S boční hranol. Hranol (matematika)

Definice 1. Prizmatický povrch
Věta 1. O rovnoběžných řezech prizmatické plochy
Definice 2. Kolmý řez hranolovou plochou
Definice 3. Hranol
Definice 4. Výška hranolu
Definice 5. Přímý hranol
Věta 2. Plocha bočního povrchu hranolu

Rovnoběžník:
Definice 6. Rovnoběžník
Věta 3. O průsečíku úhlopříček rovnoběžnostěnu
Definice 7. Pravý rovnoběžnostěn
Definice 8. Obdélníkový hranol
Definice 9. Rozměry kvádru
Definice 10. Kostka
Definice 11. Kosočtverec
Věta 4. O úhlopříčkách pravoúhlého rovnoběžnostěnu
Věta 5. Objem hranolu
Věta 6. Objem přímého hranolu
Věta 7. Objem pravoúhlého rovnoběžnostěnu

hranol nazývá se mnohostěn, ve kterém dvě plochy (základny) leží v rovnoběžných rovinách a hrany, které v těchto plochách neleží, jsou vzájemně rovnoběžné.
Tváře jiné než základny se nazývají postranní.
Strany bočních ploch a základny se nazývají hrany hranolu, konce hran se nazývají vrcholy hranolu. Postranní žebra nazývané hrany, které nepatří k základnám. Spojení bočních ploch se nazývá boční povrch hranolu a spojení všech tváří se nazývá celý povrch hranolu. Výška hranolu nazývá se kolmice pokleslá z bodu horní základny do roviny spodní základny nebo délka této kolmice. rovný hranol tzv. hranol, ve kterém jsou boční hrany kolmé k rovinám podstav. opravit tzv. přímý hranol (obr. 3), na jehož základně leží pravidelný mnohoúhelník.

Označení:
l - boční žebro;
P - obvod základny;
S o - základní plocha;
H - výška;
P ^ - obvod kolmého řezu;
S b - plocha bočního povrchu;
V - objem;
S p - plocha celkového povrchu hranolu.

Definice 2 . Kolmý řez hranolovou plochou je řez touto plochou rovinou kolmou k jejím okrajům. Na základě předchozí věty budou všechny kolmé řezy stejného hranolového povrchu stejné polygony.

Definice 3 . Hranol je mnohostěn ohraničený hranolovou plochou a dvěma rovinami navzájem rovnoběžnými (ale ne rovnoběžnými s okraji hranolové plochy)
Tváře ležící v těchto posledních rovinách se nazývají hranolové základny; tváře patřící k prizmatickému povrchu - boční plochy; okraje hranolové plochy - boční hrany hranolu. Na základě předchozí věty jsou základny hranolu stejné polygony. Všechny boční plochy hranolu rovnoběžníky; všechny boční hrany jsou si navzájem rovné.
Je zřejmé, že pokud je velikost a směr dána základna hranolu ABCDE a jedna z hran AA", pak je možné hranol sestrojit nakreslením hran BB", CC", .. rovných a rovnoběžných s okraj AA“.

Definice 4 . Výška hranolu je vzdálenost mezi rovinami jeho základen (HH“).

Definice 5 . Hranol se nazývá přímka, pokud jsou jeho základny kolmé řezy hranolové plochy. Výška hranolu je v tomto případě samozřejmě jeho boční žebro; boční hrany budou obdélníky.
Hranoly lze klasifikovat podle počtu bočních ploch, které se rovnají počtu stran mnohoúhelníku, který slouží jako jeho základna. Hranoly tedy mohou být trojúhelníkové, čtyřboké, pětiúhelníkové atd.

Věta 2 . Plocha bočního povrchu hranolu se rovná součinu boční hrany a obvodu kolmého řezu.
Nechť ABCDEA"B"C"D"E" je daný hranol a abcde je jeho kolmý řez, takže úsečky ab, bc, .. jsou kolmé k jeho bočním hranám. Plocha ABA"B" je rovnoběžník; jeho plocha se rovná součinu základny AA" na výšku, která odpovídá ab; plocha čela BCV "C" se rovná součinu základny BB" o výšku bc atd. Proto je boční plocha (tj. součet ploch bočních ploch) rovná součinu boční hrany, jinými slovy, celkové délce segmentů AA", BB", .., součtem ab+bc+cd+de+ea.

hranol je mnohostěn, jehož dvě plochy jsou stejných n-úhelníků (důvody) , ležící v rovnoběžných rovinách a zbývajících n ploch jsou rovnoběžníky (boční strany) . Boční žebro hranolu je strana boční plochy, která nepatří k základně.

Nazývá se hranol, jehož boční hrany jsou kolmé k rovinám podstav rovný hranol (obr. 1). Pokud boční hrany nejsou kolmé k rovinám podstav, pak se nazývá hranol šikmý . opravit Hranol je rovný hranol, jehož základnou jsou pravidelné mnohoúhelníky.

Výška hranol se nazývá vzdálenost mezi rovinami podstav. Úhlopříčka Hranol je úsečka spojující dva vrcholy, které nepatří ke stejné ploše. diagonální řez Nazývá se řez hranolem rovinou procházející dvěma bočními hranami, které nepatří ke stejné ploše. Kolmý řez nazývaný řez hranolem rovinou kolmou k boční hraně hranolu.

Boční povrchová plocha hranol je součet ploch všech bočních ploch. Celá plocha nazývá se součet ploch všech ploch hranolu (tj. součet ploch bočních ploch a ploch podstav).

Pro libovolný hranol platí vzorce:

kde l je délka bočního žebra;

H- výška;

P

Q

S strana

S plný

S hlavní je plocha základen;

PROTI je objem hranolu.

Pro přímý hranol platí následující vzorce:

kde p- obvod základny;

l je délka bočního žebra;

H- výška.

Rovnoběžné Hranol se nazývá hranol, jehož základnou je rovnoběžník. Kvádr, jehož boční hrany jsou kolmé k základnám, se nazývá Přímo (obr. 2). Pokud boční hrany nejsou kolmé k základnám, pak se nazývá rovnoběžnostěn šikmý . Pravý rovnoběžnostěn, jehož základnou je obdélník, se nazývá obdélníkový. Pravoúhlý rovnoběžnostěn, ve kterém jsou všechny hrany stejné, se nazývá krychle.

Tváře rovnoběžnostěnu, které nemají společné vrcholy, se nazývají naproti . Délky hran vycházejících z jednoho vrcholu se nazývají Měření rovnoběžnostěn. Protože krabice je hranol, jsou její hlavní prvky definovány stejným způsobem, jako jsou definovány pro hranoly.

Věty.

1. Úhlopříčky kvádru se protínají v jednom bodě a půlí jej.

2. V pravoúhlém rovnoběžnostěnu se čtverec délky úhlopříčky rovná součtu čtverců jeho tří rozměrů:

3. Všechny čtyři úhlopříčky pravoúhlého rovnoběžnostěnu jsou si navzájem rovné.

Pro libovolný rovnoběžnostěn platí následující vzorce:

kde l je délka bočního žebra;

H- výška;

P je obvod kolmého řezu;

Q– Plocha kolmého řezu;

S strana je plocha bočního povrchu;

S plný je celková plocha povrchu;

S hlavní je plocha základen;

PROTI je objem hranolu.

Pro pravý rovnoběžnostěn platí následující vzorce:

kde p- obvod základny;

l je délka bočního žebra;

H je výška pravého rovnoběžnostěnu.

Pro pravoúhlý rovnoběžnostěn platí následující vzorce:

(3)

kde p- obvod základny;

H- výška;

d- diagonální;

a,b,c– měření rovnoběžnostěnu.

Správné vzorce pro kostku jsou:

kde A je délka žebra;

d je úhlopříčka krychle.

Příklad 1Úhlopříčka obdélníkového kvádru je 33 dm a jeho rozměry jsou vztaženy jako 2 : 6 : 9. Najděte rozměry kvádru.

Rozhodnutí. Pro zjištění rozměrů rovnoběžnostěnu použijeme vzorec (3), tzn. skutečnost, že druhá mocnina přepony kvádru je rovna součtu druhých mocnin jeho rozměrů. Označit podle k koeficient proporcionality. Pak se rozměry rovnoběžnostěnu budou rovnat 2 k, 6k a 9 k. Pro data problému napíšeme vzorec (3):

Řešení této rovnice pro k, dostaneme:

Rozměry kvádru jsou tedy 6 dm, 18 dm a 27 dm.

Odpovědět: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Příklad 2 Najděte objem nakloněného trojúhelníkového hranolu, jehož základna je rovnostranný trojúhelník o straně 8 cm, pokud je boční hrana rovna straně základny a je skloněna pod úhlem 60º k základně.

Rozhodnutí . Udělejme nákres (obr. 3).

Abyste našli objem nakloněného hranolu, musíte znát oblast jeho základny a výšky. Plocha základny tohoto hranolu je plocha rovnostranného trojúhelníku o straně 8 cm. Vypočítejme to:

Výška hranolu je vzdálenost mezi jeho základnami. Z vrchu ALE 1 horní podstavy spustíme kolmici k rovině spodní podstavy ALE 1 D. Jeho délka bude výška hranolu. Zvažte D ALE 1 INZERÁT: protože se jedná o úhel sklonu bočního žebra ALE 1 ALE do základní roviny ALE 1 ALE= 8 cm.Z tohoto trojúhelníku najdeme ALE 1 D:

Nyní vypočítáme objem pomocí vzorce (1):

Odpovědět: 192 cm3.

Příklad 3 Boční hrana pravidelného šestibokého hranolu je 14 cm. Plocha největší diagonální části je 168 cm 2. Najděte celkovou plochu hranolu.

Rozhodnutí. Udělejme nákres (obr. 4)

Největší diagonální řez je obdélník AA 1 DD 1, od úhlopříčky INZERÁT pravidelný šestiúhelník A B C D E F je největší. Aby bylo možné vypočítat boční povrch hranolu, je nutné znát stranu základny a délku bočního žebra.

Když známe plochu diagonální části (obdélník), najdeme úhlopříčku základny.

Protože tedy

Od té doby AB= 6 cm.

Potom je obvod základny:

Najděte plochu bočního povrchu hranolu:

Plocha pravidelného šestiúhelníku o straně 6 cm je:

Najděte celkový povrch hranolu:

Odpovědět:

Příklad 4 Základem pravého rovnoběžnostěnu je kosočtverec. Plochy diagonálních sekcí jsou 300 cm2 a 875 cm2. Najděte oblast bočního povrchu rovnoběžnostěnu.

Rozhodnutí. Udělejme nákres (obr. 5).

Označte stranu kosočtverce pomocí A, úhlopříčky kosočtverce d 1 a d 2, výška krabice h. Chcete-li najít boční povrch rovného rovnoběžnostěnu, je nutné vynásobit obvod základny výškou: (vzorec (2)). Obvod základny p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, tak jako abeceda- kosočtverec. H = AA 1 = h. Že. Je potřeba najít A a h.

Zvažte diagonální řezy. AA 1 SS 1 - obdélník, jehož jedna strana je úhlopříčka kosočtverce AC = d 1, druhý boční okraj AA 1 = h, pak

Podobně pro oddíl BB 1 DD 1 dostaneme:

Pomocí vlastnosti rovnoběžníku takové, že součet čtverců úhlopříček je roven součtu čtverců všech jeho stran, dostaneme rovnost Dostaneme následující.

Definice.

Toto je šestiúhelník, jehož základy jsou dva stejné čtverce a boční plochy jsou stejné obdélníky.

Boční žebro je společná strana dvou sousedních bočních ploch

Výška hranolu je úsečka kolmá k základnám hranolu

Diagonální hranol- segment spojující dva vrcholy základen, které nepatří ke stejné ploše

Diagonální rovina- rovina, která prochází úhlopříčkou hranolu a jeho bočními okraji

Diagonální řez- hranice průsečíku hranolu a diagonální roviny. Diagonální řez pravidelného čtyřbokého hranolu je obdélník

Kolmý řez (ortogonální řez)- jedná se o průsečík hranolu a roviny nakreslené kolmo k jeho bočním hranám

Prvky pravidelného čtyřbokého hranolu

Obrázek ukazuje dva pravidelné čtyřboké hranoly, které jsou označeny odpovídajícími písmeny:

• Báze ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 jsou stejné a vzájemně rovnoběžné
• Boční plochy AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C a CC 1 D 1 D, z nichž každá je obdélník
• Boční plocha - součet ploch všech bočních ploch hranolu
• Celková plocha - součet ploch všech základen a bočních ploch (součet plochy boční plochy a základen)
• Boční žebra AA 1 , BB 1 , CC 1 a DD 1 .
• Úhlopříčka B1D
• Základní úhlopříčka BD
• Diagonální řez BB 1 D 1 D
• Kolmý řez A 2 B 2 C 2 D 2.

Vlastnosti pravidelného čtyřbokého hranolu

• Základem jsou dva stejné čtverce
• Základny jsou vzájemně rovnoběžné
• Strany jsou obdélníky.
• Boční plochy jsou si navzájem rovné
• Boční plochy jsou kolmé k základnám
• Boční žebra jsou vzájemně rovnoběžná a rovná
• Kolmý řez kolmý ke všem bočním žebrům a rovnoběžný se základnami
• Úhly kolmého řezu - vpravo
• Diagonální řez pravidelného čtyřbokého hranolu je obdélník
• Kolmý (pravoúhlý řez) rovnoběžný se základnami

Vzorce pro pravidelný čtyřboký hranol

Pokyny pro řešení problémů

Správný hranol- hranol, na jehož základně leží pravidelný mnohoúhelník a boční hrany jsou kolmé k rovinám základny. To znamená, že pravidelný čtyřboký hranol obsahuje ve své základně náměstí. (viz výše vlastnosti pravidelného čtyřbokého hranolu) Poznámka. Toto je část lekce s úlohami z geometrie (část tělesová geometrie - hranol). Zde jsou úkoly, které způsobují potíže při řešení. Pokud potřebujete vyřešit problém v geometrii, který zde není - napište o něm do fóra. K označení akce extrahování druhé odmocniny při řešení problémů se používá symbol√ .

Úkol.

Úhlopříčka pravidelného hranolu tvoří s úhlopříčkou podstavy a výškou hranolu pravoúhlý trojúhelník. Podle Pythagorovy věty se tedy úhlopříčka daného pravidelného čtyřbokého hranolu bude rovnat:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odpovědět: 22 cm

Úkol

Rozhodnutí.
Protože základna pravidelného čtyřbokého hranolu je čtverec, pak stranu základny (označenou jako a) najdeme podle Pythagorovy věty:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Výška boční plochy (označená jako h) se pak bude rovnat:

H2 + 12,5 \u003d 4 2
h2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3,5

Celková plocha povrchu se bude rovnat součtu plochy bočního povrchu a dvojnásobku základní plochy

S = 2a2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odpověď: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Ve školním vzdělávacím programu pro předmět tělesová geometrie se nauka o trojrozměrných útvarech obvykle začíná jednoduchým geometrickým tělesem - hranolovým mnohostěnem. Roli jeho základen plní 2 stejné polygony ležící v rovnoběžných rovinách. Zvláštním případem je pravidelný čtyřboký hranol. Jeho základnou jsou 2 shodné pravidelné čtyřúhelníky, k nimž jsou strany kolmé, mající tvar rovnoběžníků (nebo obdélníků, není-li hranol nakloněn).

Jak vypadá hranol

Pravidelný čtyřboký hranol je šestistěn, na jehož základnách jsou 2 čtverce a boční plochy jsou znázorněny obdélníky. Jiný název pro tento geometrický útvar je rovný rovnoběžnostěn.

Obrázek, který znázorňuje čtyřboký hranol, je zobrazen níže.

Můžete také vidět na obrázku nejdůležitější prvky, které tvoří geometrické těleso. Jsou běžně označovány jako:

Někdy v úlohách v geometrii můžete najít koncept řezu. Definice bude znít takto: řezem jsou všechny body objemového tělesa, které patří do roviny řezu. Řez je kolmý (přetíná okraje obrázku pod úhlem 90 stupňů). U pravoúhlého hranolu je uvažován i diagonální řez (maximální počet sekcí, které lze postavit jsou 2), procházející 2 hranami a úhlopříčkami podstavy.

Pokud je řez nakreslen tak, že rovina řezu není rovnoběžná ani se základnami, ani s bočními plochami, výsledkem je komolý hranol.

K nalezení redukovaných prizmatických prvků se používají různé poměry a vzorce. Některé z nich jsou známé z průběhu planimetrie (například k nalezení oblasti základny hranolu stačí vyvolat vzorec pro plochu čtverce).

Plocha a objem

Chcete-li určit objem hranolu pomocí vzorce, musíte znát plochu jeho základny a výšku:

V = Sprim h

Protože základna pravidelného čtyřbokého hranolu je čtverec se stranou A, Vzorec můžete napsat v podrobnější podobě:

V = a² h

Pokud mluvíme o krychli - pravidelném hranolu se stejnou délkou, šířkou a výškou, objem se vypočítá takto:

Abyste pochopili, jak najít boční povrch hranolu, musíte si představit jeho zatáčení.

Z výkresu je patrné, že boční plocha je tvořena 4 stejnými obdélníky. Jeho plocha se vypočítá jako součin obvodu základny a výšky postavy:

Strana = Poz. h

Protože obvod čtverce je P = 4a, vzorec má tvar:

Sside = 4h

Pro kostku:

Strana strany = 4a²

Chcete-li vypočítat celkovou plochu hranolu, přidejte 2 základní plochy k boční ploše:

Plná = Sstrana + 2Sbase

Při použití na čtyřboký pravidelný hranol má vzorec tvar:

Plný = 4a h + 2a²

Pro povrch krychle:

Plný = 6a²

Znáte-li objem nebo plochu povrchu, můžete vypočítat jednotlivé prvky geometrického tělesa.

Nalezení hranolových prvků

Často se vyskytují problémy, ve kterých je dán objem nebo je známa hodnota boční plochy, kde je nutné určit délku strany základny nebo výšku. V takových případech lze odvodit vzorce:

• délka základní strany: a = strana S/4h = √(V/h);
• výška nebo délka bočního žebra: h = S strana / 4a = V / a²;
• základní plocha: Sprim = V/h;
• oblast bočního obličeje: Strana gr = Sstrana / 4.

Chcete-li určit, jakou plochu má diagonální část, musíte znát délku úhlopříčky a výšku postavy. Pro čtverec d = a√2. Proto:

Sdiag = ah√2

Pro výpočet úhlopříčky hranolu se používá vzorec:

cena = √ (2a² + h²)

Abyste pochopili, jak použít výše uvedené poměry, můžete si procvičit a vyřešit několik jednoduchých úkolů.

Příklady problémů s řešením

Zde jsou některé z úloh, které se objevují u státních závěrečných zkoušek z matematiky.

Cvičení 1.

Písek se nasype do krabice ve tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu. Výška jeho hladiny je 10 cm Jaká bude hladina písku, když jej přemístíte do nádoby stejného tvaru, ale s délkou základny 2x delší?

Mělo by se argumentovat následovně. Množství písku v první a druhé nádobě se nezměnilo, to znamená, že jeho objem v nich je stejný. Délku základny můžete definovat jako A. V tomto případě pro první pole bude objem látky:

V₁ = ha2 = 10a2

U druhého boxu je délka základny 2a, ale výška hladiny písku není známa:

V2 = h(2a)2 = 4ha2

Pokud V1 = V2, výrazy lze postavit rovnítko:

10a² = 4ha²

Po zmenšení obou stran rovnice o a² dostaneme:

V důsledku toho bude nová hladina písku h = 10/4 = 2,5 cm.

Úkol 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravidelný hranol. Je známo, že BD = AB₁ = 6√2. Najděte celkový povrch těla.

Aby bylo snazší pochopit, které prvky jsou známé, můžete nakreslit obrázek.

Protože mluvíme o pravidelném hranolu, můžeme usoudit, že základna je čtverec s úhlopříčkou 6√2. Úhlopříčka boční plochy má stejnou hodnotu, proto má také boční plocha tvar čtverce rovného základně. Ukazuje se, že všechny tři rozměry – délka, šířka a výška – jsou stejné. Můžeme dojít k závěru, že ABCDA₁B₁C₁D₁ je krychle.

Délka libovolné hrany je určena pomocí známé úhlopříčky:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Celkový povrch se zjistí podle vzorce pro krychli:

Plný = 6a² = 6 6² = 216

Úkol 3.

Pokoj je v rekonstrukci. Je známo, že jeho podlaha má tvar čtverce o ploše 9 m². Výška místnosti je 2,5 m. Jaké jsou nejnižší náklady na tapetování místnosti, pokud 1 m² stojí 50 rublů?

Protože podlaha a strop jsou čtverce, tedy pravidelné čtyřúhelníky, a její stěny jsou kolmé k vodorovným plochám, můžeme usoudit, že jde o pravidelný hranol. Je nutné určit plochu jeho bočního povrchu.

Délka místnosti je a = √9 = 3 m

Náměstí bude pokryto tapetami Strana = 4 3 2,5 = 30 m².

Nejnižší náklady na tapety pro tuto místnost budou 50 30 = 1500 rublů.

K řešení úloh na pravoúhlém hranolu tedy stačí umět spočítat obsah a obvod čtverce a obdélníku a také znát vzorce pro zjištění objemu a povrchu.

Jak najít plochu krychle