جيب 2 على دائرة الأرقام. حل أبسط المعادلات المثلثية

بشكل عام ، تستحق هذه المشكلة اهتمامًا خاصًا ، ولكن كل شيء بسيط هنا: عند زاوية الدرجات ، يكون كل من الجيب وجيب التمام موجبين (انظر الشكل) ، ثم نأخذ علامة الجمع.

حاول الآن ، بناءً على ما سبق ، إيجاد جيب وجيب الزوايا: و

يمكنك الغش: على وجه الخصوص للزاوية بالدرجات. بما أنه إذا كانت إحدى زوايا المثلث القائم الزاوية تساوي الدرجات ، فإن الثانية تساوي الدرجات. الآن تدخل الصيغ المألوفة حيز التنفيذ:

ثم منذ ذلك الحين ، ثم و. منذ ذلك الحين و. مع الدرجات ، يكون الأمر أبسط: لذا إذا كانت إحدى زوايا المثلث القائم الزاوية تساوي درجات ، فإن الأخرى تساوي الدرجات أيضًا ، مما يعني أن مثل هذا المثلث متساوي الساقين.

لذلك ساقيه متساويتان. إذن الجيب وجيب التمام متساويان.

الآن تجد نفسك وفقًا للتعريف الجديد (من خلال x و y!) جيب وجيب الزوايا بالدرجات والدرجات. لا توجد مثلثات لرسمها هنا! هم مسطحون جدا!

يجب أن يكون لديك:

يمكنك العثور على الظل والظل بنفسك باستخدام الصيغ:

لاحظ أنه لا يمكنك القسمة على الصفر!

الآن يمكن تلخيص جميع الأرقام المستلمة في جدول:

فيما يلي قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا أنا ربع. للراحة ، تُعطى الزوايا بالدرجات والراديان (لكنك الآن تعرف العلاقة بينهما!). انتبه إلى الشرطتين في الجدول: وهما ظل التمام للصفر وظل الدرجات. هذا ليس من قبيل الصدفة!

خاصه:

الآن دعنا نُعمم مفهوم الجيب وجيب التمام على زاوية عشوائية تمامًا. سأنظر في حالتين هنا:

1. الزاوية تتراوح من درجات
2. زاوية أكبر من درجات

بشكل عام ، لويت روحي قليلاً ، وتحدثت عن "كل الزوايا". يمكن أن تكون سلبية أيضًا! لكننا سننظر في هذه الحالة في مقال آخر. دعونا نركز على الحالة الأولى أولاً.

إذا كانت الزاوية تقع في ربع واحد ، فسيكون كل شيء واضحًا ، وقد درسنا هذه الحالة بالفعل ورسمنا الجداول.

الآن دع زاويتنا أكبر من الدرجات وليست أكثر. هذا يعني أنه يقع إما في الربع الثاني أو الثالث أو الرابع.

كيف نفعل؟ نعم ، بالضبط نفس الشيء!

لننظر بدلا من شيء من هذا القبيل ...

... مثله:

أي ، ضع في اعتبارك الزاوية الواقعة في الربع الثاني. ماذا نقول عنه؟

النقطة التي هي نقطة تقاطع الشعاع والدائرة لا يزال لها إحداثيان (لا شيء خارق للطبيعة ، أليس كذلك؟). هذه هي الإحداثيات و

علاوة على ذلك ، فإن الإحداثي الأول سالب والثاني موجب! هذا يعني انه في زوايا الربع الثاني ، جيب التمام سالب ، والجيب موجب!

مدهش ، أليس كذلك؟ قبل ذلك ، لم نواجه مطلقًا جيب التمام السالب.

ومن حيث المبدأ ، لا يمكن أن يحدث هذا عندما اعتبرنا الدوال المثلثية نسبًا لأضلاع المثلث. بالمناسبة ، فكر في أي من الزوايا يساوي جيب التمام؟ وأي واحد له شرط؟

وبالمثل ، يمكنك النظر في الزوايا في كل الأرباع الأخرى. أنا فقط أذكرك أن الزاوية تحسب عكس اتجاه عقارب الساعة! (كما هو موضح في الصورة الأخيرة!).

بالطبع ، يمكنك الاعتماد في الاتجاه الآخر ، لكن الاقتراب من هذه الزوايا سيكون مختلفًا بعض الشيء.

بناءً على المنطق أعلاه ، من الممكن وضع علامات الجيب وجيب التمام والظل (مثل الجيب مقسومًا على جيب التمام) وظل التمام (مثل جيب التمام مقسومًا على الجيب) لجميع الأرباع الأربعة.

لكني أكرر مرة أخرى ، لا جدوى من حفظ هذا الرسم. كل شيئ ترغب بمعرفته:

دعونا نتدرب معك. ألغاز بسيطة للغاية:

اكتشف ما هي علامة الكميات التالية:

دعونا تحقق؟

1. درجات - هذه زاوية ، أكبر وأصغر ، مما يعني أنها تقع في ثلاثة أرباع. ارسم أي زاوية في ثلاثة أرباع وانظر أي نوع من y بها. سوف يتحول إلى سلبية. ثم.
   درجات - زاوية 2 أرباع. الجيب موجب وجيب التمام سالب. زائد مقسوم على سالب هو سالب. وسائل.
   درجات - زاوية أكبر وأصغر. لذلك فهو يقع في أربعة أرباع. أي ركن من أركان الربع الرابع "X" سيكون موجبًا ، مما يعني
2. نتعامل مع الراديان بطريقة مماثلة: هذه زاوية الربع الثاني (منذ و. جيب الربع الثاني موجب.
   .
   ، هذا ركن الربع الرابع. هناك جيب التمام موجب.
   - ركن الربع الرابع من جديد. جيب التمام موجب والجيب سلبي. ثم يكون الظل أقل من صفر:

ربما تجد صعوبة في تحديد الأرباع بالراديان. في هذه الحالة ، يمكنك دائمًا الذهاب إلى الدرجات. الجواب ، بالطبع ، سيكون هو نفسه بالضبط.

الآن أود أن أتناول بإيجاز شديد نقطة أخرى. لنتذكر المتطابقة المثلثية الأساسية مرة أخرى.

كما قلت ، يمكننا من خلاله التعبير عن الجيب من خلال جيب التمام أو العكس:

سيتأثر اختيار العلامة فقط بالربع الذي توجد فيه زاوية ألفا. بالنسبة للصيغتين الأخيرتين ، هناك الكثير من المهام في الاختبار ، على سبيل المثال ، هذه هي:

مهمة

ابحث عما إذا كان و.

في الحقيقة ، هذه مهمة لربع! انظر كيف يتم حلها:

المحلول

منذ ذلك الحين ، نعوض بالقيمة هنا إذن. الآن الأمر متروك للصغير: تعامل مع العلامة. ماذا نحتاج لهذا؟ اعرف في أي ربع يوجد زاويتنا. حسب حالة المشكلة:. ما هو ربع هذا؟ الرابعة. ما هي علامة جيب التمام في الربع الرابع؟ جيب التمام في الربع الرابع موجب. ثم يبقى لنا أن نختار علامة الجمع من قبل. ، ومن بعد.

لن أسهب في مثل هذه المهام الآن ، يمكنك العثور على تحليلها التفصيلي في المقالة "". أردت فقط أن أوضح لك أهمية الإشارة التي تأخذها هذه الدالة المثلثية أو تلك بناءً على ربع السنة.

زوايا أكبر من درجات

آخر شيء أود أن أشير إليه في هذا المقال هو كيفية التعامل مع الزوايا الأكبر من الدرجات؟

ما هو وماذا يمكنك أن تأكله حتى لا تختنق؟ دعنا نقول ، لنأخذ زاوية بالدرجات (راديان) ونذهب عكس اتجاه عقارب الساعة منها ...

في الصورة ، رسمت حلزونيًا ، لكنك تدرك أنه في الواقع ليس لدينا أي دوامة: لدينا دائرة فقط.

إذن ، من أين سنحصل إذا بدأنا من زاوية معينة وذهبنا عبر الدائرة بأكملها (درجات أو راديان)؟

إلى أين نحن ذاهبون؟ وسنصل إلى نفس الزاوية!

الأمر نفسه ينطبق بالطبع على أي زاوية أخرى:

بأخذ زاوية عشوائية وتمرير الدائرة بأكملها ، سنعود إلى نفس الزاوية.

ماذا ستعطينا؟ إليك ما يلي: إذا ، إذن

من حيث وصلنا أخيرًا:

لأي عدد صحيح. هذا يعني انه الجيب وجيب التمام هما دالتان دوريتان مع نقطة.

وبالتالي ، لا توجد مشكلة في العثور على علامة الزاوية التعسفية الآن: نحتاج فقط إلى التخلص من جميع "الدوائر الكاملة" التي تناسب ركننا ومعرفة الربع الذي يقع فيه الركن المتبقي.

على سبيل المثال ، للعثور على علامة:

نحن نفحص:

1. بالدرجات يناسب الأوقات بالدرجات:
   درجات اليسار. هذه هي زاوية الربع الرابع. هناك شرط سلبي ، لذلك
2. . درجات. هذه هي زاوية الربع الثالث. هناك جيب التمام سلبي. ثم
3. . . منذ ذلك الحين - زاوية الربع الأول. هناك جيب التمام موجب. ثم كوس
4. . . منذ ذلك الحين ، تقع الزاوية في الربع الثاني ، حيث الجيب موجب.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع الظل والظل. ومع ذلك ، في الواقع ، الأمر أسهل معهم: إنها أيضًا وظائف دورية ، فقط فترتها أقل مرتين:

لذا ، فأنت تفهم ما هي الدائرة المثلثية وما الغرض منها.

لكن لا يزال لدينا الكثير من الأسئلة:

1. ما هي الزوايا السالبة؟
2. كيفية حساب قيم الدوال المثلثية في هذه الزوايا
3. كيفية استخدام القيم المعروفة للدوال المثلثية للربع الأول للبحث عن قيم الدوال في الأرباع الأخرى (هل تحتاج حقًا إلى حشر الجدول؟!)
4. كيف تستخدم الدائرة لتبسيط حل المعادلات المثلثية؟

مستوى متوسط

حسنًا ، في هذه المقالة ، سنواصل دراسة الدائرة المثلثية ومناقشة النقاط التالية:

1. ما هي الزوايا السالبة؟
2. كيف تحسب قيم الدوال المثلثية في هذه الزوايا؟
3. كيف تستخدم القيم المعروفة للدوال المثلثية للربع الأول للبحث عن قيم الدوال في الأرباع الأخرى؟
4. ما هو محور الظل ومحور الظل؟

لن نحتاج إلى أي معرفة إضافية ، باستثناء المهارات الأساسية للعمل مع دائرة الوحدة (المقالة السابقة). حسنًا ، دعنا ننتقل إلى السؤال الأول: ما هي الزوايا السالبة؟

الزوايا السلبية

الزوايا السالبة في علم المثلثاتمرتبة على دائرة مثلثية لأسفل من البداية ، في اتجاه حركة عقارب الساعة:

لنتذكر كيف رسمنا سابقًا الزوايا على دائرة مثلثية: انطلقنا من الاتجاه الإيجابي للمحور عكس عقارب الساعه:

ثم في الشكل لدينا ، يتم تكوين زاوية تساوي. وبالمثل ، قمنا ببناء جميع الزوايا.

ومع ذلك ، لا شيء يمنعنا من التحرك من الاتجاه الإيجابي للمحور في اتجاه عقارب الساعة.

سنحصل أيضًا على زوايا مختلفة ، لكنها ستكون سالبة بالفعل:

توضح الصورة التالية زاويتين متساويتين في القيمة المطلقة ولكنهما متعاكستان في الإشارة:

بشكل عام ، يمكن صياغة القاعدة على النحو التالي:

• نذهب عكس اتجاه عقارب الساعة - نحصل على زوايا موجبة
• نذهب في اتجاه عقارب الساعة - نحصل على زوايا سالبة

من الناحية التخطيطية ، تظهر القاعدة في هذا الشكل:

يمكنك أن تسألني سؤالاً معقولاً: حسنًا ، نحتاج إلى الزوايا من أجل قياس قيم الجيب وجيب التمام والظل والظل.

إذن ، هل يوجد فرق عندما يكون لدينا زاوية موجبة ، وعندما يكون لدينا سالب واحد؟ سأجيب عليك: كقاعدة هناك.

ومع ذلك ، يمكنك دائمًا تقليل حساب الدالة المثلثية من الزاوية السالبة إلى حساب الوظيفة في الزاويةإيجابي .

انظر إلى الصورة التالية:

لقد رسمت زاويتين ، فهما متساويتان في القيمة المطلقة لكن لهما إشارة معاكسة. لاحظ لكل زاوية جيبها وجيبها على المحاور.

ماذا أرى أنت وأنا؟ وإليك ما يلي:

• الجيب في الزوايا وعكسي في اللافتة! ثم إذا
• جيب التمام من الزوايا ويتزامن! ثم إذا
• منذ ذلك الحين:
• منذ ذلك الحين:

وبالتالي ، يمكننا دائمًا التخلص من العلامة السالبة داخل أي دالة مثلثية: إما عن طريق تدميرها ببساطة ، كما هو الحال مع جيب التمام ، أو بوضعها أمام الدالة ، كما هو الحال مع الجيب والظل والظل.

بالمناسبة ، تذكر ما هو اسم الوظيفة ، التي يكون فيها أي مقبول صحيحًا:؟

تسمى هذه الوظيفة الفردية.

وإذا كان لأي جائز تحقق:؟ في هذه الحالة ، تسمى الوظيفة زوجي.

وهكذا ، فقد أظهرنا للتو ما يلي:

وهكذا ، كما تفهم ، لا يوجد فرق سواء كنا نبحث عن جيب من زاوية موجبة أو سالبة: التعامل مع ناقص أمر بسيط للغاية. لذلك لا نحتاج إلى جداول منفصلة للزوايا السالبة.

من ناحية أخرى ، يجب أن تعترف أنه سيكون من الملائم جدًا ، مع العلم فقط بالوظائف المثلثية لزوايا الربع الأول ، أن تتمكن من حساب وظائف مماثلة للأرباع المتبقية. ويمكن أن يتم ذلك؟ بالطبع بكل تأكيد! لديك طريقتان على الأقل: الأولى هي بناء مثلث وتطبيق نظرية فيثاغورس (هذه هي الطريقة التي عثرت بها أنت وأنا على قيم الدوال المثلثية للزوايا الرئيسية للربع الأول) ، و الثاني - تذكر قيم وظائف الزوايا في الربع الأول وبعض القواعد البسيطة ، لتكون قادرًا على حساب الدوال المثلثية لجميع الأرباع الأخرى.الطريقة الثانية ستوفر عليك الكثير من الجلبة مع المثلثات ومع فيثاغورس ، لذلك أرى أنها واعدة أكثر:

لذلك ، هذه الطريقة (أو القاعدة) تسمى - صيغ التخفيض.

صيغ الصب

بشكل تقريبي ، ستساعدك هذه الصيغ على عدم تذكر مثل هذا الجدول (يحتوي على 98 رقمًا ، بالمناسبة!):

إذا كنت تتذكر هذا (20 رقمًا فقط):

أي ، لا يمكنك أن تزعج نفسك بـ 78 رقمًا غير ضروري تمامًا! دعنا ، على سبيل المثال ، نحتاج إلى الحساب. من الواضح أنه لا يوجد شيء من هذا القبيل في الطاولة الصغيرة. ماذا نفعل؟ وإليك ما يلي:

أولاً ، نحتاج إلى المعرفة التالية:

1. الجيب وجيب التمام لهما فترة (درجات) ، أي

   الظل (ظل التمام) له فترة (درجات)

   أي عدد صحيح

2. الجيب والظل دالات فردية ، وجيب التمام زوجي:

لقد أثبتنا بالفعل البيان الأول معك ، وتم إثبات صحة البيان الثاني مؤخرًا.

تبدو قاعدة الصب الفعلية كما يلي:

1. إذا قمنا بحساب قيمة الدالة المثلثية من زاوية سالبة ، فإننا نجعلها موجبة باستخدام مجموعة من الصيغ (2). علي سبيل المثال:
2. نتجاهل الجيب وجيب التمام لفتراته: (بالدرجات) ، والظل - (بالدرجات). علي سبيل المثال:
3. إذا كانت "الزاوية" المتبقية أقل من درجات ، فقد تم حل المشكلة: نحن نبحث عنها في "الجدول الصغير".
4. خلافًا لذلك ، فإننا نبحث عن الربع الذي يكمن فيه: سيكون الربع الثاني أو الثالث أو الرابع. نحن ننظر إلى علامة الوظيفة المطلوبة في الربع. تذكر هذه العلامة!
5. قم بتمثيل زاوية بأحد الأشكال التالية:

   (إذا كان في الربع الثاني)
   (إذا كان في الربع الثاني)
   (إذا كان في الربع الثالث)
   (إذا كان في الربع الثالث)
   
   (إذا كان في الربع الرابع)

   بحيث تكون الزاوية المتبقية أكبر من صفر وأقل من درجات. علي سبيل المثال:

   من حيث المبدأ ، لا يهم في أي من الشكلين البديلين لكل ربع تمثل الزاوية. هذا لن يؤثر على النتيجة النهائية.

6. الآن دعنا نرى ما حصلنا عليه: إذا اخترت التسجيل من خلال أو درجات زائد ناقص شيء ما ، فلن تتغير إشارة الدالة: ما عليك سوى إزالة الجيب أو جيب التمام أو الظل للزاوية المتبقية أو تدوينها. إذا اخترت التسجيل من خلال أو درجات ، فقم بتغيير الجيب إلى جيب التمام ، وجيب التمام إلى الجيب ، والظل إلى ظل التمام ، والظل إلى الظل.
7. نضع علامة الفقرة 4 أمام التعبير الناتج.

دعنا نوضح كل ما سبق بأمثلة:

1. احسب
2. احسب
3. ابحث عن هذه المعاني you-ra-same-nia:

لنبدأ بالترتيب:

1. نحن نتصرف وفقًا لخوارزمية لدينا. حدد عددًا صحيحًا من الدوائر لـ:

   بشكل عام ، نستنتج أن الكل في الزاوية 5 مرات ، ولكن ما المقدار المتبقي؟ غادر. ثم

   حسنًا ، لقد تجاهلنا الفائض. الآن دعونا نتعامل مع العلامة. تقع في 4 أرباع. جيب الربع الرابع له علامة ناقص ولا يجب أن أنسى وضعه في الجواب. علاوة على ذلك ، نقدم وفقًا لإحدى الصيغتين الواردتين في الفقرة 5 من قواعد التخفيض. سوف اختار:

   الآن ننظر إلى ما حدث: لدينا حالة بالدرجات ، ثم نتجاهلها ونغير الجيب إلى جيب التمام. وتضع علامة الطرح أمامها!

   الدرجات هي الزاوية في الربع الأول. نعلم (لقد وعدتني أن أتعلم طاولة صغيرة !!) معناها:

   ثم نحصل على الإجابة النهائية:

   إجابه:

2. كل شيء هو نفسه ، ولكن بدلاً من الدرجات - راديان. موافق. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو ذلك

   لكن لا يمكنك استبدال الراديان بالدرجات. إنها مسألة ذوقك. لن أغير أي شيء. سأبدأ مرة أخرى بتجاهل الدوائر بأكملها:

   نتجاهل - هاتان دائرتان كاملتان. يبقى أن نحسب. هذه الزاوية تقع في الربع الثالث. جيب التمام للربع الثالث سالب. لا تنس أن تضع علامة الطرح في إجابتك. يمكن تخيله على أنه. مرة أخرى ، نتذكر القاعدة: لدينا حالة العدد "الصحيح" (أو) ، ثم الوظيفة لا تتغير:

   ثم.
   إجابه: .

3. . عليك أن تفعل الشيء نفسه ، لكن بوظيفتين. سأكون أكثر إيجازًا: والدرجات هي زوايا الربع الثاني. جيب التمام للربع الثاني به علامة ناقص ، والجيب له علامة زائد. يمكن تمثيلها على النحو التالي: ولكن كيف ، إذن

   كلتا الحالتين "نصفي الكل". ثم يصبح الجيب جيبًا ، ويصبح جيب التمام جيبًا. علاوة على ذلك ، هناك علامة ناقص أمام جيب التمام:

إجابه: .

تدرب الآن بنفسك مع الأمثلة التالية:

وإليك الحلول:

1. 
   أولاً ، دعنا نتخلص من الطرح بتحريكه أمام الجيب (لأن الجيب دالة فردية !!!). ثم ضع في اعتبارك الزوايا:

   نتجاهل عددًا صحيحًا من الدوائر - أي ثلاث دوائر ().
   يبقى لحساب:.
   نفعل الشيء نفسه مع الزاوية الثانية:

   احذف عددًا صحيحًا من الدوائر - 3 دوائر () ثم:

   الآن نفكر: في أي ربع تقع الزاوية المتبقية؟ إنه "لا يصل" إلى كل شيء. ثم ما هو الربع؟ الرابعة. ما هي علامة جيب التمام للربع الرابع؟ إيجابي. الآن دعونا نتخيل. نظرًا لأننا نطرح من عدد صحيح ، فإننا لا نغير علامة جيب التمام:

   نستبدل جميع البيانات المستلمة في الصيغة:

   إجابه: .

2. 
   المعيار: نزيل الطرح من جيب التمام باستخدام حقيقة ذلك.
   يبقى حساب جيب التمام من الدرجات. دعنا نزيل الدوائر بأكملها:. ثم

   ثم.
   إجابه: .

3. نحن نعمل كما في المثال السابق.

   نظرًا لأنك تتذكر أن فترة الظل هي (أو) على عكس جيب التمام أو الجيب ، حيث تكون أكبر بمرتين ، فسنزيل العدد الصحيح.

   الدرجات هي الزاوية في الربع الثاني. ظل الربع الثاني سالب ، إذن دعونا لا ننسى أمر "الطرح" في النهاية! يمكن كتابتها كـ. تغيرات الظل إلى ظل التمام. أخيرًا نحصل على:

   ثم.
   إجابه: .

حسنًا ، بقي القليل جدًا!

محور الظلال ومحور الظل

آخر شيء أود أن أتناوله هنا هو محورين إضافيين. كما ناقشنا بالفعل ، لدينا محورين:

1. المحور - محور جيب التمام
2. المحور - المحور الجيبي

في الواقع ، لقد نفدنا من محاور الإحداثيات ، أليس كذلك؟ ولكن ماذا عن الظلال والظل؟

حقا ، بالنسبة لهم لا يوجد تفسير رسومي؟

في الحقيقة هو كذلك يمكنك أن تراه في هذه الصورة:

على وجه الخصوص ، من هذه الصور يمكننا أن نقول ما يلي:

1. الظل وظل التمام لهما نفس العلامات في الأرباع
2. كانت إيجابية في الربع الأول والثالث
3. كانت سلبية في الربعين الثاني والرابع
4. الظل غير محدد في الزوايا
5. ظل التمام غير محدد في الزوايا

لأي غرض آخر هذه الصور؟ سوف تتعلم على مستوى متقدم ، حيث سأخبرك كيف يمكنك تبسيط حل المعادلات المثلثية بمساعدة الدائرة المثلثية!

مستوى متقدم

في هذه المقالة سوف أصف كيف دائرة الوحدة (الدائرة المثلثية)يمكن أن تكون مفيدة في حل المعادلات المثلثية.

يمكنني تسليط الضوء على حالتين حيث يمكن أن تكون مفيدة:

1. في الإجابة ، لا نحصل على زاوية "جميلة" ، لكن مع ذلك نحتاج إلى تحديد الجذور
2. الجواب هو سلسلة كثيرة جدا من الجذور

لا تحتاج إلى أي معرفة محددة إلا المعرفة بالموضوع:

حاولت كتابة موضوع "المعادلات المثلثية" دون اللجوء إلى الدائرة. لن يمتدحني الكثيرون لمثل هذا النهج.

لكني أفضل الصيغة ، فماذا يمكنك أن تفعل. ومع ذلك ، في بعض الحالات لا تكفي الصيغ. دفعني المثال التالي لكتابة هذا المقال:

حل المعادلة:

حسنا اذن. حل المعادلة نفسها سهل.

الاستبدال العكسي:

ومن ثم ، فإن معادلتنا الأصلية تعادل أبسط أربع معادلات! هل نحتاج حقًا إلى كتابة 4 سلاسل من الجذور:

من حيث المبدأ ، كان من الممكن أن يتوقف هذا. لكن ليس فقط لقراء هذا المقال ، الذي يدعي أنه نوع من "التعقيد"!

دعونا نفكر أولاً في السلسلة الأولى من الجذور. إذن ، نأخذ دائرة وحدة ، والآن دعونا نطبق هذه الجذور على الدائرة (بشكل منفصل من أجل ومن أجل):

انتبه: ما الزاوية التي تحولت بين الزوايا و؟ هذه هي الزاوية. الآن دعونا نفعل الشيء نفسه بالنسبة للسلسلة:.

بين جذور المعادلة ، نحصل على الزاوية ج مرة أخرى. الآن دعنا نجمع هاتين الصورتين:

ماذا نرى؟ وبعد ذلك ، كل الزوايا بين الجذور متساوية. ماذا تعني؟

إذا بدأنا من زاوية وأخذنا زوايا متساوية (لأي عدد صحيح) ، فسنصل دائمًا إلى إحدى النقاط الأربع في الدائرة العلوية! إذن 2 سلسلة من الجذور:

يمكن دمجه في واحد:

للأسف ، لسلسلة الجذور:

هذه الحجج لم تعد صالحة. قم بعمل رسم وافهم سبب ذلك. ومع ذلك ، يمكن دمجها على النحو التالي:

ثم المعادلة الأصلية لها جذور:

وهي إجابة قصيرة ومختصرة. وماذا يعني الإيجاز والدقة؟ حول مستوى محو الأمية الرياضية الخاصة بك.

كان هذا هو المثال الأول الذي أعطى فيه استخدام الدائرة المثلثية نتائج مفيدة.

المثال الثاني هو المعادلات التي لها "جذور قبيحة".

علي سبيل المثال:

1. حل المعادلة.
2. ابحث عن جذورها التي تنتمي إلى الفجوة.

الجزء الأول ليس صعبًا.

نظرًا لأنك على دراية بالموضوع بالفعل ، فسأسمح لنفسي أن أكون موجزًا ​​في حساباتي.

ثم أو

إذن ، أوجدنا جذور المعادلة. لا شيء معقد.

يكون حل الجزء الثاني من المهمة أكثر صعوبة ، مع عدم معرفة ما يساوي قوس جيب الزاوية ناقص واحد بالضبط (هذه ليست قيمة جدولية).

ومع ذلك ، يمكننا تصوير سلسلة الجذور التي تم العثور عليها على دائرة وحدة:

ماذا نرى؟ أولاً ، أوضح لنا الشكل ما هي حدود أكاذيب arccosine:

سيساعدنا هذا التفسير المرئي في العثور على الجذور التي تنتمي إلى المقطع:.

أولاً ، يدخل الرقم نفسه ، ثم (انظر الشكل).

ينتمي أيضا إلى الجزء.

وهكذا ، تساعد دائرة الوحدة على تحديد حدود الزوايا "القبيحة".

يجب أن يتبقى لديك سؤال واحد على الأقل: ولكن ماذا عن الظلال والظل؟

في الواقع ، لديهم أيضًا محاورهم الخاصة ، على الرغم من أن لديهم مظهرًا محددًا بعض الشيء:

خلاف ذلك ، فإن طريقة التعامل معها ستكون هي نفسها مع الجيب وجيب التمام.

مثال

يتم إعطاء معادلة.

• حل هذه المعادلة.
• حدد جذور هذه المعادلة التي تنتمي إلى الفترة.

المحلول:

نرسم دائرة وحدة ونضع علامة على حلولنا عليها:

من الشكل يمكن فهم ما يلي:

أو أكثر: منذ ذلك الحين

ثم نجد الجذور التي تنتمي إلى القطعة.

، (لأن)

أترك الأمر لك للتأكد من أن معادلتنا ليس لها جذور أخرى تنتمي إلى الفترة.

ملخص وصيغة أساسية

الأداة الرئيسية لعلم المثلثات الدائرة المثلثيةيسمح لك بقياس الزوايا وإيجاد الجيب وجيب التمام وما إلى ذلك.

هناك طريقتان لقياس الزوايا.

1. من خلال الدرجات
2. من خلال الراديان

والعكس صحيح: من الراديان إلى الدرجات:

لإيجاد جيب وجيب الزاوية ، تحتاج إلى:

1. ارسم دائرة وحدة بحيث يتزامن المركز مع رأس الزاوية.
2. أوجد نقطة تقاطع هذه الزاوية مع الدائرة.
3. إحداثي "x" هو جيب تمام الزاوية المرغوبة.
4. إحداثي "اللعبة" هو شرط الزاوية المرغوبة.

صيغ الصب

تسمح لك هذه الصيغ بتبسيط التعبيرات المعقدة للدالة المثلثية.

ستساعدك هذه الصيغ على عدم تذكر مثل هذا الجدول:

تلخيص

لقد تعلمت كيف تصنع حافزًا عالميًا لعلم المثلثات.

لقد تعلمت حل المشكلات بشكل أسهل وأسرع ، والأهم من ذلك ، بدون أخطاء.

لقد أدركت أنك لست بحاجة إلى حشر أي طاولات وبصفة عامة هناك القليل لتكتظ به!

الآن أريد أن أسمع منك!

هل تمكنت من التعامل مع هذا الموضوع المعقد؟

ما الذي أعجبك؟ ما الذي لم يعجبك؟

ربما وجدت خطأ؟

اكتب في التعليقات!

ونتمنى لك التوفيق في الامتحان!

حل أبسط المعادلات المثلثية.

حل المعادلات المثلثية لأي مستوى من التعقيد يأتي في النهاية إلى حل أبسط المعادلات المثلثية. وفي هذا ، اتضح مرة أخرى أن الدائرة المثلثية هي أفضل مساعد.

أذكر تعريفات جيب التمام والجيب.

جيب تمام الزاوية هو الإحداثية (أي الإحداثي على طول المحور) لنقطة على دائرة الوحدة المقابلة للدوران بزاوية معينة.

جيب الزاوية هو الإحداثي (أي الإحداثي على طول المحور) لنقطة على دائرة الوحدة المقابلة للدوران بزاوية معينة.

يعتبر الاتجاه الإيجابي للحركة على طول الدائرة المثلثية حركة عكس اتجاه عقارب الساعة. تناوب بمقدار 0 درجة (أو 0 راديان) يتوافق مع نقطة ذات إحداثيات (1 ؛ 0)

نستخدم هذه التعريفات لحل أبسط المعادلات المثلثية.

1. حل المعادلة

يتم استيفاء هذه المعادلة من خلال جميع قيم زاوية الدوران هذه ، والتي تتوافق مع نقاط الدائرة ، والتي يساوي إحداثيها.

دعنا نحدد نقطة بإحداثيات على المحور ص:

ارسم خطًا أفقيًا يوازي المحور x حتى يتقاطع مع الدائرة. سنحصل على نقطتين على دائرة ولها إحداثي. تتوافق هذه النقاط مع زوايا الدوران والراديان:

إذا تركنا النقطة المقابلة لزاوية الدوران لكل راديان ، ودورنا حول دائرة كاملة ، فسنصل إلى نقطة مناظرة لزاوية الدوران لكل راديان ولها نفس الإحداثي. وهذا يعني أن زاوية الدوران هذه تلبي أيضًا معادلتنا. يمكننا إجراء العديد من الدورات "الخاملة" كما نرغب ، والعودة إلى نفس النقطة ، وكل قيم الزاوية هذه سترضي معادلتنا. يتم الإشارة إلى عدد الثورات "الخاملة" بالحرف (أو). نظرًا لأنه يمكننا إجراء هذه الثورات في كلا الاتجاهين الموجب والسالب ، (أو) يمكن أن تأخذ أي قيم صحيحة.

أي أن السلسلة الأولى من الحلول للمعادلة الأصلية لها الشكل:

، ، - مجموعة الأعداد الصحيحة (1)

وبالمثل ، فإن السلسلة الثانية من الحلول لها الشكل:

، أين ، . (2)

كما خمنت ، تعتمد سلسلة الحلول هذه على نقطة الدائرة المقابلة لزاوية الدوران بها.

يمكن الجمع بين هاتين السلسلتين من الحلول في إدخال واحد:

إذا أخذنا هذا الإدخال (أي ، حتى) ، فسنحصل على السلسلة الأولى من الحلول.

إذا أخذنا هذا الإدخال (أي غريب) ، فسنحصل على السلسلة الثانية من الحلول.

2. الآن دعونا نحل المعادلة

نظرًا لأنه تم الحصول على حدودي نقطة دائرة الوحدة عن طريق الدوران من خلال الزاوية ، فإننا نحدد نقطة على المحور مع الإحداثيات:

ارسم خطًا رأسيًا موازيًا للمحور حتى يتقاطع مع الدائرة. سنحصل على نقطتين ملقاة على دائرة ولدينا حد أقصى. تتوافق هذه النقاط مع زوايا الدوران والراديان. تذكر أنه عند التحرك في اتجاه عقارب الساعة ، نحصل على زاوية دوران سالبة:

نكتب سلسلتين من الحلول:

,

,

(نصل إلى النقطة الصحيحة بالمرور من الدائرة الكاملة الرئيسية ، أي.

دعنا نجمع هاتين السلسلتين في منشور واحد:

3. حل المعادلة

يمر خط الظل عبر النقطة ذات الإحداثيات (1،0) لدائرة الوحدة الموازية لمحور OY

ضع علامة على نقطة عليها إحداثي يساوي 1 (نحن نبحث عن الظل الذي يساوي 1):

قم بتوصيل هذه النقطة بالأصل بخط مستقيم وحدد نقاط تقاطع الخط مع دائرة الوحدة. تتوافق نقاط تقاطع الخط والدائرة مع زوايا الدوران على و:

نظرًا لأن النقاط المقابلة لزوايا الدوران التي تحقق معادلتنا تفصل بين الراديان ، يمكننا كتابة الحل على النحو التالي:

4. حل المعادلة

يمر خط ظل التمام عبر النقطة مع إحداثيات دائرة الوحدة الموازية للمحور.

نحتفل بنقطة مع الحد الفاصل -1 على خط الظل:

اربط هذه النقطة بأصل الخط المستقيم واستمر حتى تتقاطع مع الدائرة. سيتقاطع هذا الخط مع الدائرة عند النقاط المقابلة لزوايا الدوران والراديان:

نظرًا لأن هذه النقاط مفصولة عن بعضها البعض بمسافة تساوي ، فيمكننا كتابة الحل العام لهذه المعادلة على النحو التالي:

في الأمثلة المقدمة ، لتوضيح حل أبسط المعادلات المثلثية ، تم استخدام القيم الجدولية للوظائف المثلثية.

ومع ذلك ، إذا كانت هناك قيمة غير جدولية على الجانب الأيمن من المعادلة ، فإننا نستبدل القيمة في الحل العام للمعادلة:

حلول خاصة:

ضع علامة على النقاط على الدائرة التي يكون إحداثيتها 0:

حدد نقطة واحدة على الدائرة ، إحداثيها يساوي 1:

ضع علامة على نقطة واحدة على الدائرة ، إحداثيها يساوي -1:

نظرًا لأنه من المعتاد الإشارة إلى القيم الأقرب إلى الصفر ، فإننا نكتب الحل على النحو التالي:

قم بتمييز النقاط الموجودة على الدائرة ، والتي تكون حدودها 0:

5.
دعنا نحدد نقطة واحدة على الدائرة ، والتي يساوي إحداثياتها 1:

ضع علامة على نقطة واحدة على الدائرة ، والتي تساوي حد ذاتها -1:

وبعض الأمثلة الأكثر تعقيدًا:

1.

الجيب واحد إذا كانت الحجة

حجة شرطنا هي ، لذلك نحصل على:

قسّم طرفي المعادلة على 3:

إجابه:

2.

جيب التمام يساوي صفرًا إذا كانت حجة جيب التمام

حجة جيب التمام لدينا هي ، لذلك نحصل على:

نعبر عن ذلك ، ننتقل أولاً إلى اليمين بإشارة معاكسة:

بسّط الجانب الأيمن:

قسّم كلا الجزأين على -2:

لاحظ أن الإشارة قبل المصطلح لا تتغير ، حيث يمكن أن تأخذ k أي قيم عدد صحيح.

إجابه:

وفي الختام شاهد الفيديو التعليمي "اختيار الجذور في المعادلة المثلثية باستخدام الدائرة المثلثية"

بهذا ينتهي الحديث عن حل أبسط المعادلات المثلثية. في المرة القادمة سنتحدث عن كيفية الحل.

جدول قيم التوابع المثلثية

ملحوظة. يستخدم جدول قيم الدوال المثلثية علامة للإشارة إلى الجذر التربيعي. للدلالة على كسر - الرمز "/".

أنظر أيضامواد مفيدة:

بالنسبة تحديد قيمة دالة مثلثية، أوجدها عند تقاطع الخط الذي يشير إلى الدالة المثلثية. على سبيل المثال ، جيب من 30 درجة - نبحث عن عمود بالعنوان sin (جيب) ونجد تقاطع هذا العمود من الجدول مع السطر "30 درجة" ، عند تقاطعهم نقرأ النتيجة - واحد ثانيا. وبالمثل نجد 60- التمامدرجات، 60درجات (مرة أخرى ، عند تقاطع عمود الجيب (الجيب) والصف 60 درجة ، نجد القيمة sin 60 = √3 / 2) ، إلخ. وبنفس الطريقة ، تم العثور على قيم الجيب وجيب التمام والظلال من الزوايا "الشائعة" الأخرى.

جيب الزاوية pi وجيب تمام pi وظل pi والزوايا الأخرى بالتقدير الدائري

جدول جيب التمام والجيب والظل أدناه مناسب أيضًا لإيجاد قيمة الدوال المثلثية التي تكون حجتها يُعطى بالتقدير الدائري. للقيام بذلك ، استخدم العمود الثاني لقيم الزاوية. بفضل هذا ، يمكنك تحويل قيمة الزوايا الشعبية من درجات إلى راديان. على سبيل المثال ، لنجد الزاوية 60 درجة في السطر الأول ونقرأ قيمتها بالتقدير الدائري الذي يقع تحته. 60 درجة تساوي π / 3 راديان.

يعبر الرقم pi بشكل فريد عن اعتماد محيط الدائرة على قياس درجة الزاوية. إذن ، pi راديان يساوي 180 درجة.

يمكن تحويل أي رقم معبر عنه من حيث pi (راديان) بسهولة إلى درجات عن طريق استبدال الرقم pi (π) بـ 180.

أمثلة:
1. شرط جيبي.
الخطيئة π = الخطيئة 180 = 0
إذن ، جيب الزاوية pi هو نفسه جيب 180 درجة ويساوي صفرًا.

2. جيب التمام بي.
cos π = cos 180 = -1
وبالتالي ، فإن جيب تمام pi هو نفسه جيب تمام 180 درجة ويساوي سالب واحد.

3. الظل بي
tg π = tg 180 = 0
لذا فإن ظل pi هو نفسه ظل 180 درجة ويساوي صفرًا.

جدول قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا من 0 إلى 360 درجة (قيم متكررة)

إذا كان في جدول قيم الدوال المثلثية ، بدلاً من قيمة الوظيفة ، يتم الإشارة إلى شرطة (الظل (tg) 90 درجة ، ظل التمام (ctg) 180 درجة) ، ثم لقيمة معينة لمقياس درجة الزاوية ، ليس للدالة قيمة محددة. إذا لم يكن هناك شرطة - الخلية فارغة ، فهذا يعني أننا لم ندخل بعد القيمة المطلوبة. نحن مهتمون بالطلبات التي ياتيها المستخدمون إلينا واستكمال الجدول بقيم جديدة ، على الرغم من حقيقة أن البيانات الحالية عن قيم جيب التمام والجيب والظل لقيم الزاوية الأكثر شيوعًا كافية لحل معظم مشاكل.

جدول قيم الدوال المثلثية sin و cos و tg للزوايا الأكثر شيوعًا
0 ، 15 ، 30 ، 45 ، 60 ، 90 ... 360 درجة
(القيم العددية "حسب جداول Bradis")

القيم الجيب في النطاق [-1؛ 1] ، أي -1 ≤ sin α ≤ 1. لذلك ، إذا | a | > 1 ، إذن المعادلة sin x = a ليس لها جذور. على سبيل المثال ، المعادلة sin x = 2 ليس لها جذور.

دعنا ننتقل إلى بعض المهام.

حل المعادلة sin x = 1/2.

المحلول.

لاحظ أن sin x هو إحداثيات نقطة دائرة الوحدة ، والتي يتم الحصول عليها نتيجة دوران النقطة Р (1 ؛ 0) بالزاوية x حول الأصل.

الإحداثي الذي يساوي ½ موجود عند نقطتين من الدائرة M 1 و M 2.

منذ 1/2 \ u003d sin π / 6 ، يتم الحصول على النقطة M 1 من النقطة P (1 ؛ 0) بالتحول من خلال الزاوية x 1 \ u003d π / 6 ، وكذلك من خلال الزوايا x \ u003d π / 6 + 2πk ، حيث k \ u003d +/- 1 ، +/- 2 ، ...

يتم الحصول على النقطة M 2 من النقطة P (1 ؛ 0) نتيجة الدوران من خلال الزاوية x 2 = 5π / 6 ، وكذلك من خلال الزوايا x = 5π / 6 + 2πk ، حيث k = +/- 1 ، +/- 2 ، ... ، أي عند الزوايا x = π - π / 6 + 2πk ، حيث k = +/- 1 ، +/- 2 ،….

لذا ، يمكن إيجاد جميع جذور المعادلة sin x = 1/2 بالصيغ x = π / 6 + 2πk، x = π - π / 6 + 2πk حيث k € Z.

يمكن دمج هذه الصيغ في واحدة: x \ u003d (-1) n π / 6 + πn ، حيث n € Z (1).

في الواقع ، إذا كان n عددًا زوجيًا ، أي n = 2k ، ثم من الصيغة (1) نحصل على х = π / 6 + 2πk ، وإذا كان n عددًا فرديًا ، أي n = 2k + 1 ، ثم من الصيغة (1) نحصل على х = π - π / 6 + 2πk.

إجابه. x \ u003d (-1) n π / 6 + πn ، حيث n € Z.

حل المعادلة sin x = -1/2.

المحلول.

الإحداثي -1/2 لهما نقطتان من دائرة الوحدة M 1 و M 2 ، حيث x 1 =-/ 6 ، x 2 = -5π / 6. لذلك ، يمكن إيجاد جميع جذور المعادلة sin x = -1/2 بالصيغ x =-/ 6 + 2πk، x = -5π / 6 + 2πk، k ∈ Z.

يمكننا دمج هذه الصيغ في واحدة: x \ u003d (-1) n (-/ 6) + πn ، n € Z (2).

في الواقع ، إذا كانت n = 2k ، فباستخدام الصيغة (2) نحصل على x =-/ 6 + 2πk ، وإذا كان n = 2k - 1 ، فباستخدام الصيغة (2) نجد x = -5π / 6 + 2πk.

إجابه. س \ u003d (-1) ن (-π / 6) + n ، n € Z.

وهكذا ، فإن كل من المعادلتين sin x = 1/2 و sin x = -1/2 لها عدد لا نهائي من الجذور.

في المقطع-/ 2 ≤ x π / 2 ، كل من هذه المعادلات لها جذر واحد فقط:
x 1 \ u003d π / 6 - جذر المعادلة sin x \ u003d 1/2 و x 1 \ u003d-/ 6 - جذر المعادلة sin x \ u003d -1/2.

الرقم π / 6 يسمى قوس الزاوية للرقم 1/2 ويتم كتابته: arcsin 1/2 = π / 6 ؛ الرقم -π / 6 يسمى قوس الزاوية للرقم -1/2 ويكتبون: arcsin (-1/2) =-/ 6.

بشكل عام ، المعادلة sin x \ u003d a ، حيث -1 ≤ a ≤ 1 ، على المقطع-/ 2 ≤ x ≤ π / 2 لها جذر واحد فقط. إذا كانت القيمة ≥ 0 ، فسيتم وضع الجذر في الفترة الزمنية ؛ اذا كان< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

وهكذا ، قوس جيب الزاوية للرقم a € [–1؛ 1] يسمى هذا الرقم € [–π / 2؛ π / 2] جيبه أ.

arcsin a = α إذا كانت sin α = a و-/ 2 ≤ x ≤ π / 2 (3).

على سبيل المثال ، arcsin √2 / 2 = π / 4 ، حيث أن الخطيئة π / 4 = √2 / 2 و - / 2 ≤ π / 4 ≤ π / 2 ؛
arcsin (-3 / 2) =-/ 3 ، منذ الخطيئة (-/ 3) = -3 / 2 و - / 2 ≤ - π / 3 π / 2.

على غرار الطريقة التي تم إجراؤها عند حل المسألتين 1 و 2 ، يمكن إثبات أن جذور المعادلة sin x = a ، حيث | a | ≤ 1 يتم التعبير عنها بالصيغة

x \ u003d (-1) n arcsin a + πn ، n € Z (4).

يمكننا أيضًا إثبات ذلك لأي € [-1؛ 1] الصيغة arcsin (-a) = -arcsin a صحيحة.

من الصيغة (4) يتبع ذلك جذور المعادلة
sin x \ u003d a لـ a \ u003d 0 ، a \ u003d 1 ، a \ u003d -1 يمكن العثور عليها باستخدام صيغ أبسط:

الخطيئة س \ u003d 0 س \ u003d πn ، ن € Z (5)

الخطيئة x \ u003d 1 x \ u003d π / 2 + 2πn ، n € Z (6)

الخطيئة س \ u003d -1 س \ u003d -π / 2 + 2πn ، n € Z (7)

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

في الدائرة المثلثية ، نلاحظ بالإضافة إلى الزوايا بالدرجات.

المزيد عن الراديان:

يتم تعريف الراديان على أنه القيمة الزاوية لقوس طوله يساوي نصف قطره. تبعا لذلك ، لأن المحيط ، فمن الواضح إذن أن الراديان يناسب الدائرة ، أي

1 راد ≈ 57.295779513 ° ≈ 57 ° 17′44.806 ″ ≈ 206265 ″.

يعلم الجميع أن راديان هو

لذلك ، على سبيل المثال ، أ. هكذا نحن تعرف على كيفية تحويل الراديان إلى الزوايا.

الآن العكس لنحول الدرجات إلى الراديان.

لنفترض أننا بحاجة للتحويل إلى راديان. سوف يساعدنا. نمضي على النحو التالي:

منذ ذلك الحين ، راديان ، املأ الجدول:

نتدرب لإيجاد قيم الجيب وجيب التمام في دائرة

دعنا نوضح ما يلي.

حسنًا ، من الجيد أن يُطلب منا الحساب ، على سبيل المثال ، - عادةً لا يكون هناك ارتباك هنا - يبدأ الجميع في البحث أولاً في الدائرة.

وإذا طُلب منهم الحساب ، على سبيل المثال ، ... يبدأ الكثيرون فجأة في عدم فهم مكان البحث عن هذا الصفر ... وغالبًا ما يبحثون عنه في الأصل. لماذا ا؟

1) دعونا نتفق مرة واحدة وإلى الأبد!ما يأتي بعد وسيطة = زاوية ، و أركاننا على الدائرة ، لا تبحث عنها على المحور س!(إنه فقط أن النقاط الفردية تقع على كل من الدائرة والمحور ...) وقيم الجيب وجيب التمام نفسها - نحن نبحث عن المحاور!

2) و اكثر!إذا ابتعدنا عن نقطة البداية عكس عقارب الساعه(الاتجاه الرئيسي لتجاوز الدائرة المثلثية) ، ثم نضع القيم الموجبة للزوايا جانبًاتزداد الزوايا كلما تحركنا في هذا الاتجاه.

إذا ابتعدنا عن نقطة البداية في اتجاه عقارب الساعة ، ثم نضع القيم السالبة للزوايا جانبًا.

مثال 1

ابحث عن قيمة.

المحلول:

نجد في الدائرة. نقوم بإسقاط النقطة على محور الجيب (أي نرسم عموديًا من النقطة إلى محور الجيب (oy)).

وصلنا إلى 0. ومن ثم ،.

مثال 2

ابحث عن قيمة.

المحلول:

نجد على الدائرة (نمر عكس اتجاه عقارب الساعة وأكثر). نقوم بإسقاط نقطة على محور الجيب (وهي سابقاتقع على محور الجيوب الأنفية).

نقع في -1 على طول محور الجيب.

لاحظ أنه خلف النقطة "مخفية" توجد نقاط مثل (يمكننا الانتقال إلى النقطة التي تم وضع علامة عليها كـ ، في اتجاه عقارب الساعة ، مما يعني ظهور علامة ناقص) ، والعديد من النقاط الأخرى بشكل لا نهائي.

يمكن للمرء إجراء القياس التالي:

تخيل دائرة مثلثية مثل حلقة مفرغة ملعب.

بعد كل شيء ، يمكن أن ينتهي بك الأمر عند نقطة "العلم" ، أبدأ في عكس اتجاه عقارب الساعة ، على سبيل المثال ، مسافة 300 متر ، أو الجري ، على سبيل المثال ، 100 متر في اتجاه عقارب الساعة (نحن نعتبر أن طول المسار هو 400 متر).

ويمكنك أيضًا أن ينتهي بك الأمر عند نقطة "العلم" (بعد "البداية") بالركض ، على سبيل المثال ، 700 م ، 1100 م ، 1500 م ، إلخ ، عكس اتجاه عقارب الساعة. يمكنك الوصول إلى Flag Point عن طريق الجري لمسافة 500 متر أو 900 متر ، وما إلى ذلك في اتجاه عقارب الساعة من البداية.

قم بتوسيع جهاز الجري في الملعب عقليًا إلى خط أرقام. تخيل أين يوجد في هذا السطر ، على سبيل المثال ، القيم 300 ، 700 ، 1100 ، 1500 ، إلخ. سنرى نقاطًا على خط الأعداد متساوية البعد عن بعضها البعض. دعونا نعود إلى الوراء. النقاط "تلتصق ببعضها البعض" في واحدة.

هذا هو الحال مع الدائرة المثلثية. وراء كل نقطة يوجد عدد لا نهائي من النقاط الأخرى.

لنفترض الزوايا ، وما إلى ذلك. تظهر كنقطة واحدة. وقيم الجيب وجيب التمام فيها ، بالطبع ، هي نفسها. (هل لاحظت أننا أضفنا / طرحنا أو؟ هذه هي الفترة الخاصة بدالة الجيب وجيب التمام.)

مثال 3

ابحث عن قيمة.

المحلول:

دعنا نحول إلى درجات للتبسيط.

(لاحقًا ، عندما تعتاد على الدائرة المثلثية ، لن تحتاج إلى تحويل الراديان إلى درجات):

سوف نتحرك في اتجاه عقارب الساعة من النقطة لنذهب إلى نصف دائرة () وأكثر

نفهم أن قيمة الجيب تتطابق مع قيمة الجيب وتساوي

لاحظ أنه إذا أخذنا ، على سبيل المثال ، أو ، وما إلى ذلك ، فسنحصل على نفس قيمة الجيب.

مثال 4

ابحث عن قيمة.

المحلول:

ومع ذلك ، لن نقوم بتحويل الراديان إلى درجات ، كما في المثال السابق.

وهذا يعني أننا نحتاج إلى الذهاب عكس اتجاه عقارب الساعة نصف دائرة وربع آخر نصف دائرة وإسقاط النقطة الناتجة على محور جيب التمام (المحور الأفقي).

مثال 5

ابحث عن قيمة.

المحلول:

كيفية رسم دائرة مثلثية؟

إذا نجحنا أو ، نعم ، على الأقل ، فسننتهي في النهاية عند النقطة التي حددناها على أنها "بداية". لذلك ، يمكنك الانتقال فورًا إلى نقطة في الدائرة

مثال 6

ابحث عن قيمة.

المحلول:

سننتهي عند نقطة (ستقودنا على أي حال إلى النقطة صفر). نسقط نقطة الدائرة على محور جيب التمام (انظر الدائرة المثلثية) ، نبدأ. بمعنى آخر .

الدائرة المثلثية - في يديك

لقد فهمت بالفعل أن الشيء الرئيسي هو تذكر قيم الدوال المثلثية للربع الأول. في الأرباع المتبقية ، كل شيء متشابه ، ما عليك سوى اتباع الإشارات. وآمل ألا تنسوا "سلم السلسلة" لقيم الدوال المثلثية.

كيف تجد قيم الظل وظل التمامالزوايا الرئيسية.

بعد ذلك ، بعد التعرف على القيم الأساسية للظل والظل ، يمكنك تمرير

على قالب دائرة فارغ. قطار!