوياء ورياضيات كرة القدم.

محاكاة الرياضيات.

2. يتم استدعاء مجموعة جميع المشتقات العكسية لوظيفة معينة

أ) تكامل غير محدد

ب) الوظيفة ،

ب) التمايز.

7. أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتناوب حول محور الإحداثيات لشبه منحني منحني الخط يحده خطوط:

د / ض. احسب أحجام أجسام الثورة.

انعكاس.

قبول التفكير في الشكل سينكين(خمسة أسطر).

السطر الأول - اسم الموضوع (اسم واحد).

السطر الثاني - وصف الموضوع باختصار ، صفتان.

السطر الثالث - وصف للعمل ضمن هذا الموضوع في ثلاث كلمات.

السطر الرابع - عبارة من أربع كلمات ، توضح الموقف من الموضوع (جملة كاملة).

السطر الخامس هو مرادف يكرر جوهر الموضوع.

1. مقدار.
2. لا يتجزأ ، دالة تكاملية محددة.
3. نحن نبني ، ندير ، نحسب.
4. جسم يتم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحرف منحني الأضلاع (حول قاعدته).
5. جسد ثورة (جسم هندسي ثلاثي الأبعاد).

استنتاج (الانزلاق).

• التكامل المحدد هو نوع من الأساس لدراسة الرياضيات ، والذي يقدم مساهمة لا غنى عنها في حل مشاكل المحتوى العملي.
• يوضح موضوع "متكامل" بوضوح العلاقة بين الرياضيات والفيزياء وعلم الأحياء والاقتصاد والتكنولوجيا.
• تطوير العلم الحديثلا يمكن تصوره دون استخدام التكامل. وفي هذا الصدد لا بد من البدء بدراستها في إطار التعليم الثانوي المتخصص!

وضع العلامات. (مع التعليق.)

إن العظيم عمر الخيام عالم رياضيات وشاعر وفيلسوف. يدعو ليكون سيد مصيره. استمع إلى مقتطفات من عمله:

أنت تقول أن هذه الحياة مجرد لحظة.
قدِّرها ، واستلهم منها.
عندما تنفقه ، سوف يمر.
لا تنسى: إنها خليقتك.

محاضرات 8. تطبيقات لا يتجزأ من المحدد.

يعتمد تطبيق التكامل على المشكلات المادية على خاصية الجمع بين التكامل على مجموعة. لذلك ، بمساعدة التكامل ، يمكن حساب هذه الكميات التي هي نفسها مضافة في المجموعة. على سبيل المثال ، مساحة الشكل تساوي مجموع مساحات أجزائه ، فطول القوس ومساحة السطح وحجم الجسم وكتلة الجسم لها نفس الخاصية. لذلك ، يمكن حساب كل هذه الكميات باستخدام تكامل محدد.

هناك طريقتان لحل المشاكل: طريقة المجاميع المتكاملة وطريقة الفروق.

تكرر طريقة المجاميع المتكاملة بناء تكامل محدد: يتم إنشاء قسم ، وتمييز النقاط ، وحساب دالة فيها ، وحساب مجموع متكامل ، ويتم تنفيذ المرور إلى الحد الأقصى. في هذه الطريقة ، تكمن الصعوبة الرئيسية في إثبات أنه في الحد الأقصى سيتم الحصول على ما هو مطلوب بالضبط في المشكلة.

طريقة استخدامات الفروق تكامل غير محددوصيغة نيوتن-ليبنيز. يتم حساب فارق القيمة المراد تحديدها ، وبعد ذلك ، بدمج هذا التفاضل ، يتم الحصول على القيمة المطلوبة باستخدام صيغة Newton-Leibniz. في هذه الطريقة ، تكمن الصعوبة الرئيسية في إثبات أن التفاضل في القيمة المرغوبة هو الذي يتم حسابه ، وليس شيئًا آخر.

حساب مساحات الأشكال المستوية.

1. يقتصر الشكل على الرسم البياني للدالة الواردة في نظام الإحداثيات الديكارتية.

لقد توصلنا إلى مفهوم التكامل المحدد من مشكلة مساحة شبه منحرف منحني الخطوط (في الواقع ، باستخدام طريقة المبالغ المتكاملة). إذا كانت الوظيفة تأخذ قيمًا غير سالبة فقط ، فيمكن حساب المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني للوظيفة في المقطع باستخدام التكامل المحدد. لاحظ أن حتى هنا يمكنك أن ترى طريقة الفروق.

لكن يمكن للدالة أيضًا أن تأخذ قيمًا سالبة على جزء معين ، ثم التكامل على هذا المقطع سيعطي مساحة سالبة ، وهو ما يتعارض مع تعريف المنطقة.

يمكنك حساب المنطقة باستخدام الصيغةس=. هذا يعادل تغيير إشارة الوظيفة في تلك المناطق التي تأخذ فيها قيمًا سالبة.

إذا كنت بحاجة إلى حساب مساحة الشكل المحدد من أعلى بواسطة الرسم البياني للوظيفة ، ومن الأسفل بالرسم البياني للوظيفة ، إذن يمكنك استخدام الصيغةس= ، لان .

مثال. احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط مستقيمة x = 0 و x = 2 والرسوم البيانية للدوال y = x 2 و y = x 3.

لاحظ أن المتباينة x 2> x 3 في الفترة (0،1) صحيحة ، وبالنسبة إلى x> 1 فإن المتباينة x 3> x 2 تصمد. لهذا

2. الشكل محدود بالرسم البياني للدالة الواردة في نظام الإحداثيات القطبية.

دع الرسم البياني للدالة يتم تقديمه في نظام الإحداثيات القطبية ونريد حساب مساحة القطاع المنحني الذي يحده شعاعين والرسم البياني للوظيفة في نظام الإحداثيات القطبية.

هنا يمكنك استخدام طريقة المجاميع المتكاملة ، وحساب مساحة قطاع منحني مثل حد مجموع مناطق القطاعات الأولية التي يتم فيها استبدال الرسم البياني للدالة بقوس دائرة .

يمكنك أيضًا استخدام الطريقة التفاضلية: .

يمكنك التفكير مثل هذا. استبدال القطاع المنحني الأولي المقابل للزاوية المركزية بقطاع دائري ، لدينا النسبة. من هنا . دمج صيغة نيوتن-لايبنيز واستخدامها ، نحصل عليها .

مثال. احسب مساحة الدائرة (راجع الصيغة). نحن نؤمن . مساحة الدائرة هي .

مثال. احسب المنطقة التي يحدها القلب .

3 الشكل مقيد بالرسم البياني لوظيفة محددة بارامترات.

يمكن تحديد الوظيفة بشكل حدودي في النموذج. نستخدم الصيغة س= ، مع استبداله بحدود التكامل فيما يتعلق بالمتغير الجديد. . عادة ، عند حساب التكامل ، يتم تمييز تلك المناطق حيث يكون للتكامل علامة معينة وتؤخذ المنطقة المقابلة بعلامة أو أخرى في الاعتبار.

مثال. احسب المساحة المحاطة بالقطع الناقص.

باستخدام تناظر القطع الناقص ، نحسب مساحة ربع القطع الناقص الواقع في الربع الأول. في هذا الربع. لهذا .

حساب حجوم الجثث.

1. حساب حجوم الأجسام من مناطق الأقسام المتوازية.

دعنا نطلب حساب حجم بعض الجسم V من المناطق المعروفة لأقسام هذا الجسم بواسطة مستويات متعامدة على الخط OX ، مرسومة عبر أي نقطة x من القطعة المستقيمة OX.

نطبق طريقة الفروق. بالنظر إلى الحجم الأولي ، فوق المقطع كحجم أسطوانة دائرية قائمة بمساحة قاعدتها وارتفاعها ، نحصل على . دمج وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز ، نحصل عليه

2. حساب حجوم أجساد الثورة.

فليكن مطلوبًا للحساب ثور.

ثم .

على نفس المنوال، حجم جسم ثورة حول محورس، إذا تم تقديم الوظيفة في النموذج ، فيمكن حسابها باستخدام الصيغة.

إذا أعطيت الوظيفة في الشكل وكان من الضروري تحديد حجم جسم الدوران حول المحورس، ثم يمكن الحصول على صيغة حساب الحجم على النحو التالي.

بالمرور إلى التفاضل وإهمال الحدود التربيعية ، لدينا . دمج وتطبيق معادلة نيوتن-لايبنيز ، لدينا.

مثال. احسب حجم الكرة.

مثال. احسب حجم مخروط دائري قائم يحده سطح ومستوى.

دعونا نحسب الحجم على أنه حجم جسم ثورة يتكون من الدوران حول محور OZ لمثلث قائم الزاوية في مستوى OXZ ، وتقع أرجله على محور OZ والخط z \ u003d H ، و الوتر يقع على الخط.

بالتعبير عن x بدلالة z ، نحصل على .

حساب طول القوس.

من أجل الحصول على صيغ لحساب طول القوس ، دعونا نتذكر الصيغ الخاصة بفارق طول القوس المشتق في الفصل الدراسي الأول.

إذا كان القوس هو رسم بياني لوظيفة قابلة للتفاضل بشكل مستمر، يمكن حساب فارق طول القوس بالصيغة

. لهذا

إذا تم تحديد قوس ناعم حدوديًا، ومن بعد

. لهذا .

إذا كان القوس في الإحداثيات القطبية، ومن بعد

. لهذا .

مثال. احسب طول قوس الرسم البياني للدالة. .

كما هو الحال مع مشكلة العثور على المنطقة ، فأنت بحاجة إلى مهارات رسم واثقة - وهذا هو الشيء الأكثر أهمية تقريبًا (لأن التكاملات نفسها غالبًا ما تكون سهلة). يمكنك إتقان تقنية الرسوم البيانية المختصة والسريعة باستخدام وسائل التعليموتحولات الرسم البياني الهندسي. لكن في الواقع ، لقد تحدثت مرارًا وتكرارًا عن أهمية الرسوم في الدرس.

بشكل عام ، هناك الكثير من التطبيقات المثيرة للاهتمام في حساب التفاضل والتكامل ؛ باستخدام تكامل محدد ، يمكنك حساب مساحة الشكل ، وحجم جسم الدوران ، وطول القوس ، ومساحة سطح الدوران ، وأكثر بكثير. لذلك سيكون الأمر ممتعًا ، من فضلك كن متفائلاً!

تخيل بعض الشكل المسطح على مستوى الإحداثيات. ممثلة؟ ... أتساءل من قدم ماذا ... =))) لقد وجدنا بالفعل منطقته. ولكن ، بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أيضًا تدوير هذا الرقم وتدويره بطريقتين:

- حول المحور السيني ؛
- حول المحور ص.

في هذه المقالة ، سيتم مناقشة كلتا الحالتين. الطريقة الثانية للدوران مثيرة للاهتمام بشكل خاص ، فهي تسبب أكبر الصعوبات ، ولكن في الحقيقة الحل هو نفسه تقريبًا كما هو الحال في الدوران الأكثر شيوعًا حول المحور السيني. على سبيل المكافأة ، سأعود إلى مشكلة إيجاد مساحة الشكل، ويخبرك بكيفية العثور على المنطقة بالطريقة الثانية - على طول المحور. لا توجد حتى مكافأة كبيرة لأن المادة تتناسب جيدًا مع الموضوع.

لنبدأ بالنوع الأكثر شيوعًا من التدوير.

شكل مسطح حول محور

مثال 1

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير الشكل المحاط بخطوط حول المحور.

المحلول: كما في مشكلة المنطقة ، يبدأ الحل برسم شكل مسطح. أي أنه من الضروري على المستوى بناء شكل محاط بخطوط ، مع عدم إغفال أن المعادلة تحدد المحور. يمكن العثور على كيفية جعل الرسم أكثر عقلانية وأسرع على الصفحات الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائيةو واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل. هذا تذكير صيني ، وهكذا هذه اللحظةلم أعد أتوقف.

الرسم هنا بسيط جدًا:

الشكل المسطح المطلوب مظلل باللون الأزرق ، وهو الذي يدور حول المحور. ونتيجة للدوران ، يتم الحصول على صحن طائر على شكل بيضة قليلاً ، وهو متماثل حول المحور. في الواقع ، يمتلك الجسم اسمًا رياضيًا ، لكن من الكسول جدًا تحديد شيء ما في الكتاب المرجعي ، لذلك ننتقل.

كيف تحسب حجم جسم الثورة؟

يمكن حساب حجم جسم الثورة بالصيغة:

في الصيغة ، يجب أن يكون هناك رقم قبل التكامل. لقد حدث ذلك تمامًا - كل شيء يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.

كيفية تعيين حدود التكامل "أ" و "أكون" ، كما أعتقد ، من السهل تخمينها من الرسم المكتمل.

الوظيفة ... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. يحد الشكل المسطح من الرسم البياني للقطع المكافئ من أعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.

في المهام العملية ، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - التكامل في الصيغة تربيع: ، هكذا التكامل هو دائما غير سالب، وهو أمر منطقي تمامًا.

احسب حجم جسم الثورة باستخدام هذه الصيغة:

كما أشرت بالفعل ، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا ، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.

إجابه:

في الإجابة ، من الضروري الإشارة إلى البعد - الوحدات المكعبة. أي أنه يوجد في جسدنا الذي يدور حوله ما يقرب من 3.35 "مكعبات". لماذا بالضبط مكعب الوحدات؟ لأن الصيغة الأكثر عالمية. قد يكون هناك سنتيمترات مكعبة ، وقد يكون هناك أمتار مكعبة ، وقد يكون هناك كيلومترات مكعبة ، وما إلى ذلك ، هذا هو عدد الرجال الأخضر الصغير الذي يمكن لمخيلتك أن تتناسب معه في طبق طائر.

مثال 2

أوجد حجم الجسم الذي شكله الدوران حول محور الشكل الذي تحده الخطوط ،

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

لنأخذ في الاعتبار مشكلتين أكثر تعقيدًا ، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

مثال 3

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتناوب حول محور الإحداثي للشكل الذي تحده الخطوط ، و

المحلول: لنرسم في الرسم شكلًا مسطحًا محاطًا بخطوط ، ، ، مع عدم نسيان أن المعادلة تحدد المحور:

الرقم المطلوب مظلل باللون الأزرق. عندما يدور حول المحور ، يتم الحصول على مثل هذه الكعكة السريالية ذات الزوايا الأربع.

يتم حساب حجم جسم الثورة كـ اختلاف حجم الجسم.

أولًا ، لنلق نظرة على الشكل المحاط بدائرة حمراء. عندما يدور حول المحور ، يتم الحصول على مخروط مقطوع. دعنا نشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع على أنه.

ضع في اعتبارك الشكل المحيط بدائرة باللون الأخضر. إذا قمت بتدوير هذا الشكل حول المحور ، فستحصل أيضًا على مخروط مقطوع ، أصغر قليلاً فقط. دعنا نشير إلى حجمها.

ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات" الخاصة بنا.

نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم جسم الثورة:

1) الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

2) الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

3) حجم الجسم المطلوب للثورة:

إجابه:

من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام صيغة المدرسة لحساب حجم المخروط المقطوع.

غالبًا ما يكون القرار نفسه أقصر ، شيء من هذا القبيل:

الآن دعنا نأخذ استراحة ونتحدث عن الأوهام الهندسية.

غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات ، والتي لاحظها بيرلمان (آخر) في الكتاب هندسة مثيرة للاهتمام. انظر إلى الشكل المسطح في المشكلة التي تم حلها - يبدو أنه صغير في المساحة ، وحجم جسم الثورة يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة ، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. بالمناسبة ، يشرب الشخص العادي طوال حياته سائلًا بحجم غرفة تبلغ 18 مترًا مربعًا ، والذي يبدو ، على العكس من ذلك ، صغيرًا جدًا.

بشكل عام ، كان نظام التعليم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية هو الأفضل حقًا. نفس الكتاب من تأليف Perelman ، الذي نُشر في عام 1950 ، تطور جيدًا ، كما قال الفكاهي ، في التفكير ويعلمك أن تبحث عن حلول أصلية غير قياسية للمشكلات. في الآونة الأخيرة منذ ذلك الحين اهتمام كبيرأعدت قراءة بعض الفصول ، أوصي به ، فهو متاح حتى للعاملين في المجال الإنساني. لا ، ليس عليك أن تبتسم لأنني اقترحت أن تكون التسلية المناسبة ، وسعة الاطلاع ، ونظرة واسعة في التواصل أمرًا رائعًا.

بعد الاستطراد الغنائي ، من المناسب حل مهمة إبداعية:

مثال 4

احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور الشكل المسطح الذي تحده الخطوط ، وأين.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". لاحظ أن كل الأشياء تحدث في النطاق ، بمعنى آخر ، حدود التكامل الجاهزة معطاة بالفعل. ارسم الرسوم البيانية للوظائف المثلثية بشكل صحيح ، وسوف أذكرك بمادة الدرس عنها التحولات الهندسية للرسوم البيانية: إذا كانت الوسيطة قابلة للقسمة على اثنين: ، فسيتم تمديد الرسوم البيانية على طول المحور مرتين. من المستحسن أن تجد 3-4 نقاط على الأقل وفقًا للجداول المثلثيةلإكمال الرسم بشكل أكثر دقة. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة ، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية.

حساب حجم الجسم بالدوران
شكل مسطح حول محور

ستكون الفقرة الثانية أكثر تشويقًا من الأولى. إن مهمة حساب حجم جسم ثورة حول المحور الصادي هي أيضًا ضيف متكرر إلى حد ما مراقبة العمل. بشكل عابر سيتم النظر فيه مشكلة إيجاد مساحة الشكلالطريقة الثانية - التكامل على طول المحور ، لن يسمح لك ذلك بتحسين مهاراتك فحسب ، بل سيعلمك أيضًا كيفية العثور على الحل الأكثر ربحية. كما أن لها معنى عمليًا! كما تذكرت أستاذتي لطرق تدريس الرياضيات بابتسامة ، شكرها العديد من الخريجين بالكلمات التالية: "موضوعك ساعدنا كثيرًا ، والآن أصبحنا مديرين فعالين وندير موظفينا على النحو الأمثل." أغتنم هذه الفرصة ، كما أعرب عن امتناني الكبير لها ، خاصة وأنني أستخدم المعرفة المكتسبة للغرض المقصود منها =).

أوصي به للجميع لقراءته ، حتى الدمى الكاملة. علاوة على ذلك ، فإن المادة المتضمنة في الفقرة الثانية ستكون ذات فائدة لا تقدر بثمن في حساب التكاملات المزدوجة.

مثال 5

بالنظر إلى الشكل المسطح الذي يحده خطوط ، ،.

1) أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده هذه الخطوط.
2) أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير شكل مسطح تحده هذه الخطوط حول المحور.

انتباه!حتى لو كنت تريد قراءة الفقرة الثانية فقط ، أولاً بالضرورةاقرأ أول واحد!

المحلول: المهمة تتكون من جزئين. لنبدأ بالمربع.

1) لننفذ الرسم:

من السهل أن نرى أن الوظيفة تحدد الفرع العلوي للقطع المكافئ ، وأن الوظيفة تحدد الفرع السفلي من القطع المكافئ. أمامنا قطعة مكافئ تافهة ، "تقع على جانبها".

الشكل المطلوب ، الذي سيتم العثور على مساحته ، مظلل باللون الأزرق.

كيف تجد مساحة الشكل؟ يمكن العثور عليها بالطريقة "المعتادة" ، والتي تم النظر فيها في الدرس. واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل. علاوة على ذلك ، تم العثور على مساحة الشكل كمجموع المناطق:
- في الجزء ;
- في الجزء.

لهذا:

ما الخطأ في الحل المعتاد في هذه الحالة؟ أولاً ، يوجد تكاملان. ثانيًا ، الجذور تحت التكاملات ، والجذور في التكاملات ليست هدية ، علاوة على ذلك ، يمكن للمرء أن يختلط عند استبدال حدود التكامل. في الواقع ، التكاملات ، بالطبع ، ليست مميتة ، ولكن من الناحية العملية ، كل شيء أكثر حزنًا ، لقد اخترت للتو وظائف "أفضل" للمهمة.

هناك حل أكثر عقلانية: يتمثل في الانتقال إلى الوظائف العكسية والتكامل على طول المحور.

كيفية تمرير وظائف معكوسة؟ بشكل تقريبي ، تحتاج إلى التعبير عن "x" من خلال "y". أولاً ، دعنا نتعامل مع القطع المكافئ:

هذا يكفي ، لكن دعنا نتأكد من إمكانية اشتقاق نفس الوظيفة من الفرع السفلي:

باستخدام خط مستقيم ، كل شيء أسهل:

انظر الآن إلى المحور: يرجى إمالة رأسك بشكل دوري إلى 90 درجة اليمنى كما تشرح (هذه ليست مزحة!). الرقم الذي نحتاجه يقع على المقطع ، والذي يشار إليه بالخط المنقط الأحمر. علاوة على ذلك ، يقع الخط المستقيم فوق القطع المكافئ ، مما يعني أنه يجب العثور على مساحة الشكل باستخدام الصيغة المألوفة لك بالفعل: . ما الذي تغير في الصيغة؟ فقط رسالة ، ولا شيء أكثر.

! ملحوظة: يجب وضع حدود التكامل على طول المحور بدقة من أسفل إلى أعلى!

إيجاد المنطقة:

في هذا المقطع ، لذلك:

انتبه إلى كيفية تنفيذ التكامل ، فهذه هي الطريقة الأكثر عقلانية ، وفي الفقرة التالية من المهمة سيكون من الواضح سبب ذلك.

للقراء الذين يشككون في صحة التكامل ، سأجد المشتقات:

يتم الحصول على التكامل الأصلي ، مما يعني أن التكامل يتم بشكل صحيح.

إجابه:

2) احسب حجم الجسم المتكون من دوران هذا الشكل حول المحور.

سأعيد رسم الرسم بتصميم مختلف قليلاً:

لذلك ، فإن الشكل المظلل باللون الأزرق يدور حول المحور. والنتيجة هي "فراشة تحوم" تدور حول محورها.

لإيجاد حجم جسم الثورة ، سنتكامل على طول المحور. أولًا ، علينا الانتقال إلى الدوال العكسية. وقد تم القيام بذلك ووصفه بالتفصيل في الفقرة السابقة.

الآن نميل رأسنا إلى اليمين مرة أخرى وندرس شكلنا. من الواضح أن حجم جسم الثورة يجب أن يُقاس بالفرق بين الأحجام.

نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر حول المحور ، مما ينتج عنه مخروط مقطوع. دعنا نشير إلى هذا الحجم بواسطة.

نقوم بتدوير الشكل ، محاطًا بدائرة باللون الأخضر ، حول المحور ونشير إليه من خلال حجم الجسم الناتج للثورة.

حجم الفراشة لدينا يساوي الفرق في الأحجام.

نستخدم الصيغة لإيجاد حجم جسم الثورة:

كيف تختلف عن صيغة الفقرة السابقة؟ فقط بالحروف.

وإليك ميزة التكامل التي كنت أتحدث عنها منذ فترة ، من الأسهل العثور عليها بدلاً من رفع التكامل إلى القوة الرابعة بشكل مبدئي.

إجابه:

ومع ذلك ، فراشة مريضة.

لاحظ أنه إذا تم تدوير نفس الشكل المسطح حول المحور ، فسيظهر جسم مختلف تمامًا للثورة ، بحجم مختلف ، بشكل طبيعي.

مثال 6

إعطاء شكل مسطح يحده خطوط ومحور.

1) انتقل إلى الدوال العكسية وابحث عن مساحة الشكل المسطح الذي تحده هذه الخطوط من خلال التكامل فوق المتغير.
2) احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير شكل مسطح تحده هذه الخطوط حول المحور.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". أولئك الذين يرغبون يمكنهم أيضًا العثور على مساحة الشكل بالطريقة "المعتادة" ، وبالتالي إكمال اختبار الفقرة 1). لكن إذا قمت بتدوير شكل مسطح حول المحور ، فستحصل على جسم مختلف تمامًا من الدوران بحجم مختلف ، بالمناسبة ، الإجابة الصحيحة (أيضًا لأولئك الذين يحبون الحل).

الحل الكامل للعنصرين المقترحين للمهمة في نهاية الدرس.

أوه ، ولا تنسى إمالة رأسك إلى اليمين لفهم أجسام الدوران وضمن التكامل!