Znak kolmice a roviny. Vizuální průvodce (2019)
V této lekci si zopakujeme teorii a dokážeme větu-atribut kolmosti přímky a roviny.
Na začátku lekce si připomeneme definici přímky kolmé k rovině. Dále uvažujeme a dokážeme větu-atribut kolmosti přímky a roviny. Abychom tuto větu dokázali, připomeneme si vlastnost odvěsny.
Dále řešíme několik úloh o kolmosti přímky a roviny.
Téma: Kolmost přímky a roviny
Lekce: Znak kolmosti přímky a roviny
V této lekci zopakujeme teorii a dokážeme věta-znaménko kolmosti přímky a roviny.
Definice. Rovný A se nazývá kolmá k rovině α, je-li kolmá k jakékoli přímce ležící v této rovině.
Pokud je přímka kolmá ke dvěma protínajícím se přímkám ležícím v rovině, pak je kolmá k této rovině.
Důkaz.
Nechť je nám dána rovina α. V této rovině leží dvě protínající se přímky. p a q. Rovný A kolmo k přímce p a přímý q. Musíme to dokázat A je kolmá k rovině α, to znamená, že přímka a je kolmá k jakékoli přímce ležící v rovině α.
Připomínka.
Abychom to dokázali, musíme si připomenout vlastnosti kolmice na úsečku. Středověký R do segmentu AB je místo bodů stejně vzdálených od konců segmentu. Tedy pokud bod S leží na odvěsně p, tedy AC = BC.
Nechte bod Ó- průsečík přímky A a rovina α (obr. 2). Bez ztráty obecnosti budeme předpokládat, že řádky p a q protínají v bodě Ó. Musíme dokázat kolmost přímky A na libovolnou linii m z roviny α.
Pojďme projít bod Ó Přímo l, rovnoběžně s čárou m Na přímce A odložte segmenty OA a OV, a OA = OV, tedy pointa Ó- uprostřed segmentu AB. Nakreslíme rovnou čáru PL, 
.
Rovný R kolmo k přímce A(z podmínky), 
(podle konstrukce). Prostředek, R AB. Tečka R leží na přímce R. Prostředek, RA = RV.
Rovný q kolmo k přímce A(z podmínky), 
(podle konstrukce). Prostředek, q- uprostřed kolmo k segmentu AB. Tečka Q leží na přímce q. Prostředek, QA =QB.
trojúhelníky ARQ a BPQ na třech stranách stejné (RA = RV, QA =QB, PQ- společná strana). Takže rohy ARQ a BPQ jsou si rovni.
trojúhelníky ALEPL a BPL stejný úhel a dvě sousední strany (∠ ARL= ∠BPL, RA = RV, PL- společná strana). Z rovnosti trojúhelníků to dostaneme AL=BL.
Zvažte trojúhelník ABL. Je to rovnostranné, protože AL=B.L. V rovnoramenném trojúhelníku medián HLE je také výška, tedy čára HLE kolmý AB.
Uvědomili jsme si to A kolmo k přímce l, a tedy rovnou m, Q.E.D.
body A, M, O leží na přímce kolmé k rovině α, a body Oh, V, S a D leží v rovině α (obr. 3). Který z následujících úhlů je správný: ?
Rozhodnutí
Uvažujme úhel. Rovný JSC je kolmá k rovině α, a tedy k přímce JSC je kolmá k jakékoli přímce ležící v rovině α včetně přímky V. Znamená, .
Uvažujme úhel. Rovný JSC kolmo k přímce OS, znamená, .
Uvažujme úhel. Rovný JSC kolmo k přímce ÓD, znamená, . Zvažte trojúhelník DAO. Trojúhelník může mít pouze jeden pravý úhel. Takže úhel PŘEHRADA- není přímá.
Uvažujme úhel. Rovný JSC kolmo k přímce ÓD, znamená, .
Uvažujme úhel. Toto je úhel v pravoúhlém trojúhelníku BMO, nemůže být rovná, protože úhel memorandum o porozumění- rovný.
Odpovědět: 
.
V trojúhelníku ABC dáno: , AC= 6 cm, slunce= 8 cm, CM- medián (obr. 4). Skrz vrchol S Přímo SC kolmá k rovině trojúhelníku ABC, a SC= 12 cm Najděte KM.
Rozhodnutí:
Zjistíme délku AB podle Pythagorovy věty: (cm).
Podle vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku střed přepony M ve stejné vzdálenosti od vrcholů trojúhelníku. Tj SM = AM = VM, 
(cm).
Zvažte trojúhelník KSM. Rovný KS kolmo k rovině ABC, což znamená KS kolmý CM. Takže trojúhelník KSM- obdélníkový. Najděte přeponu KM z Pythagorovy věty: (viz).
1. Geometrie. Třída 10-11: učebnice pro studenty vzdělávacích institucí (základní a profilová úroveň) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydání, opraveno a doplněno - M.: Mnemozina, 2008. - 288 s.: ill.
Úkoly 1, 2, 5, 6 strana 57
2. Definujte kolmost přímky a roviny.
3. Určete dvojici v krychli - hranu a plochu, které jsou kolmé.
4. Bod Na leží mimo rovinu rovnoramenného trojúhelníku ABC a ve stejné vzdálenosti od bodů V a S. M- uprostřed základny slunce. Dokažte, že čára slunce kolmo k rovině AKM.
V této lekci si zopakujeme teorii a dokážeme větu-atribut kolmosti přímky a roviny.
Na začátku lekce si připomeneme definici přímky kolmé k rovině. Dále uvažujeme a dokážeme větu-atribut kolmosti přímky a roviny. Abychom tuto větu dokázali, připomeneme si vlastnost odvěsny.
Dále řešíme několik úloh o kolmosti přímky a roviny.
Téma: Kolmost přímky a roviny
Lekce: Znak kolmosti přímky a roviny
V této lekci zopakujeme teorii a dokážeme věta-znaménko kolmosti přímky a roviny.
Definice. Rovný A se nazývá kolmá k rovině α, je-li kolmá k jakékoli přímce ležící v této rovině.
Pokud je přímka kolmá ke dvěma protínajícím se přímkám ležícím v rovině, pak je kolmá k této rovině.
Důkaz.
Nechť je nám dána rovina α. V této rovině leží dvě protínající se přímky. p a q. Rovný A kolmo k přímce p a přímý q. Musíme to dokázat A je kolmá k rovině α, to znamená, že přímka a je kolmá k jakékoli přímce ležící v rovině α.
Připomínka.
Abychom to dokázali, musíme si připomenout vlastnosti kolmice na úsečku. Středověký R do segmentu AB je místo bodů stejně vzdálených od konců segmentu. Tedy pokud bod S leží na odvěsně p, tedy AC = BC.
Nechte bod Ó- průsečík přímky A a rovina α (obr. 2). Bez ztráty obecnosti budeme předpokládat, že řádky p a q protínají v bodě Ó. Musíme dokázat kolmost přímky A na libovolnou linii m z roviny α.
Pojďme projít bod Ó Přímo l, rovnoběžně s čárou m Na přímce A odložte segmenty OA a OV, a OA = OV, tedy pointa Ó- uprostřed segmentu AB. Nakreslíme rovnou čáru PL, .
Rovný R kolmo k přímce A(z podmínky), (podle konstrukce). Prostředek, R AB. Tečka R leží na přímce R. Prostředek, RA = RV.
Rovný q kolmo k přímce A(z podmínky), (podle konstrukce). Prostředek, q- uprostřed kolmo k segmentu AB. Tečka Q leží na přímce q. Prostředek, QA =QB.
trojúhelníky ARQ a BPQ na třech stranách stejné (RA = RV, QA =QB, PQ- společná strana). Takže rohy ARQ a BPQ jsou si rovni.
trojúhelníky ALEPL a BPL stejný úhel a dvě sousední strany (∠ ARL= ∠BPL, RA = RV, PL- společná strana). Z rovnosti trojúhelníků to dostaneme AL=BL.
Zvažte trojúhelník ABL. Je to rovnostranné, protože AL=B.L. V rovnoramenném trojúhelníku medián HLE je také výška, tedy čára HLE kolmý AB.
Uvědomili jsme si to A kolmo k přímce l, a tedy rovnou m, Q.E.D.
body A, M, O leží na přímce kolmé k rovině α, a body Oh, V, S a D leží v rovině α (obr. 3). Který z následujících úhlů je správný: ?
Rozhodnutí
Uvažujme úhel. Rovný JSC je kolmá k rovině α, a tedy k přímce JSC je kolmá k jakékoli přímce ležící v rovině α včetně přímky V. Znamená, .
Uvažujme úhel. Rovný JSC kolmo k přímce OS, znamená, .
Uvažujme úhel. Rovný JSC kolmo k přímce ÓD, znamená, . Zvažte trojúhelník DAO. Trojúhelník může mít pouze jeden pravý úhel. Takže úhel PŘEHRADA- není přímá.
Uvažujme úhel. Rovný JSC kolmo k přímce ÓD, znamená, .
Uvažujme úhel. Toto je úhel v pravoúhlém trojúhelníku BMO, nemůže být rovná, protože úhel memorandum o porozumění- rovný.
Odpovědět: .
V trojúhelníku ABC dáno: , AC= 6 cm, slunce= 8 cm, CM- medián (obr. 4). Skrz vrchol S Přímo SC kolmá k rovině trojúhelníku ABC, a SC= 12 cm Najděte KM.
Rozhodnutí:
Zjistíme délku AB podle Pythagorovy věty: (cm).
Podle vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku střed přepony M ve stejné vzdálenosti od vrcholů trojúhelníku. Tj SM = AM = VM, (cm).
Zvažte trojúhelník KSM. Rovný KS kolmo k rovině ABC, což znamená KS kolmý CM. Takže trojúhelník KSM- obdélníkový. Najděte přeponu KM z Pythagorovy věty: (viz).
1. Geometrie. Třída 10-11: učebnice pro studenty vzdělávacích institucí (základní a profilová úroveň) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydání, opraveno a doplněno - M.: Mnemozina, 2008. - 288 s.: ill.
Úkoly 1, 2, 5, 6 strana 57
2. Definujte kolmost přímky a roviny.
3. Určete dvojici v krychli - hranu a plochu, které jsou kolmé.
4. Bod Na leží mimo rovinu rovnoramenného trojúhelníku ABC a ve stejné vzdálenosti od bodů V a S. M- uprostřed základny slunce. Dokažte, že čára slunce kolmo k rovině AKM.
Opravme koncept kolmosti přímky a roviny shrnutím lekce. Poskytneme obecnou definici, zformulujeme a předložíme důkazy věty a vyřešíme několik problémů ke konsolidaci materiálu.
Z průběhu geometrie je známo: dvě přímky jsou považovány za kolmé, když se protínají pod úhlem 90 o.
V kontaktu s
Spolužáci
Teoretická část
Pokud jde o studium charakteristik prostorových obrazců, použijeme nový koncept.
Definice:
O přímce budeme říkat, že je kolmá k rovině, když je kolmá k přímce na ploše, která libovolně prochází průsečíkem.
Jinými slovy, pokud je úsečka „AB“ kolmá k rovině α, pak úhel průsečíku s jakýmkoli úsečkou vedenou podél daného povrchu přes „C“, bodem průchodu „AB“ rovinou α, bude 90 o.
Z výše uvedeného vyplývá věta o znaménku kolmosti přímky a roviny:
je-li přímka vedená rovinou kolmá ke dvěma přímkám nakresleným na rovině průsečíkem, pak je kolmá k celé rovině.
Jinými slovy, pokud na obrázku 1 jsou úhly ACD a ACE 90 stupňů, pak úhel ACF bude také 90 stupňů. Viz obrázek 3.
Důkaz
Podle podmínek věty je přímka "a" vedena kolmo k přímkám d a e. Jinými slovy, úhly ACD a ACE jsou 90°. Důkazy uvedeme na základě vlastností rovnosti trojúhelníků. Viz obrázek 3.
Přes bod C procházející přímkou A nakreslete přímku rovinou α F libovolným směrem. Dokazujeme, že bude kolmá na segment AB nebo úhel ACF bude 90 o.
Na přímce A vyčlenit segmenty stejné délky AC a AB. Nakreslete čáru na plochu α X v libovolném směru a neprojíždějící křižovatkou v bodě "C". Čára "x" musí protínat čáry e, d a f.
Spojte body F, D a E s body A a B přímkami.
Uvažujme dva trojúhelníky ACE a BCE. Podle podmínek stavby:
- Existují dvě identické strany AC a BC.
- Na spodní straně mají společnou CE stranu.
- Dva stejné úhly ACE a BCE - každý 90 stupňů.
Pokud tedy máme podle podmínek rovnosti trojúhelníků dvě stejné strany a stejný úhel mezi nimi, pak jsou tyto trojúhelníky stejné. Z rovnosti trojúhelníků vyplývá, že strany AE a BE se rovnají.
Podle toho je dokázána rovnost trojúhelníků ACD a BCD, jinými slovy rovnost stran AD a BD.
Nyní zvažte dva trojúhelníky AED a BED. Z dříve dokázané rovnosti trojúhelníků vyplývá, že tyto obrazce mají stejné strany AE s BE a AD s BD. Jedna strana ED je sdílená. Z podmínky rovnosti trojúhelníků definovaných třemi stranami vyplývá, že úhly ADE a BDE jsou stejné.
Součet úhlů ADE a ADF je 180 o. Součet úhlů BDE a BDF bude také 180o. Protože úhly ADE a BDE jsou stejné, úhly ADF a BDF jsou také stejné.
Uvažujme dva trojúhelníky ADF a BDF. Mají dvě stejné strany AD a BD (prokázáno dříve), DF společnou stranu a stejný úhel mezi nimi ADF a BDF. Proto mají tyto trojúhelníky strany stejně dlouhé. To znamená, že strana BF má stejnou délku jako strana AF.
Pokud vezmeme v úvahu trojúhelník AFB, pak bude rovnoramenný (AF se rovná BF) a přímka FC je medián, protože podle podmínek konstrukce je strana AC rovna straně BC. Proto je úhel ACF 90 stupňů. Což se mělo dokázat.
Důležitým důsledkem výše uvedené věty je tvrzení:
jestliže dvě rovnoběžné protínají rovinu a jedna z nich svírá úhel 90o, pak druhá prochází rovinou také pod úhlem 90o.
Podle podmínek úlohy jsou a a b rovnoběžné. Viz obrázek 4. Přímka a je kolmá k ploše α. Z toho vyplývá, že přímka b bude také kolmá k ploše α.
Abychom dokázali přes dva průsečíky rovnoběžných přímek s rovinou, nakreslíme na plochu přímku C. Podle věty o přímce kolmé k rovině bude úhel DAB 90 o. Z vlastností rovnoběžných přímek vyplývá, že úhel ABF bude rovněž 90 o. Proto, z definice, linka b bude kolmá k ploše α.
Použití věty k řešení problémů
Pro upevnění materiálu pomocí základních podmínek kolmosti přímky a roviny vyřešíme několik problémů.
Úkol 1
Podmínky. Z bodu A sestrojte kolmici k rovině α. Viz obrázek 5.
Nakreslete na plochu α libovolnou přímku b. Prostřednictvím přímky b a bodu A sestrojíme plochu β. Nakreslete segment AB z bodu A do čáry b. Z bodu B na ploše α nakreslete kolmici C.
Z bodu A do řádku s pokles kolmice AC. Dokažme, že tato přímka bude kolmá k rovině.
Abychom dokázali bodem C na ploše α, vedeme přímku d rovnoběžnou s b a skrz přímku C a bod A sestrojíme rovinu. Přímka AC je kolmá k přímce c podle konstrukční podmínky a kolmá k přímce d v důsledku dvou rovnoběžných přímek z věty o kolmosti, protože podle podmínky je přímka b kolmá k ploše γ.
Proto je podle definice kolmosti přímky a roviny sestrojený segment AC kolmý k ploše α.
Úkol č. 2
Podmínky. Úsečka AB je kolmá k rovině α. Triangle BDF se nachází na povrchu α a má následující parametry:
- úhel DBF bude 90 o
- strana BD=12 cm;
- strana BF=16 cm;
- BC je medián.
Viz obrázek 6.
Najděte délku segmentu AC, pokud AB = 24 cm.
Rozhodnutí. Podle Pythagorovy věty se přepona neboli strana DF rovná druhé odmocnině součtu čtverců nohou. Délka BD na druhou je 144 a v souladu s tím bude BC na druhou 256. Součet je 400; když vezmeme druhou odmocninu, dostaneme 20.
Medián BC v pravoúhlém trojúhelníku rozděluje přeponu na dvě stejné části a má stejnou délku jako tyto segmenty, to znamená BC \u003d DC \u003d CF \u003d 10.
Opět se použije Pythagorova věta a dostaneme: přeponu C = 26, což je druhá odmocnina z 675, součet druhých mocnin nohou je 576 (AB = 24 na druhou) a 100 (BC = 10 na druhou).
Odpověď: Délka segmentu AC je 26 cm.
