Как да намерим основата s на призма. Основата на права триъгълна призма
Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или връзка с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.
Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
- Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.
Разкриване на трети страни
Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.
Изключения:
- В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкрийте личната си информация. Може също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.
Защита на личната информация
Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Поддържане на вашата поверителност на ниво компания
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
В пространствената геометрия, когато се решават задачи с призми, често има проблем с изчисляването на площта на страните или лицата, които образуват тези триизмерни фигури. Тази статия е посветена на въпроса за определяне на площта на основата на призмата и нейната странична повърхност.
Фигурна призма
Преди да пристъпим към разглеждането на формулите за площта на основата и повърхността на призма от един или друг вид, е необходимо да разберем за какъв вид фигура говорим.
Призмата в геометрията е пространствена фигура, състояща се от два успоредни многоъгълника, които са равни един на друг, и няколко четириъгълника или паралелограма. Броят на последните винаги е равен на броя на върховете на един многоъгълник. Например, ако фигурата е образувана от два успоредни n-ъгъла, тогава броят на паралелограмите ще бъде n.
Свързващите n-ъгъла на паралелограма се наричат страни на призмата, а общата им площ е площта на страничната повърхност на фигурата. Самите n-ъгълници се наричат бази.
Фигурата по-горе показва пример за хартиена призма. Жълтият правоъгълник е горната му основа. На втората основа на същата фигура стои. Червените и зелените правоъгълници са страничните лица.
Какви са призмите?
Има няколко вида призми. Всички те се различават един от друг само по два параметъра:
- вида на n-ъгълник, образуващ основите;
- ъгъл между n-ъгълника и страничните повърхности.
Например, ако основите са триъгълници, тогава призмата се нарича триъгълна призма, ако четириъгълници, както в предишната фигура, тогава фигурата се нарича четириъгълна призма и т.н. В допълнение, n-ъгълникът може да бъде изпъкнал или вдлъбнат, тогава това свойство също се добавя към името на призмата.
Ъгълът между страничните повърхности и основата може да бъде прав, остър или тъп. В първия случай те говорят за правоъгълна призма, във втория - за наклонена или наклонена.
Правилните призми се разграничават в специален тип фигури. Те имат най-висока симетрия сред другите призми. То ще бъде правилно само ако е правоъгълно и основата му е правилен n-ъгълник. Фигурата по-долу показва набор от правилни призми, в които броят на страните на n-ъгълника варира от три до осем.
Повърхност на призмата
Повърхността на разглежданата фигура от произволен тип се разбира като съвкупността от всички точки, които принадлежат на лицата на призмата. Удобно е да се изследва повърхността на призма, като се вземе предвид нейното развитие. По-долу е даден пример за такъв размах за триъгълна призма.
Вижда се, че цялата повърхност е образувана от два триъгълника и три правоъгълника.
В случай на призма от общ тип, нейната повърхност ще се състои от две n-ъгълни основи и n четириъгълника.
Нека разгледаме по-подробно въпроса за изчисляване на повърхността на призми от различни видове.
Основна площ на призма
Може би най-лесната задача при работа с призми е проблемът с намирането на основната площ на обикновена фигура. Тъй като се образува от n-ъгълник, за който всички ъгли и дължини на страните са еднакви, винаги е възможно да се раздели на еднакви триъгълници, за които са известни ъгли и страни. Общата площ на триъгълниците ще бъде площта на n-ъгълника.
Друг начин за определяне на частта от повърхността на призма (основа) е да се използва добре позната формула. Изглежда така:
S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)
Тоест, площта S n на n-ъгълник се определя еднозначно въз основа на знанието за дължината на неговата страна a. Известна трудност при изчисляването на формулата може да бъде изчисляването на котангенса, особено когато n>4 (за n≤4 стойностите на котангенса са таблични данни). За да определите тази тригонометрична функция, се препоръчва да използвате калкулатор.
Когато задавате геометричен проблем, трябва да бъдете внимателни, защото може да се наложи да намерите площта на основите на призмата. След това получената по формулата стойност трябва да се умножи по две.
Основна площ на триъгълна призма
Използвайки примера на триъгълна призма, помислете как можете да намерите площта на основата на тази фигура.
Първо, помислете за прост случай - обикновена призма. Площта на основата се изчислява по формулата, дадена в параграфа по-горе, трябва да замените n = 3 в нея. Получаваме:
S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2
Остава да се заменят в израза конкретните стойности на дължината на страната a на равностранен триъгълник, за да се получи площта на една основа.
Да предположим, че имаме призма, чиято основа е произволен триъгълник. Двете му страни a и b и ъгълът между тях α са известни. Тази фигура е показана по-долу.
Как да намерим площта на основата на триъгълна призма в този случай? Трябва да се помни, че площта на всеки триъгълник е равна на половината от произведението на страната и височината, спусната до тази страна. Фигурата показва височината h към страната b. Дължината h съответства на произведението на синуса на ъгъла alpha и дължината на страната a. Тогава площта на целия триъгълник е:
S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)
Това е основната площ на изобразената триъгълна призма.
Странична повърхност
Разбрахме как да намерим площта на основата на призмата. Страничната повърхност на тази фигура винаги се състои от паралелограми. За прави призми паралелограмите стават правоъгълници, така че е лесно да се изчисли тяхната обща площ:
S = ∑ i=1 n (a i *b)
Тук b е дължината на страничния ръб, а i е дължината на страната на i-тия правоъгълник, която съвпада с дължината на страната на n-ъгълника. В случай на правилна n-ъгълна призма получаваме прост израз:
Ако призмата е наклонена, тогава за да се определи площта на нейната странична повърхност, трябва да се направи перпендикулярен разрез, периметърът й P sr да се изчисли и да се умножи по дължината на страничното ребро.
Фигурата по-горе показва как трябва да се направи този разрез за наклонена петоъгълна призма.
Площта на страничната повърхност на призмата. Здравейте! В тази публикация ще анализираме група задачи по стереометрия. Помислете за комбинация от тела - призма и цилиндър. В момента тази статия завършва цялата поредица от статии, свързани с разглеждането на видовете задачи в стереометрията.
Ако в банката на задачите се появят нови задачи, тогава, разбира се, в бъдеще ще има допълнения към блога. Но това, което вече има, е напълно достатъчно, за да се научите как да решавате всички проблеми с кратък отговор като част от изпита. Материалът ще е достатъчен за години напред (програмата по математика е статична).
Представените задачи са свързани с изчисляването на площта на призмата. Отбелязвам, че по-долу разглеждаме права призма (и съответно прав цилиндър).
Без да знаем никакви формули, разбираме, че страничната повърхност на призмата са всички нейни странични страни. В права призма страничните лица са правоъгълници.
Площта на страничната повърхност на такава призма е равна на сумата от площите на всички нейни странични страни (тоест правоъгълници). Ако говорим за обикновена призма, в която е вписан цилиндър, тогава е ясно, че всички лица на тази призма са ЕДНАВНИ правоъгълници.
Формално площта на страничната повърхност на правилната призма може да се изрази по следния начин:
27064. Правилна четириъгълна призма е описана около цилиндър, чийто основен радиус и височина са равни на 1. Намерете площта на страничната повърхност на призмата.
Страничната повърхност на тази призма се състои от четири правоъгълника, равни по площ. Височината на лицето е равна на 1, ръбът на основата на призмата е равен на 2 (това са два радиуса на цилиндъра), следователно площта на страничната повърхност е равна на:
Площ на страничната повърхност:
73023. Намерете площта на страничната повърхност на правилна триъгълна призма, описана около цилиндър, чийто основен радиус е √0,12 и чиято височина е 3.
Площта на страничната повърхност на тази призма е равна на сбора от площите на трите странични страни (правоъгълници). За да намерите площта на страничната повърхност, трябва да знаете нейната височина и дължината на основния ръб. Височината е три. Намерете дължината на ръба на основата. Помислете за проекцията (изглед отгоре):
Имаме правилен триъгълник, в който е вписана окръжност с радиус √0.12. От правоъгълния триъгълник AOC можем да намерим AC. И след това AD (AD=2AC). По дефиниция на допирателната:
Така че AD \u003d 2AC \u003d 1.2. По този начин площта на страничната повърхност е равна на:
27066. Намерете площта на страничната повърхност на правилна шестоъгълна призма, описана около цилиндър, чийто основен радиус е √75 и чиято височина е 1.
Желаната площ е равна на сумата от площите на всички странични повърхности. За правилна шестоъгълна призма страничните повърхности са равни правоъгълници.
За да намерите площта на лицето, трябва да знаете неговата височина и дължината на основния ръб. Височината е известна, тя е равна на 1.
Намерете дължината на ръба на основата. Помислете за проекцията (изглед отгоре):
Имаме правилен шестоъгълник, в който е вписан кръг с радиус √75.
Да разгледаме правоъгълен триъгълник ABO. Познаваме крака OB (това е радиусът на цилиндъра). можем да определим и ъгъла AOB, той е равен на 300 (триъгълник AOC е равностранен, OB е ъглополовяща).
Нека използваме определението на допирателната в правоъгълен триъгълник:
AC \u003d 2AB, тъй като OB е медиана, тоест разделя AC наполовина, което означава AC \u003d 10.
По този начин, площта на страничната повърхност е 1∙10=10, а площта на страничната повърхност е:
76485. Намерете площта на страничната повърхност на правилна триъгълна призма, вписана в цилиндър, чийто основен радиус е 8√3 и чиято височина е 6.
Площта на страничната повърхност на посочената призма на три равни по размер лица (правоъгълници). За да намерите площта, трябва да знаете дължината на ръба на основата на призмата (знаем височината). Ако разгледаме проекцията (изглед отгоре), тогава имаме правилен триъгълник, вписан в кръг. Страната на този триъгълник се изразява чрез радиуса като:
Подробности за тази връзка. Така че ще бъде равностойно
Тогава площта на страничната повърхност е равна на: 24∙6=144. И необходимата площ:
245354. Правилна четириъгълна призма е описана близо до цилиндър, чийто основен радиус е 2. Площта на страничната повърхност на призмата е 48. Намерете височината на цилиндъра.
призмасе нарича полиедър, чиито две страни са равни n-ъгъла (основания) , лежащи в успоредни равнини, а останалите n лица са успоредни (странични лица) . Странично ребро призмата е страната на страничната повърхност, която не принадлежи на основата.
Нарича се призма, чиито странични ръбове са перпендикулярни на равнините на основите прав призма (фиг. 1). Ако страничните ръбове не са перпендикулярни на равнините на основите, тогава призмата се нарича наклонена . вярно Призмата е права призма, чиито основи са правилни многоъгълници.
Височинапризма се нарича разстоянието между равнините на основите. Диагонал Призмата е сегмент, свързващ два върха, които не принадлежат на едно и също лице. диагонално сечение Нарича се разрез на призма от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице. Перпендикулярно сечение се нарича сечението на призмата от равнина, перпендикулярна на страничния ръб на призмата.
Площ на страничната повърхност призмата е сборът от площите на всички странични лица. Пълна площ се нарича сборът от площите на всички лица на призмата (т.е. сборът от площите на страничните лица и площите на основите).
За произволна призма формулите са верни:
където ле дължината на страничното ребро;
Х- височина;
П
В
S страна
S пълен
S основное площта на основите;
Vе обемът на призмата.
За права призма следните формули са верни:
където стр- периметърът на основата;
ле дължината на страничното ребро;
Х- височина.
ПаралелепипедНарича се призма, чиято основа е паралелограм. Нарича се паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основите директен (фиг. 2). Ако страничните ръбове не са перпендикулярни на основите, тогава паралелепипедът се нарича наклонена . Нарича се десен паралелепипед, чиято основа е правоъгълник правоъгълна. Нарича се правоъгълен паралелепипед, в който всички ръбове са равни куб.
Наричат се лицата на паралелепипед, които нямат общи върхове противоположно . Дължините на ръбовете, излизащи от един връх, се наричат измервания паралелепипед. Тъй като кутията е призма, нейните основни елементи са дефинирани по същия начин, както са дефинирани за призмите.
Теореми.
1. Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и я разполовяват.
2. В правоъгълен паралелепипед квадратът на дължината на диагонала е равен на сумата от квадратите на трите му измерения: 
3. 
Всичките четири диагонала на правоъгълен паралелепипед са равни един на друг.
За произволен паралелепипед следните формули са верни:
където ле дължината на страничното ребро;
Х- височина;
Пе периметърът на перпендикулярното сечение;
В– Площ на перпендикулярно сечение;
S странае страничната повърхност;
S пълене общата повърхност;
S основное площта на основите;
Vе обемът на призмата.
За десен паралелепипед следните формули са верни:
където стр- периметърът на основата;
ле дължината на страничното ребро;
Хе височината на десния паралелепипед.
За правоъгълен паралелепипед следните формули са верни:
(3)
където стр- периметърът на основата;
Х- височина;
д- диагонал;
а, б, в– измервания на паралелепипед.
Правилните формули за куб са:
където ае дължината на реброто;
де диагоналът на куба.
Пример 1Диагоналът на правоъгълен кубоид е 33 dm и неговите измервания са свързани като 2: 6: 9. Намерете размерите на кубоида.
Решение.За да намерим размерите на паралелепипеда, използваме формула (3), т.е. фактът, че квадратът на хипотенузата на кубоид е равен на сумата от квадратите на неговите размери. Означете с ккоефициент на пропорционалност. Тогава размерите на паралелепипеда ще бъдат равни на 2 к, 6ки 9 к. Записваме формула (3) за данните за проблема:
Решаване на това уравнение за к, получаваме:
Следователно размерите на паралелепипеда са 6 dm, 18 dm и 27 dm.
Отговор: 6 дм, 18 дм, 27 дм.
Пример 2Намерете обема на наклонена триъгълна призма, чиято основа е равностранен триъгълник със страна 8 cm, ако страничният ръб е равен на страната на основата и е наклонен под ъгъл 60º спрямо основата.
Решение
.
Нека направим чертеж (фиг. 3).
За да намерите обема на наклонена призма, трябва да знаете площта на нейната основа и височина. Площта на основата на тази призма е площта на равностранен триъгълник със страна 8 см. Нека го изчислим:
Височината на призмата е разстоянието между нейните основи. От върха НО 1 на горната основа спускаме перпендикуляра към равнината на долната основа НО 1 д. Дължината му ще бъде височината на призмата. Помислете за Д НО 1 АД: тъй като това е ъгълът на наклон на страничното ребро НО 1 НОкъм базовата равнина НО 1 НО= 8 см. От този триъгълник намираме НО 1 д:
Сега изчисляваме обема по формула (1):
Отговор: 192 см3.
Пример 3Страничният ръб на правилната шестоъгълна призма е 14 см. Площта на най-голямото диагонално сечение е 168 см 2. Намерете общата повърхност на призмата.
Решение.Нека направим чертеж (фиг. 4)
Най-големият диагонален участък е правоъгълник AA 1 DD 1 , тъй като диагонала АДправилен шестоъгълник А Б В Г Д Ее най-големият. За да се изчисли страничната повърхност на призмата, е необходимо да се знае страната на основата и дължината на страничното ребро.
Познавайки площта на диагоналното сечение (правоъгълник), намираме диагонала на основата.
Защото тогава 
От тогава АБ= 6 см.
Тогава периметърът на основата е:
Намерете площта на страничната повърхност на призмата:
Площта на правилен шестоъгълник със страна 6 см е:
Намерете общата повърхност на призмата:
Отговор: 
Пример 4Основата на десен паралелепипед е ромб. Площите на диагоналните сечения са 300 cm 2 и 875 cm 2. Намерете площта на страничната повърхност на паралелепипеда.
Решение.Нека направим чертеж (фиг. 5).
Означете страната на ромба с а, диагоналите на ромба д 1 и д 2 , височината на кутията з. За да се намери страничната повърхност на прав паралелепипед, е необходимо периметърът на основата да се умножи по височината: (формула (2)). Периметър на основата p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, защото ABCD- ромб. Н = АА 1 = з. Че. Трябва да се намери аи з.
Помислете за диагонални сечения. AA 1 SS 1 - правоъгълник, едната страна на който е диагонал на ромб AC = д 1 , втори - страничен ръб AA 1 = з, тогава
По същия начин за раздела BB 1 DD 1 получаваме:
Използвайки свойството на паралелограма, така че сумата от квадратите на диагоналите да е равна на сумата от квадратите на всичките му страни, получаваме равенството. Получаваме следното.
Различните призми са различни една от друга. В същото време те имат много общи неща. За да намерите площта на основата на призмата, трябва да разберете какъв вид изглежда.
Обща теория
Призмата е всеки полиедър, чиито страни имат формата на успоредник. Освен това всеки многоедър може да бъде в основата си - от триъгълник до n-ъгълник. Освен това основите на призмата винаги са равни една на друга. Какво не се отнася за страничните лица - те могат да варират значително по размер.
При решаване на задачи се среща не само площта на основата на призмата. Може да е необходимо да се познава страничната повърхност, тоест всички лица, които не са основи. Пълната повърхност вече ще бъде обединението на всички лица, които съставляват призмата.
Понякога височините се появяват в задачите. Тя е перпендикулярна на основите. Диагоналът на полиедъра е сегмент, който свързва по двойки всеки два върха, които не принадлежат на едно и също лице.
Трябва да се отбележи, че площта на основата на права или наклонена призма не зависи от ъгъла между тях и страничните повърхности. Ако те имат еднакви фигури в горната и долната част, тогава техните площи ще бъдат равни.
триъгълна призма
В основата му има фигура с три върха, тоест триъгълник. Известно е, че е различно. Ако тогава е достатъчно да си припомним, че неговата площ се определя от половината от произведението на краката.
Математическата нотация изглежда така: S = ½ av.
За да разберете площта на основата в общ вид, са полезни формулите: Чапла и тази, в която половината от страната е взета до височината, изтеглена към нея.
Първата формула трябва да бъде написана така: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Този запис съдържа полупериметър (p), тоест сумата от три страни, разделена на две.
Второ: S = ½ n a * a.
Ако искате да знаете площта на основата на триъгълна призма, която е правилна, тогава триъгълникът е равностранен. Той има своя собствена формула: S = ¼ a 2 * √3.
четириъгълна призма
Основата му е някой от известните четириъгълници. Може да бъде правоъгълник или квадрат, паралелепипед или ромб. Във всеки случай, за да изчислите площта на основата на призмата, ще ви е необходима собствена формула.
Ако основата е правоъгълник, тогава неговата площ се определя, както следва: S \u003d av, където a, b са страните на правоъгълника.
Когато става въпрос за четириъгълна призма, основната площ на обикновена призма се изчислява по формулата за квадрат. Защото именно той лежи в основата. S = 2.
В случай, че основата е паралелепипед, ще е необходимо следното равенство: S \u003d a * n a. Случва се да са дадени страна на паралелепипед и един от ъглите. След това, за да изчислите височината, ще трябва да използвате допълнителна формула: na \u003d b * sin A. Освен това ъгълът A е съседен на страната "b", а височината е na противоположна на този ъгъл.
Ако ромбът лежи в основата на призмата, тогава ще е необходима същата формула за определяне на нейната площ като за успоредник (тъй като това е частен случай). Но можете да използвате и този: S = ½ d 1 d 2. Тук d 1 и d 2 са два диагонала на ромба.
Правилна петоъгълна призма
Този случай включва разделяне на многоъгълника на триъгълници, чиито области са по-лесни за откриване. Въпреки че се случва фигурите да са с различен брой върхове.
Тъй като основата на призмата е правилен петоъгълник, тя може да бъде разделена на пет равностранни триъгълника. Тогава площта на основата на призмата е равна на площта на един такъв триъгълник (формулата може да се види по-горе), умножена по пет.
Правилна шестоъгълна призма
Съгласно описания принцип за петоъгълна призма е възможно основният шестоъгълник да се раздели на 6 равностранни триъгълника. Формулата за площта на основата на такава призма е подобна на предишната. Само в него трябва да се умножи по шест.
Формулата ще изглежда така: S = 3/2 и 2 * √3.
Задачи
No 1. Дадена е редовна линия. Диагоналът й е 22 см, височината на полиедъра е 14 см. Изчислете площта на основата на призмата и цялата повърхност.
Решение.Основата на призмата е квадрат, но страната й не е известна. Можете да намерите стойността му от диагонала на квадрата (x), който е свързан с диагонала на призмата (d) и нейната височина (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. От друга страна, този сегмент "x" е хипотенузата в триъгълник, чиито катети са равни на страната на квадрата. Тоест x 2 = a 2 + a 2. По този начин се оказва, че a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Заменете числото 22 вместо d и заменете "n" с неговата стойност - 14, оказва се, че страната на квадрата е 12 см. Сега е лесно да разберете основната площ: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
За да разберете площта на цялата повърхност, трябва да добавите два пъти стойността на основната площ и да удвоите страната. Последното е лесно да се намери по формулата за правоъгълник: умножете височината на полиедъра и страната на основата. Тоест, 14 и 12, това число ще бъде равно на 168 cm 2. Установено е, че общата повърхност на призмата е 960 cm 2 .
Отговор.Основната площ на призмата е 144 cm2. Цялата площ - 960 см 2 .
No 2. Дана В основата лежи триъгълник със страна 6 см. В този случай диагоналът на страничната повърхност е 10 см. Изчислете площите: основата и страничната повърхност.
Решение.Тъй като призмата е правилна, основата й е равностранен триъгълник. Следователно, неговата площ се оказва равна на 6 на квадрат по ¼ и на квадратен корен от 3. Едно просто изчисление води до резултата: 9√3 cm 2. Това е площта на една основа на призмата.
Всички странични лица са еднакви и са правоъгълници със страни 6 и 10 см. За да се изчислят площите им, е достатъчно тези числа да се умножат. След това ги умножете по три, защото призмата има точно толкова странични лица. След това площта на страничната повърхност се навива 180 cm 2.
Отговор.Площи: основа - 9√3 cm 2, странична повърхност на призмата - 180 cm 2.
