2 взаимно разположение на две прави линии в пространството. Права линия в пространството - необходима информация
Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или връзка с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.
Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
- Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.
Разкриване на трети страни
Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.
Изключения:
- В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкрийте личната си информация. Може също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Поддържане на вашата поверителност на ниво компания
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
Ако две прави се пресичат или са успоредни, тогава те лежат в една и съща равнина. В пространството обаче две прави могат да бъдат разположени така, че да не лежат в една и съща равнина, тоест няма такава равнина, която да минава през двете тези линии. Ясно е, че такива прави не се пресичат и не са успоредни.
В пространството се разглеждат три случая на възможно разположение на две прави линии. Две линии в пространството могат:
1. Лежат в една и съща равнина и имат обща точка;
2. Лежат в една и съща равнина и нямат общи точки;
Не лежат в една и съща равнина и следователно нямат общи точки.
Определение: Казва се, че две прави се пресичат, ако имат обща точка.
Определение: Две прави се наричат успоредни, ако лежат в една и съща равнина и нямат общи точки или съвпадат.
Определение: Две прави се наричат пресичащи се, ако не се пресичат и не са успоредни (не лежат в една равнина).
Обозначаване: а · б
ЗНАК ЗА ЛИНИИ ЗА КРЕСТ
Теорема: Ако едната от двете прави лежи в равнина, а другата пресича тази равнина в точка, която не принадлежи на първата права, тогава тези прави се пресичат.
Дадено: ; ; .
Докажи: а · б
Доказателство: (от противоречие)
Да приемем обратното на това, което искате да докажете, тоест, че дадените прави се пресичат или са успоредни: 
.
Чрез две пресичащи се или успоредни прави може да се начертае една равнина, следователно има някаква равнина, в която лежат тези линии: 
.
Според теоремата.
По предположение.
От условията на теоремата и от предположението, че и двете равнини минават през правата "а" и непринадлежащата й точка М. И тъй като през правата може да се прокара една и само една равнина и точката, която не принадлежи на следователно равнините съвпадат. .
По предположение.
По условие.
Получихме противоречие с условието на теоремата, следователно, предположението не е вярно, но това, което се изискваше да се докаже, е вярно, тоест линиите се пресичат: a · б.
Две линии в пространството могат да бъдат разположени по различни начини. На първо място, може да се случи две прави да имат обща точка. Тогава те със сигурност лежат в една и съща равнина. Наистина, за да се построи такава равнина, е достатъчно да се проведе през три точки: точката А на пресечната точка на посочените прави (фиг. 323) и точките C и B, взети съответно върху правите. Имайки две общи точки с всяка от правите, равнината ще съдържа и двете прави.
Нека сега дадените прави нямат общи точки. Това не означава, че те са успоредни, тъй като определението за паралел предполага, че правите принадлежат на една и съща равнина. За да решим въпроса за местоположението на нашите линии, ние рисуваме през една от тях, например, и произволно взета точка A на другата права линия, равнина K. Възможни са два случая:
1) Конструираната равнина съдържа цялата втора линия (фиг. 324). В този случай линиите от типа принадлежат на една и съща равнина и не се пресичат и следователно са успоредни.
2) Равнината X пресича правата в точка А. Тогава и двете прави не лежат в една и съща равнина. Такива прави се наричат пресичащи се (фиг. 325).
И така, има три основни случая на взаимно подреждане на две линии.
1. Правите лежат в една и съща равнина и се пресичат.
2. Правите лежат в една и съща равнина и са успоредни.
3. Правите се пресичат, тоест не лежат в една и съща равнина.
Пример. От 12-те ръба на куба можете да оформите двойка прави линии. От тях 24 двойки пресичащи се, 24 пресичащи се и 18 двойки успоредни линии. Читателят ще се убеди в правилността на това чрез модел или чертеж.
Обърнете внимание, че в пространството постулатът за успоредните прави остава валиден:
През точка извън права има само една права, успоредна на нея.
Всъщност правата и точка, дадени извън нея, определят равнината, в която трябва да лежи търсената права, успоредна на дадената права; нейната уникалност произтича от постулата за паралелите.
Отбелязваме, че две добре известни предложения за планиметрия, свързани със свойствата на успоредните прави, ще изискват специално обосновка за случая на пространството (вж. Раздел 232).
Ако две прави са успоредни на трета, тогава те са успоредни една на друга; два ъгъла със съответно успоредни и еднакво насочени страни са равни.
По отношение на второто от тези предложения отбелязваме, че определението за ъгъла между изкривени линии се основава на него: ъгълът между две изкривени линии е ъгълът между две прави, успоредни на тях и начертани през произволна точка M. Очевидно, такъв дефиницията се основава на предположението, че ъгълът е независим от избора на точка M (виж т. 232).
Перпендикуляр, изпуснат от дадена точка към права, е линия, изтеглена от дадена точка под прав ъгъл към дадена права и я пресича. През точка, която не е на права, има само един перпендикуляр към нея.
Всъщност желаният перпендикуляр трябва да лежи в равнината, определена от дадена права и точка, и следователно разпоредбите на планиметрията са приложими към него. Въпреки това, от точка, лежаща на права линия, към нея могат да бъдат нарисувани безкраен брой перпендикуляри: по един във всяка равнина, начертана през тази права линия.
За по-малко от минута създадох нов файл Verdov и продължих по толкова вълнуваща тема. Трябва да уловите моментите от работното настроение, така че няма да има лирично въведение. Ще има прозаично пляскане =)
Двете прави пространства могат:
1) кръстосване;
2) пресичат се в точката;
3) да са успоредни;
4) съвпадение.
Случай №1 е коренно различен от другите случаи. Две прави се пресичат, ако не лежат в една и съща равнина.. Повдигнете едната ръка нагоре и изпънете другата ръка напред - ето пример за пресичащи се линии. В точки 2-4 линиите задължително лежат в една равнина.
Как да разберем относителното положение на линиите в пространството?
Помислете за две прави пространства:
е права линия, дадена от точка и насочващ вектор;
е права линия, дефинирана от точка и вектор на посока.
За по-добро разбиране, нека направим схематичен чертеж: 
Чертежът показва изкривени линии като пример.
Как да се справим с тези редове?
Тъй като точките са известни, е лесно да се намери векторът.
Ако прави кръстосване, след това векторите не компланарен(виж урока Линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа), което означава, че детерминантата, съставена от техните координати, е различна от нула. Или, което всъщност е същото, ще бъде различно от нула: 
.
В случаите № 2-4 нашата конструкция “пада” в една равнина, докато векторите компланарен, а смесеното произведение на линейно зависими вектори е равно на нула: 
.
Разширяваме алгоритъма допълнително. Нека се преструваме 
, следователно, линиите или се пресичат, или са успоредни, или съвпадат.
Ако векторите на посоката колинеарна, тогава линиите са или успоредни, или съвпадат. Като последен пирон предлагам следната техника: вземаме всяка точка от една права линия и заместваме нейните координати в уравнението на втората права линия; ако координатите "приближиха", тогава линиите съвпадат, ако "не се приближиха", тогава линиите са успоредни.
Ходът на алгоритъма е непретенциозен, но практическите примери все още не пречат:
Пример 11
Намерете относителното положение на две линии
Решение: както в много задачи от геометрията, е удобно решението да се подреди точка по точка:
1) Извличаме точки и вектори на посоката от уравненията:
2) Намерете вектора:
По този начин векторите са компланарни, което означава, че правите лежат в една и съща равнина и могат да се пресичат, да бъдат успоредни или да съвпадат.
4) Проверете векторите на посоката за колинеарност.
Нека съставим система от съответните координати на тези вектори:
От всекиУравнението предполага, че следователно системата е последователна, съответните координати на векторите са пропорционални и векторите са колинеарни.
Заключение: линиите са успоредни или съвпадат.
5) Разберете дали линиите имат общи точки. Да вземем точка, принадлежаща на първата права линия и да заместим нейните координати в уравненията на правата линия: 
Така правите нямат общи точки и не им остава нищо друго освен да са успоредни.
Отговор:
Интересен пример, който да решите сами:
Пример 12
Открийте относителното положение на линиите
Това е пример "направи си сам". Имайте предвид, че вторият ред има буквата като параметър. Логично. В общия случай това са два различни реда, така че всеки ред има свой собствен параметър.
И отново ви призовавам да не пропускате примери, ще мразя задачите, които предлагам, далеч не са случайни ;-)
Проблеми с права линия в пространството
В последната част на урока ще се опитам да разгледам максималния брой различни задачи с пространствени линии. В този случай ще се спазва започнатият ред на разказване: първо ще разгледаме проблеми с пресичащи се линии, след това с пресичащи се линии, а накрая ще говорим за успоредни линии в пространството. Трябва обаче да кажа, че някои от задачите на този урок могат да бъдат формулирани за няколко случая на прави линии наведнъж и в това отношение разделянето на раздела на параграфи е донякъде произволно. Има по-прости примери, има по-сложни примери и дано всеки намери това, което му трябва.
Кръстосани линии
Напомням ви, че линиите се пресичат, ако няма равнина, в която и двете лежат. Когато мислех за практиката, ми хрумна една чудовищна задача и сега се радвам да представя на вашето внимание дракон с четири глави:
Пример 13
Дадени са прави линии. Задължително:
а) докаже, че правите се пресичат;
б) намерете уравненията на правата, минаваща през точката, перпендикулярна на дадените прави;
в) съставят уравненията на права линия, която съдържа общ перпендикулярпресичащи се линии;
г) намерете разстоянието между правите.
Решение: Пътят ще бъде овладян от ходещия:
а) Нека докажем, че правите се пресичат. Нека намерим точките и векторите на посоката на тези прави линии: 
Нека намерим вектора:
Изчислете смесен продукт на вектори:
Така че векторите не компланарен, което означава, че линиите се пресичат, което трябваше да се докаже.
Вероятно всеки отдавна е забелязал, че за изкривените линии алгоритъмът за проверка се оказва най-краткият.
б) Да намерим уравненията на правата, която минава през точката и е перпендикулярна на правите. Нека направим схематичен чертеж: 
За разнообразие пуснах директен ЗАДправи линии, вижте как е леко изтрито на пресечните точки. Мелези? Да, в общия случай линията "de" ще се пресича с оригиналните линии. Макар че този моментоще не се интересуваме, просто трябва да изградим перпендикулярна линия и това е всичко.
Какво се знае за директното "де"? Точката, която й принадлежи, е известна. Векторът на посоката липсва.
По условие линията трябва да е перпендикулярна на линиите, което означава, че нейният вектор на посоката ще бъде ортогонален на векторите на посоката. Мотивът вече познат от Пример № 9, нека намерим векторното произведение:
Нека съставим уравненията на правата линия "de" по точката и насочващия вектор:
Готов. По принцип може да се сменят знаците в знаменателите и да се запише отговора във формуляра 
, но няма нужда от това.
За да проверите, е необходимо да замените координатите на точката в получените уравнения на правата линия, след което да използвате точково произведение на векториуверете се, че векторът е наистина ортогонален на векторите на посоката "pe one" и "pe two".
Как да намерите уравненията на права, съдържаща общ перпендикуляр?
в) Този проблем е по-труден. Препоръчвам на манекените да пропуснат този параграф, не искам да охладя искреното ви съчувствие към аналитичната геометрия =) Между другото, може би е по-добре и по-подготвените читатели да изчакат, факт е, че сложността на примера трябва да бъде поставете последно в статията, но според логиката на представяне трябва да се намира тук.
Така че е необходимо да се намерят уравненията на правата линия, която съдържа общия перпендикуляр на косите линии.
е отсечка, която свързва дадените линии и е перпендикулярна на дадените линии: 
Ето го нашия красавец: - общ перпендикуляр на пресичащи се прави. Той е единственият. Няма друг подобен. Също така трябва да съставим уравненията на права линия, която съдържа даден сегмент.
Какво се знае за директното "ъъъ"? Неговият вектор на посоката е известен, намерен в предишния параграф. Но, за съжаление, ние не знаем нито една точка, принадлежаща на правата "em", не знаем краищата на перпендикуляра - точки. Къде тази перпендикулярна права пресича двете първоначални прави? Африка, Антарктида? От първоначалния преглед и анализ на състоянието изобщо не става ясно как да се реши проблема.... Но има един труден ход, свързан с използването на параметрични уравнения на права линия.
Нека вземем решение точка по точка:
1) Нека пренапишем уравненията на първата права линия в параметричен вид: 
Нека разгледаме една точка. Не знаем координатите. НО. Ако дадена точка принадлежи на дадена линия, тогава нейните координати съответстват на , означете го с . Тогава координатите на точката ще бъдат записани като: 
Животът става все по-добър, едно неизвестно - все пак не три неизвестни.
2) Същото безобразие трябва да се извърши по втората точка. Нека пренапишем уравненията на втората права линия в параметричен вид: 
Ако една точка принадлежи на дадена права, тогава с много конкретно значениекоординатите му трябва да отговарят на параметричните уравнения:
Или: 
3) Векторът, подобно на намерения по-рано вектор, ще бъде насочващ вектор на линията. Как да съставим вектор от две точки беше разгледано от незапомнени времена в урока Вектори за манекени. Сега разликата е, че координатите на векторите се записват с неизвестни стойности на параметрите. И какво тогава? Никой не забранява да се изваждат съответните координати на началото на вектора от координатите на края на вектора.
Има две точки: 
.
Намиране на вектор:
4) Тъй като векторите на посоката са колинеарни, тогава един вектор се изразява линейно през другия с някакъв коефициент на пропорционалност "ламбда":
Или по координати: 
Оказа се най-обикновен система от линейни уравненияс три неизвестни, което е стандартно разрешимо, например, Методът на Крамер. Но тук има възможност да се измъкнем с малко кръв, от третото уравнение ще изразим "ламбда" и ще го заменим в първото и второто уравнение:
По този начин: 
, и "ламбда" не ни трябва. Това, че стойностите на параметрите се оказаха еднакви е чиста случайност.
5) Небето се изяснява напълно, заменете намерените стойности 
до нашите локации:
Векторът на посоката не е особено необходим, тъй като неговият аналог вече е намерен.
След дълго пътуване винаги е интересно да се извърши проверка.
:
Получават се правилните равенства.
Заменете координатите на точката в уравненията 
:
Получават се правилните равенства.
6) Последният акорд: ще съставим уравненията на права линия за точка (можете да вземете) и насочващ вектор:
По принцип можете да вземете „добра“ точка с целочислени координати, но това е козметично.
Как да намерите разстоянието между пресичащите се линии?
г) Отсечехме четвъртата глава на дракона.
Метод първи. Дори не начин, а малък специален случай. Разстоянието между пресичащите се линии е равно на дължината на техния общ перпендикуляр: 
.
Крайни точки на общия перпендикуляр 
намерени в предишния параграф, а задачата е елементарна:
Метод втори. На практика най-често краищата на общия перпендикуляр са неизвестни, затова се използва различен подход. През две пресичащи се прави могат да се начертаят успоредни равнини, като разстоянието между дадените равнини е равно на разстоянието между дадените прави. По-специално, между тези равнини стърчи общ перпендикуляр.
В хода на аналитичната геометрия, от горните съображения, беше получена формула за намиране на разстоянието между косите линии: 
(вместо нашите точки "ем едно, две" можем да вземем произволни точки от прави).
Смесен продукт на векторивече намерено в параграф "а": 
.
Кръстосано произведение на векторинамерено в параграф "be": 
, изчислете дължината му:
По този начин:
Гордо подредете трофеите в един ред:
Отговор:
но) 
, следователно, линиите се пресичат, което се изискваше да се докаже;
б) 
;
в) 
;
ж) 
Какво друго може да се каже за пресичащите се прави? Между тях е определен ъгъл. Но помислете за формулата за универсален ъгъл в следващия параграф:
Пресичащите се прави линии задължително лежат в една и съща равнина: 
Първата мисъл е да се облегнете на пресечната точка с всички сили. И веднага си помислих, защо да си отказвате правилните желания ?! Нека скочим върху него веднага!
Как да намерим пресечната точка на пространствените линии?
Пример 14
Намерете пресечната точка на линиите
Решение: Нека пренапишем уравненията на линиите в параметричен вид: 
Тази задача е разгледана подробно в Пример № 7 от този урок (вж. Уравнения на права линия в пространството). А самите прави линии, между другото, взех от пример № 12. Няма да лъжа, мързи ме да измислям нови.
Решението е стандартно и вече е срещано при изработването на уравненията на общия перпендикуляр на косите линии.
Точката на пресичане на правите принадлежи на правата, следователно нейните координати удовлетворяват параметричните уравнения на тази права и те съответстват на много специфична стойност на параметъра:
Но същата точка принадлежи на втория ред, следователно: 
Приравняваме съответните уравнения и правим опростявания: 
Получава се система от три линейни уравнения с две неизвестни. Ако линиите се пресичат (както е доказано в пример 12), тогава системата е задължително последователна и има уникално решение. Може да се реши Метод на Гаус, но няма да грешим с такъв фетишизъм в детската градина, нека го направим по-лесно: от първото уравнение изразяваме „те нула“ и го заместваме във второто и третото уравнение: 
Последните две уравнения се оказаха по същество еднакви и от тях следва, че . Тогава:
Нека заменим намерената стойност на параметъра в уравненията: 
Отговор:
За да проверим, ние заместваме намерената стойност на параметъра в уравненията: 
Бяха получени същите координати, както се изискваше да бъдат проверени. Внимателните читатели могат да заменят координатите на точката в оригиналните канонични уравнения на линиите.
Между другото, беше възможно да се направи обратното: намерете точката чрез „es zero“ и я проверете чрез „te zero“.
Един добре познат математически знак казва: там, където се обсъжда пресичането на прави линии, винаги има миризма на перпендикуляри.
Как да построим линия от пространство, перпендикулярна на дадена?
(линиите се пресичат)
Пример 15
а) Съставете уравненията на права, минаваща през точка, перпендикулярна на правата 
(линиите се пресичат).
б) Намерете разстоянието от точката до правата.
Забележка
: клауза "линиите се пресичат" - значителен. През точката
възможно е да се начертаят безкраен брой перпендикулярни линии, които ще се пресичат с правата "el". Единственото решение се получава, когато се прокара линия през дадена точка, перпендикулярна на дведадени прави линии (виж Пример № 13, параграф "б").
но) Решение: Означете неизвестния ред с . Нека направим схематичен чертеж:
Какво се знае за линията? По условие се дава точка. За да се съставят уравненията на права линия, е необходимо да се намери векторът на посоката. Като такъв вектор векторът е доста подходящ и ние ще се справим с него. По-точно, нека вземем неизвестния край на вектора за щипката.
1) Ще извлечем неговия насочващ вектор от уравненията на правата линия "el" и ще пренапишем самите уравнения в параметричен вид: 
Мнозина предположиха, че сега за трети път в урок магьосникът ще извади бял лебед от шапката си. Помислете за точка с неизвестни координати. Тъй като точката , тогава нейните координати удовлетворяват параметричните уравнения на правата линия "el" и съответстват на конкретна стойност на параметъра: 
Или в един ред:
2) По условие линиите трябва да са перпендикулярни, следователно векторите им на посоката са ортогонални. И ако векторите са ортогонални, тогава техните скаларен продуктравно на нула: 
Какво стана? Най-простото линейно уравнение с едно неизвестно: 
3) Стойността на параметъра е известна, нека намерим точката:
И векторът на посоката:
.
4) Ще съставим уравненията на правата по точката и вектора на посоката 
:
Знаменателите на пропорцията се оказаха дробни и това е точно така, когато е подходящо да се отървете от дробите. Просто ще ги умножа по -2: 
Отговор: 
Забележка
: по-строг край на решението се съставя, както следва: съставяме уравненията на права линия по точка и вектор на посока 
. Действително, ако векторът е насочващ вектор на права линия, тогава векторът, колинеарен към него, естествено също ще бъде насочващ вектор на тази права линия.
Проверката се състои от два етапа:
1) проверете векторите на посоката на линиите за ортогоналност;
2) заместваме координатите на точката в уравненията на всяка права линия, те трябва да се „паснат“ както тук, така и там.
Говореше се много за типични действия, затова направих проверка на черновата.
Между другото, забравих още една мода - да се изгради точка "sue", симетрична на точка "en" по отношение на правата "el". Има обаче добър „плосък аналог“, който може да се намери в статията Най-простите задачи с права линия в равнина. Тук цялата разлика ще бъде в допълнителната координата "Z".
Как да намерим разстоянието от точка до права в пространството?
б) Решение: Намерете разстоянието от точка до права.
Метод първи. Това разстояние е точно равно на дължината на перпендикуляра: . Решението е очевидно: ако точките са известни 
, тогава:
Метод втори. В практическите задачи основата на перпендикуляра често е загадка, така че е по-рационално да се използва готова формула.
Разстоянието от точка до права се изразява по формулата: 
, където е векторът на посоката на правата линия "el", и - произволенточка на дадена права.
1) От уравненията на правата линия 
получаваме вектора на посоката и най-достъпната точка.
2) Точката е известна от условието, изострете вектора:
3) Да намерим векторен продукти изчислете дължината му: 
4) Изчислете дължината на вектора на посоката:
5) По този начин разстоянието от точка до права:
Припомнете си, че ъгълът между изкривените линии е ъгълът между успоредни на тях и минаващи през една точка. С други думи, ако е директен л o и л 1 се пресичат, тогава трябва да направим паралелен превод на правата л o за да получите права линия л o ¢ пресичащи се с л 1 и измерете ъгъла между тях л o ¢ и л 1 .
Две пресичащи се прави имат един общ перпендикуляр. Дължината му се нарича разстоянието между линиите.
Нека две линии в пространството са дадени от техните канонични уравнения:
ло:==, л 1: = = . (35)
Тогава можем веднага да заключим, че ( а 1 , а 2 , а 3)½½ ло , ( б 1 , б 2 , б 3)½½ л 1 , Ао( хо , го , zо)О ло , А 1 (х 1 , г 1 , z 1) О ледин . Нека направим матрица
х 1 – хо г 1 – го z 1 –zо
А = а 1 а 2 а 3 ,
б 1 б 2 б 3
и нека D = дет А.
Теорема 8.1.Ъгълът между l и p се изчислява по формулата
cos a == . (36)
2. Направо ло и л 1 кръстосванеÛ D ≠ 0.
3. Направо л o и л 1 пресичат сеÛ D = 0 и не колинеарен.
4. ло½½ л 1 ранг А= 2 и ½½ .
5. л o= л 1 ранг А = 1.
Доказателство. 1.
Ъгъл a между линиите л o и л 1 може да бъде равен или съседен на ъгъла b между техните вектори на посоката. В първия случай
cos a = cos b = ,
и във втория случай
cos a = - cos b =½ cos b½ = .
Тази формула ще работи и за първия случай. Моля, имайте предвид, че чертежа не показва права линия. л o , и правата, успоредна на него л o ¢ .
2, 3. Очевидно направо л o и л 1 не са успоредни, ако и само ако техните вектори на посоката и не са колинеарни. В този случай правите лежат в една и съща равнина и се пресичат Û векторите са компланарни Û тяхното смесено произведение е равно на нула: = 0. И в координатите този продукт на точността е равен на D .
Съответно, ако D ≠ 0, тогава векторите не са компланарни, което означава, че са прави линии л o и л 1 не лежат в една и съща равнина z, те се пресичат.
4, 5.
Ако ло½½ л 1 или л o= л 1, след това ½½. Но в първия случай векторът не е колинеарен и следователно първият ред в матрицата Анепропорционално на втория и третия ред. Така че ранг А = 2.
Във втория случай и трите вектора са колинеарни един спрямо друг и следователно всички редове
в матрицата Апропорционална. Така че ранг А = 1.
И обратно, ако || , след това правите линии л o и л 1 са успоредни или съвпадат; докато вторият и третият ред на матрицата Апропорционална. Ако в допълнение, ранг А= 2, тогава първият ред на матрицата не е пропорционален на втория и третия, което означава, че векторът е неколинеарен и Û л o || ледин . Ако ранг А= 1, след това всички редове в матрицата Аса пропорционални, което означава, че и трите вектора са колинеарни един спрямо друг Û л o= л 1 .
Теорема 9.Нека две линии lо и л 1 в пространството са дадени от техните канонични уравнения (35). Тогава
1. ако ло½½ л 1 , тогава разстоянието между lо и л 1 се намира по формулата
з = , (37)
2. ако ло и л 1 се пресичат, тогава разстоянието между тях се намира по формулата
з = . (38)
Доказателство. 1.
Нека бъде ло½½ ледин . Отделете вектора от точката А o , и върху вектори и построете паралелограм. След това височината му зще бъде разстоянието между л o и ледин . Площта на този паралелограм е: С=½ ´½, а основата е ½ ½. Ето защо
з = С/½ ½ = (37).
2. Нека бъде л o и л 1 са кръстосани. Преминете през права линия л o плосък p o ½½ л 1 и през правата линия л 1 начертайте равнината p 1 ½½ ло.
Тогава общият перпендикуляр на л o и л 1 ще бъде общ перпендикуляр на p o и p 1 . Оставете настрана векторите и от точката А o и върху вектори и построете паралелепипед. Тогава долната му основа лежи в p o равнината, а горната й основа лежи в равнината p 1. Следователно височината на паралелепипеда ще бъде общ перпендикуляр на p o и p 1 и неговата стойност зще бъде разстоянието между л o и ледин . Обемът на паралелепипеда е ½ ½, а площта на основата е ½´½ Þ
з= СРЕЩУоснова = (38).
Последица. Разстояние от точка А 1 (х 1 , г 1 , z 1) към направо л, дадено от уравнението
изчислено по формулата (37).
Примери за решаване на проблеми.
1. Като се имат предвид координатите на върховете A(1,– 6), Б(–3, 0), ° С(6, 9) триъгълник ABC. Напишете уравнението за окръжност, описана около триъгълник.
Решение.
За да формулираме уравнението на окръжността, трябва да знаем нейния радиус Ри централни координати ОТНОСНО(а, б). Тогава уравнението изглежда така:
(х–а) 2 +(г–б) 2 = Р 2 .
Центърът на окръжност, описана около триъгълник, е в пресечната точка на перпендикулярните ъглополовящи на страните на този триъгълник. Намиране на координатите на средните точки М 1 (х 1 , г 1), и М 3 (х 3 , г 3) страни пр.н.еИ АБсъответно:
x 1 = = = , г 1 = = = , М 1 .
по същия начин М 3 (–1,–3).
Нека бъде л 3 - права линия, която е средната перпендикулярна на АБ, но л 1 до пр.н.е. Тогава = (– 4, 6) ^ л 3 и л 3 преминава през М 3 . Значи нейното уравнение е:
– 4(х+1) + 6(г+3) = 0.
По същия начин = (9, 9) ^ л 3 . Следователно, уравнението л 1:
9(х-) + 9(г -) = 0
х + г – 6 = 0.
Ние имаме ОТНОСНО =л 1 I л 3 . Следователно, за да намерите координатите на точка ОТНОСНОнеобходимо е да се решат заедно уравненията л 1 и л 3:
х + г – 6 = 0 ,
– 4х + 6г +14 = 0.
Нека добавим първото уравнение към второто уравнение, умножено по 4:
х + г – 6 = 0,
10г – 10 = 0.
Оттук г = 1, х = 5, О(5, 1).
Радиусът е равен на разстоянието от ОТНОСНОкъм всеки от върховете на триъгълника. Намираме:
Р =½½= = .
Значи кръговото уравнение е:
(х – 5) 2 + (г–1) 2 = 65.
2. В правоъгълен триъгълник ABC уравнението на един от катетите е известно 3х – 2г + 5 = 0, координати на върха C(–5,–5) и координати на средната точка O(– 3/2,–3)хипотенуза АВ. Намерете координати
върхове A, B и координатите на точка E, която е симетрична на O по отношение на страната BC. Намерете координатите на пресечната точка на медианите на триъгълник ABC .
Решение.Нека е кракът, чието уравнение ни е дадено ЮЗ. То се дава от общо уравнение на формата
брадва + от + ° С = 0.
В това уравнение геометричното значение
коефициенти аИ бса координатите на нормалния вектор ( а, б). Следователно (3,-2)^ слънце.
Съставете перпендикулярното уравнение л = ODот страната ЮЗи намерете координатите на точката д. Векторът ще бъде успореден OD, т.е. това е векторът на посоката на тази линия. Освен това знаем координатите на точката ОТНОСНОна тази линия. Съставяме параметрично уравнение л:
х = – + 3т, (*)
г = – 3 - 2т .
Ние имаме д = лаз пр.н.е. Следователно, за да намерим координатите на тази точка, трябва съвместно да решим уравненията лИ пр.н.е. Заместител хИ гот уравнението лв уравнението пр.н.е:
3(– + 3т) –2(–3 -2т)+5 = 0,
– + 9т +6 +4т+5 = 0,
13т = –, t D= – .
Заменяме намереното тв уравнението ли намерете координатите на точката д(-3,-2). За да намерите координатите ЕНека си припомним физическия смисъл на параметричното уравнение на права линия: то дефинира праволинейно и равномерно движение. В нашия случай отправната точка е ОТНОСНО OEдва пъти дължината на сегмента OD. Ако навреме t D= - тръгнахме от ОТНОСНОпреди д, след това пътят от ОТНОСНОпреди Еще минем с времето t E= 2t D= -1. Замествайки тази стойност в (*), намираме Е(– 4,5;–1).
точка дразделя сегмента пр.н.ена половина. Ето защо
x D = , y D = .
От тук намираме
х Б= 2x D– х С= –1, y B = 2y D – y C =1, Б(–1, 1).
По същия начин, използвайки факта, че ОТНОСНО- среден АБ, намерете координатите на точката НО(-2,-7). Има и друг начин за решаване на този проблем: пълно Δ ABCкъм паралелограм.
Общите формули за разделяне на сегмент в това отношение изглеждат така:
x С = , y D = ,
ако точка ОТразделя сегмента АБпо отношение на l 1:l 2 , т.е. ½ AC½:½ пр.н.е½=l 1:l 2 .
Известно е, че пресечната точка на медианите разделя медианата в съотношение 2:1, като се брои от върха. В нашия случай Рразделя ТАКАв съотношение 2:1. Ето защо
x P = = = – ,
y P = = = – .
Отговор:НО(–2,–7), Б(–1, 1), П.
3. Като се имат предвид координатите на върховете A(– 4,–2), Б(9, 7), ° С(2,– 4)триъгълник ABC. Напишете общото уравнение за ъглополовящата AD и намерете координатите на точка D.
Решение.
От курса по елементарна математика е известно, че = . Изчисли
(13, 9), (6,–2);
½½== 5, ½½== 2 .
x D = = = 4,
y D = = = – , д(4,–).
Съставяме уравнението на права линия, минаваща през точките АИ д. За нея векторът е ориентир. Но като ориентир можем да вземем всеки вектор, колинеарен. Например, ще бъде удобно да вземем = , (7, 1). След това уравнението
АД: = г+ 2 х – 7г– 10 = 0.
Отговор:д(4,–), АД: х – 7г– 10 = 0.
4. Уравнения на две медиани x – г– 3 = 0, 5х + 4г– 9 = 0 триъгълник ABC и координати на връх A(– 1, 2). Приравнете третата медиана.
Решение.Първо се уверяваме, че точката Ане принадлежи към тези медиани. Медианите на триъгълник се пресичат в една точка М. Следователно те са включени в пакета от линии, преминаващи през М. Нека напишем уравнението за този лъч:
л( х – г– 3) + m(5 х + 4г– 9) = 0.
Коефициентите l и m се определят до пропорционалност; следователно можем да приемем, че m = 1 (ако m = 0, тогава уравнението на гредата определя само първата медиана и желаната права линия не съвпада с нея). Получаваме уравнението на лъча:
(l + 5) х+ (–l + 4) г– 3l – 9 = 0.
От този пакет трябва да изберем права, минаваща през точката А(- 12). Нека заместим координатите му в уравнението на лъча:
– (l + 5) + 2(–l + 4) – 3l – 9 = 0,
– 6l – 6 = 0, l = –1.
Заместваме намерената стойност на l в уравнението на гредата и получаваме необходимото средно уравнение:
4х + 5г– 6 = 0.
Отговор: 4х + 5г– 6 = 0.
5. Дадени са координатите на върховете на триъгълната пирамида SABC: А(–3, 7, 1), Б(–1, 9, 2), ° С(–3, 6, 6) С(6,–5,–2). Напишете уравнението за равнината на основата ABC и уравнението за височината SD. Намерете координатите на точка D и точка S¢ симетрично на S по отношение на равнината на основата.
Решение.Намерете координатите на два вектора, успоредни на равнината на основата p = ABC:
= (2, 1, 1), = (0,–1, 5).
Уравнение на равнина, минаваща през дадена точка А(хо , го , z o) успоредно на два неколинеарни вектора ( а 1 ,а 2 , а 3), (б 1 ,б 2 , б 3) изглежда
х – хо г – го z – zо
а 1 а 2 а 3 = 0.
б 1 б 2 б 3
Заменете нашите данни в това уравнение:
х + 3 г – 7 z – 1
2 2 1 = 0.
0 –1 5
Отваряне на детерминанта:
От уравнението на равнината откриваме, че векторът (11,–10,–2) е нормален вектор към равнината. Същият вектор ще бъде водач за правата линия. з = SD. Параметрично уравнение на права линия, минаваща през дадена точка А(хо , го , z o) с вектор на посока ( а 1 ,а 2 , а 3) изглежда
х = х o + а 1 т ,
г = г o + а 2 т ,
z = z o + а 3 т .
В нашия случай получаваме уравнението:
х = 6 + 11т ,
з: г = –5 – 10т , (*)
z = –2 – 2т .
Намерете основата на перпендикуляра. Това е пресечната точка на правата с равнината p. За да направим това, трябва да решим уравненията и p заедно. Заместваме от уравнението лв уравнението π:
11(6 + 11т) – 10(–5 – 10 т) – 2(–2 – 2т) + 105 = 0,
66 + 121 т + 50 + 100 т + 4 + 4 т + 105 = 0,
225 г = –225, т = –1.
Намерено твключете в уравнението ли намерете координатите д(–5, 5, 0).
Нека си припомним физическия смисъл на параметричното уравнение на права линия: то дефинира праволинейно и равномерно движение. В нашия случай отправната точка е С, векторът на скоростта е. Раздел SS¢ два пъти по-дълъг от сегмента SDи ще отнеме два пъти повече време, за да го завърши. Ако навреме t D= - 1 сме тръгнали Спреди д, след това пътят от Спреди С¢ ще минем във времето т¢= 2 t D= -2. Замествайки тази стойност в (*), намираме С¢(–16, 15; 2).
Отговор:ABC: 11х – 10г– 2z +105 = 0, д(–5, 5, 0), С¢(–16, 15; 2),
х = 6 + 11т ,
SD: г = –5 – 10т ,
z = –2 – 2т .
6. Като се имат предвид уравненията на правата l на равнината p:
Уверете се, че l и p се пресичат и напишете проекционното уравнение l¢ права l към равнината. Намерете ъгъла между l и p .
Решение. От уравнението на права линия намираме нейния насочващ вектор: (1,–1, 2) и точка на тази права линия: А(6, 0, 2) , а от уравнението на равнината - нормален вектор към равнината:
(5,–2, 4). Очевидно е, че ако л½½ p или , след това ^ т.е. ·
= 0. Проверете:
· = 5 1 – 2 (–1) + 4 2 = 15 ¹ 0.
означава, лпресича π. Ъгъл между ли p намерете по формулата:
грях а = ;
|| = = , || = = = 3 .
грях а = = .
Нека бъде А o - точкова проекция Адо самолета и Б = лаз π
. Тогава л¢= Ао Бе проекция на права линия. Нека първо намерим координатите на точката Б. За да направите това, пренаписваме уравнението на правата линия лв параметрична форма:
х = 6 + т,
л: г = – т,
z = 2 + 2т,
и го решете заедно с равнинното уравнение π . Заместваме от уравнението лв уравнението π :
5(6 + т) – 2(– т) + 4(2 + 2т) + 7 = 0,
30 + 5т + 2т + 8 + 8т + 7 = 0,
15т = – 45, т = – 3.
Замествайки го тв уравнението лнамерете координати Б(3, 3, 4). Съставете перпендикулярното уравнение з = AAо. За прави звекторът служи като водачи. Ето защо зсе дава от уравнението
х = 6 + 5т,
з: г = –2 т,
z = 2 + 4т,
Решаваме го заедно с уравнението на π равнината, за да намерим координатите на точката Ао:
5(6 + 5т) – 2(–2т) + 4(2 + 4т) + 7 = 0,
30 + 25т + 4т + 8 + 16т + 7 = 0,
45т = – 45, т = – 1.
Заменете го тв уравнението зи намерете А o (1, 2, –2). Намиране на вектора на посоката на правата линия аз": Ао Б(2, 1,–2) и получете нейното уравнение:
.
7. Правата l в пространството се дава от системата от уравнения
2х+2г– z– 1=0,
4х– 8г+ z – 5= 0,
и дадени координати на точка А(–5,6,1). Намерете координатите на точка B, симетрична на A по отношение на правата l.
Решение.Нека бъде Пе основата на перпендикуляра, изтеглен от точката Адиректно л. Първо намираме координатите на точката П. За да направим това, ще напишем уравнението на равнината p, минаваща през точката Аперпендикулярно на равнините p 1 и p 2. Намираме нормалните вектори към тези равнини: (2, 2,–1), (4,–8, 1). За p равнината те ще бъдат водачи. Така че уравнението за тази равнина е:
х + 5 г – 6 z – 1
2 2 –1 = 0.
4 –8 1
– 6(х + 5) – 6(г – 6) –24(z – 1) = 0 .
Не забравяйте да отворите скоби преди това
Първо разделяме цялото уравнение на -6:
х + 5 + г – 6 + 4(z – 1) = 0,
х+ y+ 4z – 5 = 0.
Сега П- пресечната точка на равнините p, p 1 и p 2. За да намерим неговите координати, трябва да решим система, съставена от уравненията на тези равнини:
х + г + 4z – 5 = 0,
4х – 8г + z – 5 = 0,
2х + 2г – z – 1 = 0.
Решавайки го по метода на Гаус, намираме П(1,0,1). След това, използвайки факта, че П- среден АБнамираме координатите на точка Б(7,–6,1).
точка Пможе да се намери по друг начин, като най-близък до Аточка на права линия л. За да направите това, е необходимо да се състави параметрично уравнение на тази линия. Как се прави това, вижте задачата 10 . За по-нататъшни действия вижте задачата 8 .
8.
INд ABC с върхове А(9, 5, 1), Б(–3, 8, 4), ° С(9,–13,–8) височина AD. Намерете координатите на точка D, напишете уравнението на правата AD, изчисли з=½ АД½ и проверете h чрез изчисляване S D ABC чрез кръстосано произведение.
Решение.Очевидно е, че точката дможе да се намери така: д= π I пр.н.е, където π е равнината, която минава през точката Аперпендикулярно на страната пр.н.е. За тази равнина служи като нормален вектор. Намерете (12, -21, -12). Координатите на този вектор се делят равномерно на 3. Следователно можем да вземем = , (4,–7,–4) като нормален вектор към p. Уравнение на равнина π, минаваща през точка Ао( хо , го , zо) перпендикулярно на вектора ( а, б, ° С), има формата:
а(х – хо) + б(г – го) + ° С(z – zо) = 0.
в нашия случай:
4(х – 9) - 7(г – 5) - 4(z – 1) = 0,
4х - 7г - 4z + 3 = 0,
Съставете уравнението на права линия пр.н.е. За нея векторът ще бъде ръководството:
х = –3 + 4т,
пр.н.е: г = 8 – 7т, (*)
z = 4 – 4т,
Дотолкова доколкото д= π I пр.н.е, за да намерите координатите на точка дтрябва да решим уравненията заедно π И пр.н.е. Заместваме от уравнението пр.н.ев уравнението π:
4(–3 + 4т) – 7(8 – 7т) – 4(4 – 4т) + 3 = 0,
–12 + 16 т – 56 + 49т – 16 + 16 т + 3 = 0,
81т = 81, т = 1.
Заменете го тв уравнението на права линия пр.н.еи намерете д(1, 1, 0). Освен това, знаейки координатите на точките АИ д, съставете уравнението на права линия АДизчислете разстоянието между точките по формулата:
i j k i j k
´ = –12 3 3 = –27 – 4 1 1 = –27(– и + 4j– 8к) .
0 –18 –9 0 2 1
(По време на изчислението използвахме свойството на детерминанта: общият фактор на елементите на един ред може да бъде изваден от знака на детерминанта).
SΔ ABC= · 27 = .
От друга страна, S Δ ABC = | |· з. Оттук з= . Намираме
Ето защо з= 9. Това съвпада с намерения по-рано отговор.
точка дможе да се намери като най-близо до Аточка на права линия пр.н.е, използвайки методите на диференциалното смятане. Нека бъде М(т) е произволна точка от правата пр.н.е; координатите му се определят от системата (*):
М(–3 + 4т, 8 – 7т, 4 – 4т).
Намиране на квадратното разстояние от точка Апреди М(т):
з 2 (т) = (9 + 3 – 4т) 2 + (5 – 8 + 7т) 2 + (1 – 4 + 4т) 2
= (12 – 4т) 2 + (–3 + 7т) 2 + (–3 + 4т) 2 =
144 – 96т + 16т 2 + 9 – 42т + 49т 2 + 9 – 24т + 16т 2 =
81т 2 – 162т + 162.
Намерете най-малката стойност на функцията з 2 (т) с помощта на производната:
з 2 (т) = 162т – 162; з 2 (т) = 0 Þ т = 1.
Заменете тази стойност тв уравнението на права линия пр.н.еи намираме това д(1, 1, 0) е най-близо до Аточка на линия пр.н.е.
9. Разгледайте относителното положение на следните двойки равнини(пресичат се, успоредни, съвпадат). Ако равнините се пресичат, тогава намерете ъгъла между тях, ако са успоредни – разстоянието между тях.
но). p1:2 г+ z + 5 = 0, p 2: 5 х + 4г– 2z +11 = 0.
Решение.Ако равнините p 1 и p 2 са дадени от техните общи уравнения
а 1 х + б 1 г + ° С 1z+ д 1 = 0, а 2 х + б 2 г + ° С 2z+ д 2 = 0,
p 1 ½½ p 2 Û = = ¹ ,
p 1 = p 2 Û = = = .
В нашия случай ¹ ¹, така че равнините не са успоредни и не съвпадат. Така че те се пресичат. Ъгълът между равнините се изчислява по формулата
cos а = ,
където и са нормалните вектори към тези равнини. В нашия случай
(0, 2, 1), (5, 4, –2), = 0 5 + 2 4 + 1 (–2);
|| = = , || = = 3 .
Така че cos а = = .
Отговор: a = arccos.
б) p1: х – г+ 2z + 8 = 0,
p2:2 х – г+ 4z -12 = 0.
Решение.Проверете за паралелизъм или съвпадение:
Следователно, p 1 ½½ p 2, но p 1 ¹ p 2 . Разстояние от точката А(х, г, z) към равнината, дадена от уравнението, се намира по формулата
з = .
Изберете точка НОоп 1. За да направите това, трябва да изберете произволни три координати, които отговарят на уравнението p 1 . В нашия случай най-простият: А o (0, 8, 0). Разстояние от А o до p 2 и ще бъде разстоянието между p 1 и p 2:
з = = .
10.
Съставете уравнението на равнинатап, който разполовява този на двугранните ъгли между равнините
p1:2 х– г+ 2= 0, p2: 5 х+ 4г– 2z–14 = 0,
който съдържа дадената точка А(0, 3,–2). Съставете параметрично уравнение на правата l = стр 1 I стр 2 ;
Решение.Ако точката лежи върху равнината p, която разделя двугранния ъгъл, тогава разстоянията з 1 и з 2 от тази точка до p 1 и до p 2 са равни.
Намерете тези разстояния и ги приравнете:
Можем да отваряме модули с еднакви или различни знаци. Следователно можем да получим 2 отговора, т.к. p 1 и p 2 образуват два двугранни ъгъла. Но в условието се изисква да се намери уравнението на равнината, която разполовява ъгъла, в който се намира точката НО. Така че координатите на точката Мпри заместване в левите части на уравненията на тези равнини стр 1 и трябва да имат същите знаци като координатите на точката НО. Лесно е да се провери дали тези знаци са за p 1 и "+" за p 2 . Следователно разширяваме първия модул със знак „-“, а втория със знак „+“:
3(-2х + г- 2) = 5х+ 4г– 2z–14,
стр:11 х + г - 2z - 14 = 0.
За да се формулира уравнението на права линия л, трябва да намерим вектора на посоката на тази права и точка върху нея.
От уравненията p 1 и p 2 намираме координатите на нормалните вектори към тези равнини: (2,–1, 0), (5, 4,–2). Вектор на посоката права лперпендикулярно i. Това може да бъде намерено с помощта на кръстосаното произведение (по дефиниция, ако = ´, тогава ^ и ^):
= ´ = 2 –1 0 = 2 и + 4j+ 13к .
За да намерим координатите на една точка на права линия, трябва да намерим конкретно решение на системата от уравнения
Тъй като има две уравнения и три неизвестни, системата има безкраен брой решения. Трябва само да изберем един. Най-лесно се поставя х= 0 и тогава намираме
Þ z = – 3, 
.
Канонично уравнение на права линия, минаваща през точка Б(хо , го , zо) успоредно на вектора ( а 1 , а 2 , а 3) има формата:
В нашия случай имаме уравнението:
л: = = .
Отговор:стр:11 х + г – 2z = 0, л: = = .
11. Дадени са уравненията на две прави в пространството:
х = –1 – т, х = –3 + 2т¢,
л 1: г = 6 + 2 т, л 2: г = –2 – 3т¢,
z = 5 + 2т, z = 3 – 2т¢.
Докажете, че дадените прави се пресичат и напишете уравнението на общия им перпендикуляр.
Решение.От уравненията на линиите намираме координатите на техните вектори на посоката: (–1, 2, 2), (2, –3, –2) и точките l 1, което означава, че е векторът на посоката на общия перпендикулярно на тези линии. Вече намерихме нейните координати: (2, 2,–1). За да
напишете уравнение зтрябва да намерим координатите на една точка на тази права. За да направим това, ще напишем уравнението за равнината π, минаваща през нея л 1 и з. За нея векторите ще бъдат водачи и АОп.
х – 1 г – 2 z – 1
– 6(х – 1) + 3(г – 2) – 6(z – 1) = 0.
– 2(х – 1) + (г – 2) – 2(z – 1) = 0.
п: -2 х + г – 2z + 2 = 0.
Намиране на пресечната точка л 2 и пи. За това от уравнението л 2 се замества в уравнението π:
–2(–3 + 2т¢) –2 + 3 т¢ – 2 (3 – 2 т¢) + 2 = 0,
6 – 4т¢ - 2 - 3 т¢ - 6 - 4 т¢ + 2 = 0,
–7т¢= 0, т¢= 0.
Заменяме намереното т¢ ин
