Знак за перпендикулярна права и равнина. Визуално ръководство (2019)

В този урок ще повторим теорията и ще докажем теоремата-атрибут за перпендикулярност на права и равнина.
В началото на урока си припомняме определението за права линия, перпендикулярна на равнина. След това разглеждаме и доказваме теоремата-атрибут за перпендикулярност на права и равнина. За да докажем тази теорема, припомняме свойството на перпендикулярната ъглополовяща.
След това решаваме няколко задачи за перпендикулярността на права и равнина.

Тема: Перпендикулярност на права и равнина

Урок: Знак за перпендикулярност на права и равнина

В този урок ще повторим теорията и ще докажем теорема-знак за перпендикулярност на права и равнина.

Определение. Направо асе нарича перпендикулярна на равнина α, ако е перпендикулярна на всяка права, лежаща в тази равнина.

Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в равнина, тогава тя е перпендикулярна на тази равнина.

Доказателство.

Нека ни е дадена равнина α. Две пресичащи се прави лежат в тази равнина. стри q. Направо аперпендикулярно на линията стри директно q. Трябва да докажем, че линията ае перпендикулярна на равнината α, тоест, че правата a е перпендикулярна на всяка права, лежаща в равнината α.

Напомняне.

За да докажем това, трябва да си припомним свойствата на перпендикулярната ъглополовяща на отсечка. Средноперпендикулярна Ркъм сегмента АБе мястото на точки, еднакво отдалечени от краищата на отсечката. Това е, ако точката Слежи върху перпендикулярната ъглополовяща p, тогава AC = BC.

Нека точката О- точка на пресичане на права аи равнина α (фиг. 2). Без да губим общността, ще приемем, че линиите стри qпресичат се в точка О. Трябва да докажем перпендикулярността на правата ана произволна линия мот равнината α.

Да преминем през точката Одиректен л, успоредно на правата м.По права линия аоставете настрана сегменти ОАи ОВ, и ОА = ОВ, тоест точката О- средата на сегмента АБ. Да начертаем права линия PL, .

Направо Рперпендикулярно на линията а(от условието), (по конструкция). означава, Р АБ. точка Рлежи на права линия Р. означава, RA = RV.

Направо qперпендикулярно на линията а(от условието), (по конструкция). означава, q- средно перпендикулярно на сегмента АБ. точка Влежи на права линия q. означава, QA =QB.

триъгълници ARВи BPВравни от три страни (RA = RV, QA =QB, ПQ-обща страна). Така че ъглите ARВи BPВса равни.

триъгълници НОPLи BPLравни по ъгъл и две съседни страни (∠ ARЛ= ∠BPL, RA = RV, PL- обща страна). От равенството на триъгълниците получаваме това AL=BL.

Помислете за триъгълник ABL.То е равностранно, защото AL=Б.Л.В равнобедрен триъгълник медианата LOе и височината, тоест линията LOперпендикулярно АБ.

Разбрахме това аперпендикулярно на линията л,и оттам направо м, Q.E.D.

точки А, М, Олежат на права линия, перпендикулярна на равнината α, и точките О, V, Sи длежат в α равнината (фиг. 3). Кой от следните ъгли е прав: ?

Решение

Нека разгледаме ъгъла. Направо АДе перпендикулярна на равнината α, а оттам и на правата АДе перпендикулярна на всяка права, лежаща в равнината α, включително правата IN. Означава,.

Нека разгледаме ъгъла. Направо АДперпендикулярно на линията операционна система, означава, .

Нека разгледаме ъгъла. Направо АДперпендикулярно на линията Од, означава, . Помислете за триъгълник DAO. Триъгълникът може да има само един прав ъгъл. Така че ъгълът DAM- не е директен.

Нека разгледаме ъгъла. Направо АДперпендикулярно на линията Од, означава, .

Нека разгледаме ъгъла. Това е ъгъл в правоъгълен триъгълник BMO, не може да бъде права, тъй като ъгълът меморандум за разбирателство- права.

Отговор: .

В триъгълник ABCдадено: , AC= 6 см, слънце= 8 см, СМ- медиана (фиг. 4). През върха Сдиректен SCперпендикулярно на равнината на триъгълника ABC, и SC= 12 см Намерете КМ.

Решение:

Да намерим дължината АБспоред Питагоровата теорема: (cm).

Според свойството на правоъгълен триъгълник, средата на хипотенузата Мна еднакво разстояние от върховете на триъгълника. т.е SM = AM = VM, (см).

Помислете за триъгълник KSM. Направо KSперпендикулярно на равнината ABC, което означава KSперпендикулярно СМ. Така че триъгълникът KSM- правоъгълна. Намерете хипотенузата КМот Питагоровата теорема: (виж).

1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от образователни институции (основни и профилни нива) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то издание, поправено и допълнено - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задачи 1, 2, 5, 6 стр. 57

2. Определете перпендикулярността на права и равнина.

3. Посочете двойка в куба - ръб и лице, които са перпендикулярни.

4. Точка Да сележи извън равнината на равнобедрен триъгълник ABCи на еднакво разстояние от точките ATи С. М- средата на основата слънце. Докажете, че линията слънцеперпендикулярно на равнината АКМ.

Тема: Перпендикулярност на права и равнина

Урок: Знак за перпендикулярност на права и равнина

В този урок ще повторим теорията и ще докажем теорема-знак за перпендикулярност на права и равнина.

Доказателство.

Напомняне.

триъгълници ARВи BPВравни от три страни (RA = RV, QA =QB, ПQ-обща страна). Така че ъглите ARВи BPВса равни.

Разбрахме това аперпендикулярно на линията л,и оттам направо м, Q.E.D.

Решение

Нека разгледаме ъгъла. Направо АДперпендикулярно на линията операционна система, означава, .

Нека разгледаме ъгъла. Направо АДперпендикулярно на линията Од, означава, .

Отговор: .

Решение:

Да намерим дължината АБспоред Питагоровата теорема: (cm).

Задачи 1, 2, 5, 6 стр. 57

2. Определете перпендикулярността на права и равнина.

3. Посочете двойка в куба - ръб и лице, които са перпендикулярни.

Нека фиксираме концепцията за перпендикулярност на права линия и равнина с обобщение на урока. Нека да дадем обща дефиниция, да формулираме и да докажем теоремата и да решим няколко задачи за консолидиране на материала.

От курса на геометрията е известно: две прави се считат за перпендикулярни, когато се пресичат под ъгъл от 90 o.

Във връзка с

Съученици

Теоретична част

Обръщайки се към изследването на характеристиките на пространствените фигури, ще приложим нова концепция.

определение:

Ще се каже, че правата е перпендикулярна на равнина, когато е перпендикулярна на права върху повърхност, минаваща произволно през точката на пресичане.

С други думи, ако отсечката "AB" е перпендикулярна на равнината α, тогава ъгълът на пресичане с всеки сегмент, начертан по дадена повърхност през "C", точката на преминаване на "AB" през равнината α, ще бъде 90 o.

От гореизложеното следва теоремата за знака на перпендикулярност на права и равнина:

ако линията, начертана през равнината, е перпендикулярна на две прави, начертани на равнината през пресечната точка, тогава тя е перпендикулярна на цялата равнина.

С други думи, ако на фигура 1 ъглите ACD и ACE са 90 градуса, тогава ъгълът ACF също ще бъде 90 градуса. Вижте фигура 3.

Доказателство

Съгласно условията на теоремата, правата "а" е начертана перпендикулярно на правите ди д. С други думи, ъглите ACD и ACE са 90°. Ще дадем доказателства въз основа на свойствата на равенството на триъгълниците. Вижте фигура 3.

През точка C, преминаваща през правата аначертайте права през равнината α ев произволна посока. Даваме доказателство, че той ще бъде перпендикулярен на отсечката AB или ъгълът ACF ще бъде 90 o.

По права линия аотделете отсечки с еднаква дължина AC и AB. Начертайте линия на повърхността α хв произволна посока и непреминаване през кръстовището в точка "С". Линията "x" трябва да пресича линиите e, d и f.

Свържете точки F, D и E с точки A и B с прави линии.

Да разгледаме два триъгълника ACE и BCE. Според условията на строителство:

Има две еднакви страни AC и BC.
Те имат обща CE страна на дъното.
Два равни ъгъла ACE и BCE - по 90 градуса всеки.

Следователно, според условията за равенство на триъгълниците, ако имаме две равни страни и един и същ ъгъл между тях, тогава тези триъгълници са равни. От равенството на триъгълниците следва, че страните AE и BE са равни.

Съответно е доказано равенството на триъгълниците ACD и BCD, с други думи, равенството на страните AD и BD.

Сега разгледайте два триъгълника AED и BED. От по-рано доказаното равенство на триъгълниците следва, че тези фигури имат еднакви страни AE с BE и AD с BD. Едната страна на ED е споделена. От условието за равенство на триъгълниците, определени от три страни, следва, че ъглите ADE и BDE са равни.

Сборът от ъглите ADE и ADF е 180 o. Сборът от ъглите BDE и BDF също ще бъде 180 o. Тъй като ъглите ADE и BDE са равни, ъглите ADF и BDF също са равни.

Да разгледаме два триъгълника ADF и BDF. Те имат две равни страни AD и BD (доказано по-рано), DF обща страна и равен ъгъл между тях ADF и BDF. Следователно тези триъгълници имат страни с еднаква дължина. Това означава, че страната BF има същата дължина като страната AF.

Ако разгледаме триъгълника AFB, тогава той ще бъде равнобедрен (AF е равен BF), а правата FC е медианата, тъй като според условията на конструкцията страната AC е равна на страната BC. Следователно ъгълът ACF е 90 градуса. Което трябваше да се докаже.

Важна последица от горната теорема е твърдението:

ако две успоредни пресичат равнината и единият от тях сключва ъгъл от 90 o, то вторият също преминава през равнината под ъгъл от 90 o.

Според условията на задачата a и b са успоредни. Вижте Фигура 4. Линията a е перпендикулярна на повърхност α. От това следва, че правата b също ще бъде перпендикулярна на повърхността α.

За да докажем през две точки на пресичане на успоредни прави с равнина, начертаваме права върху повърхността ° С. Според теоремата за права линия, перпендикулярна на равнина, ъгълът DAB ще бъде 90 o. От свойствата на успоредните прави следва, че ъгълът ABF също ще бъде 90 o. Следователно, по дефиниция, линията бще бъде перпендикулярна на повърхността α.

Използване на теоремата за решаване на задачи

За да фиксираме материала, използвайки основните условия на перпендикулярност на права линия и равнина, ще решим няколко проблема.

Задача №1

Условия. От точка А построете перпендикулярна права на равнината α. Вижте фигура 5.

Начертайте произволна права b върху повърхността α. Чрез правата b и точката A изграждаме повърхността β. Начертайте отсечка AB от точка A до права b. От точка B на повърхността α начертайте перпендикулярна линия ° С.

От точка А до права спуснете перпендикуляра AC. Нека докажем, че тази права ще бъде перпендикулярна на равнината.

За да докажем през точката C на повърхността α, теглим права d, успоредна на b, и през правата ° Си точка А построяваме равнина. Правата AC е перпендикулярна на правата c според условието за изграждане и перпендикулярна на правата d, като следствие от двете успоредни прави от теоремата за перпендикулярност, тъй като според условието правата b е перпендикулярна на повърхността γ.

Следователно, по дефиницията за перпендикулярност на права и равнина, конструираният сегмент AC е перпендикулярен на повърхността α.

Задача №2

Условия. Отсечката AB е перпендикулярна на равнината α. Триъгълник BDF е разположен на повърхността α и има следните параметри:

ъгъл DBF ще бъде 90 o
страна BD=12 см;
страна BF=16 см;
BC е медианата.

Вижте фигура 6.

Намерете дължината на отсечката AC, ако AB = 24 cm.

Решение. По теоремата на Питагор хипотенузата или страната DF е равна на корен квадратен от сбора на квадратите на катета. Дължината на BD на квадрат е 144 и съответно BC на квадрат ще бъде 256. Сборът е 400; като вземем корен квадратен, получаваме 20.

Медианата BC в правоъгълен триъгълник разделя хипотенузата на две равни части и е равна по дължина на тези сегменти, тоест BC = DC = CF = 10.

Теоремата на Питагор се използва отново и получаваме: хипотенузата C = 26, което е квадратен корен от 675, сборът от квадратите на катета е 576 (AB = 24 на квадрат) и 100 (BC = 10 на квадрат).

Отговор: Дължината на отсечката AC е 26 cm.