S странична призма. призма (математика)

Определение 1. Призматична повърхност
Теорема 1. За успоредни сечения на призматична повърхност
Определение 2. Перпендикулярно сечение на призматична повърхност
Определение 3. Призма
Определение 4. Височина на призмата
Определение 5. Пряка призма
Теорема 2. Площта на страничната повърхност на призмата

паралелепипед:
Определение 6. Паралелепипед
Теорема 3. За пресечната точка на диагоналите на паралелепипед
Определение 7. Десен паралелепипед
Определение 8. Правоъгълен паралелепипед
Определение 9. Размери на паралелепипед
Определение 10. Куб
Определение 11. Ромбоедър
Теорема 4. Върху диагоналите на правоъгълен паралелепипед
Теорема 5. Обем на призма
Теорема 6. Обем на права призма
Теорема 7. Обем на правоъгълен паралелепипед

призманарича се полиедър, в който две лица (основи) лежат в успоредни равнини, а ръбовете, които не лежат в тези лица, са успоредни едно на друго.
Лица, различни от основи, се наричат страничен.
Страните на страничните лица и основите се наричат ръбове на призма, краищата на ръбовете се наричат върховете на призмата. Странични ребранаречени ръбове, които не принадлежат на основите. Обединението на страничните лица се нарича страничната повърхност на призмата, и обединението на всички лица се нарича пълната повърхност на призмата. Височина на призматанаречен перпендикуляр, изпуснат от точката на горната основа до равнината на долната основа или дължината на този перпендикуляр. права призманаречена призма, в която страничните ръбове са перпендикулярни на равнините на основите. правилнонаречена права призма (фиг. 3), в основата на която лежи правилен многоъгълник.

Обозначения:
l - странично ребро;
P - периметър на основата;
S o - основна площ;
H - височина;
P ^ - периметър на перпендикулярното сечение;
S b - странична повърхност;
V - обем;
S p - площ на общата повърхност на призмата.

Определение 2 . Перпендикулярно сечение на призматична повърхност е сечение на тази повърхност от равнина, перпендикулярна на нейните ръбове. Въз основа на предишната теорема всички перпендикулярни сечения на една и съща призматична повърхност ще бъдат равни многоъгълници.

Определение 3 . Призмата е полиедър, ограничен от призматична повърхност и две равнини, успоредни една на друга (но не успоредни на ръбовете на призматичната повърхност)
Лицата, лежащи в тези последни равнини, се наричат основи на призма; лица, принадлежащи на призматична повърхност - странични лица; ръбове на призматичната повърхност - странични ръбове на призмата. По силата на предишната теорема основите на призмата са равни многоъгълници. Всички странични лица на призмата паралелограми; всички странични ръбове са равни един на друг.
Очевидно е, че ако основата на призмата ABCDE и един от ръбовете AA" са дадени по големина и посока, тогава е възможно да се построи призма, като се начертаят ръбовете BB", CC", .., равни и успоредни на ръба AA".

Определение 4 . Височината на призмата е разстоянието между равнините на нейните основи (HH").

Определение 5 . Призмата се нарича права, ако нейните основи са перпендикулярни сечения на призматична повърхност. В този случай височината на призмата, разбира се, е нейната странично ребро; страничните ръбове ще правоъгълници.
Призмите могат да бъдат класифицирани по броя на страничните лица, равен на броя на страните на многоъгълника, който служи за негова основа. По този начин призмите могат да бъдат триъгълни, четириъгълни, петоъгълни и т.н.

Теорема 2 . Площта на страничната повърхност на призмата е равна на произведението на страничния ръб и периметъра на перпендикулярното сечение.
Нека ABCDEA"B"C"D"E" е дадената призма и abcde е нейното перпендикулярно сечение, така че отсечките ab, bc, .. са перпендикулярни на страничните й ръбове. Лицето ABA"B" е успоредник; неговата площ е равно на произведението на основата AA " на височина, която съвпада с ab; площта на лицето BCV "C" е равна на произведението на основата BB" на височината bc и т.н. Следователно страничната повърхност (т.е. сумата от площите на страничните лица) е равно на произведението на страничния ръб, с други думи, общата дължина на отсечките AA", BB", .., по сумата ab+bc+cd+de+ea.

призмасе нарича полиедър, чиито две страни са равни n-ъгъла (основания) , лежащи в успоредни равнини, а останалите n лица са успоредни (странични лица) . Странично ребро призмата е страната на страничната повърхност, която не принадлежи на основата.

Нарича се призма, чиито странични ръбове са перпендикулярни на равнините на основите прав призма (фиг. 1). Ако страничните ръбове не са перпендикулярни на равнините на основите, тогава призмата се нарича наклонена . правилно Призмата е права призма, чиито основи са правилни многоъгълници.

Височинапризма се нарича разстоянието между равнините на основите. Диагонал Призмата е сегмент, свързващ два върха, които не принадлежат на едно и също лице. диагонално сечение Нарича се разрез на призма от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице. Перпендикулярно сечение се нарича сечението на призмата от равнина, перпендикулярна на страничния ръб на призмата.

Площ на страничната повърхност призмата е сборът от площите на всички странични лица. Пълна площ се нарича сборът от площите на всички лица на призмата (т.е. сборът от площите на страничните лица и площите на основите).

За произволна призма формулите са верни:

където ле дължината на страничното ребро;

Х- височина;

П

В

S страна

S пълен

S основное площта на основите;

Vе обемът на призмата.

За права призма следните формули са верни:

където стр- периметърът на основата;

ле дължината на страничното ребро;

Х- височина.

ПаралелепипедНарича се призма, чиято основа е паралелограм. Нарича се паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основите директен (фиг. 2). Ако страничните ръбове не са перпендикулярни на основите, тогава паралелепипедът се нарича наклонена . Нарича се десен паралелепипед, чиято основа е правоъгълник правоъгълна. Нарича се правоъгълен паралелепипед, в който всички ръбове са равни куб.

Наричат ​​се лицата на паралелепипед, които нямат общи върхове противоположно . Дължините на ръбовете, излизащи от един връх, се наричат измервания паралелепипед. Тъй като кутията е призма, нейните основни елементи са дефинирани по същия начин, както са определени за призмите.

Теореми.

1. Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и я разполовяват.

2. В правоъгълен паралелепипед квадратът на дължината на диагонала е равен на сумата от квадратите на трите му измерения:

3. Всичките четири диагонала на правоъгълен паралелепипед са равни един на друг.

За произволен паралелепипед следните формули са верни:

където ле дължината на страничното ребро;

Х- височина;

Пе периметърът на перпендикулярното сечение;

В– Площ на перпендикулярно сечение;

S странае страничната повърхност;

S пълене общата повърхност;

S основное площта на основите;

Vе обемът на призмата.

За десен паралелепипед следните формули са верни:

където стр- периметърът на основата;

ле дължината на страничното ребро;

Хе височината на десния паралелепипед.

За правоъгълен паралелепипед следните формули са верни:

(3)

където стр- периметърът на основата;

Х- височина;

д- диагонал;

а, б, в– измервания на паралелепипед.

Правилните формули за куб са:

където ае дължината на реброто;

де диагоналът на куба.

Пример 1Диагоналът на правоъгълен кубоид е 33 dm и неговите измервания са свързани като 2: 6: 9. Намерете размерите на кубоида.

Решение.За да намерим размерите на паралелепипеда, използваме формула (3), т.е. фактът, че квадратът на хипотенузата на кубоид е равен на сумата от квадратите на неговите размери. Означете с ккоефициент на пропорционалност. Тогава размерите на паралелепипеда ще бъдат равни на 2 к, 6ки 9 к. Записваме формула (3) за данните за проблема:

Решаване на това уравнение за к, получаваме:

Следователно размерите на паралелепипеда са 6 dm, 18 dm и 27 dm.

Отговор: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

Пример 2Намерете обема на наклонена триъгълна призма, чиято основа е равностранен триъгълник със страна 8 cm, ако страничният ръб е равен на страната на основата и е наклонен под ъгъл 60º спрямо основата.

Решение . Нека направим чертеж (фиг. 3).

За да намерите обема на наклонена призма, трябва да знаете площта на нейната основа и височина. Площта на основата на тази призма е площта на равностранен триъгълник със страна 8 см. Нека го изчислим:

Височината на призмата е разстоянието между нейните основи. От върха НО 1 на горната основа спускаме перпендикуляра към равнината на долната основа НО 1 д. Дължината му ще бъде височината на призмата. Помислете за Д НО 1 АД: тъй като това е ъгълът на наклон на страничното ребро НО 1 НОкъм базовата равнина НО 1 НО= 8 см. От този триъгълник намираме НО 1 д:

Сега изчисляваме обема по формула (1):

Отговор: 192 см3.

Пример 3Страничният ръб на правилната шестоъгълна призма е 14 см. Площта на най-голямото диагонално сечение е 168 см 2. Намерете общата повърхност на призмата.

Решение.Нека направим чертеж (фиг. 4)

Най-големият диагонален участък е правоъгълник AA 1 DD 1 , тъй като диагонала АДправилен шестоъгълник А Б В Г Д Ее най-големият. За да се изчисли страничната повърхност на призмата, е необходимо да се знае страната на основата и дължината на страничното ребро.

Познавайки площта на диагоналното сечение (правоъгълник), намираме диагонала на основата.

От тогава

От тогава АБ= 6 см.

Тогава периметърът на основата е:

Намерете площта на страничната повърхност на призмата:

Площта на правилен шестоъгълник със страна 6 см е:

Намерете общата повърхност на призмата:

Отговор:

Пример 4Основата на десен паралелепипед е ромб. Площите на диагоналните сечения са 300 cm 2 и 875 cm 2. Намерете площта на страничната повърхност на паралелепипеда.

Решение.Нека направим чертеж (фиг. 5).

Означете страната на ромба с а, диагоналите на ромба д 1 и д 2 , височината на кутията з. За да се намери страничната повърхност на прав паралелепипед, е необходимо периметърът на основата да се умножи по височината: (формула (2)). Периметър на основата p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, като ABCD- ромб. Н = АА 1 = з. Че. Трябва да се намери аи з.

Помислете за диагонални сечения. AA 1 SS 1 - правоъгълник, едната страна на който е диагонал на ромб AC = д 1 , втори - страничен ръб AA 1 = з, тогава

По същия начин за раздела BB 1 DD 1 получаваме:

Използвайки свойството на паралелограма, така че сумата от квадратите на диагоналите да е равна на сумата от квадратите на всичките му страни, получаваме равенството. Получаваме следното.

Определение.

Това е шестоъгълник, чиито основи са два равни квадрата, а страничните страни са равни правоъгълници.

Странично реброе общата страна на две съседни странични лица

Височина на призматае отсечка, перпендикулярна на основите на призмата

Диагонал на призмата- сегмент, свързващ два върха на основите, които не принадлежат на едно и също лице

Диагонална равнина- равнина, която минава през диагонала на призмата и страничните й ръбове

Диагонално сечение- границите на пресечната точка на призмата и диагоналната равнина. Диагоналното сечение на правилната четириъгълна призма е правоъгълник

Перпендикулярно сечение (ортогонално сечение)- това е пресечната точка на призма и равнина, начертана перпендикулярно на страничните й ръбове

Елементи на правилна четириъгълна призма

Фигурата показва две правилни четириъгълни призми, които са маркирани със съответните букви:

• Основите ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са равни и успоредни една на друга
• Странични повърхности AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, всяка от които е правоъгълник
• Странична повърхност - сборът от площите на всички странични страни на призмата
• Обща повърхност - сумата от площите на всички основи и странични повърхности (сумата от площта на страничната повърхност и основите)
• Странични ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 .
• Диагонал B 1 D
• Основен диагонал BD
• Диагонално сечение BB 1 D 1 D
• Перпендикулярно сечение A 2 B 2 C 2 D 2 .

Свойства на правилна четириъгълна призма

• Основите са два равни квадрата
• Основите са успоредни една на друга
• Страните са правоъгълници.
• Страничните лица са равни една на друга
• Страничните повърхности са перпендикулярни на основите
• Страничните ребра са успоредни едно на друго и равни
• Перпендикулярно сечение, перпендикулярно на всички странични ребра и успоредно на основите
• Ъгли на перпендикулярно сечение - дясно
• Диагоналното сечение на правилната четириъгълна призма е правоъгълник
• Перпендикулярно (ортогонално сечение), успоредно на основите

Формули за правилна четириъгълна призма

Инструкции за решаване на проблеми

Правилна призма- призма, в основата на която лежи правилен многоъгълник, а страничните ръбове са перпендикулярни на равнините на основата. Тоест правилната четириъгълна призма съдържа в основата си квадрат. (виж по-горе свойствата на правилна четириъгълна призма) Забележка. Това е част от урока със задачи по геометрия (сечение твърда геометрия - призма). Ето задачите, които предизвикват трудности при решаването им. Ако трябва да решите проблем по геометрия, който не е тук - пишете за него във форума. За обозначаване на действието на извличане на квадратен корен при решаване на задачи се използва символът√ .

Задача.

Диагоналът на правилната призма образува правоъгълен триъгълник с диагонала на основата и височината на призмата. Съответно, според Питагоровата теорема, диагоналът на дадена правилна четириъгълна призма ще бъде равен на:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Отговор: 22 см

Задача

Решение.
Тъй като основата на правилната четириъгълна призма е квадрат, тогава страната на основата (означена като а) се намира от Питагоровата теорема:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Височината на страничната повърхност (означена като h) тогава ще бъде равна на:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

Общата повърхност ще бъде равна на сбора от страничната повърхност и удвоената площ на основата

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2.

Отговор: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

В училищната програма за курса по геометрия на твърдото тяло изучаването на триизмерни фигури обикновено започва с просто геометрично тяло - призмен полиедър. Ролята на неговите основи се изпълнява от 2 равни многоъгълника, разположени в успоредни равнини. Специален случай е правилна четириъгълна призма. Основите му са 2 еднакви правилни четириъгълника, на които страните са перпендикулярни, имащи формата на успоредник (или правоъгълници, ако призмата не е наклонена).

Как изглежда призмата

Правилната четириъгълна призма е хексаедър, в основата на който има 2 квадрата, а страничните лица са представени от правоъгълници. Друго име на тази геометрична фигура е прав паралелепипед.

Фигурата, която изобразява четириъгълна призма, е показана по-долу.

Можете да видите и на снимката най-важните елементи, които изграждат едно геометрично тяло. Те обикновено се наричат:

Понякога в задачи по геометрия можете да намерите концепцията за сечение. Определението ще звучи така: сечението е всички точки от обемно тяло, които принадлежат на равнината на сечение. Разрезът е перпендикулярен (пресича ръбовете на фигурата под ъгъл от 90 градуса). За правоъгълна призма се разглежда и диагонално сечение (максималният брой секции, които могат да бъдат построени е 2), преминаващи през 2 ръба и диагоналите на основата.

Ако сечението е начертано по такъв начин, че равнината на сечение не е успоредна нито на основите, нито на страничните повърхности, резултатът е пресечена призма.

Използват се различни съотношения и формули за намиране на редуцираните призматични елементи. Някои от тях са известни от курса на планиметрията (например, за да намерите площта на основата на призмата, достатъчно е да си припомните формулата за площта на квадрат).

Площ и обем

За да определите обема на призмата с помощта на формулата, трябва да знаете площта на нейната основа и височина:

V = Sprim h

Тъй като основата на правилната тетраедрична призма е квадрат със страна а,Можете да напишете формулата в по-подробна форма:

V = a² h

Ако говорим за куб - обикновена призма с еднаква дължина, ширина и височина, обемът се изчислява, както следва:

За да разберете как да намерите страничната повърхност на призмата, трябва да си представите нейния размах.

От чертежа се вижда, че страничната повърхност е съставена от 4 равни правоъгълника. Площта му се изчислява като произведението на периметъра на основата и височината на фигурата:

Страна = Поз h

Тъй като периметърът на квадрат е P = 4a,формулата приема формата:

Страна = 4a h

За куб:

Страна = 4a²

За да изчислите общата повърхност на призмата, добавете 2 основни области към страничната площ:

Пълен = Sside + 2Sbase

Приложена към четириъгълна правилна призма, формулата има формата:

Пълен = 4a h + 2a²

За повърхността на куб:

Пълен = 6a²

Познавайки обема или повърхността, можете да изчислите отделните елементи на геометрично тяло.

Намиране на елементи на призма

Често има проблеми, при които е даден обемът или е известна стойността на страничната повърхност, където е необходимо да се определи дължината на страната на основата или височината. В такива случаи могат да се изведат формули:

• дължина на основната страна: a = Sside / 4h = √(V / h);
• височина или дължина на страничното ребро: h = Sside / 4a = V / a²;
• основна площ: Sprim = V / h;
• странична лицева област: Отстрани gr = Страна / 4.

За да определите каква площ има диагоналната секция, трябва да знаете дължината на диагонала и височината на фигурата. За квадрат d = a√2.Следователно:

Sdiag = ah√2

За изчисляване на диагонала на призмата се използва формулата:

dprize = √(2a² + h²)

За да разберете как да приложите горните съотношения, можете да практикувате и решавате няколко прости задачи.

Примери за проблеми с решения

Ето някои от задачите, които се появяват на държавните изпити по математика.

Упражнение 1.

Пясъкът се изсипва в кутия, оформена като правилна четириъгълна призма. Височината на нивото му е 10 см. Какво ще бъде нивото на пясъка, ако го преместите в съд със същата форма, но с дължина на основата 2 пъти по-дълга?

Трябва да се аргументира по следния начин. Количеството пясък в първия и втория контейнер не се е променило, т.е. обемът му в тях е същият. Можете да дефинирате дължината на основата като а. В този случай за първата кутия обемът на веществото ще бъде:

V₁ = ha² = 10a²

За втората кутия дължината на основата е 2а, но височината на нивото на пясъка е неизвестна:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Дотолкова доколкото V₁ = V2, изразите могат да бъдат приравнени:

10a² = 4ha²

След като намалим двете страни на уравнението с a², получаваме:

В резултат на това новото ниво на пясъка ще бъде h = 10 / 4 = 2,5см.

Задача 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ е правилна призма. Известно е, че BD = AB₁ = 6√2. Намерете общата повърхност на тялото.

За да улесните разбирането кои елементи са известни, можете да нарисувате фигура.

Тъй като говорим за правилна призма, можем да заключим, че основата е квадрат с диагонал 6√2. Диагоналът на страничната повърхност има същата стойност, следователно страничната страна също има формата на квадрат, равен на основата. Оказва се, че и трите измерения - дължина, ширина и височина - са равни. Можем да заключим, че ABCDA₁B₁C₁D₁ е куб.

Дължината на всеки ръб се определя чрез известния диагонал:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Общата повърхност се намира по формулата за куба:

Пълен = 6a² = 6 6² = 216

Задача 3.

Стаята се ремонтира. Известно е, че подът му има формата на квадрат с площ от 9 m². Височината на стаята е 2,5 м. Каква е най-ниската цена за тапетиране на стая, ако 1 m² струва 50 рубли?

Тъй като подът и таванът са квадрати, тоест правилни четириъгълници, а стените му са перпендикулярни на хоризонтални повърхности, можем да заключим, че това е правилна призма. Необходимо е да се определи площта на страничната му повърхност.

Дължината на стаята е а = √9 = 3м.

Площадът ще бъде покрит с тапети Страна = 4 3 2,5 = 30 m².

Най-ниската цена на тапети за тази стая ще бъде 50 30 = 1500рубли.

По този начин за решаване на задачи върху правоъгълна призма е достатъчно да можете да изчислите площта и периметъра на квадрат и правоъгълник, както и да знаете формулите за намиране на обема и повърхността.

Как да намерите площта на куб