تحديد التسلسل. تعريف التسلسل الرقمي

تعريف. إذا كان لكل رقم طبيعي n رقمًا xn ، فإننا نقول أن التسلسل معطى

x1 ، x2 ، ... ، xn = (xn)

العنصر المشترك في التسلسل هو دالة n.

وبالتالي يمكن اعتبار التسلسل كدالة.

يمكنك تحديد تسلسل بعدة طرق - الشيء الرئيسي هو تحديد طريقة للحصول على أي عضو في التسلسل.

مثال. (س) = ((-1) ن) أو (س) = -1 ؛ واحد؛ -واحد؛ واحد؛ ...

(xn) = (sinn / 2) أو (xn) = 1 ؛ 0 ؛ واحد؛ 0 ؛ ...

يمكنك تحديد العمليات التالية للتسلسلات:

ضرب تسلسل برقم م: م (س) = (م × ن) ، أي mx1 ، mx2 ، ...

جمع (طرح) التسلسلات: (xn) (yn) = (xn yn).

حاصل ضرب المتتاليات: (xn) (yn) = (xnyn).

حاصل التسلسل: عند (yn) 0.

متواليات محدودة وغير محدودة.

تعريف. يسمى التسلسل (xn) مقيد إذا كان هناك رقم M> 0 بحيث تكون المتباينة صحيحة لأي n:

أولئك. تنتمي جميع أعضاء التسلسل إلى الفاصل الزمني (-M ؛ M).

تعريف. يُقال أن التسلسل (xn) مقيد من أعلى إذا كان هناك رقم M لأي n بحيث يكون xn M.

تعريف. يُقال أن التسلسل (xn) مقيد من الأسفل إذا كان هناك رقم M لأي n بحيث يكون xn M

مثال. (xn) = n - محدد من الأسفل (1 ، 2 ، 3 ، ...).

تعريف. يُطلق على الرقم أ حد التسلسل (xn) إذا كان لأي رقم موجب> 0 هناك رقم N بحيث يتم استيفاء الشرط لجميع n> N: هذا مكتوب: lim xn = a.

في هذه الحالة ، يُقال أن المتتالية (xn) تتقارب مع a من أجل n.

الخاصية: إذا تجاهلنا أي عدد من أعضاء التسلسل ، فسيتم الحصول على تسلسلات جديدة ، وإذا تقارب أحدهما ، فإن الآخر يتقارب أيضًا.

مثال. إثبات أن حد التسلسل محدود.

فليكن صحيحًا لـ n> N ، أي . هذا صحيح ، لذلك إذا تم أخذ N كجزء صحيح من ، فإن العبارة أعلاه صحيحة.

مثال. بيّن أن التسلسل لـ n هو 3 ، له حد 2.

المجموع: (xn) = 2 + 1 / n ؛ 1 / ن = س - 2

من الواضح أن هناك عددًا ن مثل هذا ، أي ليم (س) = 2.

نظرية. لا يمكن أن يحتوي التسلسل على أكثر من حد واحد.

دليل. افترض أن المتتالية (xn) لها حدين أ و ب غير متساويين.

xn أ ؛ xnb. أ ب.

ثم بحكم التعريف يوجد رقم> 0 من هذا القبيل

بالنسبة للعديد من الأشخاص ، التحليل الرياضي هو مجرد مجموعة من الأرقام والرموز والتعريفات غير المفهومة البعيدة عن الحياة الواقعية. ومع ذلك ، فإن العالم الذي نعيش فيه مبني على أنماط عددية ، والتي يساعد تحديدها ليس فقط في التعرف على العالم من حولنا وحل مشاكله المعقدة ، ولكن أيضًا في تبسيط المهام العملية اليومية. ماذا يعني عالم الرياضيات عندما يقول أن متتالية رقمية تتقارب؟ يجب مناقشة هذا بمزيد من التفصيل.

صغير؟

تخيل دمى ماتريوشكا التي تناسب إحداها داخل الأخرى. تشكل أحجامها ، المكتوبة في شكل أرقام ، بدءًا من الأكبر وتنتهي بأصغرها ، تسلسلًا. إذا تخيلت عددًا لا حصر له من هذه الأشكال الساطعة ، فسيكون الصف الناتج طويلًا بشكل مذهل. هذا هو تسلسل رقمي متقارب. وهي تميل إلى الصفر ، لأن حجم كل دمية تعشيش لاحقة ، تتناقص بشكل كارثي ، وتتحول تدريجياً إلى لا شيء. وبالتالي ، من السهل شرح ما هو صغير للغاية.

مثال مشابه سيكون طريقًا يسير في المسافة. والأبعاد المرئية للسيارة التي تبتعد عن المراقب على طولها ، تتقلص تدريجياً ، وتتحول إلى بقعة بلا شكل تشبه نقطة. وهكذا ، فإن السيارة ، مثل الجسم ، تتحرك بعيدًا في اتجاه غير معروف ، تصبح صغيرة جدًا. لن تكون معلمات الجسم المحدد صفرًا بالمعنى الحقيقي للكلمة ، ولكنها تميل دائمًا إلى هذه القيمة في النهاية النهائية. لذلك ، يتقارب هذا التسلسل مرة أخرى إلى الصفر.

دعونا نحسب كل شيء قطرة قطرة

لنتخيل وضعًا حقيقيًا في الحياة. وصف الطبيب للمريض أن يأخذ الدواء ابتداءً من عشر قطرات في اليوم ويضاف قطرتان في اليوم التالي. ولذلك اقترح الطبيب الاستمرار حتى نفاد محتويات قنينة الدواء التي يبلغ حجمها 190 قطرة. مما سبق ، يترتب على ذلك أن عدد هؤلاء ، مرسومًا باليوم ، سيكون سلسلة الأرقام التالية: 10 ، 12 ، 14 ، وهكذا.

كيف تعرف وقت اجتياز الدورة كاملة وعدد أعضاء التسلسل؟ هنا ، بالطبع ، يمكنك عد القطرات بطريقة بدائية. ولكن من الأسهل كثيرًا ، في ضوء النمط ، استخدام الصيغة مع الخطوة d = 2. وباستخدام هذه الطريقة ، اكتشف أن عدد أعضاء سلسلة الأعداد هو 10. في هذه الحالة ، 10 = 28. يشير رقم العضو إلى عدد أيام تناول الدواء ، و 28 يتوافق مع عدد القطرات التي يجب أن يستخدمها المريض في اليوم الأخير. هل هذا التسلسل تتلاقى؟ لا ، لأنه على الرغم من أنه يقتصر على 10 من أسفل و 28 من أعلى ، فإن سلسلة الأرقام هذه ليس لها حد ، على عكس الأمثلة السابقة.

ماهو الفرق؟

الآن دعنا نحاول التوضيح: عندما تتحول السلسلة الرقمية إلى تسلسل متقارب. تعريف من هذا النوع ، كما يمكن استنتاجه مما سبق ، يرتبط ارتباطًا مباشرًا بمفهوم الحد المحدود ، الذي يكشف وجوده عن جوهر القضية. إذن ما هو الاختلاف الأساسي بين الأمثلة المذكورة سابقًا؟ ولماذا في آخرهما لا يمكن اعتبار الرقم 28 حد السلسلة العددية X n = 10 + 2 (n-1)؟

لتوضيح هذه المشكلة ، ضع في اعتبارك تسلسلًا آخر تقدمه الصيغة أدناه ، حيث ينتمي n إلى مجموعة الأعداد الطبيعية.

مجتمع الأعضاء هذا عبارة عن مجموعة من الكسور العادية ، بسطها هو 1 والمقام يتزايد باستمرار: 1 ، ½ ...

علاوة على ذلك ، فإن كل ممثل لاحق لهذه السلسلة ، من حيث الموقع على خط الأعداد ، يقترب بشكل متزايد من الصفر. وهذا يعني أن مثل هذا الحي يظهر حيث تتجمع النقاط حول الصفر ، وهو الحد الأقصى. وكلما اقتربوا منه ، أصبح تركيزهم على خط الأعداد أكثر كثافة. وانخفضت المسافة بينهما بشكل كارثي ، وتحولت إلى مسافة متناهية الصغر. هذه علامة على أن التسلسل يتقارب.

وبالمثل ، فإن المستطيلات متعددة الألوان الموضحة في الشكل ، عندما تتحرك بعيدًا في الفضاء ، تكون مزدحمة بصريًا ، في الحد الافتراضي يتحول إلى ضئيل.

تسلسلات كبيرة بلا حدود

بعد تحليل تعريف التسلسل المتقارب ، ننتقل الآن إلى الأمثلة المضادة. كثير منهم معروف للإنسان منذ العصور القديمة. أبسط المتغيرات للتسلسلات المتباينة هي سلسلة الأعداد الطبيعية والزوجية. يُطلق عليهم اسم كبير بلا حدود بطريقة أخرى ، نظرًا لأن أعضائها ، الذين يتزايدون باستمرار ، يقتربون بشكل متزايد من اللانهاية الإيجابية.

يمكن أيضًا استخدام أي من التدرجات الحسابية والهندسية بخطوة ومقام أكبر من الصفر ، على التوالي ، كأمثلة على ذلك. علاوة على ذلك ، تعتبر المتتاليات المتباعدة سلاسل عددية ليس لها حد على الإطلاق. على سبيل المثال ، X n = (-2) n -1.

متتالية فيبوناتشي

لا يمكن إنكار الاستخدام العملي للسلسلة العددية المذكورة سابقًا للإنسانية. ولكن هناك عدد لا يحصى من الأمثلة الرائعة الأخرى. واحد منهم هو تسلسل فيبوناتشي. كل عضو من أعضائها ، والذي يبدأ بواحد ، هو مجموع الأعضاء السابقة. الممثلان الأولان لهما 1 و 1. الثالث 1 + 1 = 2 ، الرابع 1 + 2 = 3 ، الخامس 2 + 3 = 5. علاوة على ذلك ، وفقًا لنفس المنطق ، تتبع الأرقام 8 و 13 و 21 وما إلى ذلك.

هذه السلسلة من الأعداد تنمو إلى أجل غير مسمى وليس لها حدود محدودة. لكن لها خاصية أخرى رائعة. تكون نسبة كل رقم سابق إلى التالي أقرب وأكثر في قيمتها إلى 0.618. هنا يمكنك فهم الفرق بين التسلسل المتقارب والمتشعب ، لأنه إذا قمت بعمل سلسلة من التقسيمات الخاصة المستلمة ، فسيكون للنظام العددي المحدد حد نهائي يساوي 0.618.

تسلسل نسبة فيبوناتشي

تستخدم سلسلة الأرقام الموضحة أعلاه على نطاق واسع لأغراض عملية للتحليل الفني للأسواق. لكن هذا لا يقتصر على قدراتها التي عرفها المصريون واليونانيون وتمكنوا من تطبيقها في العصور القديمة. ثبت ذلك من خلال الأهرامات التي بنوها والبارثينون. بعد كل شيء ، الرقم 0.618 هو معامل ثابت للقسم الذهبي ، معروف جيدًا في الأيام الخوالي. وفقًا لهذه القاعدة ، يمكن تقسيم أي مقطع تعسفي بطريقة تتطابق النسبة بين أجزائه مع النسبة بين أكبر المقاطع والطول الإجمالي.

دعونا نبني سلسلة من هذه العلاقات ونحاول تحليل هذا التسلسل. ستكون سلسلة الأرقام على النحو التالي: 1 ؛ 0.5 ؛ 0.67 ؛ 0.6 ؛ 0.625 ؛ 0.615 ؛ 0.619 وهلم جرا. بالاستمرار بهذه الطريقة ، يمكن للمرء أن يتحقق من أن حد التسلسل المتقارب سيكون بالفعل 0.618. ومع ذلك ، من الضروري ملاحظة الخصائص الأخرى لهذا الانتظام. هنا يبدو أن الأرقام تسير بشكل عشوائي ، وليس بترتيب تصاعدي أو تنازلي على الإطلاق. هذا يعني أن هذا التسلسل المتقارب ليس رتيبًا. لماذا سيتم مناقشة هذا الأمر كذلك.

الرتابة والقيود

يمكن لأعضاء السلسلة الرقمية ذات الأرقام المتزايدة أن تنقص بوضوح (إذا كانت x 1> x 2> x 3> ...> x n> ...) أو تزيد (إذا كانت x 1

بعد رسم أرقام هذه السلسلة ، يمكن للمرء أن يلاحظ أن أيًا من أعضائها ، يقترب من 1 إلى أجل غير مسمى ، لن يتجاوز هذه القيمة أبدًا. في هذه الحالة ، يُقال أن التسلسل المتقارب محدود. يحدث هذا عندما يكون هناك رقم موجب M ، والذي يكون دائمًا أكبر من أي من شروط مقياس السلسلة. إذا كانت سلسلة الأرقام تحتوي على علامات رتابة ولها حدود ، وبالتالي تتقارب ، فمن الضروري أن تتمتع بمثل هذه الخاصية. والعكس لا يجب أن يكون صحيحًا. يتضح هذا من خلال نظرية الحدود للتسلسل المتقارب.

تبين أن تطبيق مثل هذه الملاحظات في الممارسة العملية مفيد للغاية. دعنا نعطي مثالًا محددًا من خلال فحص خصائص المتسلسلة X n = n / n + 1 وإثبات تقاربها. من السهل إظهار أنه رتيب ، حيث أن (x n +1 - x n) رقم موجب لأي قيم لـ n. حد التسلسل يساوي الرقم 1 ، مما يعني استيفاء جميع شروط النظرية أعلاه ، والتي تسمى أيضًا نظرية Weierstrass. تنص النظرية المتعلقة بحدود التسلسل المتقارب على أنه إذا كان له حد ، فسيكون على أي حال مقيدًا. ومع ذلك ، لنأخذ المثال التالي. سلسلة الأرقام X n = (-1) n تحدها من أسفل بمقدار -1 ومن أعلى بمقدار 1. لكن هذا التسلسل ليس رتيبًا ، وليس له حدود ، وبالتالي لا يتقارب. أي أن وجود الحدود والتقارب لا ينبع دائمًا من التقييد. لكي يعمل هذا ، يجب أن تتطابق الحدود الدنيا والعليا ، كما في حالة نسب فيبوناتشي.

أعداد وقوانين الكون

أبسط المتغيرات للتسلسل المتقارب والمتشعب هي ، ربما ، السلسلة العددية X n = n و X n = 1 / n. أولها سلسلة طبيعية من الأرقام. إنه ، كما ذكرنا سابقًا ، كبير بشكل لا نهائي. التسلسل المتقارب الثاني محدود ، وشروطه قريبة من متناهية الصغر في الحجم. تجسد كل من هذه الصيغ أحد جوانب الكون متعدد الأوجه ، مما يساعد الشخص على تخيل وحساب شيء غير معروف ، لا يمكن الوصول إليه من قبل الإدراك المحدود في لغة الأرقام والعلامات.

يتم التعبير عن قوانين الكون ، التي تتراوح من ضئيل إلى كبير بشكل لا يصدق ، أيضًا من خلال النسبة الذهبية 0.618. يعتقد العلماء أنه أساس جوهر الأشياء وتستخدمه الطبيعة لتشكيل أجزائه. إن العلاقات بين العضوين التاليين والسابقين من سلسلة فيبوناتشي ، والتي ذكرناها بالفعل ، لا تكمل عرض الخصائص المذهلة لهذه السلسلة الفريدة. إذا أخذنا في الاعتبار حاصل قسمة الحد السابق على المصطلح التالي على واحد ، فسنحصل على سلسلة من 0.5 ؛ 0.33 ؛ 0.4 ؛ 0.375 ؛ 0.384 ؛ 0.380 ؛ 0.382 وما إلى ذلك. من المثير للاهتمام أن هذا التسلسل المحدود يتقارب ، فهو ليس رتيبًا ، لكن نسبة الأرقام المجاورة المتطرفة من عضو معين تساوي دائمًا تقريبًا 0.382 ، والتي يمكن استخدامها أيضًا في الهندسة المعمارية والتحليل الفني والصناعات الأخرى.

هناك معاملات أخرى مثيرة للاهتمام لسلسلة فيبوناتشي ، وكلها تلعب دورًا خاصًا في الطبيعة ، ويستخدمها الإنسان أيضًا لأغراض عملية. علماء الرياضيات على يقين من أن الكون يتطور وفقًا لـ "لولب ذهبي" معين يتكون من المعاملات المشار إليها. بمساعدتهم ، من الممكن حساب العديد من الظواهر التي تحدث على الأرض وفي الفضاء ، من النمو في عدد بعض البكتيريا إلى حركة المذنبات البعيدة. كما اتضح ، تخضع شفرة الحمض النووي لقوانين مماثلة.

تناقص التقدم الهندسي

هناك نظرية تؤكد تفرد حد التسلسل المتقارب. هذا يعني أنه لا يمكن أن يكون لها حدين أو أكثر ، وهو أمر مهم بلا شك لإيجاد خصائصه الرياضية.

لننظر في بعض الحالات. أي سلسلة عددية تتكون من أعضاء للتقدم الحسابي تكون متشعبة ، باستثناء الحالة ذات الخطوة الصفرية. الأمر نفسه ينطبق على التقدم الهندسي ، الذي يكون قاسمه أكبر من 1. حدود هذه السلسلة العددية هي "زائد" أو "ناقص" اللانهاية. إذا كان المقام أقل من -1 ، فلا يوجد حد على الإطلاق. الخيارات الأخرى ممكنة أيضًا.

ضع في اعتبارك سلسلة الأرقام الواردة في الصيغة X n = (1/4) n -1. للوهلة الأولى ، من السهل أن ترى أن هذا التسلسل المتقارب محدود لأنه يتناقص بشكل صارم ولا يمكنه بأي حال من الأحوال أخذ قيم سلبية.

دعنا نكتب عددًا من أعضائها على التوالي.

احصل على: 1 ؛ 0.25 ؛ 0.0625 ؛ 0.015625 ؛ 0.00390625 وما إلى ذلك. تكفي العمليات الحسابية البسيطة لفهم مدى سرعة التقدم الهندسي مع القواسم 0

المتواليات الأساسية

كشف العالم الفرنسي أوغستين لويس كوشي للعالم عن العديد من الأعمال المتعلقة بالتحليل الرياضي. قدم تعريفات لمفاهيم مثل التفاضلية والتكامل والحد والاستمرارية. كما درس الخصائص الأساسية للتتابعات المتقاربة. من أجل فهم جوهر أفكاره ، من الضروري تلخيص بعض التفاصيل المهمة.

في بداية المقال ، تم توضيح أن هناك مثل هذه التسلسلات التي يوجد بها حي حيث تبدأ النقاط التي تمثل أعضاء سلسلة معينة على الخط الحقيقي في التجمع ، وتصطف بشكل أكثر كثافة. في الوقت نفسه ، تقل المسافة بينهما مع زيادة عدد الممثل التالي ، فتتحول إلى رقم صغير للغاية. وهكذا ، اتضح أنه في حي معين يتم تجميع عدد لا حصر له من ممثلي سلسلة معينة ، بينما يوجد خارجها عدد محدود منهم. تسمى هذه التسلسلات أساسية.

يشير معيار كوشي الشهير ، الذي وضعه عالم رياضيات فرنسي ، بوضوح إلى أن وجود مثل هذه الخاصية كافٍ لإثبات أن التسلسل يتقارب. والعكس صحيح أيضا.

وتجدر الإشارة إلى أن هذا الاستنتاج الذي توصل إليه عالم الرياضيات الفرنسي هو في الغالب ذا أهمية نظرية بحتة. يعتبر تطبيقه في الممارسة العملية مسألة معقدة إلى حد ما ، لذلك ، من أجل توضيح تقارب السلاسل ، من المهم للغاية إثبات وجود حد محدود للتسلسل. خلاف ذلك ، يعتبر متشعب.

عند حل المشكلات ، يجب على المرء أيضًا أن يأخذ في الاعتبار الخصائص الأساسية للمتواليات المتقاربة. يتم عرضها أدناه.

مبالغ لانهائية

استخدم علماء العصور القديمة المشهورون ، مثل أرخميدس وإقليدس وإيودوكسوس ، مجاميع سلاسل الأرقام اللانهائية لحساب أطوال المنحنيات وأحجام الأجسام ومناطق الأشكال. على وجه الخصوص ، بهذه الطريقة كان من الممكن معرفة منطقة الجزء المكافئ. لهذا ، تم استخدام مجموع السلسلة العددية للتقدم الهندسي مع q = 1/4. تم العثور على أحجام ومساحات الأرقام التعسفية الأخرى بطريقة مماثلة. هذا الخيار كان يسمى طريقة "الاستنفاد". كانت الفكرة أن الجسم المدروس ، معقد الشكل ، تم تقسيمه إلى أجزاء ، والتي كانت عبارة عن أشكال ذات معلمات سهلة القياس. لهذا السبب ، لم يكن من الصعب حساب مساحاتها وأحجامها ، ثم تم جمعها معًا.

بالمناسبة ، المهام المماثلة مألوفة جدًا لأطفال المدارس الحديثة وتوجد في مهام الاستخدام. الطريقة الفريدة ، التي وجدها أسلاف بعيدون ، هي إلى حد بعيد الحل الأبسط. حتى إذا كان هناك جزءان أو ثلاثة أجزاء فقط يتم تقسيم الشكل العددي إليهما ، فإن إضافة مناطقهم تظل مجموع سلسلة الأرقام.

بعد فترة طويلة من العلماء اليونانيين القدماء ليبنيز ونيوتن ، بناءً على تجربة أسلافهم الحكماء ، تعلموا قوانين الحساب المتكامل. ساعدتهم معرفة خصائص المتتاليات في حل المعادلات التفاضلية والجبرية. في الوقت الحاضر ، تتيح نظرية السلسلة ، التي تم إنشاؤها بجهود أجيال عديدة من العلماء الموهوبين ، فرصة لحل عدد كبير من المشكلات الرياضية والعملية. ودراسة المتتاليات العددية هي المشكلة الرئيسية التي حلها التحليل الرياضي منذ نشأته.

التسلسلات الرقمية هي مجموعات لا نهائية من الأرقام. أمثلة المتتاليات هي: تسلسل جميع أعضاء التقدم الهندسي اللانهائي ، تسلسل القيم التقريبية ( × 1 = 1, × 2 = 1,4, × 3= 1.41، ...) ، تسلسل محيط منتظم ن- رموز منقوشة في دائرة معينة. دعونا نحسن مفهوم التسلسل العددي.

التعريف 1.إذا كان كل رقم نمن السلسلة الطبيعية للأرقام 1 ، 2 ، 3 ، ... ، ص ، ...تخصيص رقم حقيقي س ص ،ثم مجموعة الأعداد الحقيقية

× 1 ، × 2 ، × 3 ، ... ، × ن ، ...(2.1)

مسمى تسلسل رقميأو مجرد تسلسل. .

أعداد × 1 ، × 2, × 3, ..., س ص ،... سوف يتصل عناصر،أو أفرادمتواليات (2.1) ، رمز س ص - جنرال لواءعنصر أو عضو في تسلسل والرقم ف -له رقم.باختصار ، سيتم الإشارة إلى التسلسل (2.1) بالرمز (x ع).على سبيل المثال ، الحرف (1 / ن) يشير إلى سلسلة من الأرقام

بمعنى آخر ، يمكن فهم التسلسل على أنه مجموعة لا حصر لها من العناصر المرقمة أو مجموعة من أزواج الأرقام (ص ، س) ،حيث يأخذ الرقم الأول القيم المتتالية 1 ، 2 ، 3 ، .... يعتبر التسلسل معطى إذا تم تحديد طريقة للحصول على أي من عناصره. على سبيل المثال ، الصيغة س ن = -1 + (-1)نيحدد التسلسل 0 ، 2 ، 0 ، 2 ، ....

هندسيًا ، يتم تصوير التسلسل على المحور العددي كسلسلة من النقاط التي تكون إحداثياتها مساوية لأعضاء التسلسل المقابل. على التين. 2.1 يوضح التسلسل ( x ن} = {1/ن) على خط الأعداد.

مفهوم التسلسل المتقارب

التعريف 2.رقم لكنمسمى حد التسلسل{x ن} , إذا كان لأي رقم موجب ε يوجد رقم نهذا للجميع ن> نعدم المساواة

يتم استدعاء التسلسل الذي له حد متقاربة.إذا كان التسلسل يحتوي على رقم كحد له لكن، ثم يكتب على النحو التالي:

يتم استدعاء التسلسل الذي ليس له حدود متشعب.

التعريف 3.تسلسل له رقم حده لكن= 0 يسمى تسلسل متناهي الصغر.

ملاحظة 1.دع التسلسل ( x ن) له الحد من العدد لكن. ثم التسلسل (α ن} = {x ن - ا) صغير بلا حدود ، أي أي عنصر س صتسلسل متقارب مع حد لكن، يمكن تمثيلها كـ

أين α ن-عنصر تسلسل متناهي الصغر (α ن} .

ملاحظة 2.اللامساواة (2.2) تعادل عدم المساواة (انظر الخاصية 4 لمعامل رقم من الفقرة 1.5)

هذا يعني أن في ن> نجميع عناصر التسلسل ( x ن) تقع في ε الحينقاط لكن(الشكل 2.2) ، والرقم نيتحدد بقيمة ε.

من المثير للاهتمام إعطاء تفسير هندسي لهذا التعريف. نظرًا لأن التسلسل عبارة عن مجموعة لا نهائية من الأرقام ، فعندئذ إذا كان يتقارب ، في أي منطقة من النقطة لكنيوجد على الخط الحقيقي عدد لا حصر له من النقاط - عناصر هذا التسلسل ، بينما يوجد خارج الحي عدد محدود من العناصر. لذلك ، غالبًا ما يتم استدعاء حد التسلسل نقطة سماكة.

ملاحظة 3.التسلسل غير المحدود لا يحتوي على أخيرحد. ومع ذلك ، قد يكون لديها بلا نهايةالحد ، وهو مكتوب بالشكل التالي:

إذا كانت جميع أعضاء التسلسل موجبة (سالبة) في نفس الوقت ، بدءًا من رقم معين ، فاكتب

إذا ( x ن) هو تسلسل متناهي الصغر ، ثم (1 / س ص} - تسلسل لانهائيالتي لها حد لانهائي بمعنى (2.3) والعكس صحيح.

دعونا نعطي أمثلة على التسلسلات المتقاربة والمتباينة.

مثال 1أظهر ، باستخدام تعريف حد التسلسل ، أن.

المحلول. خذ أي رقم ε> 0. منذ ذلك الحين

ثم لكي تصمد المتباينة (2.2) ، يكفي حل المتباينة 1 / ( ن + 1) < ε, откуда получаем ن> (1 - ε) / ε. يكفي أن تأخذ ن= [(1 - ε) / ε] (الجزء الصحيح من الرقم (1 - ε) /) * بحيث تكون المتباينة | س ص - 1| < ε выполнялосьпривсех ن> ن.

* رمز [ أ] يعني الجزء الصحيح من الرقم لكن، بمعنى آخر. أكبر عدد صحيح لا يتجاوز لكن. على سبيل المثال ، = 2 ، = 2 ، = 0 ، [-0 ، 5] = -1 ، [-23.7] = -24.

مثال 2أظهر أن التسلسل ( x ن} = (-1)ن، أو -1 ، 1 ، -1 ، 1 ، ... ليس لها حدود.

المحلول. في الواقع ، مهما كان الرقم الذي نفترضه كحد: 1 أو -1 ، مع ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов س ص: جميع العناصر ذات الأرقام الفردية هي -1 ، والعناصر ذات الأرقام الزوجية هي 1.

الخصائص الأساسية للتسلسلات المتقاربة

دعونا نقدم الخصائص الرئيسية للتسلسلات المتقاربة ، والتي تمت صياغتها في شكل نظريات في سياق الرياضيات العليا.

1.إذا كانت جميع عناصر التسلسل متناهي الصغر{x ن} تساوي نفس العدد ج ، ثم ج = 0.

2. التسلسل المتقارب له حد واحد فقط.

3.التسلسل المتقارب محدود.

4.مجموع (فرق) التسلسلات المتقاربة{x ن} و{ذ ن} هو تسلسل متقارب حده يساوي مجموع (فرق) حدود المتواليات{س ص} و{ص ص}.

5.نتاج متواليات متقاربة{x ن} و{ذ ن} هو تسلسل متقارب حده يساوي حاصل ضرب حدود المتتاليات{x ن} و{ذ ن} .

6.حاصل تتابعين متقاربين{x ن} و{ذ ن} بشرط أن يكون حد التسلسل{ذ ن} غير صفري ، هناك تسلسل متقارب حده يساوي حاصل قسمة حدود المتواليات{x ن} و{ص ص} .

7. إذا كانت عناصر تسلسل متقارب{x ن} تحقق المتباينة x p ≥ b (x p ≤ b) بدءًا من عدد ما ، ثم تحقق النهاية a من هذه المتتابعة أيضًا المتباينة a ≥ b (a ≤ b).

8.حاصل ضرب تسلسل متناهي الصغر بتسلسل محدود أو برقم هو تسلسل متناهي الصغر.

9.حاصل ضرب عدد محدود من التسلسلات اللامتناهية في الصغر هو تسلسل متناهي الصغر.

دعونا ننظر في تطبيق هذه الخصائص مع الأمثلة.

مثال 3. أوجد الحد.

المحلول. في نيميل بسط الكسر ومقامه إلى اللانهاية ، أي لا يمكن تطبيق نظرية حد خارج القسمة على الفور ، لأنها تفترض وجود حدود متناهية من المتتاليات. نقوم بتحويل هذا التسلسل بقسمة البسط والمقام على ن 2. عند تطبيق النظريات المتعلقة بحد حاصل القسمة ، وحد المجموع ، ومرة ​​أخرى حد ​​حاصل القسمة ، نجد على التوالي

مثال 4 س ص) = في ص.

المحلول. هنا ، كما في المثال السابق ، ليس للبسط والمقام حدود محدودة ، وبالتالي يجب إجراء التحويلات المناسبة أولاً. قسمة البسط والمقام على ن، نحن نحصل

نظرًا لأن البسط هو نتاج متتالية متناهية الصغر ومتسلسلة محدودة ، إذن ، من خلال الخاصية 8 ، نحصل أخيرًا على

مثال 5أوجد نهاية التسلسل ( x ن) = في ص .

المحلول. هنا من المستحيل تطبيق النظرية مباشرة على حد مجموع (فرق) المتتاليات ، حيث لا توجد حدود محدودة للمصطلحات في صيغة ( x ن} . اضرب وقسم صيغة ( x ن) بالتعبير المترافق:

عدد ه

ضع في اعتبارك التسلسل ( x ن} , التي يتم التعبير عن مصطلحها المشترك بواسطة الصيغة

في سياق التحليل الرياضي ، ثبت أن هذا التسلسل يزيد بشكل رتيبوله حدود. هذا الحد يسمى الرقم ه. لذلك ، بحكم التعريف

رقم هيلعب دورًا كبيرًا في الرياضيات. بعد ذلك ، سيتم النظر في طريقة لحسابها بأي دقة مطلوبة. لاحظ هنا أن الرقم هغير منطقي قيمتها التقريبية ه = 2,7182818... .

3. حد التسلسل الرقمي

3.1 مفهوم التسلسل العددي ودالة الحجة الطبيعية

التعريف 3.1.التسلسل العددي (يشار إليه فيما يلي ببساطة بالتسلسل) هو مجموعة مرتبة من الأرقام القابلة للعد

{x1 ، x2 ، x3 ، ... }.

انتبه إلى نقطتين.

1. يوجد عدد لانهائي من الأرقام في التسلسل. إذا كان هناك عدد محدود من الأرقام ، فهذا ليس تسلسل!

2. يتم ترتيب جميع الأرقام ، أي مرتبة في ترتيب معين.

فيما يلي ، غالبًا ما نستخدم اختصار التسلسل ( xn}.

يمكن إجراء عمليات معينة على التسلسلات. دعونا نفكر في بعضها.

1. ضرب تسلسل بعدد.

اللاحقة ج×{ xn) عبارة عن تسلسل يحتوي على عناصر ( ج× xn)، بمعنى آخر

ج×{ x1 ، x2 ، x3 ، ... }={ج× x1 ، ق× x2 ، ق× x3, ... }.

2. جمع وطرح المتتاليات.

{xn}±{ ي}={xn± ي},

أو ، بمزيد من التفصيل ،

{x1 ، x2 ، x3 ، ...}±{ y1، y2، y3، ... }={x1± y1 ، x2± y2 ، x3± y3 ، ... }.

3. مضاعفة المتتاليات.

{xn}×{ ي}={xn× ي}.

4. تقسيم المتتاليات.

{xn}/{ي}={س / ين}.

بطبيعة الحال ، من المفترض أنه في هذه الحالة كل شيء ي¹ 0.

التعريف 3.2.اللاحقة ( xn) يُسمى مقيدًا من أعلى إذا كان https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif "width =" 71 height = 20 "height =" 20 ">. gif" width = "53" height = "25 src =">. يسمى التسلسل (xn) مقيدًا إذا كان مقيدًا في الأعلى والأسفل.

3.2 حد التسلسل. تسلسل كبير بلا حدود

التعريف 3.3.رقم أيسمى حد التسلسل ( xn) في نتميل إلى اللانهاية ، إذا

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif "width =" 77 "height =" 33 src = ">. gif" width = "93" height = "33"> if.

يقولون ذلك إذا.

التعريف 3.4.اللاحقة ( xn) كبير بشكل لا نهائي إذا (أي ، إذا ).

3.3. تسلسل متناهي الصغر.

التعريف 3.5.التسلسل (xn) يسمى متناهي الصغر إذا ، هذا ، إذا.

التسلسلات اللامتناهية في الصغر لها الخصائص التالية.

1. مجموع وفرق التسلسلات متناهية الصغر هو أيضًا تسلسل متناهي الصغر.

2. يتم تقييد تسلسل متناهي الصغر.

3. حاصل ضرب تسلسل متناهي الصغر وتسلسل محدود هو تسلسل متناهي الصغر.

4. إذا ( xn) هو تسلسل كبير بشكل لا نهائي ، ثم يبدأ من بعض نالتسلسل (1 / xn) ، وهو تسلسل متناهي الصغر. على العكس ، إذا ( xn) هو تسلسل متناهي الصغر وكل شيء xnتختلف عن الصفر ، ثم (1 / xn) هو تسلسل كبير بشكل لا نهائي.

3.4. متواليات متقاربة.

التعريف 3.6.إذا كان هناك حد نهاية https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif "width =" 149 "height =" 33 ">.

5. إذا ، ومن بعد .

3.5. المرور إلى الحد في عدم المساواة.

نظرية 3.1.إذا ، يبدأ من بعض ن، الكل xn ³ ب، ومن بعد .

عاقبة.إذا ، يبدأ من بعض ن، الكل xn ³ ي، ومن بعد .

تعليق. لاحظ أنه إذا ، يبدأ من بعض ن، الكل xn > بإذن ، عند المرور إلى الحد الأقصى ، يمكن أن تصبح عدم المساواة الصارمة غير صارمة.

نظرية 3.2.("نظرية شرطيين") إذا ، ابتداء من بعض ن، الخصائص التالية تحمل

1..gif "width =" 163 "height =" 33 src = "> ،

ثم موجود.

3.6 حد تسلسل رتيب.

التعريف 3.7.اللاحقة ( xn) يسمى زيادة رتيبة إذا وجدت ن xn + 1 ³ xn.

اللاحقة ( xn) يسمى زيادة رتيبة بشكل صارم إن وجد ن xn + 1> xn.

xn­.

التعريف 3.8.اللاحقة ( xn) يسمى التناقص الرتيب إن وجد ن xn + 1 £ xn.

اللاحقة ( xn) يسمى التناقص الرتيب بشكل صارم إن وجد ن xn + 1< xn.

يتم دمج كلتا الحالتين مع الرمز xn¯.

نظرية حول وجود حد لتسلسل رتيب.

1. إذا كان التسلسل ( xn) يتزايد (يتناقص) بشكل رتيب ويحد من أعلى (من أسفل) ، ثم يكون له حد محدود يساوي sup ( xn) (inf ( xn}).

2 إذا كان التسلسل ( xn) يزيد (ينقص) بشكل رتيب ، ولكن لا يقتصر من فوق (من أسفل) ، ثم له حد يساوي + (- ¥).

بناءً على هذه النظرية ، ثبت أن هناك ما يسمى بحد رائع

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif "width =" 176 "height =" 28 src = ">. يطلق عليه تسلسل لاحق ( xn}.

نظرية 3.3.إذا كان التسلسل ( xn) يتقارب وحده أ، فإن أيًا من تكراراتها اللاحقة تتقارب أيضًا ولها نفس الحد.

إذا ( xn) هو تسلسل كبير بشكل لا نهائي ، فإن أيًا من تكراراته اللاحقة يكون أيضًا كبيرًا بشكل لا نهائي.

Bolzano-Weierstrass lemma.

1. من أي تسلسل محدود ، يمكن للمرء أن يستخرج تسلسلًا لاحقًا يتقارب إلى حد منتهي.

2. يمكن استخراج تتابعات كبيرة لا نهائية من أي تسلسل غير محدود.

على أساس هذه اللمة ، تم إثبات إحدى النتائج الرئيسية لنظرية الحدود - معيار تقارب بولزانو كوشي.

من أجل التسلسل ( xn) كان هناك حد محدود ، فمن الضروري والكافي

يُطلق على التسلسل الذي يحقق هذه الخاصية اسم التسلسل الأساسي ، أو التسلسل الذي يتقارب في حد ذاته.

الرياضيات هي العلم الذي يبني العالم. كل من العالم والرجل العادي - لا أحد يستطيع الاستغناء عنها. أولاً ، يتم تعليم الأطفال الصغار العد ، ثم الجمع والطرح والضرب والقسمة ، من خلال المدرسة الإعدادية ، تلعب تسميات الحروف دورًا ، ولا يمكن الاستغناء عنهم في المدرسة الأكبر سنًا.

لكن اليوم سوف نتحدث عما تقوم عليه كل الرياضيات المعروفة. حول مجتمع الأرقام يسمى "حدود التسلسل".

ما هي المتتاليات وأين حدودها؟

ليس من الصعب تفسير معنى كلمة "تسلسل". هذا هو مثل هذا البناء للأشياء ، حيث يوجد شخص ما أو شيء ما في ترتيب أو قائمة انتظار معينة. على سبيل المثال ، قائمة انتظار تذاكر حديقة الحيوان عبارة عن تسلسل. ويمكن أن يكون هناك واحد فقط! على سبيل المثال ، إذا نظرت إلى قائمة الانتظار إلى المتجر ، فهذا تسلسل واحد. وإذا ترك شخص ما قائمة الانتظار هذه فجأة ، فهذه قائمة انتظار مختلفة وترتيب مختلف.

كلمة "حد" يمكن تفسيرها بسهولة - هذه هي نهاية الشيء. ومع ذلك ، في الرياضيات ، حدود التسلسل هي تلك القيم على خط الأعداد التي تميل إلى تسلسل الأرقام. لماذا يجاهد ولا ينتهي؟ الأمر بسيط ، خط الأعداد ليس له نهاية ، ومعظم التسلسلات ، مثل الأشعة ، لها بداية فقط وتبدو كما يلي:

x 1، x 2، x 3، ... x n ...

ومن ثم فإن تعريف التسلسل هو دالة للحجة الطبيعية. أكثر بكلمات بسيطةعبارة عن سلسلة من أعضاء بعض المجموعات.

كيف يتم بناء التسلسل الرقمي؟

قد يبدو أبسط مثال على التسلسل الرقمي على النحو التالي: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... ن ...

في معظم الحالات ، لأغراض عملية ، يتم إنشاء التسلسلات من الأرقام ، ولكل عضو تالٍ في السلسلة ، دعنا نشير إليه بواسطة X ، اسمه الخاص. علي سبيل المثال:

× 1 - العضو الأول في التسلسل ؛

× 2 - العضو الثاني في التسلسل ؛

× 3 - العضو الثالث ؛

x n هو العضو رقم n.

في الطرق العملية ، يتم إعطاء التسلسل بواسطة صيغة عامة يوجد فيها بعض المتغيرات. علي سبيل المثال:

X n \ u003d 3n ، فإن سلسلة الأرقام نفسها ستبدو كما يلي:

تجدر الإشارة إلى أنه في التدوين العام للمتواليات ، يمكنك استخدام أي أحرف لاتينية ، وليس فقط X. على سبيل المثال: y ، z ، k ، إلخ.

التقدم الحسابي كجزء من المتتاليات

قبل البحث عن حدود التسلسل ، من المستحسن التعمق في مفهوم سلسلة الأرقام هذه ، والتي واجهها الجميع عندما كانوا في الطبقات الوسطى. التقدم الحسابي هو سلسلة من الأرقام يكون فيها الفرق بين الحدود المتجاورة ثابتًا.

المهمة: "دع 1 \ u003d 15 ، وخطوة تقدم سلسلة الأرقام د \ u003d 4. بناء أول 4 أعضاء من هذا الصف "

الحل: 1 = 15 (حسب الشرط) هو أول عضو في التقدم (سلسلة رقمية).

و 2 = 15 + 4 = 19 هو العضو الثاني في التقدم.

و 3 \ u003d 19 + 4 = 23 هو المصطلح الثالث.

و 4 \ u003d 23 + 4 = 27 هو المصطلح الرابع.

ومع ذلك ، باستخدام هذه الطريقة يصعب الوصول إلى قيم كبيرة ، على سبيل المثال ، تصل إلى 125.. خاصة في مثل هذه الحالات ، تم اشتقاق صيغة مناسبة للممارسة: n \ u003d a 1 + d (n-1). في هذه الحالة ، 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.

أنواع التسلسل

معظم التسلسلات لا حصر لها ، ومن الجدير أن نتذكرها مدى الحياة. هناك نوعان مثيران للاهتمام من سلاسل الأرقام. يتم إعطاء الأول بواسطة الصيغة a n = (- 1) n. غالبًا ما يشير علماء الرياضيات إلى هذه التسلسلات المتعرجة. لماذا ا؟ دعونا نتحقق من أرقامها.

1 ، 1 ، -1 ، 1 ، -1 ، 1 ، إلخ. باستخدام هذا المثال ، يتضح أنه يمكن بسهولة تكرار الأرقام في التسلسل.

تسلسل عاملي. من السهل تخمين أن هناك عاملاً في الصيغة يحدد التسلسل. على سبيل المثال: و n = (n + 1)!

ثم سيبدو التسلسل كما يلي:

و 2 = 1x2x3 = 6 ؛

و 3 \ u003d 1x2x3x4 = 24 ، إلخ.

يسمى التسلسل المعطى بالتقدم الحسابي بالتناقص اللانهائي إذا لوحظ المتباين -1 لجميع أعضائه

و 3 \ u003d - 1/8 ، إلخ.

حتى أن هناك تسلسل يتكون من نفس الرقم. إذن ، و n \ u003d 6 يتكون من عدد لا حصر له من الستات.

تحديد نهاية التسلسل

توجد حدود التسلسل منذ فترة طويلة في الرياضيات. بالطبع ، إنهم يستحقون التصميم الخاص بهم. لذا حان الوقت لمعرفة تعريف حدود التسلسل. أولاً ، ضع في اعتبارك حد الدالة الخطية بالتفصيل:

1. يتم اختصار جميع الحدود على أنها Lim.
2. يتكون إدخال الحد من الاختصار lim ، وبعض المتغيرات التي تميل إلى رقم معين ، صفر أو ما لا نهاية ، بالإضافة إلى الوظيفة نفسها.

من السهل أن نفهم أن تعريف حد التسلسل يمكن صياغته على النحو التالي: إنه رقم معين ، يقترب منه جميع أعضاء التسلسل بلا حدود. مثال بسيط: و x = 4x + 1. ثم التسلسل نفسه سيبدو هكذا.

5 ، 9 ، 13 ، 17 ، 21 ... × ...

وبالتالي ، سيزداد هذا التسلسل إلى أجل غير مسمى ، مما يعني أن حده يساوي اللانهاية مثل x → ∞ ، ويجب كتابة هذا على النحو التالي:

إذا أخذنا تسلسلًا مشابهًا ، لكن س تميل إلى 1 ، نحصل على:

وستكون سلسلة الأرقام على النحو التالي: 1.4 ، 1.8 ، 4.6 ، 4.944 ، إلخ. في كل مرة تحتاج إلى استبدال الرقم أكثر فأكثر بالقرب من واحد (0.1 ، 0.2 ، 0.9 ، 0.986). يتضح من هذه السلسلة أن نهاية الدالة تساوي خمسة.

من هذا الجزء ، يجدر بنا أن نتذكر ما هو حد التسلسل العددي ، وتعريف وطريقة حل المهام البسيطة.

التدوين العام لنهاية المتتاليات

بعد تحليل حد التسلسل العددي وتعريفه وأمثلة ، يمكننا الانتقال إلى موضوع أكثر تعقيدًا. على الإطلاق ، يمكن صياغة جميع حدود المتتاليات من خلال صيغة واحدة ، والتي يتم تحليلها عادة في الفصل الدراسي الأول.

إذن ، ماذا تعني هذه المجموعة من الأحرف والوحدات وعلامات عدم المساواة؟

∀ هو مُحدِّد كمي عالمي ، يستبدل عبارات "للجميع" ، "لكل شيء" ، إلخ.

∃ هو مُحدِّد كمي للوجود ، وفي هذه الحالة يعني أن هناك بعض القيمة N تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية.

العصا العمودية الطويلة التي تلي N تعني أن المجموعة المعينة N هي "تلك". في الممارسة العملية ، يمكن أن تعني "مثل" ، "مثل ذلك" ، إلخ.

لدمج المادة ، اقرأ الصيغة بصوت عالٍ.

عدم اليقين واليقين من الحد

طريقة إيجاد حد التسلسلات ، التي تمت مناقشتها أعلاه ، على الرغم من سهولة استخدامها ، ليست منطقية في الممارسة. حاول إيجاد الحد الأقصى لهذه الوظيفة:

إذا عوضنا بقيم x مختلفة (زيادة كل مرة: 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ) ، فسنحصل على ∞ في البسط ، ولكن أيضًا ∞ في المقام. اتضح أن كسرًا غريبًا نوعًا ما:

ولكن هل هو حقا كذلك؟ يبدو حساب حد التسلسل العددي في هذه الحالة سهلاً بدرجة كافية. من الممكن ترك كل شيء كما هو ، لأن الإجابة جاهزة ، وتم استلامها بشروط معقولة ، ولكن هناك طريقة أخرى خاصة لمثل هذه الحالات.

أولًا ، لنجد أعلى درجة في بسط الكسر - هذه 1 ، حيث يمكن تمثيل x على أنه x 1.

لنجد الآن أعلى درجة في المقام. أيضا 1.

اقسم كلًا من البسط والمقام على المتغير لأعلى درجة. في هذه الحالة ، نقسم الكسر على x 1.

بعد ذلك ، لنجد القيمة التي يميل إليها كل مصطلح يحتوي على المتغير. في هذه الحالة ، يتم اعتبار الكسور. بما أن x → ∞ ، فإن قيمة كل من الكسور تميل إلى الصفر. عند عمل ورقة مكتوبة ، يجدر عمل الحواشي التالية:

يتم الحصول على التعبير التالي:

بالطبع الكسور التي تحتوي على x لا تصبح أصفارًا! لكن قيمتها صغيرة جدًا لدرجة أنه من الجائز تمامًا عدم أخذها في الاعتبار في الحسابات. في الواقع ، لن تساوي x أبدًا 0 في هذه الحالة ، لأنه لا يمكنك القسمة على صفر.

ما هو الحي؟

لنفترض أن الأستاذ تحت تصرفه تسلسل معقد ، معطى بوضوح بصيغة لا تقل تعقيدًا. وجد الأستاذ الجواب ، لكن هل يناسبه؟ بعد كل شيء ، كل الناس يخطئون.

توصل أوغست كوشي إلى طريقة رائعة لإثبات حدود التسلسل. كانت طريقته تسمى عملية الحي.

افترض أن هناك نقطة ما ، فإن جوارها في كلا الاتجاهين على الخط الحقيقي يساوي ε ("إبسيلون"). نظرًا لأن المتغير الأخير هو المسافة ، فإن قيمته تكون دائمًا موجبة.

لنقم الآن بتعيين بعض المتتالية x n ونفترض أن الحد العاشر من المتتابعة (x 10) مضمّن في المنطقة المجاورة a. كيف تكتب هذه الحقيقة بلغة رياضية؟

افترض أن x 10 على يمين النقطة a ، ثم المسافة x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

حان الوقت الآن لشرح عملياً الصيغة المذكورة أعلاه. من العدل أن نطلق على رقم ما نقطة نهاية التسلسل إذا كانت المتباينة ε> 0 ثابتة لأي من حدودها ، وكان للجوار بأكمله رقمه الطبيعي N ، بحيث تكون جميع أعضاء المتسلسلة ذات الأرقام الأعلى داخل التسلسل | xn - a |< ε.

بهذه المعرفة ، من السهل حل حدود التسلسل ، لإثبات أو دحض إجابة جاهزة.

نظريات

تعتبر النظريات حول حدود التسلسل مكونًا مهمًا للنظرية ، والتي بدونها تكون الممارسة مستحيلة. لا يوجد سوى أربع نظريات رئيسية ، تذكر أنه يمكنك تسهيل عملية الحل أو الإثبات بشكل كبير:

1. تفرد حد التسلسل. يمكن أن يكون لأي تسلسل حد واحد فقط أو لا يكون على الإطلاق. نفس المثال مع قائمة انتظار يمكن أن يكون لها نهاية واحدة فقط.
2. إذا كان لسلسلة من الأرقام حد ، فإن تسلسل هذه الأرقام يكون محدودًا.
3. حد مجموع (الفرق ، حاصل الضرب) للتسلسلات يساوي مجموع (الفرق ، حاصل الضرب) من حدودها.
4. حد خارج قسمة متتابعين يساوي خارج قسمة النهايتين إذا وفقط إذا كان المقام لا يتلاشى.

إثبات التسلسل

في بعض الأحيان يكون مطلوبًا حل مشكلة عكسية ، لإثبات حد معين من التسلسل العددي. لنلقي نظرة على مثال.

برهن على أن حد التسلسل الذي تعطيه الصيغة يساوي صفرًا.

طبقًا للقاعدة السابقة ، لأي تسلسل المتباينة | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

دعنا نعبر عن n بدلالة "epsilon" لإظهار وجود رقم معين وإثبات وجود حد التسلسل.

في هذه المرحلة ، من المهم أن نتذكر أن "epsilon" و "en" أرقام موجبة ولا تساوي الصفر. الآن يمكنك الاستمرار في المزيد من التحولات باستخدام المعرفة حول عدم المساواة المكتسبة في المدرسة الثانوية.

من أين اتضح أن n> -3 + 1 / ε. نظرًا لأنه من الجدير بالذكر أننا نتحدث عن الأعداد الطبيعية ، يمكن تقريب النتيجة بوضعها بين قوسين مربعين. وهكذا ، فقد ثبت أنه بالنسبة لأي قيمة لحي "إبسيلون" للنقطة أ = 0 ، تم العثور على قيمة بحيث يتم استيفاء عدم المساواة الأولية. من هذا يمكننا أن نؤكد بأمان أن الرقم أ هو نهاية التسلسل المحدد. Q.E.D.

بهذه الطريقة المريحة ، يمكنك إثبات حد التسلسل العددي ، بغض النظر عن مدى تعقيده للوهلة الأولى. الشيء الرئيسي هو عدم الذعر عند رؤية المهمة.

أو ربما هو غير موجود؟

وجود حد التسلسل ليس ضروريًا في الممارسة. من السهل العثور على مثل هذه السلسلة من الأرقام التي لا نهاية لها حقًا. على سبيل المثال ، نفس المتعري x n = (-1) n. من الواضح أن التسلسل الذي يتكون من رقمين فقط يتكرر بشكل دوري لا يمكن أن يكون له حد.

تتكرر نفس القصة مع متواليات تتكون من رقم واحد ، كسري ، مع وجود عدم يقين بأي ترتيب أثناء العمليات الحسابية (0/0 ، ∞ / ∞ ، ∞ / 0 ، إلخ). ومع ذلك ، يجب أن نتذكر أن الحساب غير الصحيح يحدث أيضًا. في بعض الأحيان ، ستساعدك إعادة التحقق من الحل الخاص بك في العثور على حد التعاقب.

تسلسل رتيب

أعلاه ، نظرنا في العديد من الأمثلة على المتتاليات ، وطرق حلها ، والآن دعونا نحاول أن نأخذ حالة أكثر تحديدًا ونسميها "تسلسل رتيب".

التعريف: من الإنصاف استدعاء أي تسلسل يتزايد بشكل رتيب إذا كان يحقق المتباينة الصارمة x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x ن +1.

إلى جانب هذين الشرطين ، هناك أيضًا تفاوتات غير صارمة مماثلة. وفقًا لذلك ، x n ≤ x n +1 (تسلسل غير متناقص) و x n ≥ x n +1 (تسلسل غير متزايد).

لكن من الأسهل فهم ذلك بالأمثلة.

التسلسل المعطى بواسطة الصيغة x n \ u003d 2 + n يشكل سلسلة الأرقام التالية: 4 ، 5 ، 6 ، إلخ. هذا تسلسل متزايد بشكل رتيب.

وإذا أخذنا x n \ u003d 1 / n ، فسنحصل على سلسلة: 1/3 ، ¼ ، 1/5 ، إلخ. هذا تسلسل تنازلي رتيب.

حد التسلسل المتقارب والمحدود

التسلسل المحدود هو تسلسل له حد. المتتالية المتقاربة هي سلسلة من الأرقام لها حد متناهي الصغر.

وبالتالي ، فإن حد التسلسل المحدود هو أي رقم حقيقي أو مركب. تذكر أنه لا يمكن أن يكون هناك سوى حد واحد.

حد التسلسل المتقارب هو كمية متناهية الصغر (حقيقية أو معقدة). إذا قمت برسم مخطط تسلسل ، فعند نقطة معينة سوف يتقارب ، كما كان ، يميل إلى التحول إلى قيمة معينة. ومن هنا جاء الاسم - تسلسل متقارب.

حد التسلسل الأحادي

مثل هذا التسلسل قد يكون أو لا يكون له حد. أولاً ، من المفيد أن تفهم متى يكون كذلك ، من هنا يمكنك البدء عند إثبات عدم وجود حد.

من بين المتواليات الرتيبة ، يتم تمييز المتقاربة والمتباينة. متقارب - هذا هو التسلسل الذي يتم تكوينه بواسطة المجموعة x وله حد حقيقي أو معقد في هذه المجموعة. متشعب - تسلسل ليس له حدود في مجموعته (ليس حقيقيًا ولا معقدًا).

علاوة على ذلك ، يتقارب التسلسل إذا تقاربت حديه العلوي والسفلي في تمثيل هندسي.

يمكن أن يكون حد التسلسل المتقارب في كثير من الحالات مساوياً للصفر ، لأن أي تسلسل متناهي الصغر له حد معروف (صفر).

أيًا كان التسلسل المتقارب الذي تأخذه ، فكلها مقيدة ، ولكن بعيدًا عن كل التسلسلات المحدودة تتقارب.

مجموع وفرق وحاصل ضرب متتابعين متقاربين هو أيضًا تسلسل متقارب. ومع ذلك ، يمكن أن يتقارب حاصل القسمة أيضًا إذا تم تعريفه!

إجراءات مختلفة بحدود

تعد حدود التسلسل مهمة (في معظم الحالات) مثل الأرقام والأرقام: 1 ، 2 ، 15 ، 24 ، 362 ، إلخ. واتضح أنه يمكن إجراء بعض العمليات بحدود.

أولاً ، تمامًا مثل الأرقام والأرقام ، يمكن إضافة وطرح حدود أي تسلسل. استنادًا إلى النظرية الثالثة حول حدود المتتاليات ، فإن المساواة التالية صحيحة: حد مجموع المتتاليات يساوي مجموع حدودها.

ثانيًا ، استنادًا إلى النظرية الرابعة حول حدود المتتاليات ، فإن المساواة التالية صحيحة: حد حاصل ضرب العدد التاسع من المتتاليات يساوي حاصل ضرب حدودها. وينطبق الشيء نفسه على القسمة: حد خارج قسمة متتابعين يساوي حاصل قسمة حديهما ، بشرط ألا يكون الحد صفرًا. بعد كل شيء ، إذا كان حد التسلسل يساوي صفرًا ، فإن القسمة على صفر ستنتهي ، وهو أمر مستحيل.

خصائص قيمة التسلسل

يبدو أن حد التسلسل العددي قد تم تحليله بالفعل بشيء من التفصيل ، ولكن تم ذكر عبارات مثل "صغيرة بلا حدود" والأرقام "الكبيرة بلا حدود" أكثر من مرة. من الواضح ، إذا كان هناك تسلسل 1 / x ، حيث x → ، فسيكون هذا الكسر صغيرًا بشكل لا نهائي ، وإذا كان نفس التسلسل ، ولكن الحد يميل إلى الصفر (x → 0) ، فإن الكسر يصبح قيمة كبيرة بشكل لا نهائي . وهذه القيم لها خصائصها الخاصة. خصائص حد التسلسل الذي يحتوي على قيم صغيرة أو كبيرة تعسفية هي كما يلي:

1. سيكون مجموع أي عدد من الكميات الصغيرة بشكل تعسفي كمية صغيرة أيضًا.
2. سيكون مجموع أي عدد من القيم الكبيرة قيمة كبيرة بشكل لا نهائي.
3. ناتج الكميات الصغيرة بشكل تعسفي صغير للغاية.
4. ناتج الأعداد الكبيرة بشكل تعسفي هو كمية كبيرة بشكل لا نهائي.
5. إذا كان التسلسل الأصلي يميل إلى عدد لا نهائي ، فسيكون مقلوبه متناهي الصغر ويميل إلى الصفر.

في الواقع ، لا يعد حساب حد التسلسل مهمة صعبة إذا كنت تعرف خوارزمية بسيطة. لكن حدود التسلسل موضوع يتطلب أقصى قدر من الاهتمام والمثابرة. بالطبع ، يكفي فهم جوهر حل مثل هذه التعبيرات. البدء صغيرًا ، بمرور الوقت ، يمكنك الوصول إلى ارتفاعات كبيرة.