تكامل عكسي وغير محدد - هايبر ماركت المعرفة. دالة عكسية ومتكاملة غير محددة دالة عكسية غير محددة وخصائص

دور F(x ) مسمى بدائي للوظيفة F(x) في فترة زمنية معينة ، إذا كانت متاحة للجميع x من هذا الفاصل المساواة

F"(x ) = F(x ) .

على سبيل المثال ، الوظيفة و (س) = س 2 F(x ) = 2X ، لأن

F "(x) \ u003d (x 2 )" = 2س = و (س). ◄

الخاصية الرئيسية للمشتق العكسي

إذا و (س) هي المشتق العكسي للوظيفة و (خ) في فترة زمنية معينة ، ثم الوظيفة و (خ) يحتوي على عدد لا نهائي من المشتقات العكسية ، ويمكن كتابة كل هذه المشتقات العكسية كـ و (خ) + ج، أين من ثابت اعتباطي.

قواعد حساب المشتقات العكسية

1. إذا و (س) - الأصل لـ و (خ) ، لكن ز (س) - الأصل لـ ز (س) ، ومن بعد F (x) + G (x) - الأصل لـ و (س) + ز (خ) . بعبارات أخرى، المشتق العكسي للمبلغ يساوي مجموع المشتقات العكسية .
2. إذا و (س) - الأصل لـ و (خ) ، و ك ثابت إذن ك · و (س) - الأصل لـ ك · و (خ) . بعبارات أخرى، يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق .
3. إذا و (س) - الأصل لـ و (خ) ، و ك,ب- دائم و ك ≠ 0 ، ومن بعد 1 / ك F(ك x +ب ) - الأصل لـ F(ك x + ب) .

تكامل غير محدد

لا لا يتجزأ من الوظيفة و (خ) يسمى التعبير و (خ) + ج، أي مجموعة جميع المشتقات العكسية للدالة المحددة و (خ) . يتم الإشارة إلى التكامل غير المحدد على النحو التالي:

∫ و (س) دس = و (س) + ج ,

و (خ)- مسمى Integrand ;

و (س) دكس- مسمى Integrand ;

x - مسمى متغير التكامل ;

و (س) هو أحد المشتقات العكسية للوظيفة و (خ) ;

من ثابت اعتباطي.

علي سبيل المثال، ∫ 2 x dx =X 2 + من , ∫ كوسx dx =الخطيئة X + من إلخ. ◄

تأتي كلمة "متكامل" من الكلمة اللاتينية عدد صحيح ، وهو ما يعني "المستعادة". النظر في تكامل غير محدد من 2 x، نوعا ما نقوم باستعادة الوظيفة X 2 ، مشتقها 2 x. استعادة دالة من مشتقها ، أو ما هو نفسه ، إيجاد تكامل غير محدد على تكامل معين ، يسمى دمج هذه الوظيفة. التكامل هو العملية العكسية للتفاضل ، للتحقق من تنفيذ التكامل بشكل صحيح ، يكفي التفريق بين النتيجة والحصول على التكامل.

الخصائص الأساسية للتكامل غير المحدد

1. مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

(∫ و (س) دكس )" = و (س) .

2. يمكن إخراج العامل الثابت للمتكامل من علامة التكامل:

∫ ك · و (س) دكس = ك · ∫ و (س) دكس .

3. تكامل مجموع (فرق) الوظائف يساوي مجموع (فرق) تكاملات هذه الدوال:

∫ ( و (س) ± ز (س ) ) DX = ∫ و (س) دكس ± ∫ ز (x ) DX .

4. إذا ك,ب- دائم و ك ≠ 0 ، ومن بعد

∫ F( ك x + ب) DX = 1 / ك F(ك x +ب ) + ج .

جدول التكاملات العكسية وغير المحددة

واضح لا يتجزأ

دع بين [أ; ب] نظرا لدالة مستمرة ص = و (س) ، ومن بعد لا يتجزأ من أ إلى ب المهام و (خ) يسمى زيادة البدائية و (س) هذه الوظيفة ، وهذا هو

$$ \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = F (x) | (_a ^ b) = ~~ F (a) -F (b). $$

أعداد أو بتسمى على التوالي أدنى و أعلى حدود التكامل.

القواعد الأساسية لحساب التكامل المحدد

1. \ (\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx = 0 \) ؛

2. \ (\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = - \ int_ (b) ^ (a) f (x) dx \) ؛

3. \ (\ int_ (a) ^ (b) kf (x) dx = k \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx، \) حيث ك - مستمر؛

4. \ (\ int_ (a) ^ (b) (f (x) ± g (x)) dx = \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx ± \ int_ (a) ^ (b) ز (خ) دكس \) ؛

5. \ (\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = \ int_ (a) ^ (c) f (x) dx + \ int_ (c) ^ (b) f (x) dx \) ؛

6. \ (\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx = 2 \ int_ (0) ^ (a) f (x) dx \) ، حيث و (خ) هي وظيفة زوجية

7. \ (\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx = 0 \) ، أين و (خ) هي وظيفة فردية.

تعليق . في جميع الحالات ، يُفترض أن عمليات التكامل قابلة للتكامل على فترات عددية تمثل حدودها حدود التكامل.

المعنى الهندسي والمادي للتكامل المحدد

المعنى الهندسي لا يتجزأ	المعنى المادي لا يتجزأ
مساحة سشبه منحرف منحني الخطي (شكل يحده رسم بياني موجب مستمر على الفترة [أ; ب] المهام و (خ) المحور ثور ومباشر س = أ , س = ب ) بواسطة الصيغة $$ S = \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx. $$	طريق س، التي تغلبت عليها النقطة المادية ، تتحرك في خط مستقيم بسرعة تتغير وفقًا للقانون ت (ر) ، لفترة زمنية أ ; ب] ، ثم مساحة الشكل المحددة برسوم بيانية لهذه الوظائف والخطوط المستقيمة س = أ , س = ب ، بواسطة الصيغة $$ S = \ int_ (a) ^ (b) (f (x) -g (x)) dx. $$
	علي سبيل المثال. احسب مساحة شكل محدد بخطوط ص = س 2 و ص = 2- س . سنقوم بشكل تخطيطي بتصوير الرسوم البيانية لهذه الوظائف وإبراز الشكل الذي يجب العثور على مساحته بلون مختلف. لإيجاد حدود التكامل ، نحل المعادلة: x 2 = 2- س ; x 2 + س- 2 = 0 ; x 1 = -2، س 2 = 1 . $$ S = \ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) dx = $$
$$ = \ int _ (- 2) ^ (1) (2-xx ^ 2) dx = \ left (2x- \ frac (x ^ 2) (2) - \ frac (x ^ 3) (2) \ right ) بيجم | (_ (- 2) ^ (~ 1)) = 4 \ فارك (1) (2). $$ ◄

حجم جسم الثورة

	إذا تم الحصول على الجسم نتيجة الدوران حول المحور ثور شبه منحني منحني الأضلاع يحده رسم بياني مستمر وغير سالب على الفترة [أ; ب] المهام ص = و (س) ومباشر س = أو س = ب ، ثم يطلق عليه جسد الثورة . يتم حساب حجم جسم الثورة بالصيغة $$ V = \ pi \ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx. $$ إذا تم الحصول على جسم الثورة نتيجة دوران الشكل المحدد أعلاه وأسفل برسوم بيانية للوظيفة ص = و (س) و ص = ز (س) ، على التوالي ، إذن $$ V = \ pi \ int_ (a) ^ (b) (f ^ 2 (x) -g ^ 2 (x)) dx. $$
	علي سبيل المثال. احسب حجم مخروط نصف قطره ص والارتفاع ح . دعونا نضع المخروط في نظام إحداثيات مستطيل بحيث يتطابق محوره مع المحور ثور ، وكان مركز القاعدة يقع في أصل الإحداثيات. دوران المولد ABيحدد مخروط. منذ المعادلة AB $$ \ frac (x) (h) + \ frac (y) (r) = 1 ، $$ $$ y = r- \ frac (rx) (ح) $$
ولحجم المخروط الذي لدينا $$ V = \ pi \ int_ (0) ^ (h) (r- \ frac (rx) (h)) ^ 2dx = \ pi r ^ 2 \ int_ (0) ^ (h) (1- \ frac ( س) (ح)) ^ 2dx = - \ pi r ^ 2h \ cdot \ frac ((1- \ frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_0 ^ h) = - \ pi r ^ 2 س \ يسار (0- \ فارك (1) (3) \ يمين) = \ فارك (\ بي r ^ 2 س) (3). $$ ◄

لقد رأينا أن للمشتق تطبيقات عديدة: المشتق هو سرعة الحركة (أو بشكل عام سرعة أي عملية) ؛ المشتق ميلمماس للرسم البياني للوظيفة ؛ باستخدام المشتق ، يمكنك التحقق من وظيفة الرتابة والقيمة القصوى ؛ المشتق يساعد في حل مشاكل التحسين.

لكن في الحياة الواقعية ، يتعين على المرء أيضًا حل المشكلات العكسية: على سبيل المثال ، جنبًا إلى جنب مع مشكلة إيجاد السرعة من قانون معروف للحركة ، هناك أيضًا مشكلة استعادة قانون الحركة من سرعة معروفة. لنفكر في إحدى هذه المشاكل.

مثال 1تتحرك نقطة مادية على طول خط مستقيم ، وتعطى سرعة حركتها في الوقت t بواسطة الصيغة u = tg. أوجد قانون الحركة.

المحلول.لنفترض أن s = s (t) هي قانون الحركة المطلوب. من المعروف أن s "(t) = u" (t). لذا ، لحل المشكلة ، علينا الاختيار وظيفة s = s (t) ، مشتقها يساوي tg. من السهل تخمين ذلك

نلاحظ على الفور أن المثال تم حله بشكل صحيح ، ولكن بشكل غير كامل. لقد حصلنا على ذلك في الواقع ، للمشكلة عدد لا نهائي من الحلول: أي وظيفة في الشكل الثابت التعسفي ، يمكن أن يكون بمثابة قانون الحركة ، منذ ذلك الحين

لجعل المهمة أكثر تحديدًا ، كان علينا إصلاح الموقف الأولي: الإشارة إلى تنسيق نقطة الحركة في وقت ما ، على سبيل المثال ، عند t = 0. إذا ، على سبيل المثال ، s (0) \ u003d s 0 ، ثم من المساواة نحصل على s (0) \ u003d 0 + C ، أي S 0 \ u003d C. الآن تم تعريف قانون الحركة بشكل فريد:
في الرياضيات ، يتم إعطاء العمليات العكسية المتبادلة أسماء مختلفة ، ويتم اختراع رموز خاصة: على سبيل المثال ، التربيع (x 2) واستخراج الجذر التربيعي للجيب (sinx) و قوس(arcsin x) ، إلخ. تسمى عملية إيجاد المشتق فيما يتعلق بوظيفة معينة التفاضل ، والعملية العكسية ، أي عملية إيجاد دالة بمشتق معين - بالتكامل.
المصطلح "مشتق" نفسه يمكن تبريره "بطريقة دنيوية": الوظيفة y - f (x) "تنتج" وظيفة جديدة y "= f" (x) تعمل الوظيفة y \ u003d f (x) كما لو بصفته "أحد الوالدين" ، لكن علماء الرياضيات ، بالطبع ، لا يسمونه "الأصل" أو "المنتج" ، بل يقولون إنه بالنسبة للوظيفة y "= f" (x) ، الصورة الأساسية ، أو ، باختصار ، المشتق العكسي.

التعريف 1.تسمى الوظيفة y \ u003d F (x) المشتق العكسي للوظيفة y \ u003d f (x) على فاصل زمني معين X ، إذا كانت المساواة F "(x) \ u003d f (x) صحيحة .

من الناحية العملية ، لا يتم تحديد الفاصل الزمني X عادةً ، ولكنه ضمني (باعتباره المجال الطبيعي للوظيفة).

وهنا بعض الأمثلة:

1) الوظيفة y \ u003d x 2 هي مشتق عكسي للدالة y \ u003d 2x ، لأن المساواة (x 2) "\ u003d 2x صحيحة بالنسبة للجميع.
2) الوظيفة y - x 3 هي المشتق العكسي للدالة y-3x 2 ، لأن المساواة (x 3) "\ u003d 3x 2 صحيحة بالنسبة للجميع.
3) الدالة y-sinx هي مشتق عكسي للدالة y = cosx ، لأن كل x المساواة (sinx) "= cosx صحيحة.
4) الوظيفة مشتقة عكسية للدالة في الفترة الزمنية لأن المساواة صحيحة بالنسبة لجميع x> 0
بشكل عام ، عند معرفة الصيغ لإيجاد المشتقات ، ليس من الصعب تجميع جدول الصيغ لإيجاد المشتقات العكسية.

نأمل أن تفهم كيف يتم تجميع هذا الجدول: مشتق الوظيفة المكتوبة في العمود الثاني يساوي الوظيفة المكتوبة في السطر المقابل للعمود الأول (تحقق من ذلك ، لا تكن كسولًا ، إنها مفيد جدا). على سبيل المثال ، بالنسبة للدالة y \ u003d x 5 ، فإن المشتق العكسي ، كما تحدده ، هو الوظيفة (انظر الصف الرابع من الجدول).

ملاحظات: 1. أدناه نثبت النظرية القائلة بأنه إذا كانت y = F (x) مشتقة عكسية للدالة y = f (x) ، فإن الدالة y = f (x) بها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية وجميعها لها الصيغة y = F (x) + C. لذلك ، سيكون من الأصح إضافة المصطلح C في كل مكان في العمود الثاني من الجدول ، حيث C هو رقم حقيقي تعسفي.
2. من أجل الإيجاز ، في بعض الأحيان بدلاً من العبارة "الدالة y = F (x) هي المشتق العكسي للدالة y = f (x)" ، يقولون إن F (x) هي المشتق العكسي لـ f (x) ".

2. قواعد إيجاد المشتقات العكسية

عند البحث عن المشتقات العكسية ، وكذلك عند البحث عن المشتقات ، لا يتم استخدام الصيغ فقط (تم سردها في الجدول في الصفحة 196) ، ولكن أيضًا بعض القواعد. ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالقواعد المقابلة لحساب المشتقات.

نعلم أن مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات. تولد هذه القاعدة قاعدة مقابلة لإيجاد المشتقات العكسية.

قاعدة 1المشتق العكسي لمجموع ما يساوي مجموع المشتقات العكسية.

نلفت انتباهكم إلى بعض "الخفة" في هذه الصياغة. في الواقع ، سيكون من الضروري صياغة نظرية: إذا كانت الدالتان y = f (x) و y = g (x) لها مشتقات عكسية في الفترة X ، على التوالي ، yF (x) و yG (x) ، فإن المجموع من الدوال y = f (x) + g (x) لها مشتق عكسي على الفترة X ، وهذه المشتق العكسي هي الوظيفة y = F (x) + G (x). لكن عادة ، عند صياغة القواعد (وليس النظريات) ، يترك المرء فقط الكلمات الدالة- لذلك يكون تطبيق القاعدة عمليًا أكثر ملاءمة

مثال 2أوجد المشتق العكسي للدالة y = 2x + cos x.

المحلول.المشتق العكسي لـ 2x هو x "؛ المشتق العكسي لـ cosx هو sin x. ومن ثم ، فإن المشتق العكسي للدالة y \ u003d 2x + cos x سيكون الوظيفة y \ u003d x 2 + sin x (وبشكل عام أي دالة لـ شكل Y \ u003d x 1 + sinx + C).
نعلم أنه يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق. تولد هذه القاعدة قاعدة مقابلة لإيجاد المشتقات العكسية.

القاعدة 2يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق العكسي.

مثال 3

المحلول.أ) المشتق العكسي للخطيئة x هو -cos x ؛ ومن ثم ، بالنسبة للدالة y \ u003d 5 sin x ، فإن المشتق العكسي سيكون الوظيفة y \ u003d -5 cos x.

ب) المشتق العكسي لـ cos x هو sin x ؛ ومن ثم ، بالنسبة للدالة العكسية ، ستكون هناك وظيفة
ج) المشتق العكسي لـ x 3 هو المشتق العكسي لـ x هو المشتق العكسي للوظيفة y \ u003d 1 هي الوظيفة y \ u003d x. باستخدام القاعدتين الأولى والثانية لإيجاد المشتقات العكسية ، نحصل على أن المشتق العكسي للدالة y \ u003d 12x 3 + 8x-1 هو الوظيفة
تعليق.كما تعلم ، مشتق المنتج لا يساوي حاصل ضرب المشتقات (قاعدة اشتقاق المنتج أكثر تعقيدًا) ومشتق حاصل القسمة لا يساوي حاصل قسمة المشتقات. لذلك ، لا توجد قواعد لإيجاد المشتقة العكسية للمنتج أو المشتقة العكسية لحاصل قسمة وظيفتين. كن حذرا!
نحصل على قاعدة أخرى لإيجاد المشتقات العكسية. نعلم أن مشتق الدالة y \ u003d f (kx + m) يحسب بالصيغة

تولد هذه القاعدة قاعدة مقابلة لإيجاد المشتقات العكسية.
المادة 3إذا كانت y \ u003d F (x) هي المشتق العكسي للوظيفة y \ u003d f (x) ، فإن المشتق العكسي للوظيفة y \ u003d f (kx + m) هو الوظيفة

في الواقع،

هذا يعني أنه مشتق عكسي للدالة y \ u003d f (kx + m).
معنى القاعدة الثالثة على النحو التالي. إذا كنت تعلم أن المشتق العكسي للوظيفة y \ u003d f (x) هو الوظيفة y \ u003d F (x) ، وتحتاج إلى إيجاد المشتق العكسي للوظيفة y \ u003d f (kx + m) ، ثم تابع كما يلي: خذ نفس الدالة F ، ولكن بدلاً من المتغير x ، استبدل التعبير xx + m ؛ بالإضافة إلى ذلك ، لا تنس كتابة "عامل التصحيح" قبل علامة الوظيفة
مثال 4ابحث عن المشتقات العكسية لوظائف معينة:

المحلول، أ) المشتق العكسي للخطيئة x هو -cos x ؛ هذا يعني أنه بالنسبة للدالة y \ u003d sin2x ، ستكون المشتق العكسي هي الوظيفة
ب) المشتق العكسي لـ cos x هو sin x ؛ ومن ثم ، بالنسبة للدالة العكسية ، ستكون هناك وظيفة

ج) المشتق العكسي لـ x 7 هو لذلك ، بالنسبة للوظيفة y \ u003d (4-5x) 7 ، ستكون المشتق العكسي هي الوظيفة

3. تكامل غير محدد

لقد لاحظنا أعلاه بالفعل أن مشكلة إيجاد المشتق العكسي لدالة معينة y = f (x) لها أكثر من حل. دعونا نناقش هذه المسألة بمزيد من التفصيل.

دليل. 1. اجعل y \ u003d F (x) المشتق العكسي للوظيفة y \ u003d f (x) على الفاصل الزمني X. هذا يعني أنه بالنسبة لجميع x من X ، تكون المساواة x "(x) \ u003d f (x) هي صحيح. أوجد مشتق أي دالة بالصيغة y \ u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \ u003d F "(x) + C \ u003d f (x) + 0 \ u003d f (x).

إذن ، (F (x) + C) = f (x). هذا يعني أن y \ u003d F (x) + C هو مشتق عكسي للوظيفة y \ u003d f (x).
وبالتالي ، فقد أثبتنا أنه إذا كانت الوظيفة y \ u003d f (x) لها مشتق عكسي y \ u003d F (x) ، فإن الوظيفة (f \ u003d f (x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية ، على سبيل المثال ، أي وظيفة من شكل y \ u003d F (x) + C مشتق عكسي.
2. دعنا الآن نثبت أن المجموعة الكاملة من المشتقات العكسية قد استنفدت بنوع الدوال المشار إليها.

لنفترض أن y = F 1 (x) و y = F (x) هما مشتقتان عكسيتان للدالة Y = f (x) في الفترة X. وهذا يعني أنه بالنسبة لجميع x من الفترة X ، فإن العلاقات التالية تحمل: F ^ ( س) = و (س) ؛ F "(x) \ u003d f (x).

ضع في اعتبارك الوظيفة y \ u003d F 1 (x) -.F (x) وابحث عن مشتقها: (F، (x) -F (x)) "\ u003d F [(x) - F (x) \ u003d f (س) - و (س) = 0.
من المعروف أنه إذا كان مشتق دالة في الفترة X يساوي صفرًا ، فإن الوظيفة تكون ثابتة في الفترة X (انظر النظرية 3 في الفقرة 35). ومن ثم ، F 1 (x) -F (x) \ u003d C ، أي Fx) \ u003d F (x) + C.

لقد تم إثبات النظرية.

مثال 5تم تعيين قانون تغيير السرعة من الوقت v = -5sin2t. أوجد قانون الحركة s = s (t) إذا كان معروفًا أنه في الوقت t = 0 ، كان إحداثيات النقطة مساويًا للعدد 1.5 (أي s (t) = 1.5).

المحلول.نظرًا لأن السرعة هي مشتق الإحداثي كدالة للوقت ، فنحن بحاجة أولاً إلى إيجاد المشتق العكسي للسرعة ، أي المشتق العكسي للدالة v = -5sin2t. إحدى هذه المشتقات العكسية هي الوظيفة ، ومجموعة المشتقات العكسية لها الشكل:

لإيجاد قيمة محددة للثابت C ، نستخدم الشروط الأولية ، والتي وفقًا لها ، s (0) = 1.5. بالتعويض في الصيغة (1) القيم t = 0 ، S = 1.5 ، نحصل على:

باستبدال القيمة الموجودة C في الصيغة (1) ، نحصل على قانون الحركة الذي يهمنا:

التعريف 2.إذا كانت الدالة y = f (x) لها مشتق عكسي y = F (x) على الفترة X ، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية ، أي تسمى مجموعة وظائف النموذج y \ u003d F (x) + C ، التكامل غير المحدود للوظيفة y \ u003d f (x) والمشار إليها:

(يقرأون: "التكامل غير المحدد لـ x de x").
في القسم التالي ، سنكتشف المعنى الخفي لهذا الترميز.
استنادًا إلى جدول المشتقات العكسية المتوفرة في هذه الفقرة ، سنقوم بتجميع جدول التكاملات الأساسية غير المحددة:

بناءً على القواعد الثلاث السابقة لإيجاد المشتقات العكسية ، يمكننا صياغة قواعد التكامل المقابلة.

قاعدة 1تكامل مجموع الوظائف يساوي مجموع تكاملات هذه الدوال:

القاعدة 2يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:

المادة 3إذا

مثال 6البحث عن التكاملات غير المحددة:

المحلول، أ) باستخدام قواعد التكامل الأولى والثانية ، نحصل على:

نستخدم الآن صيغتي التكامل الثالث والرابع:

نتيجة لذلك ، نحصل على:

ب) باستخدام قاعدة التكامل الثالثة والصيغة 8 ، نحصل على:

ج) من أجل التحديد المباشر للتكامل المحدد ، ليس لدينا الصيغة المقابلة ولا القاعدة المقابلة. في مثل هذه الحالات ، تساعد أحيانًا التحولات الأولية المتطابقة للتعبير الموجود تحت علامة التكامل.

دعنا نستخدم الصيغة المثلثية لتقليل الدرجة:

ثم نجد على التوالي:

اي جي. Mordkovich الجبر الصف 10

التقويم المواضيعي التخطيط في الرياضيات ، فيديوفي الرياضيات عبر الإنترنت ، الرياضيات في المدرسة

تعريف الوظيفة العكسية

• دور ص = و (س)يسمى المشتق العكسي للوظيفة ص = و (س)في فترة زمنية معينة X ،إذا كان للجميع X ∈Xتحمل المساواة: و ′ (س) = و (س)

يمكن قراءتها بطريقتين:

1. F مشتق الوظيفة F
2. F عكسي للوظيفة F

خاصية المشتقات العكسية

• إذا و (س)- مشتق عكسي للوظيفة و (خ)في فترة زمنية معينة ، فإن الوظيفة f (x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية ، ويمكن كتابة كل هذه المشتقات العكسية و (خ) + ج، حيث C ثابت اعتباطي.

تفسير هندسي

• الرسوم البيانية لجميع المشتقات العكسية لدالة معينة و (خ)يتم الحصول عليها من الرسم البياني لأي مشتق عكسي عن طريق عمليات النقل المتوازية على طول المحور O في.

قواعد حساب المشتقات العكسية

1. المشتق العكسي للمبلغ يساوي مجموع المشتقات العكسية. إذا و (س)- بدائي ل و (خ)، و G (x) المشتق العكسي لـ ز (س)، ومن بعد F (x) + G (x)- بدائي ل و (س) + ز (خ).
2. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق. إذا و (س)- بدائي ل و (خ)، و كثابت إذن kF (x)- بدائي ل kf (x).
3. إذا و (س)- بدائي ل و (خ)، و ك ، ب- دائم و ك ≠ 0، ومن بعد 1 / ك ف (ك س + ب)- بدائي ل و (ككس + ب).

تذكر!

أي وظيفة F (x) \ u003d x 2 + C. ، حيث C ثابت تعسفي ، وهذه الوظيفة فقط هي المشتق العكسي للدالة و (س) = 2 س.

• علي سبيل المثال:

  F "(x) \ u003d (x 2 + 1)" \ u003d 2x \ u003d f (x) ؛

  و (س) = 2 س ،لأن F "(x) \ u003d (x 2-1)" \ u003d 2x \ u003d f (x) ؛

  و (س) = 2 س ،لأن F "(x) \ u003d (x 2 -3)" \ u003d 2x \ u003d f (x) ؛

العلاقة بين الرسوم البيانية للدالة ومشتقاتها العكسية:

1. إذا كان الرسم البياني للدالة f (x)> 0في الفترة ، ثم الرسم البياني لمشتقاتها العكسية و (س)يزيد خلال هذه الفترة.
2. إذا كان الرسم البياني للدالة f (x) على الفترة ، ثم الرسم البياني لمشتقاتها العكسية و (س)ينخفض ​​خلال هذه الفترة.
3. إذا و (س) = 0، ثم الرسم البياني لمشتقاتها العكسية و (س)في هذه المرحلة يتغير من زيادة إلى تناقص (أو العكس).

للدلالة على المشتق العكسي ، يتم استخدام علامة التكامل غير المحدد ، أي التكامل دون الإشارة إلى حدود التكامل.

تكامل غير محدد

تعريف:

• التكامل غير المحدد للدالة f (x) هو التعبير F (x) + C ، أي مجموعة جميع المشتقات العكسية للدالة المعينة f (x). يتم الإشارة إلى التكامل غير المحدد على النحو التالي: \ int f (x) dx = F (x) + C

• و (خ)يسمى التكامل ؛
• و (س) دكس- يسمى Integand ؛
• x- يسمى متغير التكامل ؛
• و (س)- أحد المشتقات العكسية للدالة f (x) ؛
• منثابت اعتباطي.

خصائص التكامل غير المحدد

1. مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل: (\ int f (x) dx) \ prime = f (x).
2. يمكن إخراج العامل الثابت للمتكامل من علامة التكامل: \ int k \ cdot f (x) dx = k \ cdot \ int f (x) dx.
3. تكامل مجموع (فرق) الوظائف يساوي مجموع (فرق) تكاملات هذه الدوال: \ int (f (x) \ pm g (x)) dx = \ int f (x) dx \ pm \ int g (x) dx.
4. إذا ك ، بثوابت ، و k ≠ 0 إذن \ int f (kx + b) dx = \ frac (1) (k) \ cdot F (kx + b) + C.

جدول المشتقات العكسية والتكاملات غير المحددة

صيغة نيوتن ليبنيز

اسمحوا ان و (خ)هذه الوظيفة ، Fإنها بدائية تعسفية.

\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx = F (x) | _ (a) ^ (b)= F (ب) - F (أ)

أين و (س)- بدائي ل و (خ)

هذا هو ، تكامل الوظيفة و (خ)في الفترة الزمنية يساوي فرق المشتقات العكسية عند النقاط بو أ.

منطقة شبه منحرف منحني الأضلاع

منحني الشكل شبه منحرف يسمى الشكل المحدود برسم بياني لوظيفة غير سالبة ومستمرة على قطعة Fومحور الثور والخطوط المستقيمة س = أو س = ب.

تم العثور على منطقة شبه منحرف منحني الخطوط باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

S = \ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

دالة عكسية وتكامل غير محدد

الحقيقة 1. التكامل هو العمل المعاكس للاشتقاق ، أي استعادة دالة من المشتق المعروف لهذه الوظيفة. تمت استعادة الوظيفة بهذه الطريقة F(x) يسمى بدائيللوظيفة F(x).

التعريف 1. الوظيفة F(x F(x) في بعض الفترات X، إذا كان لجميع القيم xمن هذا الفاصل المساواة F "(x)=F(x) ، هذه هي الوظيفة F(x) هو مشتق من الدالة العكسية F(x). .

على سبيل المثال ، الوظيفة F(x) = الخطيئة x هي المشتق العكسي للوظيفة F(x) = كوس x على خط الأعداد بالكامل ، لأن أي قيمة لـ x (الخطيئة x) "= (cos x) .

التعريف 2. تكامل غير محدد للدالة F(x) هو جمع جميع مشتقاته العكسية. هذا يستخدم الترميز

∫

F(x)DX

أين العلامة ∫ تسمى علامة التكامل ، الوظيفة F(x) هو Integrand و F(x)DX هو Integrand.

وهكذا ، إذا F(x) بعض المشتقات العكسية لـ F(x) ، ومن بعد

∫

F(x)DX = F(x) +ج

أين ج - ثابت اعتباطي (ثابت).

لفهم معنى مجموعة المشتقات العكسية للدالة باعتبارها تكاملًا غير محدد ، يكون القياس التالي مناسبًا. يجب ألا يكون هناك باب (باب خشبي تقليدي). وظيفتها هي "أن تكون باباً". مما هو مصنوع من الباب؟ من الشجرة. هذا يعني أن مجموعة المشتقات العكسية للتكامل و "أن يكون بابًا" ، أي تكاملها غير المحدود ، هي الوظيفة "لتكون شجرة + C" ، حيث C ثابت ، والذي يمكن أن يشير في هذا السياق ، إلى على سبيل المثال ، أنواع الأشجار. كما أن الباب مصنوع من الخشب باستخدام بعض الأدوات ، فإن مشتق الوظيفة "مصنوع" من الوظيفة العكسية باستخدام الصيغة التي تعلمناها من خلال دراسة المشتق .

ثم جدول وظائف الأشياء المشتركة والأوليات المقابلة لها ("أن تكون بابًا" - "أن تكون شجرة" ، "أن تكون ملعقة" - "أن تكون معدنًا" ، إلخ.) يشبه جدول التكاملات الأساسية غير المحددة ، والتي سيتم توفيرها أدناه. يسرد جدول التكاملات غير المحددة الوظائف المشتركة ، مما يشير إلى المشتقات العكسية التي "تتكون" منها هذه الدوال. كجزء من مهام العثور على التكامل غير المحدد ، يتم إعطاء مثل هذه التكاملات التي يمكن دمجها مباشرة دون جهود خاصة ، أي وفقًا لجدول التكاملات غير المحددة. في المسائل الأكثر تعقيدًا ، يجب أولاً تحويل التكامل و بحيث يمكن استخدام التكاملات الجدولية.

الحقيقة 2. استعادة دالة كمشتق عكسي ، يجب أن نأخذ في الاعتبار ثابتًا عشوائيًا (ثابت) ج، ولكي لا تكتب قائمة بالمشتقات العكسية ذات الثوابت المختلفة من 1 إلى اللانهاية ، فأنت بحاجة إلى كتابة مجموعة من المشتقات العكسية باستخدام ثابت تعسفي ج، مثل هذا: 5 x³ + ج. لذلك ، يتم تضمين ثابت تعسفي (ثابت) في التعبير عن المشتق العكسي ، حيث يمكن أن يكون المشتق العكسي دالة ، على سبيل المثال ، 5 x³ + 4 أو 5 x³ + 3 وعند التفريق بين 4 أو 3 أو أي ثابت آخر يتلاشى.

حددنا مشكلة التكامل: لدالة معينة F(x) تجد مثل هذه الوظيفة F(x), مشتقهايساوي F(x).

مثال 1أوجد مجموعة المشتقات العكسية للدالة

المحلول. لهذه الوظيفة ، المشتق العكسي هو الوظيفة

دور F(x) يسمى مشتق عكسي للوظيفة F(x) إذا كان المشتق F(x) يساوي F(x) ، أو ما هو الشيء نفسه ، التفاضل F(x) يساوي F(x) DX، بمعنى آخر.

(2)

لذلك ، فإن الوظيفة مشتقة عكسية للدالة. ومع ذلك ، فهو ليس المشتق الوحيد لـ. هم أيضا وظائف

أين منثابت اعتباطي. يمكن التحقق من ذلك عن طريق التمايز.

وبالتالي ، إذا كان هناك مشتق عكسي واحد لوظيفة ما ، فهناك مجموعة لا نهائية من المشتقات العكسية التي تختلف من خلال جمع ثابت. جميع المشتقات العكسية لوظيفة ما مكتوبة بالصيغة أعلاه. هذا يتبع من النظرية التالية.

نظرية (بيان رسمي للحقيقة 2).إذا F(x) هي المشتق العكسي للوظيفة F(x) في بعض الفترات X، ثم أي مشتق عكسي آخر لـ F(x) في نفس الفترة الزمنية يمكن تمثيلها كـ F(x) + ج، أين منثابت اعتباطي.

في المثال التالي ، ننتقل بالفعل إلى جدول التكاملات ، والذي سيتم توفيره في الفقرة 3 ، بعد خصائص التكامل غير المحدد. نقوم بذلك قبل أن نتعرف على الجدول بأكمله ، حتى يتضح جوهر ما سبق. وبعد الجدول والخصائص ، سنستخدمها بالكامل عند التكامل.

مثال 2ابحث عن مجموعات من المشتقات العكسية:

المحلول. نجد مجموعات من الدوال العكسية التي "تتكون" منها هذه الوظائف. عند ذكر الصيغ من جدول التكاملات ، في الوقت الحالي ، ما عليك سوى قبول وجود مثل هذه الصيغ ، وسوف ندرس جدول التكاملات غير المحددة بالكامل بعد ذلك بقليل.

1) تطبيق الصيغة (7) من جدول التكاملات لـ ن= 3 ، نحصل عليها

2) باستخدام الصيغة (10) من جدول التكاملات لـ ن= 1/3 لدينا

3) منذ

ثم وفقا للصيغة (7) في ن= -1/4 بحث

تحت علامة التكامل ، لا يكتبون الوظيفة نفسها F، وحاصل ضربها بالتفاضل DX. يتم ذلك بشكل أساسي للإشارة إلى المتغير الذي يتم البحث عنه المشتق العكسي. علي سبيل المثال،

, ;

هنا في كلتا الحالتين ، تكاملها تساوي ، لكن تكاملاتها غير المحددة في الحالات المدروسة تكون مختلفة. في الحالة الأولى ، تعتبر هذه الوظيفة كدالة لمتغير x، وفي الثانية - كدالة ض .

تسمى عملية إيجاد التكامل غير المحدد لوظيفة ما بدمج هذه الوظيفة.

المعنى الهندسي للتكامل غير المحدد

فليكن مطلوبًا للعثور على منحنى ص = و (س)ونحن نعلم بالفعل أن مماس منحدر المماس عند كل نقطة من نقاطه دالة معينة و (خ)حدود هذه النقطة.

وفقًا للمعنى الهندسي للمشتق ، ظل ميل منحدر الظل عند نقطة معينة على المنحنى ص = و (س)يساوي قيمة المشتق F "(x). إذن ، علينا إيجاد هذه الدالة و (س)، لأي منهم F "(x) = f (x). الوظيفة المطلوبة في المهمة و (س)مشتق من و (خ). لا يتم تلبية حالة المشكلة من خلال منحنى واحد ، ولكن من خلال مجموعة من المنحنيات. ص = و (س)- أحد هذه المنحنيات وأي منحنى آخر يمكن الحصول عليه منه بالترجمة المتوازية على طول المحور أوي.

دعنا نسمي التمثيل البياني للدالة العكسية لـ و (خ)منحنى متكامل. إذا F "(x) = f (x)، ثم الرسم البياني للدالة ص = و (س)هو منحنى متكامل.

الحقيقة 3. يتم تمثيل التكامل غير المحدد هندسيًا بواسطة عائلة جميع المنحنيات المتكاملة كما في الصورة أدناه. يتم تحديد مسافة كل منحنى من الأصل بواسطة ثابت تعسفي (ثابت) للتكامل ج.

خصائص التكامل غير المحدد

حقيقة 4. نظرية 1. مشتق تكامل غير محدد يساوي التكامل ، ومشتقه يساوي التكامل.

حقيقة 5. نظرية 2. التكامل غير المحدد لتفاضل وظيفة F(x) يساوي الوظيفة F(x) إلى حد ثابت ، بمعنى آخر.

(3)

توضح النظريتان 1 و 2 أن التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان.

حقيقة 6. نظرية 3. يمكن إخراج العامل الثابت في التكامل غير المحدد من علامة التكامل غير المحدد ، بمعنى آخر.

يتم تقديم مراجعة لطرق حساب التكاملات غير المحددة. يتم النظر في الطرق الرئيسية للتكامل ، والتي تشمل تكامل المجموع والفرق ، وإخراج الثابت من علامة التكامل ، وتغيير المتغير ، والتكامل حسب الأجزاء. يتم أيضًا النظر في الأساليب والتقنيات الخاصة لدمج الكسور والجذور والوظائف المثلثية والأسية.

مجموع (فرق) حكم التكامل

إخراج الثابت من علامة التكامل

لنفترض أن c ثابت مستقل عن x. ثم يمكن إخراجها من علامة التكامل:

استبدال متغير

لنفترض أن x دالة في المتغير t ، x = φ (t) ، إذن
.
أو العكس ، t = φ (x) ،
.

بمساعدة تغيير المتغير ، لا يمكنك حساب التكاملات البسيطة فحسب ، بل يمكنك أيضًا تبسيط حساب التكاملات الأكثر تعقيدًا.

حكم التكامل بالأجزاء

تكامل الكسور (التوابع الكسرية)

دعونا نقدم تدوينا. لنفترض أن P k (x) و Q m (x) و R n (x) تشير إلى كثيرات الحدود للدرجات k و m و n على التوالي فيما يتعلق بالمتغير x.

فكر في تكامل يتكون من جزء من كثيرات الحدود (ما يسمى بالوظيفة المنطقية):

إذا كان k ≥ n ، فأنت بحاجة أولاً إلى تحديد الجزء الصحيح من الكسر:
.
يتم حساب تكامل كثير الحدود S k-n (x) من جدول التكاملات.

يبقى التكامل:
حيث م< n .
لحساب التكامل يجب أن يتحلل إلى كسور بسيطة.

للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد جذور المعادلة:
س ن (س) = 0.
باستخدام الجذور التي تم الحصول عليها ، تحتاج إلى تمثيل المقام كمنتج من العوامل:
س ن (س) = ث (س أ) ن أ (س ب) ن ب ... (x 2 + ex + f) n e (x 2 + gx + k) n g ....
هذا هو معامل x n ، x 2 + ex + f> 0 ، x 2 + gx + k> 0 ، ....

بعد ذلك ، حلل الكسر إلى أبسط:

بالتكامل ، نحصل على تعبير يتكون من تكاملات أبسط.
تكاملات النموذج

يتم تقليلها إلى تعويض جدولي t = x - a.

ضع في اعتبارك التكامل:

دعنا نحول البسط:
.
بالتعويض في التكامل ، نحصل على تعبير يتضمن تكاملتين:
,
.
أولاً ، يتم تقليل الاستبدال t \ u003d x 2 + ex + f إلى جدول.
الثاني حسب معادلة التخفيض:

يتم تقليله إلى التكامل

نحضر قاسمها إلى مجموع المربعات:
.
ثم بالتعويض ، التكامل

يرد أيضًا في الجدول.

تكامل الوظائف اللاعقلانية

دعونا نقدم تدوينا. دع R (u 1، u 2، ...، u n) تدل على دالة عقلانية للمتغيرات u 1، u 2، ...، u n. أي
,
حيث P ، Q هي كثيرات الحدود في المتغيرات u 1 ، u 2 ، ... ، u n.

اللاعقلانية الخطية الجزئية

ضع في اعتبارك تكاملات النموذج:
,
أين الأعداد المنطقية ، م 1 ، ن 1 ، ... ، م ث ، ن ث هي أعداد صحيحة.
لنفترض أن n هو المقام المشترك للأرقام r 1، ...، r s.
ثم يتم تقليل التكامل إلى تكامل الدوال الكسرية بالتعويض:
.

التكاملات من التفاضل ذي الحدين

ضع في اعتبارك التكامل:
,
حيث م ، ن ، ع أعداد منطقية ، أ ، ب أعداد حقيقية.
مثل هذه التكاملات تختزل إلى تكاملات وظائف عقلانية في ثلاث حالات.

1) إذا كان p عددًا صحيحًا. التعويض x = t N حيث N هو المقام المشترك للكسرين m و n.
2) إذا كان عددًا صحيحًا. التعويض a x n + b = t M حيث M هو مقام p.
3) إذا كان عددًا صحيحًا. التعويض a + b x - n = t M حيث M هو مقام p.

إذا لم يكن أي من الأرقام الثلاثة عددًا صحيحًا ، فعندئذٍ من خلال نظرية تشيبيشيف لا يمكن التعبير عن تكاملات هذا النموذج من خلال مجموعة محدودة من الوظائف الأولية.

في بعض الحالات ، قد يكون من المفيد أولاً تقليل التكامل إلى قيم أكثر ملاءمة لـ m و p. يمكن القيام بذلك باستخدام الصيغ المصبوب:
;
.

التكاملات التي تحتوي على الجذر التربيعي لمربع ثلاثي الحدود

هنا نعتبر تكاملات النموذج:
,

بدائل أويلر

يمكن اختزال هذه التكاملات إلى تكاملات وظائف عقلانية لإحدى بدائل أويلر الثلاثة:
، لـ> 0 ؛
، لـ c> 0 ؛
، حيث x 1 هو جذر المعادلة أ س 2 + ب س + ج = 0. إذا كانت هذه المعادلة لها جذور حقيقية.

البدائل المثلثية والقطع الزائدية

الطرق المباشرة

في معظم الحالات ، تؤدي استبدالات أويلر إلى حسابات أطول من الطرق المباشرة. باستخدام الطرق المباشرة ، يتم تقليل التكامل إلى أحد الأنواع التالية.

انا اطبع

لا يتجزأ من النموذج:
,
حيث P n (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة n.

تم العثور على هذه التكاملات بطريقة المعاملات غير المحددة ، باستخدام الهوية:

وباشتقاق هذه المعادلة ومساواة الجانبين الأيمن والأيسر ، نجد المعاملين A i.

النوع الثاني

لا يتجزأ من النموذج:
,
حيث P m (x) هي كثير حدود من الدرجة m.

الاستبدال t = (س - α] -1يتم تقليل هذا التكامل إلى النوع السابق. إذا كانت m ≥ n ، فيجب أن يحتوي الكسر على جزء صحيح.

النوع الثالث

النوع الثالث والاصعب:
.

هنا تحتاج إلى إجراء استبدال:
.
ثم يأخذ التكامل الشكل:
.
علاوة على ذلك ، يجب اختيار الثوابت α ، بحيث تتلاشى المعاملات عند t:
ب = 0 ، ب 1 = 0.
ثم يتحلل التكامل إلى مجموع تكاملات من نوعين:
;
,
التي تتكامل ، على التوالي ، عن طريق الاستبدالات:
ض 2 \ u003d أ 1 ر 2 + ج 1 ؛
ص 2 \ u003d أ 1 + ج 1 ر -2.

الحالة العامة

تكامل الدوال المتسامية (المثلثية والأسية)

نلاحظ مقدمًا أن تلك الطرق التي تنطبق على الدوال المثلثية تنطبق أيضًا على الدوال الزائدية. لهذا السبب ، لن نفكر في تكامل الدوال الزائدية بشكل منفصل.

تكامل الدوال المثلثية النسبية لكل من cos x و sin x

ضع في اعتبارك تكاملات الدوال المثلثية للنموذج:
,
حيث R دالة منطقية. قد يشمل ذلك أيضًا الظلال والظل ، والتي يجب تحويلها من خلال الجيب وجيب التمام.

عند دمج مثل هذه الوظائف ، من المفيد أن تضع في اعتبارك ثلاث قواعد:
1) إذا كان R ( cosx ، sinx)مضروبة في -1 من علامة التغيير أمام إحدى الكميات كوس xأو الخطيئة x، فمن المفيد الإشارة إلى الآخر بواسطة t.
2) إذا كان R ( cosx ، sinx)لا يتغير من تغيير العلامة في نفس الوقت من قبل كوس xو الخطيئة x، فمن المفيد أن نضع تان س = رأو ctg x = t.
3) يؤدي الاستبدال في جميع الحالات إلى جزء متكامل من كسر كسري. لسوء الحظ ، ينتج عن هذا الاستبدال حسابات أطول من الحسابات السابقة ، إن أمكن.

حاصل ضرب دوال القدرة في cos x و sin x

ضع في اعتبارك تكاملات النموذج:

إذا كانت m و n عددًا نسبيًا ، فإن أحد التباديل t = الخطيئة xأو ر = كوس xالتكامل يقلل من تكامل التفاضلية ذات الحدين.

إذا كانت m و n عددًا صحيحًا ، فسيتم حساب التكاملات بالتكامل على أساس الأجزاء. ينتج عن هذا صيغ التخفيض التالية:

;
;
;
.

تكامل اجزاء

تطبيق صيغة أويلر

إذا كان التكامل خطيًا بالنسبة إلى إحدى الوظائف
كوس الفأسأو سنكس، فمن الملائم تطبيق صيغة أويلر:
ه iax = كوس الفأس + الفأس(حيث أنا 2 = - 1 ),
استبدال هذه الوظيفة بـ eiaxوتسليط الضوء على الحقيقي (عند الاستبدال كوس الفأس) أو الجزء التخيلي (عند الاستبدال سنكس) من النتيجة.

مراجع:
ن. غونتر ، R.O. كوزمين ، مجموعة المسائل في الرياضيات العليا ، لان ، 2003.