Sinus 2 pe cercul numeric. Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice

În general, această problemă merită o atenție specială, dar totul este simplu aici: la unghiul de grade, atât sinusul, cât și cosinusul sunt pozitive (vezi figura), apoi luăm semnul plus.

Acum încercați, pe baza celor de mai sus, să găsiți sinusul și cosinusul unghiurilor: și

Puteți înșela: în special pentru un unghi în grade. Deoarece dacă un unghi al unui triunghi dreptunghic este egal cu grade, atunci al doilea este egal cu grade. Acum intră în vigoare formulele cunoscute:

Apoi de când, atunci și. De atunci și. Cu grade, este și mai simplu: deci, dacă unul dintre unghiurile unui triunghi dreptunghic este egal cu grade, atunci celălalt este, de asemenea, egal cu grade, ceea ce înseamnă că un astfel de triunghi este isoscel.

Deci picioarele lui sunt egale. Deci sinus și cosinus sunt egale.

Acum găsiți-vă conform noii definiții (prin x și y!) sinusul și cosinusul unghiurilor în grade și grade. Nu există triunghiuri de desenat aici! Sunt prea plate!

Ar fi trebuit să ai:

Puteți găsi singur tangenta și cotangente folosind formulele:

Rețineți că nu puteți împărți la zero!

Acum toate numerele primite pot fi rezumate într-un tabel:

Iată valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiurilor eu sfert. Pentru comoditate, unghiurile sunt date atât în ​​grade, cât și în radiani (dar acum știți relația dintre ele!). Fiți atenți la 2 liniuțe din tabel: și anume, cotangentei de zero și tangentei de grade. Acesta nu este un accident!

În special:

Acum să generalizăm conceptul de sinus și cosinus la un unghi complet arbitrar. Voi lua în considerare două cazuri aici:

1. Unghiul variază de la la grade
2. Unghi mai mare de grade

În general, mi-am sucit puțin sufletul, vorbind despre „destul de toate” colțurile. Ele pot fi și negative! Dar vom analiza acest caz într-un alt articol. Să ne concentrăm mai întâi pe primul caz.

Dacă unghiul este în 1 sfert, atunci totul este clar, am luat deja în considerare acest caz și chiar am desenat tabele.

Acum să fie unghiul nostru mai mare decât grade și nu mai mult decât. Aceasta înseamnă că se află fie în al 2-lea, fie în al 3-lea sau al 4-lea trimestru.

Cum facem? Da, exact la fel!

Sa luam in considerare in loc de asa ceva...

... ca aceasta:

Adică, luați în considerare unghiul situat în al doilea trimestru. Ce putem spune despre el?

Punctul care este punctul de intersecție al razei și al cercului are încă 2 coordonate (nimic supranatural, nu?). Acestea sunt coordonatele și

Mai mult, prima coordonată este negativă, iar a doua este pozitivă! Înseamnă că la colțurile celui de-al doilea sfert, cosinusul este negativ, iar sinusul este pozitiv!

Uimitor, nu? Înainte de asta, nu am întâlnit niciodată un cosinus negativ.

Și, în principiu, acest lucru nu ar putea fi atunci când am considerat funcțiile trigonometrice ca rapoarte ale laturilor unui triunghi. Apropo, gândiți-vă ce unghiuri au cosinus egal? Și care are un sinus?

În mod similar, puteți lua în considerare unghiurile din toate celelalte sferturi. Vă reamintesc doar că unghiul se numără în sens invers acelor de ceasornic! (cum se vede in ultima poza!).

Desigur, puteți număra în cealaltă direcție, dar abordarea unor astfel de unghiuri va fi oarecum diferită.

Pe baza raționamentului de mai sus, este posibil să se plaseze semnele sinusului, cosinusului, tangentei (ca sinus împărțit la cosinus) și cotangente (ca cosinus împărțit la sinus) pentru toate cele patru sferturi.

Dar încă o dată repet, nu are rost să memorezi acest desen. Tot ce trebuie să știți:

Hai să ne exersăm puțin cu tine. Puzzle-uri foarte simple:

Aflați ce semn au următoarele cantități:

Sa verificam?

1. grade - acesta este un unghi, mai mare și mai mic, ceea ce înseamnă că se află în 3 sferturi. Desenați orice unghi în 3 sferturi și vedeți ce fel de y are. Va deveni negativ. Apoi.
   grade - unghi 2 sferturi. Sinusul este pozitiv, iar cosinusul este negativ. Plus împărțit la minus este minus. Mijloace.
   grade - unghi, mai mare și mai mic. Deci minte în 4 sferturi. Orice colț al celui de-al patrulea trimestru „X” va fi pozitiv, ceea ce înseamnă
2. Lucrăm cu radiani într-un mod similar: acesta este unghiul celui de-al doilea sfert (deoarece și. Sinusul celui de-al doilea sfert este pozitiv.
   .
   , acesta este colțul celui de-al patrulea trimestru. Acolo cosinus este pozitiv.
   - din nou colțul celui de-al patrulea sfert. Cosinusul este pozitiv, iar sinusul este negativ. Atunci tangenta va fi mai mica decat zero:

Poate că vă este dificil să determinați sferturi în radiani. În acest caz, puteți merge întotdeauna la grade. Răspunsul, desigur, va fi exact același.

Acum aș dori să mă opresc foarte pe scurt asupra unui alt punct. Să ne amintim din nou identitatea trigonometrică de bază.

După cum am spus, din el putem exprima sinusul prin cosinus sau invers:

Alegerea semnului va fi afectată doar de sfertul în care se află unghiul nostru alfa. Pentru ultimele două formule, există o mulțime de sarcini în examen, de exemplu, acestea sunt:

O sarcină

Găsiți dacă și.

De fapt, aceasta este o sarcină pentru un sfert! Vezi cum se rezolvă:

Soluţie

Din moment ce, atunci înlocuim valoarea aici, atunci. Acum depinde de mic: ocupă-te cu semnul. De ce avem nevoie pentru asta? Aflați în ce cartier este colțul nostru. După starea problemei: . Ce sfert este acesta? Al patrulea. Care este semnul cosinusului din al patrulea cadran? Cosinusul din al patrulea cadran este pozitiv. Apoi rămâne să alegem înainte semnul plus. , apoi.

Nu mă voi opri acum asupra unor astfel de sarcini, puteți găsi analiza lor detaliată în articolul „”. Vroiam doar să vă subliniez importanța semnului cutare sau cutare funcție trigonometrică în funcție de sfert.

Unghiuri mai mari decât grade

Ultimul lucru pe care aș dori să-l remarc în acest articol este cum să faci față unghiurilor mai mari decât grade?

Ce este și cu ce îl poți mânca ca să nu te sufoci? Să luăm, să spunem, un unghi în grade (radiani) și să mergem în sens invers acelor de ceasornic de la el...

În imagine, am desenat o spirală, dar înțelegeți că de fapt nu avem nicio spirală: avem doar un cerc.

Deci unde ajungem dacă începem dintr-un anumit unghi și trecem prin întregul cerc (grade sau radiani)?

Unde mergem? Și vom ajunge în același colț!

Același lucru este valabil, desigur, pentru orice alt unghi:

Luând un unghi arbitrar și trecând întregul cercul, vom reveni la același unghi.

Ce ne va oferi? Iată ce: dacă, atunci

De unde obținem în sfârșit:

Pentru orice număr întreg. Înseamnă că sinus și cosinus sunt funcții periodice cu o perioadă.

Astfel, nu există nicio problemă în găsirea semnului unghiului acum arbitrar: trebuie doar să aruncăm toate „cercurile întregi” care se potrivesc în colțul nostru și să aflăm în ce sfert se află colțul rămas.

De exemplu, pentru a găsi un semn:

Verificăm:

1. În grade se potrivește ori în grade (grade):
   grade rămase. Acesta este unghiul al patrulea sfert. Există un sinus negativ, deci
2. . grade. Acesta este unghiul al treilea sfert. Acolo cosinus este negativ. Apoi
3. . . De atunci - colțul primului sfert. Acolo cosinus este pozitiv. Apoi cos
4. . . Deoarece, atunci unghiul nostru se află în al doilea sfert, unde sinusul este pozitiv.

Putem face același lucru pentru tangentă și cotangentă. Cu toate acestea, de fapt, este și mai ușor cu ele: sunt și funcții periodice, doar perioada lor este de 2 ori mai mică:

Deci, înțelegeți ce este un cerc trigonometric și pentru ce este acesta.

Dar mai avem o mulțime de întrebări:

1. Ce sunt unghiurile negative?
2. Cum se calculează valorile funcțiilor trigonometrice în aceste unghiuri
3. Cum să folosiți valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice din primul trimestru pentru a căuta valorile funcțiilor din alte trimestre (chiar trebuie să înghesuiți tabelul?!)
4. Cum se folosește un cerc pentru a simplifica soluția ecuațiilor trigonometrice?

NIVEL MEDIU

Ei bine, în acest articol, vom continua să studiem cercul trigonometric și să discutăm următoarele puncte:

1. Ce sunt unghiurile negative?
2. Cum se calculează valorile funcțiilor trigonometrice în aceste unghiuri?
3. Cum să folosiți valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice din primul trimestru pentru a căuta valorile funcțiilor din alte trimestre?
4. Care este axa tangentei și axa cotangentelor?

Nu vom avea nevoie de cunoștințe suplimentare, cu excepția abilităților de bază de lucru cu un cerc unitar (articolul anterior). Ei bine, să trecem la prima întrebare: ce sunt unghiurile negative?

Unghiuri negative

Unghiuri negative în trigonometrie sunt depuse pe un cerc trigonometric în jos de la început, în sensul deplasării în sensul acelor de ceasornic:

Să ne amintim cum am trasat anterior unghiurile pe un cerc trigonometric: am mers din direcția pozitivă a axei în sens invers acelor de ceasornic:

Apoi în figura noastră se construiește un unghi egal cu. În mod similar, am construit toate colțurile.

Cu toate acestea, nimic nu ne interzice să mergem din direcția pozitivă a axei în sensul acelor de ceasornic.

Vom obține și unghiuri diferite, dar acestea vor fi deja negative:

Următoarea imagine arată două unghiuri care sunt egale ca valoare absolută, dar opuse ca semn:

În general, regula poate fi formulată după cum urmează:

• Mergem în sens invers acelor de ceasornic - obținem unghiuri pozitive
• Mergem în sensul acelor de ceasornic - obținem unghiuri negative

Schematic, regula este prezentată în această figură:

Ai putea să-mi pui o întrebare destul de rezonabilă: ei bine, avem nevoie de unghiuri pentru a măsura valorile lor de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.

Deci, există o diferență când avem un unghi pozitiv și când avem unul negativ? Îți voi răspunde: de regulă există.

Cu toate acestea, puteți oricând să reduceți calculul funcției trigonometrice de la un unghi negativ la calculul funcției în unghi pozitiv .

Uită-te la următoarea poză:

Am trasat două unghiuri, sunt egale în valoare absolută, dar au semn opus. Notați pentru fiecare dintre unghiuri sinusul și cosinusul său de pe axe.

Ce vedem tu și cu mine? Și iată ce:

• Sinusurile sunt la colțuri și sunt opuse în semn! Atunci dacă
• Cosinusurile colțurilor și coincid! Atunci dacă
• De atunci:
• De atunci:

Astfel, putem scăpa oricând de semnul negativ din interiorul oricărei funcții trigonometrice: fie pur și simplu distrugându-l, ca în cazul cosinusului, fie plasându-l în fața funcției, ca în cazul sinusului, tangentei și cotangentei.

Apropo, amintiți-vă care este numele funcției, în care pentru orice admisibil este adevărat: ?

O astfel de funcție se numește impar.

Si daca pentru vreun admisibil se indeplineste: ? În acest caz, funcția se numește par.

Astfel, tocmai am arătat că:

Astfel, după cum înțelegeți, nu există nicio diferență dacă căutăm un sinus dintr-un unghi pozitiv sau unul negativ: a face față unui minus este foarte simplu. Deci nu avem nevoie de tabele separate pentru unghiurile negative.

Pe de altă parte, trebuie să recunoașteți, ar fi foarte convenabil, cunoscând doar funcțiile trigonometrice ale unghiurilor primului sfert, să puteți calcula funcții similare pentru sferturile rămase. Se poate face? Da, cu siguranță poți! Aveți cel puțin 2 moduri: prima este să construiți un triunghi și să aplicați teorema lui Pitagora (așa am găsit valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile principale ale primului sfert) și al doilea - amintirea valorilor funcțiilor pentru unghiurile din primul trimestru și o regulă simplă, să fiți capabil să calculați funcții trigonometrice pentru toate celelalte sferturi. A doua modalitate vă va scuti de multă agitație cu triunghiuri și cu Pitagora, așa că o văd mai promițătoare:

Deci, această metodă (sau regulă) se numește - formule de reducere.

Formule turnate

În linii mari, aceste formule vă vor ajuta să nu vă amintiți un astfel de tabel (conține 98 de numere, apropo!):

dacă vă amintiți de acesta (doar 20 de numere):

Adică nu te poți deranja cu numere 78 complet inutile! Să, de exemplu, trebuie să calculăm. Este clar că nu există așa ceva la masa mică. Ce facem? Și iată ce:

În primul rând, avem nevoie de următoarele cunoștințe:

1. Sinusul și cosinusul au o perioadă (grade), adică

   Tangenta (cotangente) au o perioadă (grade)

   Orice număr întreg

2. Sinusul și tangenta sunt funcții impare, iar cosinusul este par:

Am dovedit deja prima afirmație cu dumneavoastră, iar valabilitatea celei de-a doua a fost stabilită destul de recent.

Regula reală de turnare arată astfel:

1. Dacă calculăm valoarea funcției trigonometrice dintr-un unghi negativ, o facem pozitivă folosind un grup de formule (2). De exemplu:
2. Aruncăm pentru sinus și cosinus perioadele sale: (în grade), iar pentru tangentă - (grade). De exemplu:
3. Dacă „colțul” rămas este mai mic de grade, atunci problema este rezolvată: îl căutăm în „tabelul mic”.
4. În caz contrar, căutăm în ce sfert se află colțul nostru: va fi al 2-lea, al 3-lea sau al 4-lea. Ne uităm la semnul funcției dorite în trimestru. Ține minte acest semn!
5. Reprezentați un unghi într-una din următoarele forme:

   (daca in al doilea trimestru)
   (daca in al doilea trimestru)
   (daca in al treilea trimestru)
   (daca in al treilea trimestru)
   
   (dacă în al patrulea trimestru)

   astfel încât unghiul rămas să fie mai mare decât zero și mai mic de grade. De exemplu:

   În principiu, nu contează în care dintre cele două forme alternative pentru fiecare sfert reprezinți colțul. Acest lucru nu va afecta rezultatul final.

6. Acum să vedem ce avem: dacă ați ales să înregistrați prin sau grade plus minus ceva, atunci semnul funcției nu se va schimba: doar eliminați sau și notați sinusul, cosinusul sau tangentei unghiului rămas. Dacă ați ales să înregistrați prin sau grade, atunci schimbați sinusul în cosinus, cosinus în sinus, tangentă la cotangentă, cotangentă la tangentă.
7. Punem semnul de la paragraful 4 înaintea expresiei rezultate.

Să demonstrăm toate cele de mai sus cu exemple:

1. calculati
2. calculati
3. Găsește-di-aceste semnificații tu-ra-same-nia:

Să începem în ordine:

1. Acționăm conform algoritmului nostru. Selectați un număr întreg de cercuri pentru:

   În general, tragem concluzia că întregul este plasat în colț de 5 ori, dar cât a mai rămas? Stânga. Apoi

   Ei bine, am eliminat excesul. Acum să ne ocupăm de semn. se află în 4 sferturi. Sinusul celui de-al patrulea trimestru are semnul minus și nu ar trebui să uit să îl pun în răspuns. În continuare, vă prezentăm conform uneia dintre cele două formule ale paragrafului 5 din regulile de reducere. Voi alege:

   Acum ne uităm la ce sa întâmplat: avem un caz cu grade, apoi îl aruncăm și schimbăm sinusul în cosinus. Și pune un semn minus în față!

   grade este unghiul din primul sfert. Știm (mi-ați promis că voi învăța o masă mică!!) semnificația lui:

   Apoi obținem răspunsul final:

   Răspuns:

2. totul este la fel, dar în loc de grade - radiani. E bine. Principalul lucru de reținut este că

   Dar nu puteți înlocui radianii cu grade. Este o chestiune de gust. Nu voi schimba nimic. Voi începe din nou prin a elimina cercuri întregi:

   Aruncăm - acestea sunt două cercuri întregi. Rămâne de calculat. Acest unghi este în al treilea sfert. Cosinusul celui de-al treilea trimestru este negativ. Nu uitați să puneți semnul minus în răspunsul dvs. poate fi imaginat ca. Din nou, ne amintim regula: avem cazul unui număr „întreg” (sau), atunci funcția nu se schimbă:

   Apoi.
   Răspuns: .

3. . Trebuie să faci același lucru, dar cu două funcții. Voi fi puțin mai scurt: iar gradele sunt unghiurile celui de-al doilea sfert. Cosinusul celui de-al doilea sfert are semnul minus, iar sinusul are semnul plus. poate fi reprezentat ca: dar cum, atunci

   Ambele cazuri sunt „jumătăți de întreg”. Atunci sinusul devine cosinus, iar cosinusul devine sinus. Mai mult, există un semn minus în fața cosinusului:

Răspuns: .

Acum exersați pe cont propriu cu următoarele exemple:

Și iată soluțiile:

1. 
   Mai întâi, să scăpăm de minus mutându-l în fața sinusului (deoarece sinusul este o funcție ciudată !!!). Apoi luați în considerare unghiurile:

   Aruncăm un număr întreg de cercuri - adică trei cercuri ().
   Rămâne de calculat: .
   Facem același lucru cu al doilea colț:

   Ștergeți un număr întreg de cercuri - 3 cercuri () apoi:

   Acum ne gândim: în ce cartier se află colțul rămas? El „nu ajunge” la toate. Atunci ce este un sfert? Al patrulea. Care este semnul cosinusului celui de-al patrulea sfert? Pozitiv. Acum să ne imaginăm. Deoarece scădem dintr-un număr întreg, nu schimbăm semnul cosinusului:

   Înlocuim toate datele primite în formula:

   Răspuns: .

2. 
   Standard: scoatem minusul din cosinus, folosind faptul ca.
   Rămâne de numărat cosinusul gradelor. Să eliminăm cercurile întregi: . Apoi

   Apoi.
   Răspuns: .

3. Acționăm ca în exemplul anterior.

   Deoarece vă amintiți că perioada tangentei este (sau) spre deosebire de cosinus sau sinus, în care este de 2 ori mai mare, atunci vom elimina numărul întreg.

   grade este unghiul din al doilea sfert. Tangenta celui de-al doilea trimestru este negativă, apoi să nu uităm de „minus” de la final! poate fi scris ca. Tangenta se transformă în cotangentă. În sfârșit obținem:

   Apoi.
   Răspuns: .

Ei bine, au mai rămas foarte puțini!

Axa tangentelor și axa cotangentelor

Ultimul lucru asupra căruia aș dori să mă opresc aici este pe două axe suplimentare. După cum am discutat deja, avem două axe:

1. Axa - axa cosinus
2. Axa - axa sinusoidală

De fapt, am rămas fără axe de coordonate, nu-i așa? Dar ce zici de tangente și cotangente?

Într-adevăr, pentru ei nu există o interpretare grafică?

De fapt, este, îl puteți vedea în această imagine:

În special, din aceste imagini putem spune următoarele:

1. Tangenta și cotangenta au aceleași semne în sferturi
2. Sunt pozitive în sferturile 1 și 3
3. Sunt negative în trimestrul 2 și 4
4. Tangenta nu este definită în unghiuri
5. Cotangenta nu este definită în unghiuri

Pentru ce altceva sunt aceste poze? Veți învăța la un nivel avansat, unde vă voi spune cum puteți simplifica rezolvarea ecuațiilor trigonometrice cu ajutorul unui cerc trigonometric!

NIVEL AVANSAT

În acest articol, voi descrie cum cerc unitar (cerc trigonometric) poate fi util în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

Pot evidenția două cazuri în care poate fi utilă:

1. În răspuns, nu obținem un unghi „frumos”, dar totuși trebuie să selectăm rădăcinile
2. Răspunsul este prea multe serii de rădăcini

Nu aveți nevoie de cunoștințe specifice, cu excepția cunoștințelor despre subiect:

Am încercat să scriu subiectul „ecuații trigonometrice” fără a apela la un cerc. Mulți nu m-ar lăuda pentru o astfel de abordare.

Dar eu prefer formula, deci ce poți face. Cu toate acestea, în unele cazuri, formulele nu sunt suficiente. Următorul exemplu m-a motivat să scriu acest articol:

Rezolvați ecuația:

In regula, atunci. Rezolvarea ecuației în sine este ușoară.

Înlocuire inversă:

Prin urmare, ecuația noastră originală este echivalentă cu cele mai simple patru ecuații! Chiar trebuie să scriem 4 serii de rădăcini:

În principiu, acest lucru s-ar fi putut opri. Dar nu și pentru cititorii acestui articol, care se pretinde a fi un fel de „complexitate”!

Să luăm mai întâi în considerare prima serie de rădăcini. Deci, luăm un cerc unitar, acum să aplicăm aceste rădăcini cercului (separat pentru și pentru):

Atenție: ce unghi a ieșit între colțuri și? Acesta este colțul. Acum să facem același lucru pentru seria: .

Între rădăcinile ecuației se obține din nou unghiul c. Acum să combinăm aceste două imagini:

Ce vedem? Și apoi, toate unghiurile dintre rădăcinile noastre sunt egale. Ce înseamnă?

Dacă începem de la un colț și luăm unghiuri care sunt egale (pentru orice număr întreg), atunci vom lovi întotdeauna unul dintre cele patru puncte de pe cercul de sus! Deci 2 serii de rădăcini:

Poate fi combinat într-unul singur:

Din păcate, pentru serii de rădăcini:

Aceste argumente nu mai sunt valabile. Faceți un desen și înțelegeți de ce este așa. Cu toate acestea, ele pot fi combinate astfel:

Atunci ecuația inițială are rădăcini:

Care este un răspuns destul de scurt și concis. Și ce înseamnă concizie și concizie? Despre nivelul de alfabetizare matematică.

Acesta a fost primul exemplu în care utilizarea cercului trigonometric a dat rezultate utile.

Al doilea exemplu sunt ecuațiile care au „rădăcini urâte”.

De exemplu:

1. Rezolvați ecuația.
2. Găsiți-i rădăcinile care aparțin decalajului.

Prima parte nu este dificilă.

Deoarece ești deja familiarizat cu subiectul, îmi voi permite să fiu scurt în calculele mele.

apoi sau

Așa că am găsit rădăcinile ecuației noastre. Nimic complicat.

Este mai dificil să rezolvi a doua parte a sarcinii, neștiind cu ce este exact egal cu arccosinul minus un sfert (aceasta nu este o valoare tabelară).

Cu toate acestea, putem descrie seria găsită de rădăcini pe un cerc unitar:

Ce vedem? În primul rând, figura ne-a clarificat în ce limite se află arccosinul:

Această interpretare vizuală ne va ajuta să găsim rădăcinile care aparțin segmentului: .

Mai întâi, numărul însuși intră în el, apoi (vezi fig.).

apartine si segmentului.

Astfel, cercul unitar ajută la determinarea limitelor în care se încadrează colțurile „urate”.

Ar trebui să mai ai cel puțin o întrebare: Dar ce zici de tangente și cotangente?

De fapt, au și propriile lor axe, deși au un aspect puțin specific:

În caz contrar, modul de manipulare a acestora va fi același ca cu sinus și cosinus.

Exemplu

Se dă o ecuație.

• Rezolvați această ecuație.
• Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului.

Soluţie:

Desenăm un cerc unitar și marcăm soluțiile noastre pe el:

Din figură se poate înțelege că:

Sau chiar mai mult: de atunci

Apoi găsim rădăcinile aparținând segmentului.

, (deoarece)

Vă las pe voi să vă asigurați că ecuația noastră nu are alte rădăcini care aparțin intervalului.

REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Instrumentul principal al trigonometriei este cerc trigonometric, vă permite să măsurați unghiurile, să găsiți sinusurile, cosinusurile și așa mai departe.

Există două moduri de a măsura unghiurile.

1. Prin grade
2. Prin radiani

Și invers: de la radiani la grade:

Pentru a găsi sinusul și cosinusul unui unghi, aveți nevoie de:

1. Desenați un cerc unitar cu centrul care coincide cu vârful colțului.
2. Găsiți punctul de intersecție al acestui unghi cu cercul.
3. Coordonata sa „x” este cosinusul unghiului dorit.
4. Coordonata sa de „joc” este sinusul unghiului dorit.

Formule turnate

Acestea sunt formule care vă permit să simplificați expresiile complexe ale unei funcții trigonometrice.

Aceste formule vă vor ajuta să nu vă amintiți un astfel de tabel:

Rezumând

Ai învățat cum să faci un pinten de trigonometrie universal.

Ați învățat să rezolvați problemele mult mai ușor și mai rapid și, cel mai important, fără erori.

Ți-ai dat seama că nu trebuie să înghesui nicio masă și, în general, este puțin de înghesuit!

Acum vreau să aud de la tine!

Ați reușit să vă ocupați de acest subiect complex?

Ce ți-a plăcut? Ce nu ți-a plăcut?

Poate ai găsit o greșeală?

Scrieți în comentarii!

Si mult succes la examen!

Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de orice nivel de complexitate se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Și în acest sens, cercul trigonometric se dovedește din nou a fi cel mai bun ajutor.

Amintiți-vă definițiile cosinusului și sinusului.

Cosinusul unui unghi este abscisa (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător rotației cu un unghi dat.

Sinusul unui unghi este ordonata (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător rotației unui unghi dat.

Direcția pozitivă a mișcării de-a lungul cercului trigonometric este considerată a fi mișcarea în sens invers acelor de ceasornic. O rotație de 0 grade (sau 0 radiani) corespunde unui punct cu coordonatele (1; 0)

Folosim aceste definiții pentru a rezolva cele mai simple ecuații trigonometrice.

1. Rezolvați ecuația

Această ecuație este îndeplinită de toate aceste valori ale unghiului de rotație, care corespund punctelor cercului, a căror ordonată este egală cu .

Să marchem un punct cu ordonată pe axa y:

Desenați o linie orizontală paralelă cu axa x până când se intersectează cu cercul. Vom obține două puncte situate pe un cerc și având o ordonată. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație ale și radianilor:

Dacă, lasând punctul corespunzător unghiului de rotație pe radian, ocolim un cerc complet, atunci vom ajunge la un punct corespunzător unghiului de rotație pe radian și având aceeași ordonată. Adică, acest unghi de rotație satisface și ecuația noastră. Putem face câte viraje „în gol” ne dorim, revenind în același punct, iar toate aceste valori ale unghiului ne vor satisface ecuația. Numărul de rotații „în gol” este notat cu litera (sau). Deoarece putem face aceste revoluții atât în ​​direcții pozitive, cât și în direcții negative, (sau ) poate lua orice valoare întreagă.

Adică, prima serie de soluții la ecuația originală are forma:

, , - set de numere întregi (1)

În mod similar, a doua serie de soluții are forma:

, Unde , . (2)

După cum ați ghicit, această serie de soluții se bazează pe punctul cercului corespunzător unghiului de rotație cu .

Aceste două serii de soluții pot fi combinate într-o singură intrare:

Dacă luăm această intrare (adică chiar), atunci vom obține prima serie de soluții.

Dacă luăm această intrare (adică impar), atunci vom obține a doua serie de soluții.

2. Acum să rezolvăm ecuația

Deoarece abscisa punctului cercului unitar este obtinuta prin rotirea prin unghi, marcam pe axa un punct cu abscisa:

Desenați o linie verticală paralelă cu axa până când se intersectează cu cercul. Vom obține două puncte situate pe un cerc și având o abscisă. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație de și radiani. Amintiți-vă că atunci când ne deplasăm în sensul acelor de ceasornic, obținem un unghi negativ de rotație:

Scriem două serii de soluții:

,

,

(Ajungem la punctul potrivit trecând din cercul complet principal, adică.

Să combinăm aceste două serii într-o singură postare:

3. Rezolvați ecuația

Linia tangentelor trece prin punctul cu coordonatele (1,0) ale cercului unitar paralel cu axa OY

Marcați un punct pe el cu o ordonată egală cu 1 (căutăm tangenta a cărei unghiuri este 1):

Conectați acest punct la origine cu o linie dreaptă și marcați punctele de intersecție ale dreptei cu cercul unitar. Punctele de intersecție ale dreptei și cercului corespund unghiurilor de rotație pe și:

Deoarece punctele corespunzătoare unghiurilor de rotație care satisfac ecuația noastră se află la radiani una de cealaltă, putem scrie soluția după cum urmează:

4. Rezolvați ecuația

Linia cotangentelor trece prin punctul cu coordonatele cercului unitar paralel cu axa.

Marcam un punct cu abscisa -1 pe linia cotangentelor:

Conectați acest punct la originea dreptei și continuați-l până când se intersectează cu cercul. Această linie va intersecta cercul în puncte corespunzătoare unghiurilor de rotație ale și radianilor:

Deoarece aceste puncte sunt separate unul de celălalt printr-o distanță egală cu , atunci putem scrie soluția generală a acestei ecuații după cum urmează:

În exemplele date, ilustrând soluția celor mai simple ecuații trigonometrice, s-au folosit valori tabelare ale funcțiilor trigonometrice.

Cu toate acestea, dacă există o valoare care nu este tabelă în partea dreaptă a ecuației, atunci înlocuim valoarea în soluția generală a ecuației:

SOLUTII SPECIALE:

Marcați punctele de pe cerc a cărui ordonată este 0:

Marcați un singur punct pe cerc, a cărui ordonată este egală cu 1:

Marcați un singur punct pe cerc, a cărui ordonată este egală cu -1:

Deoarece se obișnuiește să se indice valorile cele mai apropiate de zero, scriem soluția după cum urmează:

Marcați punctele de pe cerc, a cărui abscisă este 0:

5.
Să marchem un singur punct pe cerc, a cărui abscisă este egală cu 1:

Marcați un singur punct pe cerc, a cărui abscisă este egală cu -1:

Și câteva exemple mai complexe:

1.

Sinusul este unul dacă argumentul este

Argumentul sinusului nostru este , deci obținem:

Împărțiți ambele părți ale ecuației la 3:

Răspuns:

2.

Cosinusul este zero dacă argumentul cosinus este

Argumentul cosinusului nostru este , deci obținem:

Exprimăm , pentru aceasta ne deplasăm mai întâi la dreapta cu semnul opus:

Simplificați partea dreaptă:

Împărțiți ambele părți la -2:

Rețineți că semnul înainte de termen nu se schimbă, deoarece k poate lua orice valoare întreagă.

Răspuns:

Și în concluzie, urmăriți tutorialul video „Selectarea rădăcinilor într-o ecuație trigonometrică folosind un cerc trigonometric”

Astfel se încheie conversația despre rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Data viitoare vom vorbi despre cum să rezolvăm.

Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice

Notă. Acest tabel de valori ale funcțiilor trigonometrice folosește semnul √ pentru a desemna rădăcina pătrată. Pentru a desemna o fracție - simbolul „/”.

Vezi si materiale utile:

Pentru determinarea valorii unei funcţii trigonometrice, găsiți-l la intersecția dreptei care indică funcția trigonometrică. De exemplu, un sinus de 30 de grade - căutăm o coloană cu titlul sin (sinus) și găsim intersecția acestei coloane a tabelului cu linia „30 de grade”, la intersecția lor citim rezultatul - unul al doilea. În mod similar, găsim cosinus 60 grade, sinus 60 grade (din nou, la intersecția coloanei sin (sinus) și rândul de 60 de grade, găsim valoarea sin 60 = √3/2), etc. În același mod, se găsesc valorile sinusurilor, cosinusurilor și tangentelor altor unghiuri „populare”.

Sinusul lui pi, cosinusul lui pi, tangenta lui pi și alte unghiuri în radiani

Tabelul de cosinus, sinusuri și tangente de mai jos este, de asemenea, potrivit pentru a afla valoarea funcțiilor trigonometrice al căror argument este dat în radiani. Pentru a face acest lucru, utilizați a doua coloană de valori unghiulare. Datorită acestui fapt, puteți converti valoarea unghiurilor populare de la grade la radiani. De exemplu, să găsim unghiul de 60 de grade în prima linie și să citim valoarea lui în radiani sub el. 60 de grade este egal cu π/3 radiani.

Numărul pi exprimă în mod unic dependența circumferinței unui cerc de măsura gradului unghiului. Deci pi radiani este egal cu 180 de grade.

Orice număr exprimat în termeni de pi (radian) poate fi ușor convertit în grade prin înlocuirea numărului pi (π) cu 180.

Exemple:
1. sine pi.
sin π = sin 180 = 0
astfel, sinusul lui pi este același cu sinusul de 180 de grade și este egal cu zero.

2. cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
astfel, cosinusul lui pi este același cu cosinusul de 180 de grade și este egal cu minus unu.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
deci tangenta lui pi este aceeași cu tangenta de 180 de grade și este egală cu zero.

Tabelul valorilor sinus, cosinus, tangente pentru unghiuri 0 - 360 de grade (valori frecvente)

Dacă în tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice, în loc de valoarea funcției, este indicată o liniuță (tangentă (tg) 90 de grade, cotangentă (ctg) 180 de grade), atunci pentru o anumită valoare a gradului de măsură a unghiul, funcția nu are o valoare definită. Dacă nu există liniuță - celula este goală, atunci nu am intrat încă valoarea dorită. Suntem interesați de ce solicitări vin utilizatorii la noi și completăm tabelul cu noi valori, în ciuda faptului că datele actuale privind valorile cosinusurilor, sinusurilor și tangentelor celor mai comune valori unghiulare sunt suficiente pentru a rezolva cele mai multe Probleme.

Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice sin, cos, tg pentru cele mai populare unghiuri
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 de grade
(valori numerice „conform tabelelor Bradis”)

Valorile sinusului sunt în intervalul [-1; 1], adică -1 ≤ sin α ≤ 1. Prin urmare, dacă |a| > 1, atunci ecuația sin x = a nu are rădăcini. De exemplu, ecuația sin x = 2 nu are rădăcini.

Să trecem la câteva sarcini.

Rezolvați ecuația sin x = 1/2.

Soluţie.

Rețineți că sin x este ordonata punctului cercului unitar, care se obține ca urmare a rotației punctului Р (1; 0) cu unghiul x în jurul originii.

O ordonată egală cu ½ este prezentă în două puncte ale cercului M 1 și M 2.

Deoarece 1/2 \u003d sin π / 6, atunci punctul M 1 se obține din punctul P (1; 0) prin rotirea prin unghiul x 1 \u003d π / 6, precum și prin unghiurile x \u003d π / 6 + 2πk, unde k \u003d +/-1, +/-2, …

Punctul M 2 se obține din punctul P (1; 0) ca urmare a rotării prin unghiul x 2 = 5π/6, precum și prin unghiurile x = 5π/6 + 2πk, unde k = +/- 1, +/-2, ... , adică la unghiurile x = π – π/6 + 2πk, unde k = +/-1, +/-2, ….

Deci, toate rădăcinile ecuației sin x = 1/2 pot fi găsite prin formulele x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk, unde k € Z.

Aceste formule pot fi combinate într-una singură: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, unde n € Z (1).

Într-adevăr, dacă n este un număr par, i.e. n = 2k, atunci din formula (1) se obține х = π/6 + 2πk, iar dacă n este un număr impar, i.e. n = 2k + 1, apoi din formula (1) obținem х = π – π/6 + 2πk.

Răspuns. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, unde n € Z.

Rezolvați ecuația sin x = -1/2.

Soluţie.

Ordonatele -1/2 au două puncte ale cercului unitar M 1 și M 2, unde x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Prin urmare, toate rădăcinile ecuației sin x = -1/2 pot fi găsite prin formulele x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Putem combina aceste formule într-una: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).

Într-adevăr, dacă n = 2k, atunci prin formula (2) obținem x = -π/6 + 2πk, iar dacă n = 2k – 1, atunci prin formula (2) găsim x = -5π/6 + 2πk.

Răspuns. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.

Astfel, fiecare dintre ecuațiile sin x = 1/2 și sin x = -1/2 are un număr infinit de rădăcini.

Pe segmentul -π/2 ≤ x ≤ π/2, fiecare dintre aceste ecuații are o singură rădăcină:
x 1 \u003d π / 6 - rădăcina ecuației sin x \u003d 1/2 și x 1 \u003d -π / 6 - rădăcina ecuației sin x \u003d -1/2.

Numărul π/6 se numește arcsinus al numărului 1/2 și se scrie: arcsin 1/2 = π/6; numărul -π/6 se numește arcsinus al numărului -1/2 și scriu: arcsin (-1/2) = -π/6.

În general, ecuația sin x \u003d a, unde -1 ≤ a ≤ 1, pe segmentul -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 are o singură rădăcină. Dacă a ≥ 0, atunci rădăcina este închisă în interval; în cazul în care un< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

Astfel, arcsinusul numărului a € [–1; 1] un astfel de număr se numește € [–π/2; π/2], al cărui sinus este a.

arcsin a = α dacă sin α = a și -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).

De exemplu, arcsin √2/2 = π/4, deoarece sin π/4 = √2/2 și – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, deoarece sin (-π/3) = -√3/2 și – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2.

La fel ca la rezolvarea problemelor 1 și 2, se poate demonstra că rădăcinile ecuației sin x = a, unde |a| ≤ 1 sunt exprimate prin formula

x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n € Z (4).

De asemenea, putem demonstra că pentru orice a € [-1; 1] formula arcsin (-a) = -arcsin a este valabilă.

Din formula (4) rezultă că rădăcinile ecuației
sin x \u003d a pentru a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 poate fi găsit folosind formule mai simple:

sin x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)

sin x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)

sin x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Pe un cerc trigonometric, pe lângă unghiurile în grade, observăm.

Mai multe despre radiani:

Un radian este definit ca valoarea unghiulară a unui arc a cărui lungime este egală cu raza sa. În consecință, întrucât circumferința este , atunci este evident că radianul se încadrează în cerc, adică

1 rad ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

Toată lumea știe că un radian este

Deci, de exemplu, , un . Așa noi Aflați cum să convertiți radianii în unghiuri.

Acum invers să convertim grade în radiani.

Să presupunem că trebuie să convertim în radiani. Ne va ajuta. Procedăm astfel:

Deoarece, radian, apoi completați tabelul:

Ne antrenăm să găsim valorile sinusului și cosinusului într-un cerc

Să lămurim următoarele.

Ei bine, este bine dacă ni se cere să calculăm, să zicem, - de obicei nu există confuzie aici - toată lumea începe să se uite mai întâi pe cerc.

Și dacă li se cere să calculeze, de exemplu, ... Mulți, brusc, încep să nu înțeleagă unde să caute acest zero ... Adesea îl caută la origine. De ce?

1) Să fim de acord odată pentru totdeauna! Ceea ce vine după sau este argument=unghi, și colțurile noastre sunt pe cerc, nu le căuta pe axa x!(Doar că punctele individuale cad atât pe cerc, cât și pe axă ...) Și valorile sinusurilor și cosinusurilor în sine - le căutăm pe axe!

2) Și mai mult! Dacă plecăm de la punctul de plecare în sens invers acelor de ceasornic(direcția principală de ocolire a cercului trigonometric), apoi lăsăm deoparte valorile pozitive ale unghiurilor, unghiurile cresc pe măsură ce ne deplasăm în acea direcție.

Dacă plecăm de la punctul de plecare în sensul acelor de ceasornic, apoi lăsăm deoparte valorile negative ale unghiurilor.

Exemplul 1

Găsiți valoare.

Soluţie:

Găsim pe cerc. Proiectăm punctul pe axa sinusoidală (adică desenăm o perpendiculară de la punct la axa sinusoidală (oy)).

Ajungem la 0. Prin urmare, .

Exemplul 2

Găsiți valoare.

Soluţie:

Gasim pe cerc (trecem in sens invers acelor de ceasornic si nu numai). Proiectăm un punct pe axa sinusoidală (și acesta deja se află pe axa sinusală).

Cădem în -1 de-a lungul axei sinusoidale.

Rețineți că în spatele punctului „ascuns” se află puncte precum (am putea merge la punctul marcat ca în sensul acelor de ceasornic, ceea ce înseamnă că apare un semn minus) și la infinit multe altele.

Se poate face următoarea analogie:

Imaginați-vă un cerc trigonometric ca o bandă de alergare pe stadion.

La urma urmei, poți ajunge în punctul „Flag”, eu încep în sens invers acelor de ceasornic, alergând, să zicem, 300 m. Sau alergând, să zicem, 100 m în sensul acelor de ceasornic (considerăm că lungimea pistei este de 400 m).

Și puteți ajunge, de asemenea, în punctul „Flag” (după „start”) alergând, să zicem, 700 m, 1100 m, 1500 m etc. în sens invers acelor de ceasornic. Puteți ajunge la Punctul Drapelului alergând 500 m sau 900 m, etc. în sensul acelor de ceasornic de la început.

Extindeți mental banda de alergare a stadionului într-o linie numerică. Imaginează-ți unde pe această linie vor fi, de exemplu, valorile 300, 700, 1100, 1500 etc. Vom vedea puncte pe linia numerică, echidistante unele de altele. Să ne întoarcem. Punctele „se lipesc împreună” într-unul singur.

Așa este și cu cercul trigonometric. În spatele fiecărui punct se află infinite altele.

Să spunem unghiuri , , , etc. prezentat ca un singur punct. Și valorile sinusului, cosinusului în ele, desigur, sunt aceleași. (Ați observat că am adăugat/scăzut sau? Aceasta este perioada pentru funcția sinus și cosinus.)

Exemplul 3

Găsiți valoare.

Soluţie:

Să ne transformăm în grade pentru simplitate.

(mai târziu, când vă obișnuiți cu cercul trigonometric, nu va trebui să convertiți radianii în grade):

Ne vom deplasa în sensul acelor de ceasornic din punctul Să mergem cu o jumătate de cerc () și mai mult

Înțelegem că valoarea sinusului coincide cu valoarea sinusului și este egală cu

Rețineți că dacă am lua, de exemplu, sau, etc., atunci am obține aceeași valoare a sinusului.

Exemplul 4

Găsiți valoare.

Soluţie:

Cu toate acestea, nu vom converti radianii în grade, ca în exemplul anterior.

Adică, trebuie să mergem în sens invers acelor de ceasornic o jumătate de cerc și un alt sfert de jumătate de cerc și să proiectăm punctul rezultat pe axa cosinus (axa orizontală).

Exemplul 5

Găsiți valoare.

Soluţie:

Cum se trasează pe un cerc trigonometric?

Dacă trecem sau, da, cel puțin, vom ajunge totuși în punctul pe care l-am desemnat drept „start”. Prin urmare, puteți merge imediat la un punct din cerc

Exemplul 6

Găsiți valoare.

Soluţie:

Vom ajunge la un punct (ne va conduce oricum la punctul zero). Proiectăm punctul cercului pe axa cosinusului (vezi cercul trigonometric), intrăm în. Acesta este .

Cercul trigonometric - în mâinile tale

Ați înțeles deja că principalul lucru este să vă amintiți valorile funcțiilor trigonometrice din primul trimestru. În sferturile rămase, totul este similar, trebuie doar să urmați semnele. Și sper că nu veți uita „scara-lanț” a valorilor funcțiilor trigonometrice.

Cum să găsești valori tangente și cotangente unghiurile principale.

După aceea, făcând cunoștință cu valorile de bază ale tangentei și cotangentei, poti trece

Pe un șablon de cerc gol. Tren!