Ce înseamnă a reprezenta un polinom în formă standard. Învățarea să aducă polinoamele la forma standard

În această lecție, vom aminti principalele definiții ale acestui subiect și vom lua în considerare câteva sarcini tipice, și anume, aducerea unui polinom într-o formă standard și calcularea unei valori numerice pentru valori variabile date. Vom rezolva câteva exemple în care se va aplica reducerea la forma standard pentru a rezolva diferite tipuri de probleme.

Subiect:Polinomiale. Operații aritmetice pe monomii

Lecţie:Reducerea unui polinom la o formă standard. Sarcini tipice

Amintiți-vă definiția de bază: un polinom este suma monomiilor. Fiecare monom care face parte dintr-un polinom ca termen este numit membru al său. De exemplu:

Binom;

polinom;

Binom;

Deoarece polinomul este format din monomii, de aici urmează prima acțiune cu polinomul - trebuie să aduceți toate monomiile la forma standard. Amintiți-vă că pentru aceasta trebuie să înmulțiți toți factorii numerici - să obțineți un coeficient numeric și să înmulțiți puterile corespunzătoare - să obțineți partea de literă. În plus, să acordăm atenție teoremei despre produsul puterilor: la înmulțirea puterilor, exponenții acestora se adună.

Luați în considerare o operație importantă - aducerea unui polinom într-o formă standard. Exemplu:

Comentariu: pentru a aduce polinomul la forma standard, trebuie să aduceți la forma standard toate monomiile care fac parte din acesta, după aceea, dacă există monomii similare - și acestea sunt monomii cu aceeași parte de literă - efectuați acțiuni cu ei.

Deci, am luat în considerare prima problemă tipică - aducerea unui polinom într-o formă standard.

Următoarea sarcină tipică este calcularea unei valori specifice a unui polinom pentru valori numerice date ale variabilelor incluse în acesta. Să continuăm să luăm în considerare exemplul anterior și să setăm valorile variabilelor:

Comentariu: Amintiți-vă că unu în orice putere naturală este egal cu unu și zero în orice putere naturală este egal cu zero, în plus, ne amintim că atunci când înmulțim orice număr cu zero, obținem zero.

Luați în considerare o serie de exemple de operații tipice de aducere a unui polinom într-o formă standard și de calculare a valorii acestuia:

Exemplul 1 - aduceți la forma standard:

Comentariu: prima acțiune - aducem monomiile la forma standard, trebuie să aduceți primul, al doilea și al șaselea; a doua acțiune - dăm membri similari, adică efectuăm asupra lor operațiile aritmetice date: adăugăm primul la a cincea, a doua la a treia, rescriem restul fără modificări, deoarece nu au altele asemănătoare.

Exemplul 2 - calculați valoarea polinomului din exemplul 1 având în vedere valorile variabilelor:

Comentariu: atunci când calculați, trebuie amintit că o unitate în orice grad natural este o unitate, dacă este dificil să calculați puteri de doi, puteți utiliza tabelul de putere.

Exemplul 3 - în loc de asterisc, puneți un astfel de monom, astfel încât rezultatul să nu conțină o variabilă:

Comentariu: indiferent de sarcină, prima acțiune este întotdeauna aceeași - pentru a aduce polinomul la forma standard. În exemplul nostru, această acțiune se reduce la casting ca membri. După aceea, ar trebui să citiți cu atenție starea din nou și să vă gândiți cum putem scăpa de monom. este evident că pentru aceasta trebuie să-i adăugați același monom, dar cu semnul opus -. apoi înlocuim asteriscul cu acest monom și ne asigurăm că decizia noastră este corectă.

Definiție 3.3. monom numită expresie care este un produs de numere, variabile și puteri cu un exponent natural.

De exemplu, fiecare dintre expresii
,
este un monom.

Ei spun că monomul are vedere standard , dacă conține în primul rând un singur factor numeric, iar fiecare produs al variabilelor identice din el este reprezentat printr-un grad. Se numește factorul numeric al unui monom scris în formă standard coeficientul monomial . Gradul unui monom este suma exponenților tuturor variabilelor sale.

Definiție 3.4. polinom se numește suma monomiilor. Monomiile care alcătuiesc un polinom se numescmembrii polinomului .

Termeni similari - monomii într-un polinom - se numesc membri similari ai polinomului .

Definiția 3.5. Polinom de formă standard se numește polinom în care toți termenii sunt scriși în formă standard și sunt dați termeni similari.Gradul unui polinom de formă standard numește cea mai mare dintre puterile monomiilor sale.

De exemplu, este un polinom al formei standard de gradul al patrulea.

Acțiuni asupra monoamelor și polinoamelor

Suma și diferența polinoamelor pot fi convertite într-o formă standard de polinom. Când se adună două polinoame, se scriu toți termenii lor și se dau termeni similari. La scădere, semnele tuturor termenilor polinomului de scădere sunt inversate.

De exemplu:

Membrii unui polinom pot fi împărțiți în grupuri și încadrați între paranteze. Deoarece aceasta este transformarea identică inversă expansiunii parantezelor, se stabilește următoarele: regula parantezei: dacă înaintea parantezelor este plasat un semn plus, atunci toți termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semnele lor; dacă un semn minus este plasat în fața parantezelor, atunci toți termenii încadrați între paranteze sunt scrieți cu semne opuse.

De exemplu,

Regula pentru înmulțirea unui polinom cu un polinom: pentru a înmulți un polinom cu un polinom, este suficient să înmulți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt polinom și să adunăm produsele rezultate.

De exemplu,

Definiție 3.6. Polinom într-o variabilă grad se numește expresie a formei

Unde
- orice numere care sunt numite coeficienți polinomiali , și
,este un întreg nenegativ.

Dacă
, apoi coeficientul numit coeficientul de conducere al polinomului
, monom
- a lui membru senior , coeficient – membru liber .

Dacă în loc de o variabilă într-un polinom
înlocuiți un număr real , atunci rezultatul este un număr real
, Care e numit valoare polinomială
la
.

Definiție 3.7. Număr numitrădăcină polinomială
, dacă
.

Luați în considerare împărțirea unui polinom cu un polinom, unde
Și - numere întregi. Împărțirea este posibilă dacă gradul polinomului divizibil
nu mai mic decât gradul polinomului divizor
, adică
.

Divizarea polinomului
la un polinom
,
, înseamnă a găsi două astfel de polinoame
Și
, la

În același timp, polinomul
grad
numit polinom coeficient ,
– rest ,
.

Observația 3.2. Dacă divizor
–nu un polinom nul, apoi diviziune
pe
,
, este întotdeauna fezabilă, iar câtul și restul sunt determinate în mod unic.

Observația 3.3. În cazul când
pentru toți , adică

spune că este un polinom
complet divizat(sau distribuie)la un polinom
.

Împărțirea polinoamelor se realizează în mod similar cu împărțirea numerelor cu mai multe valori: mai întâi, membrul senior al polinoamului divizibil este împărțit la membrul senior al polinomului divizor, apoi câtul din împărțirea acestor membri, care va fi membrul senior. al coeficientului polinomul, se înmulțește cu polinomul divizor și produsul rezultat se scade din polinomul divizibil . Ca urmare, se obține un polinom - primul rest, care este împărțit la polinomul divizor în același mod și se găsește al doilea termen al polinomului coeficient. Acest proces este continuat până când se obține un rest zero sau gradul polinomului rămas este mai mic decât gradul polinomului divizor.

Când împărțiți un polinom la un binom, puteți utiliza schema lui Horner.

Schema lui Horner

Să fie necesar să se împartă polinomul

într-un binom
. Notați câtul de diviziune ca polinom

iar restul este . Sens , coeficienții polinoamelor
,
iar restul scriem in urmatoarea forma:

În această schemă, fiecare dintre coeficienți
,
,
, …,se obține din numărul anterior al rândului de jos prin înmulțirea cu numărul si adaugand la rezultatul obtinut numarul corespunzator al liniei superioare deasupra coeficientului dorit. Dacă vreun grad este absent în polinom, atunci coeficientul corespunzător este egal cu zero. După ce am determinat coeficienții conform schemei de mai sus, notăm coeficientul

iar rezultatul împărțirii, dacă
,

sau ,

dacă
,

Teorema 3.1. Pentru o fracție ireductibilă (

,

)a fost rădăcina polinomului
cu coeficienți întregi, este necesar ca numărul a fost împărțitorul termenului liber , și numărul - divizorul celui mai mare coeficient .

Teorema 3.2. (teorema lui Bezout ) Rest din împărțirea unui polinom
într-un binom
egală cu valoarea polinomului
la
, adică
.

La împărțirea unui polinom
într-un binom
avem egalitatea

Este adevărat, în special, pentru
, adică
.

Exemplul 3.2.Împarte la
.

Soluţie. Să aplicăm schema lui Horner:

Prin urmare,

Exemplul 3.3.Împarte la
.

Soluţie. Să aplicăm schema lui Horner:

Prin urmare,

,

Exemplul 3.4.Împarte la
.

Soluţie.

Drept urmare, obținem

Exemplul 3.5. Divide
pe
.

Soluţie. Să facem împărțirea polinoamelor pe o coloană:

Apoi primim

.

Uneori este util să se reprezinte un polinom ca un produs egal al a două sau mai multe polinoame. O astfel de transformare identică se numește factorizarea unui polinom . Să luăm în considerare principalele modalități de astfel de descompunere.

Scoaterea factorului comun din paranteze. Pentru a factoriza un polinom prin scoaterea din paranteze a factorului comun, este necesar:

1) găsiți factorul comun. Pentru a face acest lucru, dacă toți coeficienții polinomului sunt numere întregi, cel mai mare divizor comun modulo al tuturor coeficienților polinomului este considerat coeficientul factorului comun și fiecare variabilă inclusă în toți termenii polinomului este luată cu cel mai mare exponent pe care îl are în acest polinom;

2) găsiți câtul de împărțire a unui polinom dat la un factor comun;

3) notează produsul factorului comun și coeficientul rezultat.

gruparea de membri. La descompunerea unui polinom în factori prin metoda grupării, membrii acestuia sunt împărțiți în două sau mai multe grupuri astfel încât fiecare dintre ele să poată fi transformat într-un produs, iar produsele rezultate ar avea un factor comun. După aceea, se aplică metoda de inserare a factorului comun al termenilor nou transformați.

Aplicarea formulelor de înmulțire abreviate. În cazurile în care polinomul urmează a fi descompus factorizat, are forma laturii drepte a unei formule de înmulțire prescurtate, factorizarea acesteia se realizează folosind formula corespunzătoare scrisă într-o ordine diferită.

Lasa

, atunci următoarele sunt adevărate. formule de multiplicare prescurtate:

Introducerea de noi membri auxiliari. Această metodă constă în faptul că polinomul este înlocuit cu un alt polinom, identic egal cu acesta, dar care conține un număr diferit de termeni, prin introducerea a doi termeni opuși sau prin înlocuirea oricărui termen cu suma monomiilor similare identic egale cu acesta. Înlocuirea se face în așa fel încât metoda de grupare a termenilor să poată fi aplicată la polinomul rezultat.

Exemplul 3.6..

Soluţie. Toți termenii polinomului conțin un factor comun
. Prin urmare,.

Răspuns: .

Exemplul 3.7.

Soluţie. Grupăm separat termenii care conțin coeficientul , și membri care conțin . Punând paranteze factorii comuni ai grupurilor, obținem:

.

Răspuns:
.

Exemplul 3.8. Factorizați un polinom
.

Soluţie. Folosind formula de înmulțire prescurtată corespunzătoare, obținem:

Răspuns: .

Exemplul 3.9. Factorizați un polinom
.

Soluţie. Folosind metoda grupării și formula de înmulțire prescurtată corespunzătoare, obținem:

.

Răspuns: .

Exemplul 3.10. Factorizați un polinom
.

Soluţie. Să înlocuim pe
, grupați membrii, aplicați formulele de înmulțire prescurtate:

.

Răspuns:
.

Exemplul 3.11. Factorizați un polinom

Soluţie. Pentru că ,
,
, apoi

În studierea subiectului polinoamelor, merită menționat separat faptul că polinoamele se găsesc atât în ​​forme standard, cât și în forme nestandard. În acest caz, un polinom de formă nestandard poate fi redus la o formă standard. De fapt, această întrebare va fi analizată în acest articol. Vom repara explicațiile cu exemple cu o descriere detaliată pas cu pas.

Sensul aducerii unui polinom la o formă standard

Să ne adâncim puțin în conceptul în sine, acțiunea - „reducerea unui polinom la o formă standard”.

Polinoamele, ca orice alte expresii, pot fi transformate identic. Ca rezultat, în acest caz obținem expresii care sunt identic egale cu expresia originală.

Definiția 1

Aduceți polinomul la forma standard– înseamnă înlocuirea polinomului inițial cu un polinom de forma standard egală cu acesta, obținut din polinomul original folosind transformări identice.

Metodă de reducere a unui polinom la o formă standard

Să discutăm subiectul exact ce transformări identice vor aduce polinomul la forma standard.

Definiția 2

Conform definiției, fiecare polinom de formă standard constă din monomii de formă standard și nu conține astfel de termeni. Un polinom cu o formă nestandard poate include monomii cu o formă nestandard și termeni similari. Din cele de mai sus, se deduce în mod natural o regulă care spune cum să aduceți polinomul la forma standard:

• în primul rând, monomiile care constituie polinomul dat sunt aduse la forma standard;
• atunci termenii similari se reduc.

Exemple și soluții

Să examinăm în detaliu exemplele în care aducem polinomul la forma standard. Vom respecta regula de mai sus.

Rețineți că uneori termenii polinomului în starea inițială au deja o formă standard și rămâne doar să aduceți termeni similari. Se întâmplă ca după primul pas de acțiuni să nu existe astfel de membri, apoi sărim peste al doilea pas. În cazuri generale, este necesar să se efectueze ambele acțiuni din regula de mai sus.

Exemplul 1

Polinoamele sunt date:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 ,

0 , 8 + 2 a 3 0 , 6 − b a b 4 b 5 ,

2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 .

Este necesar să le aduceți la forma standard.

Soluţie

consideră mai întâi polinomul 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : membrii săi au o formă standard, nu există membri similari, ceea ce înseamnă că polinomul este dat într-o formă standard și nu sunt necesare acțiuni suplimentare.

Acum să analizăm polinomul 0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 − b · a · b 4 · b 5 . Include monomii nestandard: 2 · a 3 · 0, 6 și − b · a · b 4 · b 5 , adică. avem nevoie de a aduce polinomul la forma standard, pentru care prima acțiune este de a transforma monomiile în forma standard:

2 a 3 0, 6 = 1, 2 a 3;

− b a b 4 b 5 = − a b 1 + 4 + 5 = − a b 10 , deci obținem următorul polinom:

0 , 8 + 2 a 3 0 , 6 − b a b 4 b 5 = 0 8 + 1 2 a 3 − a b 10 .

În polinomul rezultat, toți membrii sunt standard, nu există astfel de membri, ceea ce înseamnă că acțiunile noastre de a aduce polinomul la forma standard sunt finalizate.

Luați în considerare al treilea polinom dat: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

Aducem membrii săi la forma standard și obținem:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 .

Vedem că polinomul conține termeni similari, vom reduce termeni similari:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x y + (9 - 8) = = x 2 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - xy + 1 = = x 2 17 7 - 13 7 - 4 7 - xy + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

Astfel, polinomul dat 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 a luat forma standard − x y + 1 .

Răspuns:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1- polinomul este dat ca standard;

0 8 + 2 a 3 0 6 − b a b 4 b 5 = 0 8 + 1 2 a 3 − a b 10;

2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 = - x y + 1 .

În multe probleme, acțiunea de a aduce un polinom într-o formă standard este una intermediară atunci când se caută un răspuns la o întrebare dată. Să luăm în considerare un astfel de exemplu.

Exemplul 2

Dat un polinom 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 . 5 z 2 + z 3 . Este necesar să o aduceți la forma standard, să indicați gradul său și să aranjați termenii polinomului dat în puteri descrescătoare ale variabilei.

Soluţie

Aducem termenii polinomului dat la forma standard:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 .

Următorul pas este să enumerați membri similari:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 \u003d 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 \u003d \u003d 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

Am obținut un polinom de formă standard, care ne permite să notăm gradul polinomului (egal cu cel mai mare grad al monomiilor sale constitutive). Evident, gradul dorit este 5 .

Rămâne doar aranjarea termenilor în puteri descrescătoare ale variabilelor. În acest scop, pur și simplu schimbăm termenii din polinomul rezultat al formei standard, ținând cont de cerință. Astfel, obținem:

z 5 + 1 3 z 3 - 0, 5 z 2 + 11.

Răspuns:

11 - 2 3 z 2 z + 1 3 z 5 3 - 0, 5 z 2 + z 3 \u003d 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2, în timp ce gradul polinomului - cinci ; ca urmare a dispunerii termenilor polinomului în puteri descrescătoare ale variabilelor, polinomul va lua forma: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Am spus că au loc atât polinoame standard, cât și nestandard. În același loc, am observat că orice polinom la forma standard. În acest articol, vom afla mai întâi ce semnificație are această expresie. În continuare, listăm pașii care vă permit să convertiți orice polinom într-o formă standard. În cele din urmă, luați în considerare soluții la exemplele tipice. Vom descrie soluțiile în detaliu pentru a face față tuturor nuanțelor care apar la aducerea polinoamelor la forma standard.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă a aduce un polinom la forma standard?

Mai întâi trebuie să înțelegeți clar ce se înțelege prin aducerea unui polinom într-o formă standard. Să ne ocupăm de asta.

Polinoamele, ca orice alte expresii, pot fi supuse unor transformări identice. Ca urmare a unor astfel de transformări, se obțin expresii care sunt identic egale cu expresia originală. Deci efectuarea anumitor transformări cu polinoame de formă nestandard ne permite să trecem la polinoame care sunt identic egale cu acestea, dar deja scrise într-o formă standard. O astfel de tranziție se numește reducerea polinomului la forma standard.

Asa de, aduce polinomul la forma standard- aceasta înseamnă înlocuirea polinomului inițial cu un polinom de forma standard identic cu acesta, obținut din cel original prin efectuarea de transformări identice.

Cum se aduce un polinom la forma standard?

Să ne gândim la ce transformări ne vor ajuta să aducem polinomul la o formă standard. Vom pleca de la definirea unui polinom de forma standard.

Prin definiție, fiecare termen al unui polinom de formă standard este un monom de formă standard, iar un polinom de formă standard nu conține astfel de termeni. La rândul lor, polinoamele scrise într-o altă formă decât forma standard pot consta din monomii într-o formă nestandard și pot conține termeni similari. Acest lucru duce logic la următoarea regulă. cum se transformă un polinom în formă standard:

• mai întâi trebuie să aduceți la forma standard monomiile care alcătuiesc polinomul original,
• iar apoi efectuează reducerea membrilor similari.

Ca rezultat, se va obține un polinom de formă standard, deoarece toți membrii săi vor fi scrisi în formă standard și nu va conține astfel de membri.

Exemple, soluții

Luați în considerare exemple de aducere a polinoamelor la forma standard. La rezolvare vom urma pasii dictati de regula din paragraful anterior.

Aici observăm că uneori toți termenii unui polinom se scriu în formă standard deodată, caz în care este suficient să aducem termeni similari. Uneori, după reducerea termenilor unui polinom la forma standard, nu există membri similari, prin urmare, etapa de reducere a unor astfel de membri în acest caz este omisă. În general, trebuie să le faci pe amândouă.

Exemplu.

Exprimați polinoame în formă standard: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5Și .

Soluţie.

Toți membrii polinomului 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 sunt scrieți în forma standard, nu are astfel de termeni, prin urmare, acest polinom este deja prezentat în forma standard.

Să trecem la următorul polinom 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Forma sa nu este standard, așa cum demonstrează termenii 2·a 3 ·0.6 și −b·a·b 4 ·b 5 de formă nestandard. Să o reprezentăm în forma standard.

În prima etapă de aducere a polinomului original la forma standard, trebuie să reprezentăm toți membrii acestuia în forma standard. Prin urmare, reducem monomul 2 a 3 0.6 la forma standard, avem 2 a 3 0.6=1.2 a 3 , după care monomiul −b a b 4 b 5 , avem −b a b 4 b 5 = −a b 1+4+5 = −a b 10. În acest fel, . În polinomul rezultat, toți termenii sunt scriși în formă standard; în plus, este evident că nu are astfel de termeni. Prin urmare, aceasta completează reducerea polinomului original la forma standard.

Rămâne de reprezentat în forma standard ultimul polinoame dat. După aducerea tuturor membrilor săi la formularul standard, acesta va fi scris ca . Are membri asemănători, așa că trebuie să distribuiți membri similari:

Deci polinomul original a luat forma standard −x y+1 .

Răspuns:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – deja în forma standard, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Adesea, aducerea unui polinom într-o formă standard este doar un pas intermediar în a răspunde la întrebarea problemei. De exemplu, găsirea gradului unui polinom implică reprezentarea lui preliminară într-o formă standard.

Exemplu.

Aduceți polinom la forma standard, indicați gradul acesteia și aranjați termenii în puteri descrescătoare ale variabilei.

Soluţie.

În primul rând, aducem toți termenii polinomului la forma standard: .

Acum oferim membri similari:

Așa că am adus polinomul original la forma standard, acest lucru ne permite să determinăm gradul polinomului, care este egal cu cel mai mare grad al monomiilor incluse în acesta. Evident, este 5.

Rămâne de aranjat termenii polinomului în puteri descrescătoare ale variabilelor. Pentru a face acest lucru, este necesar doar să rearanjați termenii din polinomul rezultat al formei standard, ținând cont de cerință. Termenul z 5 are gradul cel mai înalt, gradele termenilor , −0,5·z 2 și 11 sunt egale cu 3 , 2 și respectiv 0 . Prin urmare, un polinom cu termeni aranjați în puteri descrescătoare ale variabilei va avea forma .

Răspuns:

Gradul polinomului este 5, iar după aranjarea termenilor săi în puteri descrescătoare ale variabilei ia forma .

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XVII-a, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a 10-a: manual. pentru invatamantul general instituții: de bază și de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 2010.- 368 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Un polinom este o sumă de monomii. Dacă toți termenii polinomului sunt scriși în forma standard (vezi articolul 51) și se efectuează reducerea termenilor similari, atunci se va obține un polinom din forma standard.

Orice expresie întreagă poate fi transformată într-un polinom de forma standard - acesta este scopul transformărilor (simplificarilor) expresiilor întregi.

Luați în considerare exemple în care întreaga expresie trebuie redusă la forma standard a unui polinom.

Soluţie. În primul rând, aducem termenii polinomului la forma standard. Obținem După reducerea unor termeni similari, obținem un polinom de forma standard

Soluţie. Dacă există un semn plus în fața parantezelor, atunci parantezele pot fi omise, păstrând semnele tuturor termenilor încadrați între paranteze. Folosind această regulă pentru deschiderea parantezelor, obținem:

Soluţie. Dacă există un „minus” ziak în fața parantezelor, atunci parantezele pot fi omise prin schimbarea semnelor tuturor termenilor încadrați între paranteze. Folosind această regulă de evadare a parantezei, obținem:

Soluţie. Produsul unui monom și unui polinom, conform legii de distribuție, este egal cu suma produselor acestui monom și a fiecărui membru al polinomului. Primim

Soluţie. Avem

Soluţie. Avem

Rămâne de dat termeni similari (sunt subliniați). Primim:

53. Formule pentru înmulțirea prescurtată.

În unele cazuri, reducerea întregii expresii la forma standard a unui polinom se realizează folosind identitățile:

Aceste identități sunt numite formule de înmulțire abreviate,

Să luăm în considerare exemple în care este necesar să convertim o expresie dată în myogle de formă standard.

Exemplul 1. .

Soluţie. Folosind formula (1), obținem:

Exemplul 2. .

Soluţie.

Exemplul 3. .

Soluţie. Folosind formula (3), obținem:

Exemplul 4

Soluţie. Folosind formula (4), obținem:

54. Factorizarea polinoamelor.

Uneori puteți converti un polinom într-un produs al mai multor factori - polinoame sau subtermeni. O astfel de transformare de identitate se numește factorizarea unui polinom. În acest caz, se spune că polinomul este divizibil cu fiecare dintre acești factori.

Luați în considerare câteva moduri de factorizare a polinoamelor,

1) Scoaterea factorului comun din paranteză. Această transformare este o consecință directă a legii distributive (pentru claritate, trebuie doar să rescrieți această lege „de la dreapta la stânga”):

Exemplul 1. Factorizarea unui polinom

Soluţie. .

De obicei, când se scoate factorul comun din paranteze, fiecare variabilă inclusă în toți membrii polinomului este scoasă cu cel mai mic exponent pe care îl are în acest polinom. Dacă toți coeficienții polinomului sunt numere întregi, atunci cel mai mare divizor comun modulo al tuturor coeficienților polinomului este luat ca coeficient al factorului comun.

2) Utilizarea formulelor de înmulțire abreviate. Formulele (1) - (7) de la punctul 53, citindu-se „de la dreapta la stânga, în multe cazuri se dovedesc a fi utile pentru factorizarea polinoamelor.

Exemplul 2. Factorizați .

Soluţie. Avem . Aplicând formula (1) (diferența de pătrate), obținem . Punerea în aplicare

acum formulele (4) și (5) (suma de cuburi, diferența de cuburi), obținem:

Exemplul 3. .

Soluţie. Să scoatem mai întâi factorul comun din paranteză. Pentru aceasta, găsim cel mai mare divizor comun al coeficienților 4, 16, 16 și cei mai mici exponenți cu care variabilele a și b sunt incluse în monomiile care alcătuiesc acest polinom. Primim:

3) Metoda grupării. Se bazează pe faptul că legile comutative și asociative ale adunării vă permit să grupați termenii unui polinom în diferite moduri. Uneori, o astfel de grupare este posibilă ca, după încadrarea factorilor comuni din fiecare grupă, unul și același polinom să rămână între paranteze, care la rândul său, ca factor comun, poate fi încadrat în paranteze. Luați în considerare exemple de factorizare a unui polinom.

Exemplul 4. .

Soluţie. Să-l grupăm astfel:

În primul grup scoatem factorul comun din a doua grupă - factorul comun 5. Acum obținem polinomul ca factor comun pe care îl scoatem din paranteză: Astfel, obținem:

Exemplul 5

Soluţie. .

Exemplul 6

Soluţie. Aici, nicio grupare nu va duce la apariția aceluiași polinom în toate grupurile. În astfel de cazuri, uneori se dovedește a fi util să se reprezinte orice termen al polinomului ca o sumă și apoi să încerce din nou să aplici metoda de grupare. În exemplul nostru, este recomandabil să reprezentăm ca o sumă pe care o obținem

Exemplul 7

Soluţie. Adunăm și scădem monomiul, obținem

55. Polinoame într-o variabilă.

Polinomul, unde a, b sunt numere variabile, se numește polinom de gradul I; un polinom în care a, b, c sunt numere variabile, se numește polinom de gradul doi sau trinom pătrat; un polinom unde a, b, c, d sunt numere, o variabilă se numește polinom de gradul al treilea.

În general, dacă o este o variabilă, atunci un polinom

se numește gradul lshomogeneal (față de x); , m-termeni ai polinomului, coeficienți, termenul conducător al polinomului și - coeficientul termenului conducător, termenul liber al polinomului. De obicei, polinomul este scris în puteri descrescătoare ale variabilei, adică gradele variabilei scad treptat, în special, termenul senior este pe primul loc, iar termenul liber este pe ultimul. Gradul unui polinom este gradul termenului conducător.

De exemplu, un polinom de gradul cinci în care termenul principal, 1, este termenul liber al polinomului.

Rădăcina unui polinom este valoarea la care polinomul dispare. De exemplu, numărul 2 este rădăcina polinomului deoarece