Definiți secvența. Definiția unei secvențe de numere
Definiție. Dacă fiecărui număr natural n i se atribuie un număr xn, atunci spunem că este dată o succesiune
x1, x2, …, xn = (xn)
Elementul comun al secvenței este o funcție a lui n.
Astfel, o secvență poate fi privită ca o funcție.
Puteți specifica o secvență în diferite moduri - principalul lucru este că este indicată o metodă pentru obținerea oricărui membru al secvenței.
Exemplu. (xn) = ((-1)n) sau (xn) = -1; unu; -unu; unu; …
(xn) = (sinn/2) sau (xn) = 1; 0; unu; 0; …
Puteți defini următoarele operații pentru secvențe:
Înmulțirea unei secvențe cu un număr m: m(xn) = (mxn), adică. mx1, mx2,...
Adunarea (scăderea) secvențelor: (xn) (yn) = (xn yn).
Produsul secvențelor: (xn)(yn) = (xnyn).
Coeficient de secvențe: la (yn) 0.
Secvențe mărginite și nemărginite.
Definiție. O secvență (xn) se numește mărginită dacă există un număr M>0 astfel încât pentru orice n inegalitatea este adevărată:
acestea. toți membrii șirului aparțin intervalului (-M; M).
Definiție. Se spune că o secvență (xn) este mărginită de sus dacă pentru orice n există un număr M astfel încât xn M.
Definiție. Se spune că o secvență (xn) este mărginită de jos dacă pentru orice n există un număr M astfel încât xn M
Exemplu. (xn) = n - mărginit de jos (1, 2, 3, … ).
Definiție. Numărul a se numește limita șirului (xn) dacă pentru orice pozitiv >0 există un astfel de număr N încât pentru tot n > N este îndeplinită condiția: Se scrie: lim xn = a.
În acest caz, se spune că șirul (xn) converge către a pentru n.
Proprietate: Dacă renunțăm la orice număr de membri ai secvenței, atunci se obțin secvențe noi, iar dacă una dintre ele converge, atunci converge și cealaltă.
Exemplu. Demonstrați că limita șirului este lim .
Fie adevărat pentru n > N, adică. . Acest lucru este valabil pentru , deci dacă N este luat ca parte întreagă a , atunci afirmația de mai sus este adevărată.
Exemplu. Arătați că pentru n șirul este 3, are o limită de 2.
Total: (xn)= 2 + 1/n; 1/n = xn - 2
În mod evident, există un număr n astfel încât, i.e. lim (xn) = 2.
Teorema. O secvență nu poate avea mai mult de o limită.
Dovada. Să presupunem că șirul (xn) are două limite a și b care nu sunt egale între ele.
xn a; xnb; a b.
Atunci, prin definiție, există un număr >0 astfel încât
Pentru mulți oameni, analiza matematică este doar un set de numere, pictograme și definiții de neînțeles, care sunt departe de viața reală. Cu toate acestea, lumea în care existăm este construită pe modele numerice, a căror identificare ajută nu numai să învățăm despre lumea din jurul nostru și să rezolvăm problemele sale complexe, ci și să simplificăm sarcinile practice de zi cu zi. Ce vrea să spună un matematician când spune că o secvență de numere converge? Acest lucru ar trebui să fie discutat mai detaliat.
mic?
Imaginează-ți păpuși matrioșca care se potrivesc una în cealaltă. Mărimile lor, scrise sub formă de numere, începând cu cel mai mare și terminând cu cel mai mic dintre ele, formează o succesiune. Dacă vă imaginați un număr infinit de astfel de figuri luminoase, atunci rândul rezultat va fi fantastic de lung. Aceasta este o secvență de numere convergentă. Și tinde spre zero, deoarece dimensiunea fiecărei păpuși de cuib ulterioare, scăzând catastrofal, se transformă treptat în nimic. Astfel, este ușor de explicat: ceea ce este infinit de mic.
Un exemplu similar ar fi un drum care merge în depărtare. Iar dimensiunile vizuale ale mașinii care se îndepărtează de observator de-a lungul ei, micșorându-se treptat, se transformă într-o pată fără formă care seamănă cu un punct. Astfel, mașina, ca un obiect, care se îndepărtează într-o direcție necunoscută, devine infinit de mică. Parametrii corpului specificat nu vor fi niciodată zero în cel mai adevărat sens al cuvântului, dar tind invariabil la această valoare în limita finală. Prin urmare, această secvență converge din nou la zero.
Să calculăm totul picătură cu picătură
Să ne imaginăm o situație de viață reală. Medicul a prescris pacientului să ia medicamentul, începând cu zece picături pe zi și adăugând două în fiecare zi. Și așa doctorul a sugerat să se continue până când conținutul flaconului de medicament, al cărui volum este de 190 de picături, se epuizează. Din cele de mai sus, rezultă că numărul acestora, pictat pe zi, va fi următoarea serie de numere: 10, 12, 14 și așa mai departe.
Cum să aflați timpul de trecere a întregului curs și numărul de membri ai secvenței? Aici, desigur, puteți număra picăturile într-un mod primitiv. Dar este mult mai ușor, având în vedere modelul, să folosești formula cu un pas de d = 2. Și folosind această metodă, află că numărul de membri ai seriei numerice este 10. În acest caz, un 10 = 28. Numărul de membru indică numărul de zile de administrare a medicamentului, iar 28 corespunde numărului de picături pe care pacientul ar trebui să le folosească în ultima zi. Converge această secvență? Nu, pentru că, în ciuda faptului că este limitată la 10 de jos și 28 de sus, o astfel de serie de numere nu are limită, spre deosebire de exemplele anterioare.
Care este diferența?
Acum să încercăm să clarificăm: când seria de numere se dovedește a fi o secvență convergentă. O definiție de acest fel, după cum se poate concluziona din cele de mai sus, este direct legată de conceptul de limită finită, a cărei prezență dezvăluie esența problemei. Deci, care este diferența fundamentală dintre exemplele date anterior? Și de ce în ultimul dintre ele numărul 28 nu poate fi considerat limita seriei de numere X n = 10 + 2(n-1)?
Pentru a clarifica această problemă, luați în considerare o altă succesiune dată de formula de mai jos, unde n aparține mulțimii numerelor naturale.
Această comunitate de membri este un set de fracții obișnuite, al căror numărător este 1, iar numitorul este în continuă creștere: 1, ½ ...
Mai mult, fiecare reprezentant ulterior al acestei serii, din punct de vedere al locației pe linia numerică, se apropie din ce în ce mai mult de 0. Aceasta înseamnă că o astfel de vecinătate apare acolo unde punctele se grupează în jurul zero, care este limita. Și cu cât sunt mai aproape de el, cu atât concentrarea lor pe linia numerică devine mai densă. Iar distanța dintre ele se reduce catastrofal, transformându-se într-una infinitezimală. Acesta este un semn că secvența converge.
În mod similar, dreptunghiurile multicolore prezentate în figură, atunci când se îndepărtează în spațiu, sunt vizual mai aglomerate, în limita ipotetică transformându-se în neglijabile.
Secvențe infinit de mari
După ce am analizat definiția unei secvențe convergente, ne întoarcem acum la contraexemple. Multe dintre ele sunt cunoscute omului din cele mai vechi timpuri. Cele mai simple variante de secvențe divergente sunt seria de numere naturale și pare. Ele sunt numite infinit de mari într-un alt fel, deoarece membrii lor, în continuă creștere, se apropie din ce în ce mai mult de infinitul pozitiv.
Oricare dintre progresiile aritmetice și geometrice cu un pas și, respectiv, un numitor mai mare decât zero, poate servi, de asemenea, ca exemple. Secvențele divergente sunt considerate, de altfel, serii numerice, care nu au deloc o limită. De exemplu, X n = (-2) n -1 .
Secvența Fibonacci
Utilizarea practică a seriei numerice menționate anterior pentru umanitate este incontestabilă. Dar există nenumărate alte exemple grozave. Una dintre ele este șirul lui Fibonacci. Fiecare dintre membrii săi, care încep cu unul, este suma celor anteriori. Primii doi reprezentanți ai săi sunt 1 și 1. Al treilea 1+1=2, al patrulea 1+2=3, al cincilea 2+3=5. Mai departe, după aceeași logică, urmează numerele 8, 13, 21 și așa mai departe.
Această serie de numere crește la nesfârșit și nu are o limită finită. Dar are o altă proprietate minunată. Raportul dintre fiecare număr anterior și următorul este din ce în ce mai apropiat ca valoare de 0, 618. Aici puteți înțelege diferența dintre o succesiune convergentă și divergentă, deoarece dacă faceți o serie de diviziuni private primite, sistemul numeric specificat va avea o limită finală egală cu 0,618.
Secvența raportului Fibonacci
Seria de numere indicată mai sus este utilizată pe scară largă în scopuri practice pentru analiza tehnică a piețelor. Dar acest lucru nu se limitează la capacitățile sale, pe care egiptenii și grecii le cunoșteau și au putut să le pună în practică în timpurile străvechi. Acest lucru este dovedit de piramidele pe care le-au construit și de Partenon. La urma urmei, numărul 0,618 este un coeficient constant al secțiunii de aur, bine cunoscut pe vremuri. Conform acestei reguli, orice segment arbitrar poate fi împărțit în așa fel încât raportul dintre părțile sale să coincidă cu raportul dintre cel mai mare dintre segmente și lungimea totală.
Să construim o serie de aceste relații și să încercăm să analizăm această secvență. Seria de numere va fi după cum urmează: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 și așa mai departe. Continuând în acest fel, se poate verifica că limita secvenței convergente va fi într-adevăr 0,618. Cu toate acestea, este necesar să se noteze și alte proprietăți ale acestei regularități. Aici numerele par să meargă aleatoriu și deloc în ordine crescătoare sau descrescătoare. Aceasta înseamnă că această secvență convergentă nu este monotonă. De ce este așa, vom discuta în continuare.
monotonie și limitare
Membrii seriei de numere cu numere crescătoare pot scădea în mod clar (dacă x 1>x 2>x 3>...> x n>...) sau pot crește (dacă x 1 După ce au pictat numerele acestei serii, se poate observa că oricare dintre membrii săi, apropiindu-se de 1 pe termen nelimitat, nu va depăși niciodată această valoare. În acest caz, se spune că șirul convergent este mărginit. Acest lucru se întâmplă ori de câte ori există un astfel de număr pozitiv M, care este întotdeauna mai mare decât oricare dintre termenii seriei modulo. Dacă o serie de numere are semne de monotonitate și are o limită și, prin urmare, converge, atunci este în mod necesar înzestrată cu o astfel de proprietate. Și contrariul nu trebuie să fie adevărat. Acest lucru este evidențiat de teorema mărginirii pentru o secvență convergentă. Aplicarea unor astfel de observații în practică se dovedește a fi foarte utilă. Să dăm un exemplu specific examinând proprietățile șirului X n = n/n+1 și să dovedim convergența acesteia. Este ușor de arătat că este monoton, deoarece (x n +1 - x n) este un număr pozitiv pentru orice valoare a lui n. Limita șirului este egală cu numărul 1, ceea ce înseamnă că sunt îndeplinite toate condițiile teoremei de mai sus, numită și teorema Weierstrass. Teorema privind mărginirea unei secvențe convergente spune că, dacă are o limită, atunci în orice caz se dovedește a fi mărginită. Cu toate acestea, să luăm următorul exemplu. Seria de numere X n = (-1) n este mărginită de jos de -1 și de sus de 1. Dar această succesiune nu este monotonă, nu are limită și, prin urmare, nu converge. Adică, existența unei limite și a convergenței nu decurge întotdeauna din limitare. Pentru ca aceasta să funcționeze, limitele inferioare și superioare trebuie să se potrivească, ca în cazul rapoartelor Fibonacci. Cele mai simple variante ale unei secvențe convergente și divergente sunt, poate, seria numerică X n = n și X n = 1/n. Prima dintre ele este o serie naturală de numere. Este, după cum am menționat deja, infinit de mare. A doua secvență convergentă este mărginită, iar termenii săi sunt aproape de mărime infinitezimală. Fiecare dintre aceste formule personifică una dintre laturile Universului cu mai multe fațete, ajutând o persoană să-și imagineze și să calculeze ceva de necunoscut, inaccesibil percepției limitate în limbajul numerelor și al semnelor. Legile universului, de la neglijabil la incredibil de mari, sunt exprimate și prin raportul de aur de 0,618. Oamenii de știință cred că este baza esenței lucrurilor și este folosit de natură pentru a-și forma părțile. Relațiile dintre membrii următori și anteriori ai seriei Fibonacci, pe care le-am menționat deja, nu completează demonstrația proprietăților uimitoare ale acestei serii unice. Dacă luăm în considerare câtul împărțirii termenului anterior la următorul printr-unul, atunci obținem o serie de 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 și așa mai departe. Este interesant că această secvență limitată converge, nu este monotonă, dar raportul numerelor învecinate extreme de la un anumit membru este întotdeauna aproximativ egal cu 0,382, care poate fi folosit și în arhitectură, analiză tehnică și alte industrii. Există și alți coeficienți interesanți ai seriei Fibonacci, toți au un rol deosebit în natură și sunt folosiți și de om în scopuri practice. Matematicienii sunt siguri că Universul se dezvoltă după o anumită „spirală de aur” formată din coeficienții indicați. Cu ajutorul lor, este posibil să se calculeze multe fenomene care au loc pe Pământ și în spațiu, de la creșterea numărului anumitor bacterii până la mișcarea cometelor îndepărtate. După cum se dovedește, codul ADN se supune unor legi similare. Există o teoremă care afirmă unicitatea limitei unei secvențe convergente. Aceasta înseamnă că nu poate avea două sau mai multe limite, ceea ce este, fără îndoială, important pentru găsirea caracteristicilor sale matematice. Să luăm în considerare câteva cazuri. Orice serie numerică compusă din membrii unei progresii aritmetice este divergentă, cu excepția cazului cu pas zero. Același lucru este valabil și pentru o progresie geometrică, al cărei numitor este mai mare decât 1. Limitele unor astfel de serii numerice sunt „plus” sau „minus” infinitului. Dacă numitorul este mai mic decât -1, atunci nu există nicio limită. Sunt posibile și alte opțiuni. Se consideră seria de numere dată de formula X n = (1/4) n -1 . La prima vedere, este ușor de observat că această secvență convergentă este mărginită deoarece este strict descrescătoare și în niciun caz nu poate lua valori negative. Să scriem un număr de membri ai săi la rând. Obține: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0,00390625 și așa mai departe. Calcule destul de simple sunt suficiente pentru a înțelege cât de rapidă este o anumită progresie geometrică cu numitori 0 Augustin Louis Cauchy, un om de știință francez, a dezvăluit lumii multe lucrări legate de analiza matematică. El a dat definiții unor concepte precum diferențial, integral, limită și continuitate. El a studiat, de asemenea, proprietățile de bază ale secvențelor convergente. Pentru a înțelege esența ideilor sale, este necesar să rezum câteva detalii importante. Chiar la începutul articolului, s-a arătat că există astfel de secvențe pentru care există o vecinătate în care punctele reprezentând membrii unei anumite serii de pe linia reală încep să se grupeze, aliniându-se din ce în ce mai dens. În același timp, distanța dintre ele scade pe măsură ce numărul următorului reprezentant crește, transformându-se într-unul infinit de mic. Astfel, rezultă că într-un cartier dat sunt grupați un număr infinit de reprezentanți ai unei serii date, în timp ce în afara acestuia există un număr finit al acestora. Astfel de secvențe sunt numite fundamentale. Celebrul criteriu Cauchy, creat de un matematician francez, indică clar că prezența unei astfel de proprietăți este suficientă pentru a demonstra că șirul converge. Este adevărat și invers. Trebuie remarcat faptul că această concluzie a matematicianului francez este în mare parte de interes pur teoretic. Aplicarea sa în practică este considerată a fi o chestiune destul de complicată, prin urmare, pentru a clarifica convergența seriei, este mult mai important să se demonstreze existența unei limite finite pentru o secvență. În caz contrar, este considerat divergent. La rezolvarea problemelor, ar trebui să se țină seama și de proprietățile de bază ale secvențelor convergente. Ele sunt prezentate mai jos. Oameni de știință celebri din antichitate precum Arhimede, Euclid, Eudoxus au folosit sumele unor serii infinite de numere pentru a calcula lungimile curbelor, volumele corpurilor și ariile figurilor. În special, în acest fel a fost posibil să se afle zona segmentului parabolic. Pentru aceasta s-a folosit suma seriei numerice a unei progresii geometrice cu q=1/4. Volumele și zonele altor figuri arbitrare au fost găsite într-un mod similar. Această opțiune a fost numită metoda „epuizării”. Ideea a fost că corpul studiat, de formă complexă, a fost rupt în părți, care erau figuri cu parametri ușor de măsurat. Din acest motiv, nu a fost dificil să le calculăm suprafețele și volumele, iar apoi au fost adunate. Apropo, sarcinile similare sunt foarte familiare școlarilor moderni și se găsesc în sarcinile USE. Metoda unică, găsită de strămoșii îndepărtați, este de departe cea mai simplă soluție. Chiar dacă există doar două sau trei părți în care cifra numerică este împărțită, adunarea ariilor lor este totuși suma seriei numerice. Mult mai târziu decât oamenii de știință greci antici Leibniz și Newton, pe baza experienței predecesorilor lor înțelepți, au învățat legile calculului integral. Cunoașterea proprietăților secvențelor le-a ajutat să rezolve ecuații diferențiale și algebrice. În prezent, teoria seriilor, creată prin eforturile multor generații de oameni de știință talentați, oferă șansa de a rezolva un număr imens de probleme matematice și practice. Iar studiul secvenţelor numerice este principala problemă rezolvată de analiza matematică încă de la începuturi. Secvențele de numere sunt seturi infinite de numere. Exemple de secvențe sunt: succesiunea tuturor membrilor unei progresii geometrice infinite, succesiunea valorilor aproximative ( x 1 = 1, x 2 = 1,4, x 3= 1,41, ...), succesiunea perimetrelor regulate n-gonuri înscrise într-un cerc dat. Să rafinăm noțiunea de succesiune numerică. Definiția 1. Dacă fiecare număr n din seria naturală a numerelor 1, 2, 3,..., P,... atribuit un număr real x p, apoi multimea numerelor reale x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1) numit succesiune de numere, sau doar o secvență. . Numerele x 1, x 2, x 3, ..., x p,... va apela elemente, sau membrii secvențe (2.1), simbol x p - general un element sau un membru al unei secvențe și numărul P - a lui număr. Pe scurt, succesiunea (2.1) va fi notată prin simbol (x p). De exemplu, personajul (1/ n) denotă o succesiune de numere Cu alte cuvinte, o succesiune poate fi înțeleasă ca un set infinit de elemente numerotate sau un set de perechi de numere (p, x p),în care primul număr ia valorile consecutive 1, 2, 3, ... . O secvență este considerată dată dacă este specificată o metodă pentru obținerea oricăruia dintre elementele sale. De exemplu, formula x n = -1 + (-1)n definește șirul 0, 2, 0, 2,... . Geometric, secvența este reprezentată pe axa numerică ca o secvență de puncte ale căror coordonate sunt egale cu membrii corespunzători ai secvenței. Pe fig. 2.1 arată secvența ( x n} =
{1/n) pe linia numerică. Conceptul de succesiune convergentă Definiția 2. Număr A numit limită de secvență{x n} ,
dacă pentru orice număr pozitiv ε
există un număr N, asta pentru toti n > N inegalitatea Se numește o secvență care are o limită convergente. Dacă succesiunea are ca limită un număr A, atunci se scrie asa: Se numește o secvență care nu are limită divergente. Definiția 3. O succesiune care are ca limită un număr A= 0 este numit succesiune infinitezimală. Observație 1. Lasă secvența ( x n) are ca limită numărul A. Apoi secvența (α n} =
{x n - a) este infinit de mic, adică orice element x p succesiune convergentă cu limită A, poate fi reprezentat ca unde α n- element al unei secvențe infinitezimale (α n} .
Observația 2. Inegalitatea (2.2) este echivalentă cu inegalitățile (vezi proprietatea 4 a modulului unui număr din § 1.5) Aceasta înseamnă că la n > N toate elementele secvenței ( x n) sunt situate în ε-cartier puncte A(Fig. 2.2) și numărul N este determinată de valoarea lui ε. Este interesant să oferim o interpretare geometrică a acestei definiții. Deoarece șirul este o mulțime infinită de numere, atunci dacă converge, în orice vecinătate ε a punctului A pe linia reală există un număr infinit de puncte - elemente ale acestei secvențe, în timp ce în afara vecinătății ε există un număr finit de elemente. Prin urmare, limita unei secvențe este adesea numită punct de îngroșare. Observația 3. Secvența nelimitată are nr final limită. Cu toate acestea, ea poate avea fără sfârşit limită, care se scrie sub următoarea formă: Dacă în același timp, pornind de la un anumit număr, toți membrii șirului sunt pozitivi (negativi), atunci scrieți În cazul în care un ( x n) este o succesiune infinitezimală, atunci (1 /x p} - o succesiune infinită care are o limită infinită în sensul (2.3), și invers. Să dăm exemple de secvențe convergente și divergente. Exemplul 1 Arătați, folosind definiția limitei unei secvențe, că . Decizie. Luați orice număr ε > 0. Deoarece atunci pentru ca inegalitatea (2.2) să se țină, este suficient să rezolvăm inegalitatea 1 / ( n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 - ε) / ε. Destul de luat N= [(1 - ε)/ε] (partea întreagă a numărului (1 - ε)/ ε)* astfel încât inegalitatea |x p - 1| < ε выполнялосьпривсех n > N. * Simbol [ A] înseamnă partea întreagă a numărului A, adică cel mai mare întreg care nu depășește A. De exemplu, =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24. Exemplul 2 Arătați că secvența ( x n} = (-1)n, sau -1, 1, -1, 1,... nu are limită. Decizie. Într-adevăr, orice număr asumăm ca limită: 1 sau -1, cu ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетворяется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x p: toate elementele impare sunt -1, elementele pare sunt 1. Proprietățile de bază ale secvențelor convergente Să prezentăm principalele proprietăți ale șirurilor convergente, care sunt formulate sub formă de teoreme în cursul matematicii superioare. 1.Dacă toate elementele unei secvenţe infinitezimale{x n} sunt egale cu același număr c, atunci c = 0. 2. O secvență convergentă are o singură limită. 3.Sirul convergent este mărginit. 4.Suma (diferența) secvențelor convergente{x n} și{y n} este o secvență convergentă a cărei limită este egală cu suma (diferența) limitelor șirurilor{x p} și{y p}. 5.Produsul secvențelor convergente{x n} și{y n} este o secvență convergentă a cărei limită este egală cu produsul limitelor șirurilor{x n} și{y n} .
6.Coeficient din două secvențe convergente{x n} și{y n} cu condiţia ca limita secvenţei{y n} este diferit de zero, există o secvență convergentă a cărei limită este egală cu câtul limitelor șirurilor{x n} și{y p} .
7. Dacă elementele unei secvenţe convergente{x n} satisface inegalitatea x p ≥ b (x p ≤ b) pornind de la un număr, atunci limita a acestei secvențe satisface și inegalitatea a ≥ b (a ≤ b). 8.Produsul unei secvențe infinitezimale de o secvență mărginită sau de un număr este o secvență infinitezimală. 9.Produsul unui număr finit de secvențe infinitezimale este o secvență infinitezimală. Să luăm în considerare aplicarea acestor proprietăți cu exemple. Exemplul 3. Găsiți limita. Decizie. La n numărătorul și numitorul fracției tind spre infinit, adică. teorema limitei coeficientului nu poate fi aplicată imediat, deoarece presupune existența unor limite finite de secvențe. Transformăm această secvență împărțind numărătorul și numitorul la n 2. Aplicând apoi teoremele privind limita coeficientului, limita sumei și din nou limita coeficientului, găsim succesiv Exemplul 4 x p) = la P. Decizie. Aici, ca și în exemplul anterior, numărătorul și numitorul nu au limite finite și, prin urmare, trebuie efectuate mai întâi transformările corespunzătoare. Împărțirea numărătorului și numitorului la n, primim Deoarece numărătorul conține produsul unei șiruri infinitezimale și a unei secvențe mărginite, atunci, prin proprietatea 8, obținem în sfârșit Exemplul 5 Găsiți limita șirului ( x n) = la P . Decizie. Aici este imposibil să se aplice direct teorema asupra limitei sumei (diferenței) secvențelor, deoarece nu există limite finite ale termenilor din formula pentru ( x n} .
Înmulțiți și împărțiți formula pentru ( x n) la expresia conjugată: Numărul e Luați în considerare șirul ( x n} ,
al cărui termen comun este exprimat prin formula În cursul analizei matematice, se demonstrează că această succesiune crește monotonși are o limită. Această limită se numește număr e. Prin urmare, prin definiție Număr e joacă un rol important în matematică. În continuare, va fi luată în considerare o metodă de calcul cu orice precizie necesară. Rețineți că numărul e este irațional; valoarea sa aproximativă este e = 2,7182818... .
3. Limita secvenței de numere 3.1. Conceptul unei secvențe numerice și o funcție a unui argument natural Definiție 3.1. O secvență numerică (denumită în continuare pur și simplu o secvență) este un set ordonat numărabil de numere {x1, x2, x3, ... }. Acordați atenție la două puncte. 1. Există infinit de multe numere în succesiune. Dacă există un număr finit de numere, aceasta nu este o secvență! 2. Toate numerele sunt ordonate, adică aranjate într-o anumită ordine. În cele ce urmează, vom folosi adesea abrevierea pentru secvența ( xn}. Anumite operații pot fi efectuate pe secvențe. Să luăm în considerare unele dintre ele. 1. Înmulțirea unei secvențe cu un număr. Urmare c×{ xn) este o succesiune cu elemente ( c×
xn), adică c×{ x1, x2, x3, ... }={c×
x1, s×
x2, s×
x3, ... }. 2. Adunarea și scăderea secvențelor. {xn}±{ yn}={xn±
yn}, sau, mai detaliat, {x1, x2, x3,...}±{ y1, y2, y3,... }={x1±
y1, x2±
y2, x3±
y3, ... }. 3. Înmulțirea secvențelor. {xn}×{ yn}={xn×
yn}. 4. Împărțirea secvențelor. {xn}/{yn}={xn/yn}. Desigur, se presupune că în acest caz toate yn¹ 0. Definiție 3.2. Urmare ( xn) se numește mărginit de sus dacă https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">. O secvență (xn) se numește mărginită dacă este mărginită atât deasupra cât și dedesubt. 3.2. Limită de secvență. Secvență infinit de mare Definiție 3.3. Număr A se numește limita șirului ( xn) la n tinzând spre infinit, dacă https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> dacă . Ei spun că dacă . Definiție 3.4. Urmare ( xn) se numește infinit de mare dacă (adică dacă 3.3.
O succesiune infinitezimală. Definiția 3.5. O secvență (xn) se numește infinitezimal dacă , adică dacă . Secvențele infinitezimale au următoarele proprietăți. 1. Suma și diferența de secvențe infinitezimale este, de asemenea, o secvență infinitezimală. 2. O succesiune infinitezimală este mărginită. 3. Produsul unei secvențe infinitezimale și a unei secvențe mărginite este o secvență infinitezimală. 4. Dacă ( xn) este o succesiune infinit de mare, plecând apoi de la unele N, secvența (1/ xn), și este o secvență infinitezimală. În schimb, dacă ( xn) este o succesiune infinitezimală și tot xn sunt diferite de zero, atunci (1/ xn) este o succesiune infinit de mare. 3.4.
secvențe convergente. Definiție 3.6. Dacă există o limită de sfârșit https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">. 5. Dacă 3.5.
Trecerea la limită în inegalități. Teorema 3.1. Dacă, pornind de la unii N, toate xn ³ b, apoi . Consecinţă. Dacă, pornind de la unii N, toate xn ³ yn, apoi cometariu. Rețineți că dacă, pornind de la unele N, toate xn > b, atunci , adică la trecerea la limită, inegalitatea strictă poate deveni nestrictă. Teorema 3.2.(„Teorema a doi polițiști”) Dacă, plecând de la unii N, sunt valabile următoarele proprietăți 1..gif" width="163" height="33 src=">, atunci există. 3.6. Limita unei secvențe monotone. Definiție 3.7. Urmare ( xn) se numește monoton crescător dacă pentru oricare n xn+1 ³ xn. Urmare ( xn) se numește strict monoton crescător dacă pentru oricare n xn+1> xn. xn. Definiție 3.8. Urmare ( xn) se numește monoton descrescătoare dacă pentru oricare n xn+1 £ xn. Urmare ( xn) se numește strict monoton descrescătoare dacă pentru oricare n xn+1< xn. Ambele cazuri sunt combinate cu simbolul xn¯. Teoremă privind existența unei limite a unei secvențe monotone. 1. Dacă secvența ( xn) este monoton crescător (descrescător) și mărginit de sus (de jos), atunci are o limită finită egală cu sup( xn) (inf( xn}). 2 Dacă secvența ( xn) crește (descrește) monoton, dar nu se limitează de sus (de jos), apoi are o limită egală cu +¥ (-¥). Pe baza acestei teoreme, se demonstrează că există o așa-numită limită remarcabilă https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Se numește subsecvență de secvență ( xn}. Teorema 3.3. Dacă secvența ( xn) converge iar limita sa este A, atunci oricare dintre subsecvențele sale converge și ele și are aceeași limită. În cazul în care un ( xn) este o succesiune infinit de mare, atunci oricare dintre subsecvențele sale este, de asemenea, infinit de mare. Lema Bolzano-Weierstrass. 1. Din orice șir mărginit, se poate extrage o subsecvență care converge către o limită finită. 2. Din orice succesiune nemărginită poate fi extrasă o subsecvență infinit de mare. Pe baza acestei leme, se demonstrează unul dintre principalele rezultate ale teoriei limitelor - Criteriul de convergenţă Bolzano-Cauchy. Pentru succesiunea ( xn) a existat o limită finită, este necesar și suficient ca O secvență care satisface această proprietate se numește o secvență fundamentală sau o secvență care converge în sine. Matematica este știința care construiește lumea. Atât omul de știință, cât și omul de rând - nimeni nu se poate lipsi de el. În primul rând, copiii mici sunt învățați să numere, apoi să adună, să scadă, să înmulțească și să împartă, la gimnaziu intră în joc desemnările literelor, iar la cel mai mare nu se mai poate dispensa de ele. Dar astăzi vom vorbi despre ce se bazează toată matematica cunoscută. Despre comunitatea de numere numită „limite de secvență”. Sensul cuvântului „secvență” nu este greu de interpretat. Aceasta este o astfel de construcție a lucrurilor, în care cineva sau ceva se află într-o anumită ordine sau coadă. De exemplu, coada pentru bilete la grădina zoologică este o secvență. Și poate fi doar unul! Dacă, de exemplu, te uiți la coada către magazin, aceasta este o secvență. Și dacă o persoană părăsește brusc această coadă, atunci aceasta este o altă coadă, o altă ordine. Cuvântul „limită” este, de asemenea, ușor de interpretat - acesta este sfârșitul a ceva. Cu toate acestea, în matematică, limitele secvențelor sunt acele valori de pe linia numerică la care tinde o secvență de numere. De ce se străduiește și nu se termină? Este simplu, linia numerică nu are sfârșit, iar cele mai multe secvențe, precum razele, au doar un început și arată astfel: x 1, x 2, x 3, ... x n ... Prin urmare, definiția unei secvențe este o funcție a argumentului natural. Mai mult in termeni simpli este o serie de membri ai unui set. Cel mai simplu exemplu de succesiune de numere ar putea arăta astfel: 1, 2, 3, 4, … n… În cele mai multe cazuri, în scopuri practice, secvențele sunt construite din numere, iar fiecare membru următor al seriei, să-l notăm cu X, are propriul nume. De exemplu: x 1 - primul membru al secvenței; x 2 - al doilea membru al secvenței; x 3 - al treilea membru; x n este al n-lea membru. În metodele practice, succesiunea este dată de o formulă generală în care există o variabilă. De exemplu: X n \u003d 3n, atunci seria de numere în sine va arăta astfel: Merită să ne amintim că în notația generală a secvențelor, puteți folosi orice litere latine, și nu doar X. De exemplu: y, z, k etc. Înainte de a căuta limitele secvențelor, este indicat să aprofundăm însuși conceptul unei astfel de serii de numere, pe care toată lumea le-a întâlnit când era în clasa de mijloc. O progresie aritmetică este o serie de numere în care diferența dintre termenii adiacenți este constantă. Sarcină: „Fiți un 1 \u003d 15 și pasul de progresie a seriei de numere d \u003d 4. Construiți primii 4 membri ai acestui rând" Rezolvare: a 1 = 15 (după condiție) este primul membru al progresiei (seria de numere). iar 2 = 15+4=19 este al doilea membru al progresiei. iar 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 este al treilea termen. iar 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 este al patrulea termen. Cu toate acestea, cu această metodă este dificil să se ajungă la valori mari, de exemplu, până la 125. . În special pentru astfel de cazuri, a fost derivată o formulă convenabilă pentru practică: a n \u003d a 1 + d (n-1). În acest caz, un 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511. Cele mai multe dintre secvențele sunt nesfârșite, merită amintit toată viața. Există două tipuri interesante de serii de numere. Primul este dat de formula a n =(-1) n . Matematicienii se referă adesea la aceste secvențe intermitente. De ce? Să-i verificăm numerele. 1, 1, -1, 1, -1, 1 etc. Cu acest exemplu, devine clar că numerele din secvențe pot fi ușor repetate. succesiune factorială. Este ușor de ghicit că există un factorial în formulă care definește secvența. De exemplu: și n = (n+1)! Apoi secvența va arăta astfel: și 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6; și 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 etc. O secvență dată de o progresie aritmetică se numește infinit descrescătoare dacă se observă inegalitatea -1 pentru toți membrii săi. și 3 \u003d - 1/8 etc. Există chiar și o secvență formată din același număr. Deci, și n \u003d 6 este format dintr-un număr infinit de șase. Limitele secvenței au existat de mult în matematică. Desigur, merită propriul lor design competent. Deci, este timpul să învățați definiția limitelor secvenței. Mai întâi, luați în considerare limita pentru o funcție liniară în detaliu: Este ușor de înțeles că definiția limitei unei secvențe poate fi formulată astfel: este un anumit număr, de care se apropie la infinit toți membrii șirului. Exemplu simplu: și x = 4x+1. Apoi secvența în sine va arăta astfel. 5, 9, 13, 17, 21…x… Astfel, această secvență va crește la infinit, ceea ce înseamnă că limita sa este egală cu infinitul ca x→∞, iar aceasta ar trebui scrisă după cum urmează: Dacă luăm o secvență similară, dar x tinde spre 1, obținem: Și seria de numere va fi așa: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 etc. De fiecare dată trebuie să înlocuiți numărul din ce în ce mai aproape de unul (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Din această serie se poate observa că limita funcției este cinci. Din această parte, merită să ne amintim care este limita unei secvențe numerice, definiția și metoda de rezolvare a sarcinilor simple. După ce am analizat limita șirului numeric, definiția și exemplele acesteia, putem trece la un subiect mai complex. Absolut toate limitele secvențelor pot fi formulate printr-o singură formulă, care este de obicei analizată în primul semestru. Deci, ce înseamnă acest set de litere, module și semne de inegalitate? ∀ este un cuantificator universal, înlocuind expresiile „pentru toți”, „pentru tot”, etc. ∃ este un cuantificator de existență, în acest caz înseamnă că există o valoare N care aparține mulțimii numerelor naturale. Un stick vertical lung după N înseamnă că setul dat N este „astfel încât”. În practică, poate însemna „astfel care”, „astfel care”, etc. Pentru a consolida materialul, citiți formula cu voce tare. Metoda de găsire a limitei secvențelor, care a fost discutată mai sus, deși simplu de utilizat, nu este atât de rațională în practică. Încercați să găsiți limita pentru această funcție: Dacă înlocuim diferite valori x (crescând de fiecare dată: 10, 100, 1000 etc.), atunci obținem ∞ la numărător, dar și ∞ la numitor. Se dovedește o fracție destul de ciudată: Dar este chiar așa? Calcularea limitei șirului numeric în acest caz pare destul de ușoară. Ar fi posibil să lăsați totul așa cum este, pentru că răspunsul este gata și a fost primit în condiții rezonabile, dar există o altă cale specială pentru astfel de cazuri. Mai întâi, să găsim cel mai înalt grad în numărătorul fracției - acesta este 1, deoarece x poate fi reprezentat ca x 1. Acum să găsim cel mai înalt grad în numitor. De asemenea 1. Împărțiți atât numărătorul cât și numitorul la variabilă la cel mai înalt grad. În acest caz, împărțim fracția la x 1. În continuare, să aflăm la ce valoare tinde fiecare termen care conține variabila. În acest caz, sunt luate în considerare fracțiile. Ca x→∞, valoarea fiecăreia dintre fracții tinde spre zero. Când faceți o lucrare în scris, merită să faceți următoarele note de subsol: Se obtine urmatoarea expresie: Desigur, fracțiile care conțin x nu au devenit zero! Dar valoarea lor este atât de mică încât este destul de permis să nu o luăm în considerare în calcule. De fapt, x nu va fi niciodată egal cu 0 în acest caz, deoarece nu puteți împărți la zero. Să presupunem că profesorul are la dispoziție o succesiune complexă, dată, evident, de o formulă nu mai puțin complexă. Profesorul a găsit răspunsul, dar se potrivește? La urma urmei, toți oamenii fac greșeli. Auguste Cauchy a venit cu o modalitate grozavă de a demonstra limitele secvențelor. Metoda lui se numea operațiune de cartier. Să presupunem că există un punct a, vecinătatea lui în ambele direcții pe linia reală este egală cu ε ("epsilon"). Deoarece ultima variabilă este distanța, valoarea ei este întotdeauna pozitivă. Acum să stabilim o secvență x n și să presupunem că al zecelea membru al secvenței (x 10) este inclus în vecinătatea lui a. Cum se scrie acest fapt în limbaj matematic? Să presupunem că x 10 este la dreapta punctului a, apoi distanța x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Acum este timpul să explicăm în practică formula menționată mai sus. Este corect să numim un număr a punctul final al unei secvențe dacă inegalitatea ε>0 este valabilă pentru oricare dintre limitele sale și întreaga vecinătate are propriul său număr natural N, astfel încât toți membrii șirului cu numere mai mari vor fi în interiorul șirului |x n - a|< ε. Cu astfel de cunoștințe, este ușor să rezolvi limitele unei secvențe, să dovedești sau să infirmi un răspuns gata. Teoremele privind limitele secvențelor sunt o componentă importantă a teoriei, fără de care practica este imposibilă. Există doar patru teoreme principale, amintindu-ne pe care, le puteți facilita în mod semnificativ procesul de rezolvare sau demonstrare: Uneori se cere să se rezolve o problemă inversă, să se demonstreze o limită dată a unei secvențe numerice. Să ne uităm la un exemplu. Demonstrați că limita șirului dată de formulă este egală cu zero. Conform regulii de mai sus, pentru orice succesiune inegalitatea |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Să exprimăm n în termeni de „epsilon” pentru a arăta existența unui anumit număr și a demonstra existența unei limite de succesiune. În această etapă, este important să ne amintim că „epsilon” și „en” sunt numere pozitive și nu sunt egale cu zero. Acum puteți continua transformările ulterioare folosind cunoștințele despre inegalități dobândite în liceu. De unde rezultă că n > -3 + 1/ε. Deoarece merită să ne amintim că vorbim despre numere naturale, rezultatul poate fi rotunjit punându-l între paranteze drepte. Astfel, s-a demonstrat că pentru orice valoare a vecinătății „epsilon” a punctului a = 0 s-a găsit o valoare astfel încât inegalitatea inițială să fie satisfăcută. Din aceasta putem afirma cu siguranță că numărul a este limita secvenței date. Q.E.D. Cu o metodă atât de convenabilă, puteți demonstra limita unei secvențe numerice, oricât de complicată ar părea la prima vedere. Principalul lucru este să nu intrați în panică la vederea sarcinii. Existența unei limite de secvență nu este necesară în practică. Este ușor să găsești astfel de serii de numere care într-adevăr nu au sfârșit. De exemplu, același intermitent x n = (-1) n . este evident că o succesiune formată din doar două cifre care se repetă ciclic nu poate avea o limită. Aceeași poveste se repetă cu secvențe formate dintr-un singur număr, fracțional, având în cursul calculelor o incertitudine de orice ordin (0/0, ∞/∞, ∞/0 etc.). Cu toate acestea, trebuie amintit că are loc și un calcul incorect. Uneori, reverificarea propriei soluții vă va ajuta să găsiți limita succesiunilor. Mai sus, am luat în considerare câteva exemple de secvențe, metode de rezolvare a acestora, iar acum să încercăm să luăm un caz mai specific și să-l numim „secvență monotonă”. Definiție: este corect să numim orice succesiune monoton crescătoare dacă satisface inegalitatea strictă x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Alături de aceste două condiții, există și inegalități similare nestrictive. În consecință, x n ≤ x n +1 (secvență nedescrescătoare) și x n ≥ x n +1 (secvență necrescătoare). Dar este mai ușor de înțeles acest lucru cu exemple. Secvența dată de formula x n \u003d 2 + n formează următoarea serie de numere: 4, 5, 6 etc. Aceasta este o succesiune crescătoare monoton. Și dacă luăm x n \u003d 1 / n, atunci obținem o serie: 1/3, ¼, 1/5 etc. Aceasta este o succesiune monotonă descrescătoare. O secvență mărginită este o secvență care are o limită. O secvență convergentă este o serie de numere care are o limită infinitezimală. Astfel, limita unei secvențe mărginite este orice număr real sau complex. Amintiți-vă că poate exista o singură limită. Limita unei secvențe convergente este o mărime infinitezimală (reala sau complexă). Dacă desenați o diagramă de secvență, atunci, la un anumit punct, aceasta va converge, tinde să se transforme într-o anumită valoare. De aici și numele - succesiune convergentă. O astfel de secvență poate avea sau nu o limită. În primul rând, este util să înțelegeți când este, de aici puteți începe când dovediți absența unei limite. Dintre secvențele monotone se disting convergente și divergente. Convergent - aceasta este o secvență care este formată din mulțimea x și are o limită reală sau complexă în această mulțime. Divergent - o secvență care nu are limită în mulțimea sa (nici reală, nici complexă). Mai mult, secvența converge dacă limitele sale superioare și inferioare converg într-o reprezentare geometrică. Limita unei secvențe convergente poate fi în multe cazuri egală cu zero, deoarece orice succesiune infinitezimală are o limită cunoscută (zero). Indiferent de secvența convergentă pe care o luați, toate sunt mărginite, dar departe de a converge toate secvențele mărginite. Suma, diferența, produsul a două secvențe convergente este, de asemenea, o secvență convergentă. Totuși, coeficientul poate converge și dacă este definit! Limitele secvenței sunt la fel de semnificative (în majoritatea cazurilor) ca și numerele și numerele: 1, 2, 15, 24, 362 etc. Se dovedește că unele operații pot fi efectuate cu limite. În primul rând, la fel ca cifrele și numerele, limitele oricărei secvențe pot fi adăugate și scăzute. Pe baza celei de-a treia teoreme privind limitele șirurilor, următoarea egalitate este adevărată: limita sumei șirurilor este egală cu suma limitelor lor. În al doilea rând, pe baza celei de-a patra teoreme privind limitele șirurilor, următoarea egalitate este adevărată: limita produsului celui de-al n-lea număr de secvențe este egală cu produsul limitelor acestora. Același lucru este valabil și pentru împărțire: limita câtului a două secvențe este egală cu câtul limitelor lor, cu condiția ca limita să nu fie egală cu zero. La urma urmei, dacă limita secvențelor este egală cu zero, atunci se va dovedi împărțirea cu zero, ceea ce este imposibil. S-ar părea că limita succesiunii numerice a fost deja analizată în detaliu, dar expresii precum numere „infinit de mici” și „infinit de mari” sunt menționate de mai multe ori. Evident, dacă există o secvență 1/x, unde x→∞, atunci o astfel de fracție este infinit de mică, iar dacă aceeași secvență, dar limita tinde spre zero (x→0), atunci fracția devine o valoare infinit de mare . Și astfel de valori au propriile lor caracteristici. Proprietățile limitei unei secvențe având valori arbitrare mici sau mari sunt următoarele: De fapt, calcularea limitei unei secvențe nu este o sarcină atât de dificilă dacă cunoașteți un algoritm simplu. Dar limitele secvențelor sunt un subiect care necesită atenție și perseverență maximă. Desigur, este suficient să înțelegem pur și simplu esența soluției unor astfel de expresii. Începând de la mic, cu timpul, poți ajunge la înălțimi mari.
Numerele și legile universului
Progresie geometrică descrescătoare
Secvențe fundamentale
Sume infinite
).
, apoi 
.
.Ce sunt secvențele și unde este limita lor?
Cum se construiește o secvență de numere?
Progresie aritmetică ca parte a secvențelor
Tipuri de secvențe
Determinarea limitei unei secvențe
Notație generală pentru limita de secvențe
Incertitudinea și certitudinea limitei
Ce este un cartier?
Teoreme
Dovada secvenței
Sau poate nu exista?
secvență monotonă
Limita secvenței convergente și mărginite
Limită de secvență monotonă
Diverse acțiuni cu limite
Proprietățile valorii secvenței
