Periodicita goniometrických funkcí. Sinus (sin x) a kosinus (cos x) - vlastnosti, grafy, vzorce Jak zjistit periodu goniometrické funkce

Základní pojmy

Nejprve si připomeňme definici sudé, liché a periodické funkce.

Definice 2

Sudá funkce je funkce, která nemění svou hodnotu, když se změní znaménko nezávislé proměnné:

Definice 3

Funkce, která opakuje své hodnoty v nějakém pravidelném intervalu:

T -- perioda funkce.

Sudé a liché goniometrické funkce

Zvažte následující obrázek (obr. 1):

Obrázek 1.

Zde $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ a $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ jsou vektory jednotkové délky, symetrické kolem osy $Ox$.

Je zřejmé, že souřadnice těchto vektorů spolu souvisí následujícími vztahy:

Protože goniometrické funkce sinus a kosinus lze určit pomocí jednotkové goniometrické kružnice, získáme, že funkce sinus bude lichá a funkce kosinus bude sudá, to znamená:

Periodicita goniometrických funkcí

Zvažte následující obrázek (obr. 2).

Obrázek 2

Zde $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ je vektor jednotkové délky.

Udělejme úplnou revoluci s vektorem $\overrightarrow(OA)$. To znamená, že otočme tento vektor o $2\pi $ radiánů. Poté se vektor zcela vrátí do své původní polohy.

Protože goniometrické funkce sinus a kosinus lze určit pomocí jednotkové goniometrické kružnice, dostaneme, že

To znamená, že funkce sinus a kosinus jsou periodické funkce s nejmenší periodou $T=2\pi $.

Podívejme se nyní na funkce tečny a kotangens. Protože $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, tak

Protože $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, tak

Příklady úloh využívajících paritu, lichost a periodicitu goniometrických funkcí

Příklad 1

Dokažte následující tvrzení:

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

Protože tečna je periodická funkce s minimální periodou $(360)^0$, dostáváme

b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$

Protože kosinus je sudá a periodická funkce s minimální periodou $2\pi $, dostáváme

\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]

c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

Protože sinus je lichá a periodická funkce s minimální periodou $(360)^0$, dostaneme

Závislost proměnné y na proměnné x, ve které každá hodnota x odpovídá jediné hodnotě y, se nazývá funkce. Pro označení použijte zápis y=f(x). Každá funkce má řadu základních vlastností, jako je monotónnost, parita, periodicita a další.

Vlastnosti parity a periodicity

Podívejme se podrobněji na vlastnosti parity a periodicity na příkladu základních goniometrických funkcí: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

Funkce y=f(x) je volána, i když splňuje následující dvě podmínky:

2. Hodnota funkce v bodě x, patřící do definičního oboru funkce, se musí rovnat hodnotě funkce v bodě -x. To znamená, že pro jakýkoli bod x musí být splněna následující rovnost z oboru definice funkce: f(x) = f(-x).

Pokud nakreslíte graf sudé funkce, bude symetrický kolem osy Oy.

Například goniometrická funkce y=cos(x) je sudá.

Vlastnosti lichosti a periodicity

Funkce y=f(x) se nazývá lichá, pokud splňuje následující dvě podmínky:

1. Definiční obor dané funkce musí být symetrický vzhledem k bodu O. Tzn., že pokud nějaký bod a patří do definičního oboru funkce, pak do definičního oboru musí patřit i odpovídající bod -a dané funkce.

2. Pro libovolný bod x musí být splněna následující rovnost z definičního oboru funkce: f(x) = -f(x).

Graf liché funkce je symetrický vzhledem k bodu O - počátku souřadnic.

Například goniometrické funkce y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) jsou liché.

Periodicita goniometrických funkcí

Funkce y=f (x) se nazývá periodická, pokud existuje určité číslo T!=0 (nazývané perioda funkce y=f (x)), takže pro jakoukoli hodnotu x patřící do definičního oboru funkce, čísla x + T a x-T rovněž patří do definičního oboru funkce a platí rovnost f(x)=f(x+T)=f(x-T).

Mělo by být zřejmé, že pokud T je perioda funkce, pak číslo k*T, kde k je libovolné celé číslo jiné než nula, bude také periodou funkce. Na základě výše uvedeného zjistíme, že jakákoli periodická funkce má nekonečně mnoho period. Nejčastěji se konverzace týká nejmenšího období funkce.

Goniometrické funkce sin(x) a cos(x) jsou periodické, přičemž nejmenší perioda je rovna 2*π.

Cíl: shrnout a systematizovat znalosti studentů na téma „Periodika funkcí“; rozvíjet dovednosti v aplikaci vlastností periodické funkce, hledání nejmenší kladné periody funkce, sestavování grafů periodických funkcí; podporovat zájem o studium matematiky; kultivovat pozorování a přesnost.

Vybavení: počítač, multimediální projektor, karty úkolů, diapozitivy, hodiny, tabulky ozdob, prvky lidových řemesel

"Matematika je to, co lidé používají k ovládání přírody a sebe sama."
A.N. Kolmogorov

Během vyučování

I. Organizační fáze.

Kontrola připravenosti studentů na hodinu. Uveďte téma a cíle lekce.

II. Kontrola domácích úkolů.

Kontrolujeme domácí úkoly pomocí vzorků a diskutujeme o nejobtížnějších bodech.

III. Zobecnění a systematizace znalostí.

1. Ústní frontální práce.

Problémy teorie.

1) Vytvořte definici periody funkce
2) Pojmenujte nejmenší kladnou periodu funkcí y=sin(x), y=cos(x)
3). Jaká je nejmenší kladná perioda funkcí y=tg(x), y=ctg(x)
4) Pomocí kruhu dokažte správnost vztahů:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Jak vykreslit periodickou funkci?

Ústní cvičení.

1) Dokažte následující vztahy

A) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
C) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Dokažte, že úhel 540º je jednou z period funkce y= cos(2x)

3. Dokažte, že úhel 360º je jednou z period funkce y=tg(x)

4. Transformujte tyto výrazy tak, aby úhly v nich obsažené nepřesáhly 90º v absolutní hodnotě.

A) tg375º
b) ctg530º
C) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Kde jste se setkali se slovy OBDOBÍ, OBDOBÍ?

Student odpovídá: Období v hudbě je struktura, ve které je prezentováno více či méně kompletní hudební myšlení. Geologické období je součástí éry a dělí se na epochy s obdobím od 35 do 90 milionů let.

Poločas rozpadu radioaktivní látky. Periodický zlomek. Periodika jsou tištěné publikace, které vycházejí v přesně stanovených termínech. Mendělejevův periodický systém.

6. Obrázky znázorňují části grafů periodických funkcí. Určete periodu funkce. Určete periodu funkce.

Odpovědět T=2; T=2; T=4; T = 8.

7. Kde jste se v životě setkali s konstrukcí opakujících se prvků?

Odpověď studenta: Prvky ornamentů, lidové umění.

IV. Kolektivní řešení problémů.

(Řešení problémů na snímcích.)

Zvažme jeden ze způsobů, jak studovat funkci pro periodicitu.

Tato metoda se vyhýbá obtížím spojeným s dokazováním, že určitá perioda je nejmenší, a také eliminuje potřebu dotýkat se otázek o aritmetických operacích s periodickými funkcemi a periodicitě komplexní funkce. Úvaha je založena pouze na definici periodické funkce a na následující skutečnosti: je-li T perioda funkce, pak nT(n?0) je její perioda.

Úloha 1. Najděte nejmenší kladnou periodu funkce f(x)=1+3(x+q>5)

Řešení: Předpokládejme, že T-perioda této funkce. Potom f(x+T)=f(x) pro všechna x € D(f), tzn.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Položme x=-0,25 a dostaneme

(T) = 0<=>T=n, n € Z

Zjistili jsme, že všechny periody příslušné funkce (pokud existují) jsou mezi celými čísly. Vyberme z těchto čísel nejmenší kladné číslo. Tento 1 . Pojďme si ověřit, zda to bude vlastně období 1 .

f(x+1) = 3(x+1+0,25)+1

Protože (T+1)=(T) pro libovolné T, pak f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), tzn. 1 – období f. Protože 1 je nejmenší ze všech kladných celých čísel, pak T=1.

Úloha 2. Ukažte, že funkce f(x)=cos 2 (x) je periodická a najděte její hlavní periodu.

Úloha 3. Najděte hlavní periodu funkce

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Předpokládejme T-periodu funkce, pak pro libovolnou X poměr platí

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Pokud x=0, pak

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Pokud x=-T, pak

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)

Když to sečteme, dostaneme:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Vyberme nejmenší kladné číslo ze všech „podezřelých“ čísel pro periodu a zkontrolujeme, zda se jedná o periodu pro f. Tohle číslo

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

To znamená, že toto je hlavní perioda funkce f.

Úloha 4. Zkontrolujeme, zda je funkce f(x)=sin(x) periodická

Nechť T je perioda funkce f. Pak pro libovolné x

sin|x+Т|=sin|x|

Pokud x=0, pak sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Předpokládejme. Že pro nějaké n je číslo π n periodou

uvažovaná funkce π n>0. Pak sin|π n+x|=sin|x|

To znamená, že n musí být sudé i liché číslo, ale to je nemožné. Proto tato funkce není periodická.

Úkol 5. Zkontrolujte, zda je funkce periodická

f(x)=

Nechť T je perioda f

, tedy sinT=0, Т=π n, n € Z. Předpokládejme, že pro nějaké n je číslo π n skutečně periodou této funkce. Potom číslo 2π n bude periodou

Protože jsou si čitatelé rovni, jsou si rovni i jejich jmenovatelé

To znamená, že funkce f není periodická.

Práce ve skupinách.

Úkoly pro skupinu 1.

Úkoly pro skupinu 2.

Zkontrolujte, zda je funkce f periodická a najděte její základní periodu (pokud existuje).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Úkoly pro skupinu 3.

Na konci své práce skupiny prezentují svá řešení.

VI. Shrnutí lekce.

Odraz.

Učitel rozdá studentům kartičky s kresbami a požádá je, aby vybarvili část první kresby podle toho, do jaké míry si myslí, že zvládli metody studia funkce pro periodicitu, a část druhé kresby – podle jejich příspěvek k práci v lekci.

VII. Domácí práce

1). Zkontrolujte, zda je funkce f periodická a najděte její základní periodu (pokud existuje)

b). f(x)=x2-2x+4

C). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkce y=f(x) má periodu T=2 a f(x)=x 2 +2x pro x € [-2; 0]. Najděte hodnotu výrazu -2f(-3)-4f(3,5)

Literatura/

1. Mordkovich A.G. Algebra a počátky analýzy s hloubkovým studiem.
2. Matematika. Příprava na jednotnou státní zkoušku. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremeteva T.G. , Tarasová E.A. Algebra a počáteční analýza pro ročníky 10-11.

vyhovující systému nerovností:

b) Uvažujme množinu čísel na číselné ose, která splňují systém nerovností:

Najděte součet délek segmentů, které tvoří tuto množinu.

§ 7. Nejjednodušší vzorce

V § 3 jsme stanovili následující vzorec pro ostré úhly α:

Z rovnice kruhu tedy vyplývá vzorec cos2 α + sin2 α = 1. Může se zdát, že jsme tím poskytli nový důkaz tohoto vzorce pro ostré úhly (ve srovnání s tím, který je naznačen v § 3, kde jsme použili Pythagorovu větu). Rozdíl je však čistě vnější: při odvození rovnice kružnice x2 + y2 = 1 je použita stejná Pythagorova věta.

Pro ostré úhly jsme získali například i jiné vzorce

Podle symbolu je pravá strana vždy nezáporná, zatímco levá může být záporná. Aby vzorec byl pravdivý pro všechna α, musí být odmocněn. Výsledná rovnost je: cos2 α = 1/(1 + tan2 α). Dokažme, že tento vzorec platí pro všechna α:1

Problém 7.1. Všechny níže uvedené vzorce odvoďte z definic a vzorce sin2 α + cos2 α = 1 (některé z nich jsme již dokázali):

Tyto vzorce umožňují při znalosti hodnoty jedné z goniometrických funkcí daného čísla téměř najít všechny ostatní.

Nový Víme například, že sin x = 1/2. Pak cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, takže cos x je buď 3/2 nebo − 3/2. Abychom zjistili, které z těchto dvou čísel se cos x rovná, je potřeba dalších informací.

Problém 7.2. Ukažte na příkladech, že oba výše uvedené případy jsou možné.

Problém 7.3. a) Nechť tan x = −1. Najděte hřích x. Kolik odpovědí má tento problém?

b) Nechť kromě podmínek bodu a) víme, že hřích x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1, pro které je definováno tan α, tj. cos α 6 = 0.

Problém 7.4. Nechť sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Najděte tg x.

Problém 7.5. Nechť tan x = 3, cos x > sin x. Najděte cos x, sin x.

Problém 7.6. Nechť tg x = 3/5. Najděte sin x + 2 cos x. cos x − 3 sin x

Problém 7.7. Dokažte totožnost:

Problém 7.8. Zjednodušte výrazy:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2;

c) sin α(2 + dětská postýlka α)(2 dětská postýlka α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Periody goniometrických funkcí

Čísla x, x+2π, x−2π odpovídají stejnému bodu na trigonometrické kružnici (pokud projdete další kružnici podél trigonometrické kružnice, vrátíte se tam, kde jste byli). Z toho vyplývají následující identity, které již byly probrány v § 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

V souvislosti s těmito identitami jsme již použili termín „období“. Uveďme nyní přesné definice.

Definice. Číslo T 6= 0 se nazývá perioda funkce f, pokud pro všechna x platí rovnosti f(x − T) = f(x + T) = f(x) (předpokládá se, že x + T a x − T jsou zahrnuty v definičním oboru funkce , pokud obsahuje x). Funkce se nazývá periodická, pokud má tečku (alespoň jednu).

Periodické funkce přirozeně vznikají při popisu oscilačních procesů. Jeden z takových procesů již byl popsán v § 5. Zde jsou další příklady:

1) Nechť ϕ = ϕ(t) je úhel odklonu kyvadla kyvadla hodin od svislice v okamžiku t. Pak ϕ je periodická funkce t.

2) Napětí („potenciální rozdíl“, jak by řekl fyzik) mezi dvěma zásuvkami AC zásuvky, např.

zda je považována za funkci času, je periodickou funkcí1.

3) Poslouchejme hudební zvuk. Pak je tlak vzduchu v daném bodě periodickou funkcí času.

Pokud má funkce periodu T, pak periody této funkce budou také čísla −T, 2T, −2T. . . - jedním slovem všechna čísla nT, kde n je celé číslo, které se nerovná nule. Ověřte si například, že f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Definice. Nejmenší kladná perioda funkce f je - v souladu s doslovným významem slov - kladné číslo T takové, že T je perioda f a žádné kladné číslo menší než T není perioda f.

U periodické funkce se nevyžaduje, aby měla nejmenší kladnou periodu (například funkce, která je konstantní, má periodu libovolného čísla, a proto nemá nejmenší kladnou periodu). Můžeme také uvést příklady nekonstantních periodických funkcí, které nemají nejmenší kladnou periodu. Nicméně ve většině zajímavých případů existuje nejmenší kladná perioda periodických funkcí.

1 Když říkají „napětí v síti je 220 voltů“, myslí tím její „efektivní hodnotu“, o které budeme hovořit v § 21. Samotné napětí se neustále mění.

Rýže. 8.1. Období tečny a kotangens.

Konkrétně nejmenší kladná perioda jak sinu, tak kosinu je 2π. Dokažme to například pro funkci y = sin x. Nechť, na rozdíl od toho, co tvrdíme, má sinus periodu T takovou, že 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Nejmenší kladná perioda funkce popisující kmity (jako v našich příkladech 1–3) se jednoduše nazývá perioda těchto kmitů.

Protože 2π je perioda sinus a kosinus, bude to také perioda tečny a kotangens. Pro tyto funkce však 2π není nejmenší perioda: nejmenší kladná perioda tečny a kotangens bude π. Ve skutečnosti jsou body odpovídající číslům x a x + π na trigonometrické kružnici diametrálně odlišné: z bodu x do bodu x + 2π je třeba urazit vzdálenost π přesně rovnou polovině kruhu. Nyní, pokud použijeme definici tečny a kotangens pomocí os tečen a kotangens, budou zřejmé rovnosti tg(x + π) = tan x a ctg(x + π) = ctg x (obr. 8.1). Je snadné zkontrolovat (navrhneme to udělat v příkladech), že π je skutečně nejmenší kladná perioda tečny a kotangens.

Jedna poznámka k terminologii. Slova „období funkce“ se často používají ve významu „nejmenší kladné období“. Pokud se vás tedy u zkoušky zeptá: „Je 100π perioda funkce sinus?“, nespěchejte s odpovědí, ale ujasněte si, zda máte na mysli nejmenší kladnou periodu nebo jen jednu z period.

Goniometrické funkce jsou typickým příkladem periodických funkcí: jakákoliv „nepříliš špatná“ periodická funkce může být v určitém smyslu vyjádřena pomocí goniometrických funkcí.

Problém 8.1. Najděte nejmenší kladné periody funkcí:

d) y = cos x + cos (1,01x).

Problém 8.2. Závislost napětí ve střídavé síti na čase je dána vzorcem U = U0 sin ωt (zde t je čas, U je napětí, U0 a ω jsou konstanty). Frekvence střídavého proudu je 50 Hertzů (to znamená, že napětí dělá 50 kmitů za sekundu).

a) Najděte ω za předpokladu, že t je měřeno v sekundách;

b) Najděte (nejmenší kladnou) periodu U jako funkci t.

Problém 8.3. a) Dokažte, že nejmenší kladná perioda kosinusu je 2π;

b) Dokažte, že nejmenší kladná perioda tečny je rovna π.

Problém 8.4. Nechť nejmenší kladná perioda funkce f je T. Dokažte, že všechny jeho další periody jsou ve tvaru nT pro některá celá čísla n.

Problém 8.5. Dokažte, že následující funkce nejsou periodické.

Trigonometrický funkcí periodické, to znamená, že se po určité době opakují. Ve výsledku stačí funkci na tomto intervalu studovat a objevované vlastnosti rozšířit na všechna další období.

Instrukce

1. Pokud dostanete primitivní výraz, ve kterém existuje pouze jedna goniometrická funkce (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) a úhel uvnitř funkce není vynásoben žádným číslem a sám není zvýšen na žádné moc - použijte definici. Pro výrazy obsahující sin, cos, sec, cosec tučně nastavte periodu na 2P, a pokud rovnice obsahuje tg, ctg, pak P. Řekněme, že pro funkci y=2 sinx+5 bude perioda rovna 2P .

2. Pokud je úhel x pod znaménkem goniometrické funkce vynásoben nějakým číslem, pak pro nalezení periody této funkce vydělte typickou periodu tímto číslem. Řekněme, že je vám dána funkce y = sin 5x. Typická perioda pro sinus je 2P, když jej vydělíte 5, dostanete 2P/5 - to je požadovaná perioda tohoto výrazu.

3. Chcete-li najít periodu goniometrické funkce umocněné na mocninu, vyhodnoťte paritu mocniny. Pro rovnoměrný stupeň zkraťte typickou periodu na polovinu. Řekněme, že pokud dostanete funkci y = 3 cos^2x, pak se typická perioda 2P zmenší 2krát, takže perioda bude rovna P. Upozorňujeme, že funkce tg, ctg jsou periodické vůči P na každý stupeň.

4. Pokud dostanete rovnici obsahující součin nebo podíl dvou goniometrických funkcí, nejprve najděte periodu pro všechny zvlášť. Poté najděte minimální číslo, které by obsahovalo celé číslo obou období. Řekněme, že je dána funkce y=tgx*cos5x. Pro tečnu je perioda P, pro kosinus 5x je perioda 2P/5. Minimální počet, do kterého lze obě tato období pojmout, je 2P, takže požadovaná perioda je 2P.

5. Pokud je pro vás obtížné to udělat navrhovaným způsobem nebo pochybujete o výsledku, zkuste to udělat podle definice. Vezměte T jako periodu funkce, která je větší než nula. Dosaďte do rovnice výraz (x + T) místo x a řešte výslednou rovnost, jako by T byl parametr nebo číslo. Výsledkem je, že objevíte hodnotu goniometrické funkce a budete schopni najít nejmenší periodu. Řekněme, že jako výsledek úlevy dostanete sin identity (T/2) = 0. Minimální hodnota T, při které se provádí, je rovna 2P, to bude výsledek úlohy.

Periodická funkce je funkce, která opakuje své hodnoty po nějaké nenulové periodě. Perioda funkce je číslo, které po přidání do argumentu funkce nemění hodnotu funkce.

Budete potřebovat

• Znalost elementární matematiky a základní přehled.

Instrukce

1. Označme periodu funkce f(x) číslem K. Naším úkolem je objevit tuto hodnotu K. K tomu si představme, že funkci f(x) pomocí definice periodické funkce vyrovnáme f(x+K)=f(x).

2. Výslednou rovnici ohledně neznámé K řešíme, jako by x byla konstanta. V závislosti na hodnotě K bude několik možností.

3. Pokud K>0 – pak je to perioda vaší funkce Pokud K=0 – pak funkce f(x) není periodická Pokud řešení rovnice f(x+K)=f(x) neexistuje pro jakékoli K, které se nerovná nule, se taková funkce nazývá aperiodická a také nemá periodu.

Video k tématu

Poznámka!
Všechny goniometrické funkce jsou periodické a všechny polynomické funkce se stupněm větším než 2 jsou aperiodické.

Užitečná rada
Perioda funkce sestávající ze 2 periodických funkcí je nejmenším univerzálním násobkem period těchto funkcí.

Goniometrické rovnice jsou rovnice, které obsahují goniometrické funkce neznámého argumentu (například: 5sinx-3cosx =7). Abyste se je naučili řešit, musíte znát několik způsobů, jak toho dosáhnout.

Instrukce

1. Řešení takových rovnic se skládá ze 2 fází. První je přetvoření rovnice tak, aby získala její nejjednodušší tvar. Nejjednodušší goniometrické rovnice jsou: Sinx=a; Cosx=a atd.

2. Druhým je řešení nejjednodušší získané goniometrické rovnice. Existují základní způsoby řešení rovnic tohoto typu: Řešení algebraicky. Tato metoda je známá ze školy, z kurzu algebry. Jinak se nazývá metoda náhrady a substituce proměnných. Pomocí redukčních vzorců transformujeme, provedeme substituci a pak najdeme kořeny.

3. Faktorizace rovnice. Nejprve přesuneme všechny termíny doleva a rozložíme je.

4. Redukce rovnice na homogenní. Rovnice se nazývají homogenní rovnice, pokud jsou všechny členy stejného stupně a sinus a kosinus stejného úhlu Abyste to mohli vyřešit, měli byste: nejprve přenést všechny její členy z pravé strany na levou; přesunout všechny univerzální faktory ze závorek; srovnat faktory a závorky s nulou; složené závorky dávají homogenní rovnici nižšího stupně, která by měla být dělena cos (nebo sin) na nejvyšší stupeň; vyřešit výslednou algebraickou rovnici ohledně tan.

5. Dalším způsobem je posunutí do polovičního úhlu. Řekněme, vyřešte rovnici: 3 sin x – 5 cos x = 7. Přejdeme k polovičnímu úhlu: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 hříchů? (x / 2) = 7 hříchů? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2) , načež všechny členy zredukujeme na jednu část (nejlépe pravou stranu) a vyřešíme rovnici.

6. Zadání pomocného úhlu. Když nahradíme celočíselnou hodnotu cos(a) nebo sin(a). Znaménko „a“ je pomocný úhel.

7. Způsob přeměny produktu na sumu. Zde je třeba použít příslušné vzorce. Řekněme dané: 2 sin x · sin 3x = cos 4x Vyřešte to transformací levé strany na součet, tedy: cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk , x = p/16 + pk/8.

8. Konečná metoda se nazývá multifunkční substituce. Výraz transformujeme a provedeme změnu, řekněme Cos(x/2)=u, a pak rovnici vyřešíme s parametrem u. Při nákupu součtu převedeme hodnotu na opačnou.

Video k tématu

Pokud uvažujeme body na kružnici, pak body x, x + 2π, x + 4π atd. se vzájemně shodovat. Tedy trigonometrické funkcí na přímce pravidelně opakovat jejich význam. Pokud je období slavné funkcí, je možné sestrojit funkci na této periodě a opakovat ji na dalších.

Instrukce

1. Perioda je číslo T takové, že f(x) = f(x+T). Chcete-li najít periodu, vyřešte odpovídající rovnici a dosaďte x a x+T jako argument. V tomto případě využívají pro funkce již známá období. Pro funkce sinus a kosinus je perioda 2π a pro tangens a kotangens - π.

2. Nechť je dána funkce f(x) = sin^2(10x). Uvažujme výraz sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Ke snížení stupně použijte vzorec: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Pak dostanete 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) nebo cos 20x = cos (20x+20T). S vědomím, že perioda kosinusu je 2π, 20T = 2π. To znamená T = π/10. T je minimální správná perioda a funkce se bude opakovat po 2T a po 3T a v opačném směru podél osy: -T, -2T atd.

Užitečná rada
Použijte vzorce ke snížení stupně funkce. Pokud již znáte periody některých funkcí, zkuste stávající funkci zredukovat na známé.

Zkoumání funkce na sudost a lichost pomáhá sestavit graf funkce a pochopit povahu jejího chování. Pro tento výzkum musíte porovnat tuto funkci napsanou pro argument „x“ a pro argument „-x“.

Instrukce

1. Zapište funkci, kterou chcete zkoumat, ve tvaru y=y(x).

2. Nahraďte argument funkce „-x“. Dosaďte tento argument do funkčního výrazu.

3. Zjednodušte výraz.

4. Máte tedy stejnou funkci napsanou pro argumenty „x“ a „-x“. Podívejte se na tyto dvě položky. Jestliže y(-x)=y(x), pak je to sudá funkce řekněme o funkci, že y (-x)=y(x) nebo y(-x)=-y(x), pak podle vlastnosti parity jde o funkci univerzálního tvaru. To znamená, že není ani sudá, ani lichá.

5. Své poznatky zapište. Nyní je můžete použít při konstrukci grafu funkce nebo při budoucí analytické studii vlastností funkce.

6. O sudosti a lichosti funkce lze také hovořit v případě, kdy je již dán graf funkce. Řekněme, že graf posloužil jako výsledek fyzikálního experimentu. Je-li graf funkce symetrický podle osy y, pak je y(x) sudá funkce x(y) je sudá funkce. x(y) je funkce inverzní k funkci y(x), je-li graf funkce symetrický k počátku (0,0), pak y(x) je lichá funkce. Inverzní funkce x(y) bude také lichá.

7. Je důležité si uvědomit, že myšlenka sudosti a lichosti funkce má přímou souvislost s doménou definice funkce. Jestliže řekněme sudá nebo lichá funkce neexistuje v x=5, pak neexistuje v x=-5, což nelze říci o funkci univerzální formy. Při nastavování sudé a liché parity věnujte pozornost oboru funkce.

8. Hledání funkce pro sudost a lichost koreluje s hledáním sady hodnot funkcí. Chcete-li najít množinu hodnot sudé funkce, stačí se podívat na polovinu funkce, vpravo nebo vlevo od nuly. Pokud v x>0 sudá funkce y(x) nabývá hodnot od A do B, pak bude mít stejné hodnoty v x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 lichá funkce y(x) nabývá rozsah hodnot od A do B, poté v x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

„Trigonometrické“ se kdysi začaly nazývat funkcemi, které jsou určeny závislostí ostrých úhlů v pravoúhlém trojúhelníku na délkách jeho stran. Mezi takové funkce patří za prvé sinus a kosinus, za druhé inverze těchto funkcí, sekanta a kosekans, jejich derivace tangens a kotangens, stejně jako inverzní funkce arcsinus, arkkosinus atd. Pozitivnější je nemluvit o „řešení“ takových funkcí, ale o jejich „výpočet“, tedy o nalezení číselné hodnoty.

Instrukce

1. Pokud je argument goniometrické funkce neznámý, lze její hodnotu vypočítat nepřímou metodou založenou na definicích těchto funkcí. K tomu potřebujete znát délky stran trojúhelníku, u kterého je třeba vypočítat goniometrickou funkci pro jeden z úhlů. Řekněme, podle definice, sinus ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr délky nohy protilehlé tomuto úhlu k délce přepony. Z toho vyplývá, že k nalezení sinusu úhlu stačí znát délky těchto 2 stran. Podobná definice říká, že sinus ostrého úhlu je poměr délky nohy přiléhající k tomuto úhlu k délce přepony. Tangentu ostrého úhlu lze vypočítat vydělením délky protilehlého ramene délkou sousedního ramene a kotangens vyžaduje vydělení délky sousedního ramene délkou protilehlého ramene. Chcete-li vypočítat sečnu ostrého úhlu, musíte najít poměr délky přepony k délce nohy sousedící s požadovaným úhlem a kosekans je určen poměrem délky přepony k délce. z opačné nohy.

2. Pokud je argument goniometrické funkce správný, pak nemusíte znát délky stran trojúhelníku - můžete použít tabulky hodnot nebo kalkulačky goniometrických funkcí. Taková kalkulačka je součástí standardních programů operačního systému Windows. Chcete-li jej spustit, stiskněte kombinaci kláves Win + R, zadejte příkaz calc a klikněte na tlačítko „OK“. V rozhraní programu byste měli rozbalit sekci „Zobrazit“ a vybrat položku „Inženýr“ nebo „Vědec“. Poté je možné zavést argument goniometrické funkce. Chcete-li vypočítat funkce sinus, kosinus a tangens, raději po zadání hodnoty klikněte na příslušné tlačítko rozhraní (sin, cos, tg) a pro nalezení jejich inverzního arkussinusu, arkussinusu a arkustangens je třeba předem zaškrtnout políčko Inv.

3. Existují i ​​alternativní metody. Jedním z nich je přejít na webovou stránku vyhledávače Nigma nebo Google a zadat požadovanou funkci a její argument jako vyhledávací dotaz (řekněme hřích 0,47). Tyto vyhledávače mají zabudované kalkulačky, takže po odeslání takového požadavku obdržíte hodnotu vámi zadané goniometrické funkce.

Video k tématu

Tip 7: Jak zjistit hodnotu goniometrických funkcí

Trigonometrické funkce se poprvé objevily jako nástroje pro abstraktní matematické výpočty závislostí hodnot ostrých úhlů v pravoúhlém trojúhelníku na délkách jeho stran. Nyní jsou široce používány ve vědeckých i technických oblastech lidské činnosti. Pro utilitární výpočty goniometrických funkcí z daných argumentů můžete použít různé nástroje - několik z nich, které jsou zvláště dostupné, je popsáno níže.

Instrukce

1. Použijte, řekněme, program kalkulačky nainstalovaný ve výchozím nastavení s operačním systémem. Otevírá se výběrem položky „Kalkulačka“ ve složce „Služba“ v podsekci „Typické“, která se nachází v části „Všechny programy“. Tuto sekci najdete po otevření hlavní nabídky operačního systému kliknutím na tlačítko „Start“. Pokud používáte verzi Windows 7, pravděpodobně jednoduše zadáte slovo „Kalkulačka“ do pole „Objevit programy a soubory“ v hlavní nabídce a poté kliknete na odpovídající odkaz ve výsledcích vyhledávání.

2. Zadejte hodnotu úhlu, pro kterou chcete vypočítat goniometrickou funkci, a poté klikněte na tlačítko odpovídající této funkci - sin, cos nebo tan. Pokud vás znepokojují inverzní goniometrické funkce (obloukový sinus, arckosinus nebo arkus tangens), pak nejprve klikněte na tlačítko označené Inv – obrátí funkce přiřazené tlačítkům průvodce kalkulačky.

3. V dřívějších verzích operačního systému (řekněme Windows XP) pro přístup k trigonometrickým funkcím musíte otevřít sekci „Zobrazit“ v nabídce kalkulačky a vybrat řádek „Inženýrství“. Navíc místo tlačítka Inv má rozhraní starších verzí programu zaškrtávací políčko se stejným nápisem.

4. Pokud máte přístup k internetu, můžete se obejít bez kalkulačky. Na internetu existuje mnoho služeb, které nabízejí kalkulačky trigonometrických funkcí organizované různými způsoby. Jedna z obzvláště pohodlných možností je zabudována do vyhledávače Nigma. Přejděte na její hlavní stránku a jednoduše zadejte hodnotu, která vás znepokojuje, do pole vyhledávacího dotazu – řekněme „arkus tangens 30 stupňů“. Po kliknutí na tlačítko "Detekovat!" Vyhledávač spočítá a zobrazí výsledek výpočtu - 0,482347907101025.

Video k tématu

Trigonometrie je odvětví matematiky pro pochopení funkcí, které vyjadřují různé závislosti stran pravoúhlého trojúhelníku na hodnotách ostrých úhlů u přepony. Takové funkce se nazývaly goniometrické a pro usnadnění práce s nimi byly goniometrické funkce odvozeny identity .

Výkon identity v matematice označuje rovnost, která je splněna pro všechny hodnoty argumentů funkcí, které jsou v ní obsaženy. Trigonometrický identity jsou rovnosti goniometrických funkcí, potvrzené a přijaté pro zjednodušení práce s goniometrickými vzorci Goniometrická funkce je elementární funkce závislosti jedné z větví pravoúhlého trojúhelníku na hodnotě ostrého úhlu v přeponě. Šest základních goniometrických funkcí, které se nejčastěji používají, jsou sin (sinus), cos (kosinus), tg (tangens), ctg (kotangens), sec (sekant) a cosec (kosekant). Tyto funkce se nazývají přímé funkce, existují i ​​funkce inverzní, řekněme sinus - arkussinus, kosinus - arkussinus atd. Zpočátku se goniometrické funkce promítaly do geometrie, poté se rozšířily do dalších oblastí vědy: fyzika, chemie, geografie, optika, teorie pravděpodobnosti, dále akustika, hudební teorie, fonetika, počítačová grafika a mnoho dalších. V dnešní době je těžké si představit matematické výpočty bez těchto funkcí, ačkoliv se v dávné minulosti používaly pouze v astronomii a architektuře identity slouží ke zjednodušení práce s dlouhými trigonometrickými vzorci a jejich redukci do stravitelné podoby. Existuje šest hlavních goniometrických identit, které souvisí s přímými goniometrickými funkcemi: tg ? = hřích?/cos?; hřích^2? +cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (?/2 – ?) = cos ?; cos (?/2 – ?) = hřích ? identity snadné potvrdit z vlastností poměru stran a úhlů v pravoúhlém trojúhelníku: sin ? = BC/AC = b/c; cos? = AB/AC = a/c; tg? = b/a první identita tg ? = hřích?/cos? vyplývá z poměru stran v trojúhelníku a vyloučení strany c (hypotenuze) při dělení sin kos. Identita ctg je definována stejným způsobem. = cos ?/sin ?, protože ctg ? = 1/tg ?.Podle Pythagorovy věty a^2 + b^2 = c^2. Vydělme tuto rovnost c^2, dostaneme druhou identitu: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => hřích^2 ? + cos^2 ? = 1.Třetí a čtvrté identity získá se dělením b^2 a a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2? = 1/hřích^ ? nebo 1 + ctg^2 ? = 1/sin^2 ? identity se dokazují určením součtu ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná 90° nebo?/2.Složitější trigonometrické identity: vzorce pro sčítání argumentů, dvojitých a trojitých úhlů, zmenšování stupňů, reformování součtu nebo součinu funkcí, jakož i vzorce pro goniometrické substituce, konkrétně vyjádření základních goniometrických funkcí přes tg polovičního úhlu: sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Nutnost najít minimum význam matematický funkcí má skutečný zájem na řešení aplikovaných problémů, řekněme v ekonomii. Obrovský význam minimalizace ztrát je pro obchodní činnost zásadní.

Instrukce

1. Abychom objevili minimum význam funkcí, je třeba určit, při jaké hodnotě argumentu x0 bude splněna nerovnost y(x0)? y(x), kde x? x0. Jako obvykle se tento problém řeší v určitém intervalu nebo v každém rozsahu hodnot funkcí, pokud jeden není uveden. Jedním z aspektů řešení je nalezení pevných bodů.

2. Stacionární bod se nazývá význam argument, ve kterém derivace funkcí jde na nulu. Podle Fermatovy věty, jestliže diferencovatelná funkce nabývá extrému význam v určitém bodě (v tomto případě lokální minimum), pak je tento bod stacionární.

3. Minimální význam funkce často nabývá přesně tohoto bodu, ale nelze jej určit trvale. Navíc není vždy možné s přesností říci, jaké je minimum funkcí nebo přijímá nekonečně malé význam. Pak jako obvykle najdou mez, ke které se při snižování blíží.

4. Aby bylo možné určit minimum význam funkcí, musíte provést sekvenci akcí sestávající ze čtyř fází: nalezení domény definice funkcí, získávání pevných bodů, přehled hodnot funkcí v těchto bodech a na koncích mezery, detekce minima.

5. Ukáže se, že nějaká funkce y(x) je dána na intervalu s hranicemi v bodech A a B. Najděte definiční obor její definice a zjistěte, zda je interval její podmnožinou.

6. Vypočítat derivát funkcí. Výsledný výraz srovnejte s nulou a najděte kořeny rovnice. Zkontrolujte, zda tyto stacionární body spadají do mezery. Pokud ne, nebudou v další fázi brány v úvahu.

7. Prozkoumejte mezeru pro typ hranic: otevřené, uzavřené, složené nebo neměřitelné. To určuje, jak budete hledat minimum význam. Řekněme, že segment [A, B] je uzavřený interval. Zapojte je do funkce a vypočítejte hodnoty. Udělejte totéž se stacionárním bodem. Vyberte nejnižší součet.

8. S otevřenými a neměřitelnými intervaly je situace poněkud složitější. Zde budete muset hledat jednostranné limity, které nedávají vždy jednoznačný výsledek. Řekněme, že pro interval s jednou uzavřenou a jednou proraženou hranicí [A, B) bychom měli najít funkci v x = A a jednostrannou limitu lim y v x? B-0.