Care este vârful unui cuboid. Tipuri de cutie

Definiție

poliedru vom numi o suprafață închisă compusă din poligoane și care mărginește o parte a spațiului.

Segmentele care sunt laturile acestor poligoane se numesc coaste poliedrul și poligoanele în sine - chipuri. Vârfurile poligoanelor se numesc vârfuri ale poliedrului.

Vom lua în considerare numai poliedre convexe (acesta este un poliedru care se află pe o parte a fiecărui plan care conține fața sa).

Poligoanele care alcătuiesc un poliedru formează suprafața acestuia. Partea de spațiu delimitată de un poliedru dat se numește interiorul său.

Definiție: prismă

Luați în considerare două poligoane egale \(A_1A_2A_3...A_n\) și \(B_1B_2B_3...B_n\) situate în plane paralele astfel încât segmentele \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) sunt paralele. Poliedru format din poligoane \(A_1A_2A_3...A_n\) și \(B_1B_2B_3...B_n\) , precum și paralelograme \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), se numește (\(n\)-cărbune) prismă.

Poligoanele \(A_1A_2A_3...A_n\) și \(B_1B_2B_3...B_n\) se numesc bazele prismei, paralelogram. \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– fețe laterale, segmente \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- coaste laterale.
Astfel, marginile laterale ale prismei sunt paralele și egale între ele.

Luați în considerare un exemplu - o prismă \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), a cărui bază este un pentagon convex.

Înălţime O prismă este o perpendiculară din orice punct de pe o bază pe planul altei baze.

Dacă marginile laterale nu sunt perpendiculare pe bază, atunci se numește o astfel de prismă oblic(Fig. 1), în caz contrar - Drept. Pentru o prismă dreaptă, marginile laterale sunt înălțimi, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri egale.

Dacă un poligon regulat se află la baza unei prisme drepte, atunci prisma se numește corect.

Definiție: conceptul de volum

Unitatea de volum este o unitate cub (cub cu dimensiuni \(1\times1\times1\) units\(^3\) , unde unitatea este o unitate de măsură).

Putem spune că volumul unui poliedru este cantitatea de spațiu pe care o limitează acest poliedru. În caz contrar: este o valoare a cărei valoare numerică indică de câte ori se încadrează un cub unitar și părțile sale într-un poliedru dat.

Volumul are aceleași proprietăți ca și suprafața:

1. Volumele cifrelor egale sunt egale.

2. Dacă un poliedru este compus din mai multe poliedre care nu se intersectează, atunci volumul său este egal cu suma volumelor acestor poliedre.

3. Volumul este o valoare nenegativă.

4. Volumul se măsoară în cm\(^3\) (centimetri cubi), m\(^3\) (metri cubi), etc.

Teorema

1. Aria suprafeței laterale a prismei este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei.
Suprafața laterală este suma suprafețelor fețelor laterale ale prismei.

2. Volumul prismei este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea prismei: \

Definiție: cutie

Paralelipiped Este o prismă a cărei bază este un paralelogram.

Toate fețele paralelipipedului (fețele lor laterale \(6\) : \(4\) și bazele \(2\)) sunt paralelograme, iar fețele opuse (paralele între ele) sunt paralelograme egale (Fig. 2).

Diagonala cutiei este un segment care leagă două vârfuri ale unui paralelipiped care nu se află în aceeași față (\(8\) lor : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) etc.).

cuboid este un paralelipiped drept cu un dreptunghi la bază.
pentru că este un paralelipiped drept, atunci fețele laterale sunt dreptunghiuri. Deci, în general, toate fețele unui paralelipiped dreptunghiular sunt dreptunghiuri.

Toate diagonalele unui cuboid sunt egale (acest lucru rezultă din egalitatea triunghiurilor \(\triunghi ACC_1=\triunghi AA_1C=\triunghi BDD_1=\triunghi BB_1D\) etc.).

cometariu

Astfel, paralelipipedul are toate proprietățile unei prisme.

Teorema

Aria suprafeței laterale a unui paralelipiped dreptunghiular este egală cu \

Suprafața totală a unui paralelipiped dreptunghiular este \

Teorema

Volumul unui cuboid este egal cu produsul celor trei muchii ale sale care ies dintr-un vârf (trei dimensiuni ale unui cuboid): \

Dovada

pentru că pentru un paralelipiped dreptunghiular, marginile laterale sunt perpendiculare pe bază, atunci sunt și înălțimile acestuia, adică \(h=AA_1=c\) baza este un dreptunghi \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). De aici vine formula.

Teorema

Diagonala \(d\) a unui cuboid este căutată prin formula (unde \(a,b,c\) sunt dimensiunile cuboidului)\

Dovada

Luați în considerare fig. 3. Pentru că baza este dreptunghi, atunci \(\triunghi ABD\) este dreptunghiular, prin urmare, după teorema lui Pitagora \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

pentru că toate marginile laterale sunt perpendiculare pe baze, atunci \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) perpendicular pe orice dreptă din acest plan, adică \(BB_1\perp BD\) . Deci \(\triunghiul BB_1D\) este dreptunghiular. Apoi după teorema lui Pitagora \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definiție: cub

cub este un paralelipiped dreptunghic, ale cărui laturi sunt pătrate egale.

Astfel, cele trei dimensiuni sunt egale între ele: \(a=b=c\) . Deci următoarele sunt adevărate

Teoreme

1. Volumul unui cub cu muchia \(a\) este \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Diagonala cubului se caută prin formula \(d=a\sqrt3\) .

3. Suprafața totală a unui cub \(S_(\text(iterații complete de cub))=6a^2\).

Teorema. În orice paralelipiped, fețele opuse sunt egale și paralele.

Deci, fețele (Fig.) BB 1 C 1 C și AA 1 D 1 D sunt paralele, deoarece două drepte care se intersectează BB 1 și B 1 C 1 ale unei fețe sunt paralele cu două drepte care se intersectează AA 1 și A 1 D 1 ale celălalt. Aceste fețe sunt egale, deoarece B 1 C 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (ca laturi opuse ale paralelogramelor) și ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1 .

Teorema. În orice paralelipiped, toate cele patru diagonale se intersectează într-un punct și sunt împărțite în jumătate în el.

Luați (fig.) într-un paralelipiped oricare două diagonale, de exemplu, AC 1 și DB 1, și trasați linii drepte AB 1 și DC 1.

Deoarece muchiile AD și B 1 C 1 sunt egale și, respectiv, paralele cu muchia BC, ele sunt egale și paralele între ele.

Ca urmare, figura ADC 1 B 1 este un paralelogram în care C 1 A și DB 1 sunt diagonale, iar în paralelogram diagonalele se intersectează în jumătate.

Această demonstrație poate fi repetată la fiecare două diagonale.

Prin urmare, diagonala AC 1 se intersectează cu BD 1 în jumătate, diagonala BD 1 cu A 1 C în jumătate.

Astfel, toate diagonalele se intersectează în jumătate și, prin urmare, într-un punct.

Teorema. Într-un cuboid, pătratul oricărei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Fie (fig.) AC 1 o diagonală a unui paralelipiped dreptunghic.

După desenarea AC, obținem două triunghiuri: AC 1 C și ACB. Ambele sunt dreptunghiulare.

prima pentru că cutia este dreaptă și, prin urmare, muchia CC 1 este perpendiculară pe bază,

a doua este pentru că paralelipipedul este dreptunghiular, ceea ce înseamnă că are un dreptunghi la bază.

Din aceste triunghiuri găsim:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 și AC 2 = AB 2 + BC 2

Prin urmare, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Consecinţă. Într-un cuboid, toate diagonalele sunt egale.

Prisma se numește paralelipiped dacă bazele sale sunt paralelograme. Cm. Fig.1.

Proprietățile cutiei:

Fețele opuse ale paralelipipedului sunt paralele (adică se află în planuri paralele) și egale.

Diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct și bisectează acel punct.

Fețele adiacente ale unei cutii sunt două fețe care au o margine comună.

Fețe opuse ale unui paralelipiped– fețe care nu au margini comune.

Vârfurile opuse ale casetei sunt două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.

Diagonala cutiei Un segment de dreaptă care leagă vârfuri opuse.

Dacă marginile laterale sunt perpendiculare pe planurile bazelor, atunci se numește paralelipiped direct.

Un paralelipiped drept ale cărui baze sunt dreptunghiuri se numește dreptunghiular. Se numește o prismă ale cărei fețe sunt pătrate cub.

Paralelipiped O prismă ale cărei baze sunt paralelograme.

Paralepipedul drept- un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe planul bazei.

cuboid este un paralelipiped drept ale cărui baze sunt dreptunghiuri.

cub este un paralelipiped dreptunghic cu muchii egale.

Paralelipiped se numește o prismă, a cărei bază este un paralelogram; astfel, paralelipipedul are șase fețe și toate sunt paralelograme.

Fețele opuse sunt egale și paralele pe perechi. Paralepipedul are patru diagonale; toate se intersectează într-un punct și se împart la jumătate. Orice față poate fi luată ca bază; volumul este egal cu produsul dintre aria bazei și înălțimea: V = Sh.

Un paralelipiped ale cărui patru fețe laterale sunt dreptunghiuri se numește paralelipiped drept.

Un paralelipiped drept, în care toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri, se numește dreptunghiular. Cm. Fig.2.

Volumul (V) al unui paralelipiped drept este egal cu produsul dintre aria bazei (S) și înălțimea (h): V = Sh .

Pentru un paralelipiped dreptunghiular, în plus, formula V=abc, unde a,b,c sunt muchii.

Diagonala (d) a unui cuboid este legată de marginile sale prin relație d 2 \u003d a 2 + b 2 + c 2 .

cuboid- un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe baze, iar bazele sunt dreptunghiuri.

Proprietățile unui cuboid:

Într-un cuboid, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri.

Toate unghiurile diedrice ale unui cuboid sunt unghiuri drepte.

Pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale (lungimi a trei muchii care au un vârf comun).

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale.

Un paralelipiped dreptunghic, ale cărui fețe sunt pătrate, se numește cub. Toate muchiile unui cub sunt egale; volumul (V) al unui cub se exprimă prin formula V=a 3, unde a este muchia cubului.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

În geometrie concepte cheie sunt plan, punct, drept și unghi. Folosind acești termeni, poate fi descrisă orice figură geometrică. Poliedrele sunt de obicei descrise în termeni de forme mai simple care se află în același plan, cum ar fi un cerc, triunghi, pătrat, dreptunghi etc. În acest articol, vom lua în considerare ce este un paralelipiped, vom descrie tipurile de paralelipiped, proprietățile sale, din ce elemente constă și vom oferi, de asemenea, formulele de bază pentru calcularea ariei și volumului pentru fiecare tip de paralelipiped.

Definiție

Un paralelipiped în spațiul tridimensional este o prismă, toate laturile căreia sunt paralelograme. În consecință, poate avea doar trei perechi de paralelograme paralele sau șase fețe.

Pentru a vizualiza cutia, imaginați-vă o cărămidă standard obișnuită. Cărămidă - bun exemplu paralelipiped dreptunghiular pe care și-l poate imagina chiar și un copil. Alte exemple sunt casele prefabricate cu mai multe etaje, dulapurile, containerele de depozitare Produse alimentare formă adecvată etc.

Varietăți ale figurii

Există doar două tipuri de paralelipipede:

Dreptunghiular, ale căror toate fețele laterale sunt la un unghi de 90 o față de bază și sunt dreptunghiuri.
Înclinat, ale cărui fețe laterale sunt situate la un anumit unghi față de bază.

În ce elemente poate fi împărțită această figură?

Ca în orice altă figură geometrică, într-un paralelipiped, oricare 2 fețe cu o muchie comună sunt numite adiacente, iar cele care nu o au sunt numite paralele (pe baza proprietății unui paralelogram care are laturile opuse paralele pe perechi).
Vârfurile unui paralelipiped care nu se află pe aceeași față se numesc vârfuri opuse.
Segmentul care leagă astfel de vârfuri este o diagonală.
Lungimile celor trei margini ale unui cuboid care se unesc la un vârf sunt dimensiunile acestuia (și anume lungimea, lățimea și înălțimea).

Proprietăți forme

Este întotdeauna construit simetric față de mijlocul diagonalei.
Punctul de intersecție al tuturor diagonalelor împarte fiecare diagonală în două segmente egale.
Fețele opuse sunt egale ca lungime și se află pe linii paralele.
Dacă adăugați pătratele tuturor dimensiunilor casetei, valoarea rezultată va fi egală cu pătratul lungimii diagonalei.

Formule de calcul

Formulele pentru fiecare caz particular al unui paralelipiped vor fi diferite.

Pentru un paralelipiped arbitrar, este adevărată afirmația că volumul său este egal cu valoarea absolută a produsului scalar triplu al vectorilor a trei laturi care emană dintr-un vârf. Cu toate acestea, nu există o formulă pentru calcularea volumului unui paralelipiped arbitrar.

Pentru un paralelipiped dreptunghiular se aplică următoarele formule:

V=a*b*c;
Sb=2*c*(a+b);
Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

V este volumul figurii;
Sb - suprafata laterala;
Sp - suprafata totala;
a - lungime;
b - latime;
c - înălțime.

Un alt caz special al unui paralelipiped în care toate laturile sunt pătrate este un cub. Dacă oricare dintre laturile pătratului este notă cu litera a, atunci următoarele formule pot fi folosite pentru suprafața și volumul acestei figuri:

S=6*a*2;
V=3*a.

S este aria figurii,
V este volumul figurii,
a - lungimea feței figurii.

Ultimul tip de paralelipiped pe care îl luăm în considerare este un paralelipiped drept. Care este diferența dintre un cuboid și un cuboid, vă întrebați. Faptul este că baza unui paralelipiped dreptunghiular poate fi orice paralelogram, iar baza unei linii drepte poate fi doar un dreptunghi. Dacă desemnăm perimetrul bazei, egal cu suma lungimilor tuturor laturilor, ca Po, și desemnăm înălțimea ca h, avem dreptul să folosim următoarele formule pentru a calcula volumul și ariile întregului și lateral. suprafete.