Periodicitatea funcțiilor trigonometrice. Sinus (sin x) și cosinus (cos x) - proprietăți, grafice, formule Cum să găsiți perioada unei funcții trigonometrice

Noțiuni de bază

Să ne amintim mai întâi definiția funcții pare, impare și periodice.

Definiția 2

O funcție pară este o funcție care nu își schimbă valoarea atunci când semnul variabilei independente se modifică:

Definiția 3

O funcție care își repetă valorile la un interval regulat:

T -- perioada funcției.

Funcții trigonometrice pare și impare

Luați în considerare următoarea figură (Fig. 1):

Poza 1.

Aici $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ și $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ sunt vectori de lungime unitară, simetrici față de axa $Ox$.

Este evident că coordonatele acestor vectori sunt legate prin următoarele relații:

Deoarece funcțiile trigonometrice ale sinusului și cosinusului pot fi determinate folosind cercul trigonometric unitar, obținem că funcția sinus va fi impară, iar funcția cosinus va fi o funcție pară, adică:

Periodicitatea funcțiilor trigonometrice

Luați în considerare următoarea figură (Fig. 2).

Figura 2.

Aici $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ este un vector de unitate de lungime.

Să facem o revoluție completă cu vectorul $\overrightarrow(OA)$. Adică, să rotim acest vector cu $2\pi $ radiani. După aceasta, vectorul va reveni complet la poziția inițială.

Deoarece funcțiile trigonometrice ale sinusului și cosinusului pot fi determinate folosind cercul trigonometric unitar, obținem asta

Adică funcțiile sinus și cosinus sunt funcții periodice cu cea mai mică perioadă $T=2\pi $.

Să luăm acum în considerare funcțiile tangentei și cotangentei. Deoarece $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, atunci

Deoarece $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, atunci

Exemple de probleme folosind paritatea, neobișnuirea și periodicitatea funcțiilor trigonometrice

Exemplul 1

Demonstrați următoarele afirmații:

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

Deoarece tangenta este o funcție periodică cu o perioadă minimă $(360)^0$, obținem

b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$

Deoarece cosinusul este o funcție pară și periodică cu o perioadă minimă de $2\pi $, obținem

\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]

c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

Deoarece sinusul este o funcție impară și periodică cu o perioadă minimă de $(360)^0$, obținem

Dependența unei variabile y de o variabilă x, în care fiecare valoare a lui x corespunde unei singure valori a lui y se numește funcție. Pentru desemnare folosiți notația y=f(x). Fiecare funcție are o serie de proprietăți de bază, cum ar fi monotonitatea, paritatea, periodicitatea și altele.

Proprietăți de paritate și periodicitate

Să luăm în considerare mai detaliat proprietățile parității și periodicității, folosind exemplul funcțiilor trigonometrice de bază: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

O funcție y=f(x) este apelată chiar dacă îndeplinește următoarele două condiții:

2. Valoarea funcției în punctul x, aparținând domeniului de definire a funcției, trebuie să fie egală cu valoarea funcției în punctul -x. Adică, pentru orice punct x, următoarea egalitate trebuie satisfăcută din domeniul de definiție al funcției: f(x) = f(-x).

Dacă trasați un grafic al unei funcții pare, aceasta va fi simetrică față de axa Oy.

De exemplu, funcția trigonometrică y=cos(x) este pară.

Proprietăți de ciudat și periodicitate

O funcție y=f(x) se numește impară dacă îndeplinește următoarele două condiții:

1. Domeniul de definire al unei funcții date trebuie să fie simetric față de punctul O. Adică, dacă un punct a aparține domeniului de definire al funcției, atunci punctul corespunzător -a trebuie să aparțină și domeniului definiției a functiei date.

2. Pentru orice punct x trebuie îndeplinită următoarea egalitate din domeniul definiției funcției: f(x) = -f(x).

Graficul unei funcții impare este simetric față de punctul O - originea coordonatelor.

De exemplu, funcțiile trigonometrice y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) sunt impare.

Periodicitatea funcțiilor trigonometrice

Funcția y=f (x) se numește periodică dacă există un anumit număr T!=0 (numit perioada funcției y=f (x)), astfel încât pentru orice valoare a lui x aparținând domeniului de definire a lui funcția, numerele x + T și x-T aparțin și ele domeniului de definiție al funcției și este valabilă egalitatea f(x)=f(x+T)=f(x-T).

Trebuie înțeles că dacă T este perioada funcției, atunci numărul k*T, unde k este orice număr întreg, altul decât zero, va fi și perioada funcției. Pe baza celor de mai sus, aflăm că orice funcție periodică are infinit de perioade. Cel mai adesea, conversația este despre cea mai mică perioadă a unei funcții.

Funcțiile trigonometrice sin(x) și cos(x) sunt periodice, cu perioada cea mai mică egală cu 2*π.

Scop: rezumarea și sistematizarea cunoștințelor elevilor pe tema „Periodicitatea funcțiilor”; dezvoltarea abilităților în aplicarea proprietăților unei funcții periodice, găsirea celei mai mici perioade pozitive a unei funcții, construirea de grafice ale funcțiilor periodice; promovarea interesului pentru studiul matematicii; cultivați observația și acuratețea.

Echipamente: computer, proiector multimedia, carduri de sarcini, diapozitive, ceasuri, mese cu ornamente, elemente de meșteșuguri populare

„Matematica este ceea ce oamenii folosesc pentru a controla natura și pe ei înșiși.”
UN. Kolmogorov

În timpul orelor

I. Etapa organizatorică.

Verificarea gradului de pregătire a elevilor pentru lecție. Raportați subiectul și obiectivele lecției.

II. Verificarea temelor.

Verificăm temele folosind mostre și discutăm cele mai dificile puncte.

III. Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor.

1. Lucru frontal oral.

Probleme de teorie.

1) Formați o definiție a perioadei funcției
2) Numiți cea mai mică perioadă pozitivă a funcțiilor y=sin(x), y=cos(x)
3). Care este cea mai mică perioadă pozitivă a funcțiilor y=tg(x), y=ctg(x)
4) Cu ajutorul unui cerc, demonstrați corectitudinea relațiilor:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Cum se trasează o funcție periodică?

Exerciții orale.

1) Demonstrați următoarele relații

A) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Demonstrați că un unghi de 540º este una dintre perioadele funcției y= cos(2x)

3. Demonstrați că un unghi de 360º este una dintre perioadele funcției y=tg(x)

4. Transformați aceste expresii astfel încât unghiurile incluse în ele să nu depășească 90º în valoare absolută.

A) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Unde ai dat de cuvintele PERIOADĂ, PERIODICITATE?

Răspunsurile elevului: O perioadă în muzică este o structură în care este prezentată o gândire muzicală mai mult sau mai puțin completă. O perioadă geologică face parte dintr-o eră și este împărțită în epoci cu o perioadă de la 35 la 90 de milioane de ani.

Timpul de înjumătățire al unei substanțe radioactive. Fracție periodică. Publicațiile periodice sunt publicații tipărite care apar în termene strict definite. Sistemul periodic al lui Mendeleev.

6. Figurile prezintă părți din graficele funcțiilor periodice. Determinați perioada funcției. Determinați perioada funcției.

Răspuns: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Unde în viața ta ai întâlnit construcția elementelor care se repetă?

Răspuns elevului: Elemente de ornamente, artă populară.

IV. Rezolvarea colectivă a problemelor.

(Rezolvarea problemelor pe diapozitive.)

Să luăm în considerare una dintre modalitățile de a studia o funcție pentru periodicitate.

Această metodă evită dificultățile asociate cu demonstrarea faptului că o anumită perioadă este cea mai mică și, de asemenea, elimină nevoia de a aborda întrebări despre operațiile aritmetice asupra funcțiilor periodice și periodicitatea unei funcții complexe. Raționamentul se bazează doar pe definiția unei funcții periodice și pe următorul fapt: dacă T este perioada funcției, atunci nT(n?0) este perioada acesteia.

Problema 1. Aflați cea mai mică perioadă pozitivă a funcției f(x)=1+3(x+q>5)

Rezolvare: Să presupunem că perioada T a acestei funcții. Atunci f(x+T)=f(x) pentru toate x € D(f), adică.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Să punem x=-0,25 obținem

(T)=0<=>T=n, n € Z

Am obținut că toate perioadele funcției în cauză (dacă există) sunt printre numerele întregi. Să alegem cel mai mic număr pozitiv dintre aceste numere. Acest 1 . Să verificăm dacă de fapt va fi o perioadă 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Deoarece (T+1)=(T) pentru orice T, atunci f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), adică. 1 – perioada f. Deoarece 1 este cel mai mic dintre toate numerele întregi pozitive, atunci T=1.

Problema 2. Arătați că funcția f(x)=cos 2 (x) este periodică și găsiți perioada ei principală.

Problema 3. Aflați perioada principală a funcției

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Să presupunem perioada T a funcției, apoi pentru oricare X raportul este valabil

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Dacă x=0, atunci

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Dacă x=-T, atunci

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – sin(1.5T)+5cos(0.75T)

Adunând, obținem:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Să alegem cel mai mic număr pozitiv dintre toate numerele „suspecte” pentru perioadă și să verificăm dacă este o perioadă pentru f. Acest număr

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Aceasta înseamnă că aceasta este perioada principală a funcției f.

Problema 4. Să verificăm dacă funcția f(x)=sin(x) este periodică

Fie T perioada funcției f. Apoi pentru orice x

sin|x+Т|=sin|x|

Dacă x=0, atunci sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Sa presupunem. Că pentru unele n numărul π n este perioada

funcția luată în considerare π n>0. Atunci sin|π n+x|=sin|x|

Aceasta înseamnă că n trebuie să fie atât un număr par, cât și un număr impar, dar acest lucru este imposibil. Prin urmare, această funcție nu este periodică.

Sarcina 5. Verificați dacă funcția este periodică

f(x)=

Fie T perioada lui f, atunci

, deci sinT=0, Т=π n, n € Z. Să presupunem că pentru unele n numărul π n este într-adevăr perioada acestei funcții. Atunci numărul 2π n va fi perioada

Deoarece numărătorii sunt egali, numitorii lor sunt egali, prin urmare

Aceasta înseamnă că funcția f nu este periodică.

Lucrați în grupuri.

Sarcini pentru grupa 1.

Sarcini pentru grupa 2.

Verificați dacă funcția f este periodică și găsiți perioada ei fundamentală (dacă există).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Sarcini pentru grupa 3.

La sfârșitul lucrărilor, grupurile își prezintă soluțiile.

VI. Rezumând lecția.

Reflecţie.

Profesorul dă elevilor cartonașe cu desene și le cere să coloreze o parte din primul desen în funcție de măsura în care ei cred că au stăpânit metodele de studiere a unei funcții pentru periodicitate, iar o parte din al doilea desen - în conformitate cu contribuția la munca din lecție.

VII. Teme pentru acasă

1). Verificați dacă funcția f este periodică și găsiți perioada ei fundamentală (dacă există)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funcția y=f(x) are o perioadă T=2 și f(x)=x 2 +2x pentru x € [-2; 0]. Aflați valoarea expresiei -2f(-3)-4f(3.5)

Literatură/

1. Mordkovich A.G. Algebră și începuturi de analiză cu studiu aprofundat.
2. Matematică. Pregătirea pentru examenul de stat unificat. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebră și analiză de început pentru clasele 10-11.

satisfacerea sistemului de inegalități:

b) Să considerăm o mulțime de numere de pe dreapta numerică care satisfac sistemul de inegalități:

Aflați suma lungimilor segmentelor care alcătuiesc această mulțime.

§ 7. Cele mai simple formule

În § 3 am stabilit următoarea formulă pentru unghiurile ascuțite α:

Deci, formula cos2 α + sin2 α = 1 rezultă din ecuația cercului. Se poate părea că am dat astfel o nouă demonstrație a acestei formule pentru unghiurile ascuțite (în comparație cu cea indicată în § 3, unde am folosit teorema lui Pitagora). Totuși, diferența este pur externă: la derivarea ecuației unui cerc x2 + y2 = 1, se folosește aceeași teoremă a lui Pitagora.

Pentru unghiuri ascuțite am obținut și alte formule, de exemplu

Conform simbolului, partea dreaptă este întotdeauna nenegativă, în timp ce partea stângă poate fi foarte negativă. Pentru ca formula să fie adevărată pentru tot α, trebuie să fie pătrat. Egalitatea rezultată este: cos2 α = 1/(1 + tan2 α). Să demonstrăm că această formulă este adevărată pentru toți α:1

Problema 7.1. Derivați toate formulele de mai jos din definiții și formula sin2 α + cos2 α = 1 (am demonstrat deja unele dintre ele):

Aceste formule permit, cunoscând valoarea uneia dintre funcțiile trigonometrice ale unui număr dat, să se găsească aproape tot restul.

nou Să știm, de exemplu, că sin x = 1/2. Atunci cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, deci cos x este fie 3/2, fie − 3/2. Pentru a afla cu care dintre aceste două numere cos x este egal, sunt necesare informații suplimentare.

Problema 7.2. Arată cu exemple că ambele cazuri de mai sus sunt posibile.

Problema 7.3. a) Fie tan x = −1. Găsiți păcatul x. Câte răspunsuri are această problemă?

b) Fie că, pe lângă condițiile de la punctul a) știm că sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Pentru care tan α este definit, adică cos α 6= 0.

Problema 7.4. Fie sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Găsiți tg x.

Problema 7.5. Fie tan x = 3, cos x > sin x. Găsiți cos x, sin x.

Problema 7.6. Fie tg x = 3/5. Aflați sin x + 2 cos x. cos x − 3 sin x

Problema 7.7. Demonstrați identitățile:

Problema 7.8. Simplificați expresiile:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;

c) sin α(2 + cot α)(2 cot α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Perioadele funcţiilor trigonometrice

Numerele x, x+2π, x−2π corespund aceluiași punct de pe cercul trigonometric (dacă parcurgeți un cerc suplimentar de-a lungul cercului trigonometric, veți reveni unde erați). Aceasta implică următoarele identități, care au fost deja discutate în § 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

În legătură cu aceste identități am folosit deja termenul de „perioadă”. Să dăm acum definiții precise.

Definiție. Numărul T 6= 0 se numește perioada funcției f dacă pentru tot x egalitățile f(x − T) = f(x + T) = f(x) sunt adevărate (se presupune că x + T și x − T sunt incluse în domeniul de definire al funcției , dacă include x). O funcție se numește periodică dacă are o perioadă (cel puțin una).

Funcțiile periodice apar în mod natural atunci când descriu procesele oscilatorii. Unul dintre astfel de procese a fost deja discutat în § 5. Iată mai multe exemple:

1) Fie ϕ = ϕ(t) unghiul de abatere al pendulului oscilant al ceasului față de verticală în momentul t. Atunci ϕ este o funcție periodică a lui t.

2) Tensiunea („diferența de potențial”, așa cum ar spune un fizician) dintre două prize ale unei prize de curent alternativ,

fie că este considerată în funcţie de timp, este o funcţie periodică1.

3) Să auzim sunetul muzical. Atunci presiunea aerului într-un punct dat este o funcție periodică a timpului.

Dacă o funcție are o perioadă T, atunci perioadele acestei funcții vor fi și numerele −T, 2T, −2T. . . - într-un cuvânt, toate numerele nT, unde n este un număr întreg care nu este egal cu zero. Într-adevăr, să verificăm, de exemplu, că f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Definiție. Cea mai mică perioadă pozitivă a unei funcții f este - în conformitate cu sensul literal al cuvintelor - un număr pozitiv T astfel încât T este o perioadă a lui f și niciun număr pozitiv mai mic decât T este o perioadă a lui f.

O funcție periodică nu trebuie să aibă cea mai mică perioadă pozitivă (de exemplu, o funcție care este constantă are o perioadă de orice număr și, prin urmare, nu are cea mai mică perioadă pozitivă). De asemenea, putem da exemple de funcții periodice neconstante care nu au cea mai mică perioadă pozitivă. Cu toate acestea, în cele mai multe cazuri interesante, există cea mai mică perioadă pozitivă a funcțiilor periodice.

1 Când se spune „tensiunea din rețea este de 220 de volți”, se referă la „valoarea ei efectivă”, despre care vom vorbi în § 21. Tensiunea în sine se schimbă tot timpul.

Orez. 8.1. Perioada tangentei și cotangentei.

În special, cea mai mică perioadă pozitivă atât a sinusului, cât și a cosinusului este 2π. Să demonstrăm acest lucru, de exemplu, pentru funcția y = sin x. Fie, spre deosebire de ceea ce pretindem, sinusul are o perioadă T astfel încât 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Cea mai mică perioadă pozitivă a funcției care descrie oscilațiile (ca în exemplele noastre 1-3) se numește pur și simplu perioada acestor oscilații.

Deoarece 2π este perioada sinusului și cosinusului, va fi și perioada tangentei și cotangentei. Totuși, pentru aceste funcții, 2π nu este cea mai mică perioadă: cea mai mică perioadă pozitivă a tangentei și cotangentei va fi π. De fapt, punctele corespunzătoare numerelor x și x + π de pe cercul trigonometric sunt diametral opuse: de la punctul x la punctul x + 2π trebuie parcurs o distanță π exact egală cu jumătatea cercului. Acum, dacă folosim definiția tangentei și cotangentei folosind axele tangentelor și cotangentelor, egalitățile tg(x + π) = tan x și ctg(x + π) = ctg x vor deveni evidente (Fig. 8.1). Este ușor de verificat (vom sugera să faceți acest lucru în probleme) că π este într-adevăr cea mai mică perioadă pozitivă a tangentei și cotangentei.

O notă despre terminologie. Cuvintele „perioada unei funcții” sunt adesea folosite pentru a însemna „cea mai mică perioadă pozitivă”. Deci, dacă la un examen ești întrebat: „Este 100π perioada funcției sinus?”, nu te grăbi să răspunzi, ci clarifică dacă te referi la cea mai mică perioadă pozitivă sau doar la una dintre perioade.

Funcțiile trigonometrice sunt un exemplu tipic de funcții periodice: orice funcție periodică „nu foarte rea” poate fi într-un anumit sens exprimată în termeni de funcții trigonometrice.

Problema 8.1. Găsiți cele mai mici perioade pozitive ale funcțiilor:

d) y = cos x + cos(1,01x).

Problema 8.2. Dependența tensiunii într-o rețea de curent alternativ de timp este dată de formula U = U0 sin ωt (aici t este timpul, U este tensiunea, U0 și ω sunt constante). Frecvența curentului alternativ este de 50 Herți (aceasta înseamnă că tensiunea face 50 de oscilații pe secundă).

a) Aflați ω, presupunând că t se măsoară în secunde;

b) Aflați perioada (cea mai mică pozitivă) a lui U în funcție de t.

Problema 8.3. a) Demonstrați că cea mai mică perioadă pozitivă a cosinusului este 2π;

b) Demonstrați că cea mai mică perioadă pozitivă a tangentei este egală cu π.

Problema 8.4. Fie cea mai mică perioadă pozitivă a funcției f T. Demonstrați că toate celelalte perioade ale sale sunt de forma nT pentru unele numere întregi n.

Problema 8.5. Demonstrați că următoarele funcții nu sunt periodice.

Trigonometric funcții periodic, adică se repetă după o anumită perioadă. Ca urmare, este suficient să studiem funcția pe acest interval și să extindem proprietățile descoperite la toate celelalte perioade.

Instrucțiuni

1. Dacă vi se oferă o expresie primitivă în care există o singură funcție trigonometrică (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), iar unghiul din interiorul funcției nu este înmulțit cu niciun număr și ea însăși nu este ridicată la niciun număr. putere - folosiți definiția. Pentru expresiile care conțin sin, cos, sec, cosec, setați cu îndrăzneală perioada la 2P, iar dacă ecuația conține tg, ctg, atunci P. Să spunem, pentru funcția y=2 sinx+5, perioada va fi egală cu 2P .

2. Dacă unghiul x sub semnul unei funcții trigonometrice este înmulțit cu un număr, atunci pentru a afla perioada acestei funcție, împărțiți perioada tipică la acest număr. Să presupunem că vi se oferă o funcție y = sin 5x. Perioada tipică pentru un sinus este 2P împărțind-o la 5, obțineți 2P/5 - aceasta este perioada dorită a acestei expresii.

3. Pentru a afla perioada unei funcții trigonometrice ridicată la o putere, evaluați paritatea puterii. Pentru un grad egal, reduceți perioada tipică la jumătate. Să presupunem că, dacă vi se oferă funcția y = 3 cos^2x, atunci perioada tipică 2P va scădea de 2 ori, deci perioada va fi egală cu P. Vă rugăm să rețineți că funcțiile tg, ctg sunt periodice la P la fiecare grad.

4. Dacă vi se oferă o ecuație care conține produsul sau câtul a două funcții trigonometrice, mai întâi găsiți separat perioada pentru toate. După aceasta, găsiți numărul minim care ar conține întregul ambelor perioade. Să presupunem că este dată funcția y=tgx*cos5x. Pentru tangentă perioada este P, pentru cosinus 5x perioada este 2P/5. Numărul minim în care pot fi găzduite ambele perioade este 2P, deci perioada dorită este 2P.

5. Dacă vi se pare dificil să o faceți în modul sugerat sau vă îndoiți de rezultat, încercați să o faceți prin definiție. Luați T ca perioadă a funcției este mai mare decât zero. Înlocuiți expresia (x + T) în loc de x în ecuație și rezolvați egalitatea rezultată ca și cum T ar fi un parametru sau un număr. Ca urmare, vei descoperi valoarea funcției trigonometrice și vei putea găsi cea mai mică perioadă. Să presupunem că, ca rezultat al reliefului, obțineți identitatea sin (T/2) = 0. Valoarea minimă a lui T la care se realizează este 2P, acesta va fi rezultatul sarcinii.

O funcție periodică este o funcție care își repetă valorile după o perioadă diferită de zero. Perioada unei funcții este un număr care, adăugat la argumentul unei funcții, nu modifică valoarea funcției.

Vei avea nevoie

• Cunoștințe de matematică elementară și revizuire de bază.

Instrucțiuni

1. Să notăm perioada funcției f(x) cu numărul K. Sarcina noastră este să descoperim această valoare a lui K. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă că funcția f(x), folosind definiția unei funcții periodice, echivalăm f(x+K)=f(x).

2. Rezolvăm ecuația rezultată privind necunoscutul K, ca și cum x ar fi o constantă. În funcție de valoarea lui K, vor exista mai multe opțiuni.

3. Dacă K>0 – atunci aceasta este perioada funcției dumneavoastră. Dacă K=0 – atunci funcția f(x) nu este periodică Dacă soluția ecuației f(x+K)=f(x) nu există pentru orice K nu este egal cu zero, atunci o astfel de funcție se numește aperiodă și, de asemenea, nu are perioadă.

Video pe tema

Notă!
Toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, iar toate funcțiile polinomiale cu un grad mai mare de 2 sunt aperiodice.

Sfaturi utile
Perioada unei funcții formată din 2 funcții periodice este cel mai mic multiplu universal al perioadelor acestor funcții.

Ecuațiile trigonometrice sunt ecuații care conțin funcții trigonometrice ale unui argument necunoscut (de exemplu: 5sinx-3cosx =7). Pentru a învăța cum să le rezolvați, trebuie să cunoașteți câteva modalități de a face acest lucru.

Instrucțiuni

1. Rezolvarea unor astfel de ecuații constă în 2 etape. Prima este reformarea ecuației pentru a dobândi forma sa cea mai simplă. Cele mai simple ecuații trigonometrice sunt: ​​Sinx=a; Cosx=a, etc.

2. A doua este soluția celei mai simple ecuații trigonometrice obținute. Există modalități de bază de a rezolva ecuații de acest tip: Rezolvarea algebrică. Această metodă este cunoscută de la școală, de la un curs de algebră. Altfel numită metoda înlocuirii și substituirii variabilelor. Folosind formule de reducere, transformăm, facem o substituție și apoi găsim rădăcinile.

3. Factorizarea unei ecuații. Mai întâi, mutăm toți termenii la stânga și îi factorizăm.

4. Reducerea ecuației la una omogenă. Ecuațiile se numesc ecuații omogene dacă toți termenii sunt de același grad și sinusul și cosinusul de același unghi. mutați toți factorii universali din paranteze; egalează factorii și parantezele cu zero; parantezele egalate dau o ecuație omogenă de un grad inferior, care ar trebui împărțită la cos (sau sin) la cel mai înalt grad; rezolvați ecuația algebrică rezultată privind tan.

5. Următoarea modalitate este de a trece la jumătate de unghi. Să spunem, să rezolvăm ecuația: 3 sin x – 5 cos x = 7. Să trecem la jumătatea unghiului: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 sin ? (x / 2) = 7 sin ? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2) , după care reducem toți termenii într-o singură parte (de preferință partea dreaptă) și rezolvăm ecuația.

6. Introducerea unghiului auxiliar. Când înlocuim valoarea întreagă cos(a) sau sin(a). Semnul „a” este un unghi auxiliar.

7. O metodă de a transforma un produs într-o sumă. Aici trebuie să aplicați formulele adecvate. Să zicem dat: 2 sin x · sin 3x = cos 4x Rezolvați-l transformând partea stângă într-o sumă, adică: cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8.

8. Metoda finală se numește substituție multifuncțională. Transformăm expresia și facem o modificare, să spunem Cos(x/2)=u, apoi rezolvăm ecuația cu parametrul u. Când cumpărăm totalul, convertim valoarea în invers.

Video pe tema

Dacă luăm în considerare punctele dintr-un cerc, atunci punctele x, x + 2π, x + 4π etc. coincid unul cu altul. Astfel, trigonometric funcții pe o linie dreaptă periodic repetă sensul lor. Dacă perioada este celebră funcții, este posibil să construiți o funcție pe această perioadă și să o repetați pe altele.

Instrucțiuni

1. Perioada este un număr T astfel încât f(x) = f(x+T). Pentru a găsi perioada, rezolvați ecuația corespunzătoare, înlocuind x și x+T ca argument. În acest caz, ei folosesc perioadele deja binecunoscute pentru funcții. Pentru funcțiile sinus și cosinus perioada este 2π, iar pentru funcțiile tangentă și cotangentă este π.

2. Fie dată funcția f(x) = sin^2(10x). Se consideră expresia sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Utilizați formula pentru a reduce gradul: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Apoi obțineți 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) sau cos 20x = cos (20x+20T). Știind că perioada cosinusului este 2π, 20T = 2π. Aceasta înseamnă T = π/10. T este perioada minimă corectă, iar funcția se va repeta după 2T, și după 3T, iar în cealaltă direcție de-a lungul axei: -T, -2T etc.

Sfaturi utile
Utilizați formule pentru a reduce gradul unei funcții. Dacă știți deja perioadele unor funcții, încercați să reduceți funcția existentă la cele cunoscute.

Examinarea unei funcții pentru egalitate și ciudățenie ajută la construirea unui grafic al funcției și la înțelegerea naturii comportamentului acesteia. Pentru această cercetare, trebuie să comparați această funcție scrisă pentru argumentul „x” și pentru argumentul „-x”.

Instrucțiuni

1. Notați funcția pe care doriți să o investigați sub forma y=y(x).

2. Înlocuiți argumentul funcției cu „-x”. Înlocuiți acest argument într-o expresie funcțională.

3. Simplificați expresia.

4. Astfel, aveți aceeași funcție scrisă pentru argumentele „x” și „-x”. Uită-te la aceste două intrări Dacă y(-x)=y(x), atunci este o funcție pară. Dacă y(-x)=-y(x), atunci este o funcție impară spunem despre o funcție că y (-x)=y(x) sau y(-x)=-y(x), atunci prin proprietatea parității aceasta este o funcție de formă universală. Adică nu este nici par, nici impar.

5. Notează-ți constatările. Acum le puteți folosi în construirea unui grafic al unei funcții sau într-un viitor studiu analitic al proprietăților unei funcții.

6. De asemenea, se poate vorbi despre uniformitatea și neobișnuirea unei funcții în cazul în care graficul funcției este deja dat. Să presupunem că graficul a servit ca rezultat al unui experiment fizic Dacă graficul unei funcții este simetric față de axa ordonatelor, atunci y(x) este o funcție pară x(y) este o funcție pară. x(y) este o funcție inversă funcției y(x) Dacă graficul unei funcții este simetric față de originea (0,0), atunci y(x) este o funcție impară. Funcția inversă x(y) va fi de asemenea impară.

7. Este important să ne amintim că ideea de uniformitate și ciudățenie a unei funcții are o legătură directă cu domeniul de definire a funcției. Dacă, să zicem, o funcție pară sau impară nu există la x=5, atunci ea nu există la x=-5, ceea ce nu se poate spune despre o funcție de formă universală. Când stabiliți paritatea pară și impară, acordați atenție domeniului funcției.

8. Găsirea unei funcții pentru egalitate și ciudățenie se corelează cu găsirea unui set de valori ale funcției. Pentru a găsi setul de valori ale unei funcții pare, este suficient să priviți jumătate din funcție, la dreapta sau la stânga lui zero. Dacă la x>0 funcția pară y(x) ia valori de la A la B, atunci va lua aceleași valori la x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 funcția impară y(x) ia un interval de valori de la A la B, apoi la x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

„Trigonometric” a început odată să fie numite funcții care sunt determinate de dependența unghiurilor acute dintr-un triunghi dreptunghic de lungimile laturilor sale. Astfel de funcții includ, în primul rând, sinus și cosinus, în al doilea rând, inversul acestor funcții, secante și cosecante, derivatele lor tangentă și cotangentă, precum și funcțiile inverse arcsinus, arccosinus etc. Este mai pozitiv să nu vorbim despre „soluția” unor astfel de funcții, ci despre „calculul” acestora, adică despre găsirea unei valori numerice.

Instrucțiuni

1. Dacă argumentul funcției trigonometrice este necunoscut, atunci valoarea acesteia poate fi calculată printr-o metodă indirectă bazată pe definițiile acestor funcții. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți lungimile laturilor triunghiului, funcția trigonometrică pentru unul dintre unghiurile căreia trebuie calculată. Să presupunem, prin definiție, sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei opusă acestui unghi și lungimea ipotenuzei. De aici rezultă că pentru a găsi sinusul unui unghi este suficient să cunoaștem lungimile acestor 2 laturi. O definiție similară afirmă că sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei adiacent acestui unghi și lungimea ipotenuzei. Tangenta unui unghi ascuțit poate fi calculată prin împărțirea lungimii catetului opus la lungimea celui adiacent, iar cotangenta necesită împărțirea lungimii catetului adiacent la lungimea celui opus. Pentru a calcula secantei unui unghi ascuțit, trebuie să găsiți raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei adiacente unghiului necesar, iar cosecanta este determinată de raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea. a piciorului opus.

2. Dacă argumentul funcției trigonometrice este corect, atunci nu trebuie să cunoașteți lungimile laturilor triunghiului - puteți utiliza tabele de valori sau calculatoare de funcții trigonometrice. Un astfel de calculator este inclus în programele standard ale sistemului de operare Windows. Pentru a-l lansa, puteți apăsa combinația de taste Win + R, introduceți comanda calc și faceți clic pe butonul „OK”. În interfața programului, ar trebui să extindeți secțiunea „Vizualizare” și să selectați elementul „Inginer” sau „Scientist”. După aceasta, este posibil să se introducă argumentul funcției trigonometrice. Pentru a calcula funcțiile sinus, cosinus și tangentă, mai degrabă după ce ați introdus valoarea, faceți clic pe butonul de interfață corespunzător (sin, cos, tg) și pentru a le găsi inversul arcsinus, arccosinus și arctangent, ar trebui să bifați în avans caseta de selectare Inv.

3. Există și metode alternative. Una dintre ele este să accesați site-ul web al motorului de căutare Nigma sau Google și să introduceți funcția dorită și argumentul acesteia ca interogare de căutare (să zicem, sin 0.47). Aceste motoare de căutare au calculatoare încorporate, așa că după trimiterea unei astfel de solicitări vei primi valoarea funcției trigonometrice pe care ai introdus-o.

Video pe tema

Sfat 7: Cum să descoperiți valoarea funcțiilor trigonometrice

Funcțiile trigonometrice au apărut pentru prima dată ca instrumente pentru calculele matematice abstracte ale dependențelor valorilor unghiurilor ascuțite dintr-un triunghi dreptunghic de lungimile laturilor sale. Acum sunt utilizate pe scară largă atât în ​​domeniul științific, cât și în cel tehnic al activității umane. Pentru calculele utilitare ale funcțiilor trigonometrice din argumente date, puteți utiliza diverse instrumente - mai jos sunt descrise mai multe dintre ele, care sunt deosebit de accesibile.

Instrucțiuni

1. Utilizați, să zicem, programul calculatorului instalat implicit cu sistemul de operare. Se deschide selectând elementul „Calculator” din folderul „Service” din subsecțiunea „Tipic”, aflată în secțiunea „Toate programele”. Această secțiune poate fi găsită prin deschiderea meniului principal al sistemului de operare făcând clic pe butonul „Start”. Dacă utilizați versiunea Windows 7, este posibil să introduceți pur și simplu cuvântul „Calculator” în câmpul „Descoperiți programe și fișiere” din meniul principal, apoi faceți clic pe linkul corespunzător din rezultatele căutării.

2. Introduceți valoarea unghiului pentru care doriți să calculați funcția trigonometrică, apoi faceți clic pe butonul corespunzător acestei funcții - sin, cos sau tan. Dacă sunteți îngrijorat de funcțiile trigonometrice inverse (arc sinus, arc cosinus sau arc tangent), apoi faceți mai întâi clic pe butonul etichetat Inv - acesta inversează funcțiile atribuite butoanelor de ghidare ale calculatorului.

3. În versiunile anterioare ale sistemului de operare (de exemplu, Windows XP), pentru a accesa funcțiile trigonometrice, trebuie să deschideți secțiunea „Vizualizare” din meniul calculatorului și să selectați linia „Inginerie”. În plus, în locul butonului Inv, interfața versiunilor mai vechi ale programului are o casetă de selectare cu aceeași inscripție.

4. Te poți descurca fără un calculator dacă ai acces la internet. Există multe servicii pe Internet care oferă calculatoare cu funcții trigonometrice organizate în moduri diferite. Una dintre opțiunile deosebit de convenabile este încorporată în motorul de căutare Nigma. Mergând la pagina principală, introduceți pur și simplu valoarea care vă îngrijorează în câmpul de căutare - spuneți „arc tangent 30 de grade”. După ce faceți clic pe butonul „Detectați!” Motorul de căutare va calcula și va afișa rezultatul calculului - 0,482347907101025.

Video pe tema

Trigonometria este o ramură a matematicii pentru înțelegerea funcțiilor care exprimă diferite dependențe ale laturilor unui triunghi dreptunghic de valorile unghiurilor ascuțite la ipotenuză. Astfel de funcții au fost numite trigonometrice și, pentru a facilita lucrul cu ele, au fost derivate funcții trigonometrice identități .

Performanţă identitățiîn matematică denotă o egalitate care este satisfăcută pentru toate valorile argumentelor funcțiilor incluse în ea. Trigonometric identități sunt egalități ale funcțiilor trigonometrice, confirmate și acceptate pentru a simplifica lucrul cu formule trigonometrice. O funcție trigonometrică este o funcție elementară a dependenței unuia dintre catetele unui triunghi dreptunghic de valoarea unghiului ascuțit la ipotenuză. Cele șase funcții trigonometrice de bază care sunt utilizate cel mai des sunt sin (sinus), cos (cosinus), tg (tangentă), ctg (cotangentă), sec (secanta) și cosec (cosecantă). Aceste funcții se numesc funcții directe, există și funcții inverse, să zicem, sinus - arcsinus, cosinus - arccosinus etc. Inițial, funcțiile trigonometrice s-au reflectat în geometrie, după care s-au răspândit în alte domenii ale științei: fizică, chimie, geografie, optică, teoria probabilității, precum și acustică, teoria muzicii, fonetică, grafică pe computer și multe altele. În zilele noastre este dificil de imaginat calcule matematice fără aceste funcții, deși în trecutul îndepărtat erau folosite doar în astronomie și arhitectură identități sunt folosite pentru a simplifica lucrul cu formule trigonometrice lungi și pentru a le reduce la o formă digerabilă. Există șase identități trigonometrice principale, acestea sunt legate de funcții trigonometrice directe: tg ? = sin?/cos?; păcat^2? +cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (?/2 – ?) = cos ?; cos (?/2 – ?) = sin ? identități ușor de confirmat din proprietățile raportului dintre laturile și unghiurile dintr-un triunghi dreptunghic: sin ? = BC/AC = b/c; ca? = AB/AC = a/c; tg? = b/a. Prima identitate tg ? = sin ?/cos ? rezultă din raportul laturilor din triunghi și excluderea laturii c (ipotenuză) la împărțirea sin la cos. Identitatea ctg ? este definită în același mod. = cos ?/sin ?, deoarece ctg ? = 1/tg ?.După teorema lui Pitagora a^2 + b^2 = c^2. Să împărțim această egalitate la c^2, obținem a doua identitate: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Al treilea și al patrulea identități obţinut prin împărţirea, respectiv, la b^2 şi a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? sau 1 + ctg^2 ? = 1/sin^2 ?. A cincea și a șasea bază identități sunt dovedite prin determinarea sumei unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghic, care este egală cu 90° sau?/2.Trigonometric mai dificil identități: formule de adunare de argumente, unghiuri duble si triple, reducerea gradelor, reformarea sumei sau produsului functiilor, precum si formule de substitutie trigonometrica, si anume expresii ale functiilor trigonometrice de baza prin tg de jumatate de unghi: sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Necesitatea de a găsi minimul sens matematic funcții prezintă un interes real în rezolvarea problemelor aplicate, să zicem, în economie. Imens sens reducerea la minimum a pierderilor este esențială pentru activitățile de afaceri.

Instrucțiuni

1. Pentru a descoperi minimul sens funcții, este necesar să se determine la ce valoare a argumentului x0 va fi satisfăcută inegalitatea y(x0)? y(x), unde x? x0. Ca de obicei, această problemă este rezolvată pe un anumit interval sau în fiecare interval de valori funcții, dacă nu este specificată una. Un aspect al soluției este găsirea punctelor fixe.

2. Un punct staționar se numește sens argument în care derivata funcții merge la zero. Conform teoremei lui Fermat, dacă o funcție derivabilă ia o extremă sens la un moment dat (în acest caz, un minim local), atunci acest punct este staționar.

3. Minim sens funcția preia adesea exact acest punct, dar nu poate fi determinată invariabil. Mai mult decât atât, nu întotdeauna se poate spune cu precizie care este minimul funcții sau acceptă infinitul mic sens. Apoi, ca de obicei, ei găsesc limita la care tinde pe măsură ce scade.

4. Pentru a determina minimul sens funcții, trebuie să efectuați o secvență de acțiuni constând din patru etape: găsirea domeniului definiției funcții, achizitia punctelor fixe, prezentarea de ansamblu a valorilor funcțiiîn aceste puncte și la capetele golului, depistarea minimului.

5. Rezultă că o funcție y(x) este dată pe un interval cu granițe în punctele A și B. Aflați domeniul definiției sale și aflați dacă intervalul este submulțimea lui.

6. Calculați derivată funcții. Echivalați expresia rezultată cu zero și găsiți rădăcinile ecuației. Verificați dacă aceste puncte staționare se încadrează în decalaj. Dacă nu, atunci nu sunt luate în considerare într-o etapă ulterioară.

7. Examinați decalajul pentru tipul de granițe: deschis, închis, compus sau incomensurabil. Aceasta determină modul în care căutați minimul sens. Să presupunem că segmentul [A, B] este un interval închis. Conectați-le la funcție și calculați valorile. Faceți același lucru cu un punct staționar. Selectați cel mai mic total.

8. Cu intervale deschise și incomensurabile situația este ceva mai dificilă. Aici va trebui să căutați limite unilaterale care nu dau invariabil un rezultat clar. Să spunem, pentru un interval cu o limită închisă și una perforată [A, B), ar trebui să găsim o funcție la x = A și o limită unilaterală y la x? B-0.