Volumul corpului obținut prin rotirea arcului cicloidului. Cum se calculează volumul unui corp de revoluție folosind o integrală definită? Calcularea ariei figurilor plane

Să aflăm volumul corpului generat de rotația arcului cicloid în jurul bazei sale. Roberval a găsit-o prin spargerea corpului în formă de ou rezultat (Fig. 5.1) în straturi infinit de subțiri, înscriind cilindri în aceste straturi și adunându-le volumele. Dovada este lungă, plictisitoare și nu complet riguroasă. Prin urmare, pentru a-l calcula, apelăm la matematica superioară. Să setăm parametric ecuația cicloidă.

În calculul integral, când studiază volumele, folosește următoarea remarcă:

Dacă curba care mărginește trapezul curbiliniu este dată de ecuații parametrice și funcțiile din aceste ecuații îndeplinesc condițiile teoremei privind schimbarea variabilei într-o anumită integrală, atunci volumul corpului de rotație al trapezului în jurul axei Ox va se calculează cu formula:

Să folosim această formulă pentru a găsi volumul de care avem nevoie.

În același mod, calculăm suprafața acestui corp.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - cost), 0 ? t ? 2р)

În calculul integral, există următoarea formulă pentru găsirea suprafeței unui corp de revoluție în jurul axei x a unei curbe specificate pe un segment parametric (t 0 ?t ?t 1):

Aplicând această formulă la ecuația noastră cicloidă, obținem:

Luați în considerare și o altă suprafață generată de rotația arcului cicloid. Pentru a face acest lucru, vom construi o reflectare în oglindă a arcului cicloid în raport cu baza acestuia și vom roti figura ovală formată de cicloidă și reflectarea acesteia în jurul axei KT (Fig. 5.2)

Mai întâi, să găsim volumul corpului format prin rotația arcului cicloid în jurul axei KT. Volumul acestuia va fi calculat prin formula (*):

Astfel, am calculat volumul a jumătate din acest corp de nap. Atunci volumul total va fi

Secțiuni: Matematică

Tip de lecție: combinată.

Scopul lecției:învață să calculezi volumele corpurilor de revoluție folosind integrale.

Sarcini:

• consolidarea capacității de a selecta trapeze curbilinie dintr-un număr de forme geometrice și dezvoltarea abilității de a calcula zonele trapezelor curbilinie;
• familiarizează-te cu conceptul de figură tridimensională;
• învață să calculezi volumele corpurilor de revoluție;
• să promoveze dezvoltarea gândirii logice, vorbirea matematică competentă, acuratețea în construirea desenelor;
• să cultive interesul pentru subiect, să opereze cu concepte și imagini matematice, să cultive voința, independența, perseverența în obținerea rezultatului final.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

Salut de grup. Comunicarea elevilor a obiectivelor lecției.

Reflecţie. Melodie calmă.

Aș vrea să încep lecția de astăzi cu o pildă. „A fost un om înțelept care știa totul. O persoană a vrut să demonstreze că înțeleptul nu știe totul. Strângând fluturele în mâini, a întrebat: „Spune-mi, înțelept, care fluture este în mâinile mele: mort sau viu?” Și el însuși gândește: „Dacă cel viu zice, o voi omorî, dacă cel mort zice, o voi da afară”. Înțeleptul, gândindu-se, a răspuns: „Totul în mâinile tale”. (Prezentare.Slide)

- Prin urmare, să muncim fructuos astăzi, să dobândim un nou depozit de cunoștințe și vom aplica abilitățile și abilitățile dobândite în viața ulterioară și în activități practice. „Totul în mâinile tale”.

II. Repetarea materialului învățat anterior.

Să trecem în revistă punctele principale ale materialului studiat anterior. Pentru a face acest lucru, să facem sarcina „Elimină cuvântul redundant”.(Diapozitiv.)

(Elevul merge la cartea de identitate cu ajutorul unei radiere elimină cuvântul în plus.)

- Corect "Diferenţial". Încercați să numiți cuvintele rămase într-un singur cuvânt comun. (Calcul integral.)

- Să ne amintim principalele etape și concepte legate de calculul integral ..

„Grup de matematică”.

Exercițiu. Restabiliți permisele. (Elevul iese și scrie cuvintele necesare cu un pix.)

- Vom auzi un raport despre aplicarea integralelor mai târziu.

Lucrați în caiete.

– Formula Newton-Leibniz a fost dezvoltată de fizicianul englez Isaac Newton (1643–1727) și de filozoful german Gottfried Leibniz (1646–1716). Și acest lucru nu este surprinzător, deoarece matematica este limba pe care o vorbește însăși natura.

– Luați în considerare modul în care această formulă este utilizată în rezolvarea sarcinilor practice.

Exemplul 1: Calculați aria unei figuri delimitate de linii

Soluție: Să construim grafice ale funcțiilor pe planul de coordonate . Selectați zona figurii care trebuie găsită.

III. Învățarea de materiale noi.

- Fii atent la ecran. Ce se arată în prima poză? (Diapozitiv) (Figura arată o figură plată.)

Ce se arată în a doua poză? Această cifră este plată? (Diapozitiv) (Figura arată o figură tridimensională.)

- În spațiu, pe pământ și în viața de zi cu zi, ne întâlnim nu numai cu figuri plate, ci și cu cele tridimensionale, dar cum putem calcula volumul unor astfel de corpuri? De exemplu, volumul unei planete, al unei comete, al unui meteorit etc.

– Gândiți-vă la volum și construirea caselor și turnarea apei dintr-un vas în altul. Ar fi trebuit să apară reguli și metode de calcul al volumelor, un alt lucru este cât de exacte și justificate au fost.

Mesajul studentului. (Tyurina Vera.)

Anul 1612 a fost foarte roditor pentru locuitorii orașului austriac Linz, unde a trăit, în special pentru struguri, celebrul astronom Johannes Kepler. Oamenii pregăteau butoaie de vin și doreau să știe să-și determine practic volumele. (Diapozitivul 2)

- Astfel, lucrările considerate ale lui Kepler au marcat începutul unui întreg flux de cercetare, care a culminat în ultimul sfert al secolului al XVII-lea. design în lucrările lui I. Newton și G.V. Calcul diferențial și integral Leibniz. De atunci, matematica variabilelor de magnitudine a ocupat un loc de frunte în sistemul cunoștințelor matematice.

- Deci astăzi ne vom implica în astfel de activități practice, prin urmare,

Tema lecției noastre: „Calculul volumelor corpurilor de revoluție folosind o integrală definită”. (Diapozitiv)

- Veți învăța definiția unui corp de revoluție completând următoarea sarcină.

"Labirint".

Labirint (cuvânt grecesc) înseamnă trecere în temniță. Un labirint este o rețea complicată de poteci, pasaje, încăperi care comunică între ele.

Dar definiția „s-a prăbușit”, au existat indicii sub formă de săgeți.

Exercițiu. Găsiți o cale de a ieși din situația confuză și scrieți definiția.

Slide. „Fișă de instrucțiuni” Calculul volumelor.

Folosind o integrală definită, puteți calcula volumul unui corp, în special al unui corp de revoluție.

Un corp de revoluție este un corp obținut prin rotirea unui trapez curbiliniu în jurul bazei sale (Fig. 1, 2)

Volumul unui corp de revoluție se calculează cu una dintre formulele:

1. în jurul axei x.

2. , dacă rotația trapezului curbiliniu în jurul axei y.

Fiecare elev primește un card de instrucțiuni. Profesorul evidențiază punctele principale.

Profesorul explică pe tablă soluția exemplelor.

Luați în considerare un fragment din faimosul basm al lui A. S. Pușkin „Povestea țarului Saltan, a gloriosului și puternicului său fiu prințul Gvidon Saltanovici și a frumoasei prințese Lebed” (Diapozitivul 4):

…..
Și a adus un mesager beat
În aceeași zi, comanda este:
„Țarul poruncește boierilor săi,
Nu pierde timpul,
Și regina și urmașii
Aruncat în secret în abisul apelor.”
Nu e nimic de făcut: boierii,
După ce s-a plâns de suveran
Și tânăra regină
O mulțime a venit în dormitorul ei.
A declarat testamentul regal -
Ea și fiul ei au o soartă rea,
Citiți decretul cu voce tare
Și regina în același timp
M-au băgat într-un butoi cu fiul meu,
S-a rugat, s-a rostogolit
Și m-au lăsat să intru în okian -
Așa a poruncit țarul Saltan.

Care ar trebui să fie volumul butoiului pentru ca regina și fiul ei să încapă în el?

– Luați în considerare următoarele sarcini

1. Aflați volumul corpului obținut prin rotație în jurul axei y a unui trapez curbiliniu delimitat de drepte: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Răspuns: 1163 cm 3 .

Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unui trapez parabolic în jurul abscisei y = , x = 4, y = 0.

IV. Repararea materialului nou

Exemplul 2. Calculați volumul corpului format prin rotația petalei în jurul axei x y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Să reprezentăm graficele funcției. y=x2, y2=x. Programa y 2 = x transforma la forma y= .

Noi avem V \u003d V 1 - V 2 Să calculăm volumul fiecărei funcții

- Acum, să ne uităm la turnul pentru un post de radio din Moscova pe Shabolovka, construit după proiectul unui minunat inginer rus, academicianul onorific V. G. Shukhov. Este format din părți - hiperboloizi ai revoluției. Mai mult, fiecare dintre ele este făcută din tije metalice drepte care leagă cercurile adiacente (Fig. 8, 9).

- Luați în considerare problema.

Aflați volumul corpului obținut prin rotirea arcelor hiperbolei în jurul axei sale imaginare, așa cum se arată în fig. 8, unde

cub unitati

Misiuni de grup. Elevii trag la sorți cu sarcini, se fac desene pe hârtie whatman, unul dintre reprezentanții grupului apără lucrarea.

grupa 1.

Lovit! Lovit! Un alt hit!
O minge zboară în poartă - MINGE!
Și aceasta este o minge de pepene verde
Verde, rotund, delicios.
Arată mai bine - ce minge!
Este alcătuit din cercuri.
Tăiați în cercuri pepenele verde
Și gustă-le.

Aflați volumul unui corp obținut prin rotație în jurul axei OX a unei funcții mărginite de

Greşeală! Marcajul nu este definit.

- Spune-mi, te rog, unde ne întâlnim cu această figură?

Casa. sarcina pentru grupa 1. CILINDRU (diapozitiv) .

"Cilidru - ce este?" l-am întrebat pe tatăl meu.
Părintele a râs: Căciula este o pălărie.
Pentru a avea o idee corectă,
Cilindrul, să zicem, este o cutie de tablă.
Conducta vaporului este un cilindru,
Conducta de pe acoperișul nostru, de asemenea,

Toate conductele sunt similare cu un cilindru.
Și am dat un exemplu ca acesta -
Iubitul meu caleidoscop
Nu-ți poți lua ochii de la el.
De asemenea, arată ca un cilindru.

- Exercițiu. Temă pentru a reprezenta o funcție și a calcula volumul.

a 2-a grupă. CON (diapozitiv).

Mama a spus: Și acum
Despre con va fi povestea mea.
Stargazer cu capac înalt
Numărează stelele pe tot parcursul anului.
CON - pălărie de observator de stele.
Asta este el. Înțeles? Asta e.
Mama era la masă
Ea a turnat ulei în sticle.
- Unde este pâlnia? Fără pâlnie.
Uite. Nu sta pe margine.
- Mamă, nu mă voi mut de acolo,
Spune-mi mai multe despre con.
- Pâlnia este sub forma unui con de udator.
Haide, găsește-mă repede.
Nu am putut găsi pâlnia
Dar mama a făcut o geantă,
Înfășurați carton în jurul degetului
Și fixat cu îndemânare cu o agrafă.
Se toarnă ulei, mama e fericită
Conul a ieșit corect.

Exercițiu. Calculați volumul corpului obținut prin rotație în jurul axei x

Casa. sarcina pentru grupa a 2-a. PIRAMIDĂ(diapozitiv).

Am vazut poza. In aceasta poza
Există o PYRAMIDĂ în deșertul de nisip.
Totul în piramidă este extraordinar,
Există ceva mister și mister în ea.
Turnul Spasskaya din Piața Roșie
Atât copiii, cât și adulții sunt bine cunoscuți.
Uită-te la turn - obișnuit în aparență,
Ce e peste ea? Piramidă!

Exercițiu. Temele pentru acasă trasează o funcție și calculează volumul piramidei

- Am calculat volumele diferitelor corpuri pe baza formulei de bază pentru volumele corpurilor folosind integrala.

Aceasta este o altă confirmare că integrala definită este o bază pentru studiul matematicii.

— Acum hai să ne odihnim puțin.

Găsiți un cuplu.

Joc de melodie matematică de domino.

„Drumul pe care el însuși îl căuta nu va fi niciodată uitat...”

Cercetare. Aplicarea integralului în economie și tehnologie.

Teste pentru elevi puternici și fotbal la matematică.

Simulator de matematică.

2. Se numește mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date

A) o integrală nedefinită

B) funcția,

B) diferențiere.

7. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor unui trapez curbiliniu delimitat de linii:

D/Z. Calculați volumele corpurilor de revoluție.

Reflecţie.

Acceptarea reflectării în formă cinquain(cinci rânduri).

Rândul 1 - numele subiectului (un substantiv).

Rândul 2 - o descriere a subiectului pe scurt, două adjective.

Al treilea rând - o descriere a acțiunii din acest subiect în trei cuvinte.

Al 4-lea rând - o frază de patru cuvinte, arată atitudinea față de subiect (o propoziție întreagă).

A 5-a linie este un sinonim care repetă esența subiectului.

1. Volum.
2. Funcție integrală definită, integrabilă.
3. Construim, rotim, calculăm.
4. Un corp obținut prin rotirea unui trapez curbiliniu (în jurul bazei sale).
5. Corpul revoluției (corp geometric 3D).

Concluzie (diapozitiv).

• O integrală definită este un fel de fundație pentru studiul matematicii, care aduce o contribuție indispensabilă la rezolvarea problemelor cu conținut practic.
• Subiectul „Integral” demonstrează clar legătura dintre matematică și fizică, biologie, economie și tehnologie.
• Dezvoltarea științei moderne este de neconceput fără utilizarea integralei. În acest sens, este necesar să începem studiul lui în cadrul învățământului secundar de specialitate!

Notare. (Cu comentarii.)

Marele Omar Khayyam este un matematician, poet și filozof. El cheamă să fie stăpâni pe destinul său. Ascultă un fragment din lucrarea sa:

Spui că această viață este doar un moment.
Apreciază-l, inspiră-te din el.
Pe măsură ce îl cheltuiți, așa va trece.
Nu uita: ea este creația ta.

Prelegeri 8. Aplicații ale unei integrale definite.

Aplicarea integralei la problemele fizice se bazează pe proprietatea aditivității integralei asupra unei mulțimi. Prin urmare, cu ajutorul integralei, pot fi calculate astfel de cantități care sunt ele însele aditive în mulțime. De exemplu, aria unei figuri este egală cu suma ariilor părților sale.Lungimea arcului, aria suprafeței, volumul corpului și masa corpului au aceeași proprietate. Prin urmare, toate aceste mărimi pot fi calculate folosind o integrală definită.

Există două moduri de a rezolva probleme: metoda sumelor integrale și metoda diferențialelor.

Metoda sumelor integrale repetă construcția unei integrale definite: se construiește o partiție, se marchează puncte, se calculează o funcție în ele, se calculează o sumă integrală și se realizează trecerea la limită. În această metodă, principala dificultate este de a demonstra că în limită se va obține exact ceea ce este necesar în problemă.

Metoda diferențială folosește integrala nedefinită și formula Newton-Leibniz. Se calculează diferența valorii de determinat, iar apoi, integrând această diferență, se obține valoarea necesară folosind formula Newton-Leibniz. În această metodă, principala dificultate este de a demonstra că diferența valorii dorite este calculată și nu altceva.

Calculul ariilor figurilor plane.

1. Figura este limitată la graficul unei funcții dată într-un sistem de coordonate carteziene.

Am ajuns la conceptul de integrală definită din problema ariei unui trapez curbiliniu (de fapt, folosind metoda sumelor integrale). Dacă funcția ia numai valori nenegative, atunci aria de sub graficul funcției de pe segment poate fi calculată folosind integrala definită. observa asta deci aici puteți vedea metoda diferențialelor.

Dar funcția poate lua și valori negative pe un anumit segment, atunci integrala peste acest segment va da o zonă negativă, ceea ce contrazice definiția ariei.

Puteți calcula suprafața folosind formulaS=. Acest lucru este echivalent cu schimbarea semnului funcției în acele zone în care aceasta ia valori negative.

Dacă trebuie să calculați aria unei figuri delimitată de sus de graficul funcției și de jos de graficul funcției, atunci poți folosi formulaS= , la fel de .

Exemplu. Calculați aria figurii mărginite de drepte x=0, x=2 și grafice ale funcțiilor y=x 2 , y=x 3 .

Rețineți că pe intervalul (0,1) inegalitatea x 2 > x 3 este satisfăcută, iar pentru x >1 inegalitatea x 3 > x 2 este satisfăcută. Asa de

2. Cifra este limitată la graficul funcției date în sistemul de coordonate polare.

Să fie dat graficul funcției în sistemul de coordonate polar și dorim să calculăm aria sectorului curbiliniu delimitat de două raze și graficul funcției în sistemul de coordonate polar.

Aici puteți utiliza metoda sumelor integrale, calculând aria unui sector curbiliniu ca limită a sumei ariilor sectoarelor elementare în care graficul funcției este înlocuit cu un arc de cerc. .

De asemenea, puteți utiliza metoda diferențială: .

Poți să raționezi așa. Înlocuind sectorul curbiliniu elementar corespunzător unghiului central cu un sector circular, avem proporția . De aici . Integrând și folosind formula Newton-Leibniz, obținem .

Exemplu. Calculați aria cercului (verificați formula). Noi credem . Aria cercului este .

Exemplu. Calculați aria delimitată de cardioid .

3 Figura este limitată la graficul unei funcții specificate parametric.

Funcția poate fi specificată parametric sub forma . Folosim formula S= , substituind în ea limitele integrării faţă de noua variabilă . . De obicei, la calcularea integralei se disting acele zone în care integrandul are un anumit semn și se ia în considerare aria corespunzătoare cu un semn sau altul.

Exemplu. Calculați aria cuprinsă de elipsă.

Folosind simetria elipsei, calculăm aria unui sfert din elipsă, situată în primul cadran. în acest cadran. Asa de .

Calculul volumelor corpurilor.

1. Calculul volumelor corpurilor din zonele secțiunilor paralele.

Să fie necesar să se calculeze volumul unui corp V din zonele cunoscute ale secțiunilor acestui corp prin plane perpendiculare pe dreapta OX, trasate prin orice punct x al segmentului de dreaptă OX.

Aplicam metoda diferentialelor. Considerând volumul elementar, deasupra segmentului ca volum al unui cilindru circular drept cu aria bazei și înălțimea, obținem . Integrarea și aplicarea formulei Newton-Leibniz, obținem

2. Calculul volumelor corpurilor de revoluție.

Să fie necesar să se calculeze BOU.

Apoi .

De asemenea, volumul unui corp de revoluție în jurul unei axeOY, dacă funcția este dată sub forma , poate fi calculată folosind formula .

Dacă funcția este dată sub formă și este necesară determinarea volumului corpului de revoluție în jurul axeiOY, atunci formula de calcul al volumului poate fi obținută după cum urmează.

Trecând la diferenţial şi neglijând termenii patratici, avem . Integrând și aplicând formula Newton-Leibniz, avem .

Exemplu. Calculați volumul sferei.

Exemplu. Calculați volumul unui con circular drept delimitat de o suprafață și un plan.

Să calculăm volumul ca volum al unui corp de revoluție format prin rotație în jurul axei OZ a unui triunghi dreptunghic în planul OXZ, ale cărui picioare se află pe axa OZ și pe linia z \u003d H, și ipotenuza se află pe linie.

Exprimând x în termeni de z, obținem .

Calculul lungimii arcului.

Pentru a obține formule de calcul a lungimii unui arc, să reamintim formulele pentru diferența de lungime a unui arc derivate în semestrul I.

Dacă arcul este un grafic al unei funcții continuu diferențiabile, diferența de lungime a arcului poate fi calculată prin formula

. Asa de

Dacă un arc neted este specificat parametric, apoi

. Asa de .

Dacă arcul este în coordonate polare, apoi

. Asa de .

Exemplu. Calculați lungimea arcului grafic al funcției, . .

Ca și în problema găsirii zonei, aveți nevoie de abilități de desen încrezător - acesta este aproape cel mai important lucru (deoarece integralele în sine vor fi adesea ușoare). Puteți stăpâni o tehnică de graficare competentă și rapidă cu ajutorul materialelor metodologice și al transformărilor geometrice ale graficelor. Dar, de fapt, am vorbit în repetate rânduri despre importanța desenelor în lecție.

În general, există o mulțime de aplicații interesante în calculul integral; folosind o integrală definită, puteți calcula aria unei figuri, volumul unui corp de revoluție, lungimea arcului, aria suprafeței de rotație , și mult mai mult. Așa că va fi distractiv, te rog să fii optimist!

Imaginează-ți o figură plată pe planul de coordonate. Reprezentat? ... Mă întreb cine a prezentat ce ... =))) Am găsit deja zona lui. Dar, în plus, această cifră poate fi, de asemenea, rotită și rotită în două moduri:

- în jurul axei absciselor;
- în jurul axei y.

În acest articol, ambele cazuri vor fi discutate. A doua metodă de rotație este deosebit de interesantă, provoacă cele mai mari dificultăți, dar de fapt soluția este aproape aceeași ca în rotația mai comună în jurul axei x. Ca bonus, voi reveni la problema găsirii ariei unei figuri, și vă spun cum să găsiți zona în al doilea mod - de-a lungul axei. Nici măcar un bonus, deoarece materialul se potrivește bine cu tema.

Să începem cu cel mai popular tip de rotație.

figură plată în jurul unei axe

Exemplul 1

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea figurii delimitate de linii în jurul axei.

Decizie: Ca și în problema zonei, soluția începe cu un desen al unei figuri plate. Adică, în plan este necesar să se construiască o figură mărginită de drepte , , fără a uita însă că ecuația definește axa . Cum să faci un desen mai rațional și mai rapid poate fi găsit pe pagini Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementareși Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri. Acesta este un memento chinezesc și nu mă opresc în acest moment.

Desenul de aici este destul de simplu:

Figura plată dorită este umbrită în albastru și este cea care se rotește în jurul axei.Ca urmare a rotației, se obține o astfel de farfurie zburătoare ușor în formă de ou, care este simetrică față de axă. De fapt, corpul are un nume matematic, dar este prea lene să specificați ceva în cartea de referință, așa că mergem mai departe.

Cum se calculează volumul unui corp de revoluție?

Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat prin formula:

În formulă, trebuie să existe un număr înaintea integralei. S-a întâmplat - tot ceea ce se învârte în viață este legat de această constantă.

Cum să stabiliți limitele integrării „a” și „fi”, cred, este ușor de ghicit din desenul finalizat.

Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plată este delimitată de graficul parabolei de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă.

În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă. Acest lucru nu schimbă nimic - integrandul din formulă este pătrat: , astfel integrala este întotdeauna nenegativă, ceea ce este destul de logic.

Calculați volumul corpului de revoluție folosind această formulă:

După cum am observat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspuns, este necesar să se indice dimensiunea - unități cubice. Adică în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce exact cubic unitati? Pentru că cea mai universală formulare. Pot fi centimetri cubi, pot fi metri cubi, pot fi kilometri cubi, etc., așa câți omuleți verzi pot încăpea imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Exemplul 2

Aflați volumul corpului format prin rotație în jurul axei figurii delimitată de liniile , ,

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Să luăm în considerare două probleme mai complexe, care sunt, de asemenea, des întâlnite în practică.

Exemplul 3

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și

Decizie: Desenați o figură plată în desen, delimitată de linii , , , , fără a uita însă că ecuația definește axa:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei, se obține o astfel de gogoașă suprarealistă cu patru colțuri.

Volumul corpului de revoluție se calculează ca diferența de volum corporală.

Mai întâi, să ne uităm la figura care este încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul axei, se obține un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con ca .

Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei, veți obține și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu .

Și, evident, diferența de volume este exact volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a afla volumul unui corp de revoluție:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de revoluție dorit:

Răspuns:

Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.

Decizia în sine este adesea luată mai scurtă, ceva de genul acesta:

Acum să luăm o pauză și să vorbim despre iluzii geometrice.

Oamenii au adesea iluzii asociate cu volumele, pe care Perelman (altul) le-a observat în carte Interesanta geometrie. Uită-te la figura plată din problema rezolvată - pare să fie mică ca suprafață, iar volumul corpului de revoluție este puțin peste 50 de unități cubice, ceea ce pare prea mare. Apropo, omul obișnuit în întreaga sa viață bea un lichid cu volumul unei încăperi de 18 metri pătrați, care, dimpotrivă, pare a fi un volum prea mic.

În general, sistemul de învățământ din URSS a fost într-adevăr cel mai bun. Aceeași carte a lui Perelman, apărută în 1950, se dezvoltă foarte bine, așa cum spunea umoristul, raționând și te învață să cauți soluții originale non-standard la probleme. De curand am recitit cateva capitole cu mare interes, il recomand, este accesibil chiar si pentru umanitari. Nu, nu trebuie să zâmbești că am sugerat că o distracție personală, erudiția și o perspectivă largă în comunicare sunt un lucru grozav.

După o digresiune lirică, este potrivit să rezolvi o sarcină creativă:

Exemplul 4

Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri plate delimitate de liniile , , unde .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Rețineți că toate lucrurile se întâmplă în bandă, cu alte cuvinte, limitele de integrare gata făcute sunt de fapt date. Desenați corect grafice ale funcțiilor trigonometrice, vă voi aminti materialul lecției despre transformări geometrice ale graficelor: dacă argumentul este divizibil cu doi: , atunci graficele sunt întinse de-a lungul axei de două ori. Este de dorit să găsiți cel puțin 3-4 puncte conform tabelelor trigonometrice pentru a completa mai precis desenul. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Apropo, sarcina poate fi rezolvată rațional și nu foarte rațional.

Calculul volumului unui corp format prin rotație
figură plată în jurul unei axe

Al doilea paragraf va fi chiar mai interesant decât primul. Sarcina de a calcula volumul unui corp de revoluție în jurul axei y este, de asemenea, un vizitator destul de frecvent în teste. În treacăt se va lua în considerare problema găsirii ariei unei figuri a doua cale - integrarea de-a lungul axei, aceasta vă va permite nu numai să vă îmbunătățiți abilitățile, ci și să vă învețe cum să găsiți cea mai profitabilă soluție. Are si un sens practic! După cum și-a amintit zâmbind profesoara mea de metode de predare a matematicii, mulți absolvenți i-au mulțumit cu cuvintele: „Materia ta ne-a ajutat foarte mult, acum suntem manageri eficienți și ne gestionăm personalul optim.” Profitând de această ocazie, îi exprim și marea mea recunoștință față de ea, mai ales că folosesc cunoștințele dobândite în scopul propus =).

Îl recomand să citească tuturor, chiar și manechine complete. Mai mult, materialul asimilat al celui de-al doilea paragraf va fi de un ajutor inestimabil la calcularea integralelor duble.

Exemplul 5

Dată o figură plată mărginită de linii , , .

1) Aflați aria unei figuri plate delimitate de aceste linii.
2) Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Atenţie! Chiar dacă vrei să citești doar al doilea paragraf, mai întâi neapărat citeste primul!

Decizie: Sarcina constă din două părți. Să începem cu pătratul.

1) Să executăm desenul:

Este ușor de observat că funcția definește ramura superioară a parabolei, iar funcția definește ramura inferioară a parabolei. În fața noastră se află o parabolă banală, care „se întinde pe o parte”.

Figura dorită, a cărei zonă se găsește, este umbrită în albastru.

Cum să găsiți aria unei figuri? Poate fi găsită în modul „obișnuit”, care a fost luat în considerare în lecție. Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri. În plus, aria figurii se găsește ca suma suprafețelor:
- pe segment ;
- pe segment.

Asa de:

Ce este în neregulă cu soluția obișnuită în acest caz? În primul rând, există două integrale. În al doilea rând, rădăcinile sub integrale și rădăcinile în integrale nu sunt un dar, mai mult, se poate deruta în substituirea limitelor integrării. De fapt, integralele, desigur, nu sunt mortale, dar în practică totul este mult mai trist, doar am luat funcții „mai bune” pentru sarcină.

Există o soluție mai rațională: constă în trecerea la funcții inverse și integrarea de-a lungul axei.

Cum se trece la funcțiile inverse? În linii mari, trebuie să exprimați „x” prin „y”. Mai întâi, să ne ocupăm de parabola:

Este suficient, dar să ne asigurăm că aceeași funcție poate fi derivată din ramura de jos:

Cu o linie dreaptă, totul este mai ușor:

Acum uitați-vă la axă: vă rugăm să înclinați periodic capul la dreapta cu 90 de grade în timp ce explicați (aceasta nu este o glumă!). Cifra de care avem nevoie se află pe segment, care este indicată de linia punctată roșie. În plus, pe segment, linia dreaptă este situată deasupra parabolei, ceea ce înseamnă că aria figurii ar trebui găsită folosind formula deja familiară: . Ce s-a schimbat în formulă? Doar o scrisoare și nimic mai mult.

! Notă: Limitele de integrare de-a lungul axei trebuie setate strict de jos în sus!

Găsirea zonei:

Prin urmare, pe segment:

Fiți atenți la modul în care am realizat integrarea, acesta este cel mai rațional mod, iar în următorul paragraf al sarcinii va fi clar de ce.

Pentru cititorii care se îndoiesc de corectitudinea integrării, voi găsi derivate:

Se obține integrandul original, ceea ce înseamnă că integrarea se realizează corect.

Răspuns:

2) Calculați volumul corpului format prin rotirea acestei figuri în jurul axei.

Voi redesena desenul într-un design ușor diferit:

Deci, figura umbrită în albastru se rotește în jurul axei. Rezultatul este un „fluture plutitor” care se rotește în jurul axei sale.

Pentru a găsi volumul corpului de revoluție, vom integra de-a lungul axei. Mai întâi trebuie să trecem la funcțiile inverse. Acest lucru a fost deja făcut și descris în detaliu în paragraful anterior.

Acum înclinăm din nou capul spre dreapta și ne studiem silueta. Evident, volumul corpului de revoluție ar trebui găsit ca diferență între volume.

Rotim figura încercuită cu roșu în jurul axei, rezultând un trunchi de con. Să notăm acest volum cu .

Rotim figura, încercuită în verde, în jurul axei și o notăm prin volumul corpului de revoluție rezultat.

Volumul fluturelui nostru este egal cu diferența de volume.

Folosim formula pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:

Cum este diferită de formula din paragraful anterior? Doar cu litere.

Și iată avantajul integrării despre care vorbeam cu puțin timp în urmă, este mult mai ușor de găsit decât să ridice integrandul la puterea a 4-a.

Răspuns:

Totuși, un fluture bolnăvicios.

Rețineți că, dacă aceeași cifră plată este rotită în jurul axei, atunci va rezulta un corp de revoluție complet diferit, cu un volum diferit, în mod natural.

Exemplul 6

Dată o figură plată delimitată de linii și o axă.

1) Accesați funcțiile inverse și găsiți aria unei figuri plate delimitate de aceste linii prin integrarea peste variabila .
2) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Cei care doresc pot găsi, de asemenea, zona figurii în modul „obișnuit”, completând astfel testul de la punctul 1). Dar dacă, repet, rotiți o figură plată în jurul axei, atunci obțineți un corp de rotație complet diferit cu un volum diferit, apropo, răspunsul corect (și pentru cei cărora le place să rezolve).

Rezolvarea completă a celor două elemente ale sarcinii propuse la sfârșitul lecției.

A, și nu uitați să vă înclinați capul spre dreapta pentru a înțelege corpurile de rotație și în cadrul integrării!