مشتق من صيغة Leibniz على الإنترنت. مشتقات الطلبات الأعلى

يتم وضع نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملة من العمل متاحة في علامة التبويب "ملفات الوظائف" بتنسيق PDF

"وأنا أيضًا ، ذات الحدين لنيوتن!»

من السيد ومارجريتا

"مثلث باسكال بسيط للغاية لدرجة أنه حتى الطفل البالغ من العمر عشر سنوات يمكنه كتابته. في الوقت نفسه ، تخفي كنوزًا لا تنضب وتربط بين جوانب مختلفة من الرياضيات التي لا يوجد شيء مشترك بينها للوهلة الأولى. تتيح لنا هذه الخصائص غير العادية اعتبار مثلث باسكال أحد أكثر المخططات أناقة في الرياضيات.

مارتن جاردنر.

موضوعي:يعمم معادلات الضرب المختصر ، ويوضح تطبيقها في حل المشكلات.

مهام:

1) دراسة وتنظيم المعلومات حول هذه القضية ؛

2) تحليل أمثلة من المسائل لاستخدام نيوتن ذات الحدين والصيغ لمجموع وفرق الدرجات.

كائنات البحث:ذات الحدين لنيوتن ، صيغ مجموع الدرجات وفرقها.

طرق البحث:

العمل مع المؤلفات التعليمية والعلمية الشعبية ، ومصادر الإنترنت.

الحسابات ، المقارنة ، التحليل ، القياس.

ملاءمة.غالبًا ما يتعين على الشخص التعامل مع المشكلات التي يكون من الضروري فيها حساب عدد جميع الطرق الممكنة لترتيب بعض الأشياء أو عدد جميع الطرق الممكنة للقيام ببعض الإجراءات. تضيف المسارات أو الخيارات المختلفة التي يجب على الشخص أن يختارها ما يصل إلى مجموعة متنوعة من التركيبات. وفرع كامل من الرياضيات ، يسمى التوافقية ، مشغول بالبحث عن إجابات للأسئلة: كم عدد التركيبات الموجودة في حالة أو أخرى.

يتعين على ممثلي العديد من التخصصات التعامل مع الكميات التوليفية: عالم-كيميائي ، وعالم أحياء ، ومصمم ، ومرسل ، وما إلى ذلك. يرجع الاهتمام المتزايد بالتوليفات في السنوات الأخيرة إلى التطور السريع لعلم التحكم الآلي وتكنولوجيا الكمبيوتر.

مقدمة

عندما يريدون التأكيد على أن المحاور يبالغ في تعقيد المهام التي يواجهها ، فإنهم يقولون: "أنا أيضًا بحاجة إلى ذات الحدين لنيوتن!" لنفترض ، ها هي ذات الحدين لنيوتن ، إنها صعبة ، لكن ما هي المشاكل التي لديك! حتى أولئك الأشخاص الذين لا علاقة لاهتماماتهم بالرياضيات قد سمعوا عن ثنائية نيوتن ذات الحدين.

كلمة "ذات الحدين" تعني ذات الحدين ، أي مجموع فترتين. من الدورة المدرسية ، تُعرف ما يسمى بصيغ الضرب المختصرة:

( أ+ ب) 2 = أ 2 + 2 أب + ب 2 ، (أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أب 2 + ب 3 .

إن تعميم هذه الصيغ هو صيغة تسمى صيغة نيوتن ذات الحدين. تُستخدم الصيغ الخاصة بحساب فرق المربعات ومجموع وفرق المكعبات أيضًا في المدرسة. هل لديهم تعميم للدرجات الأخرى؟ نعم ، توجد مثل هذه الصيغ ، وغالبًا ما تستخدم في حل المشكلات المختلفة: إثبات القابلية للقسمة ، وتقليل الكسور ، والحسابات التقريبية.

دراسة الصيغ التعميمية تطور التفكير الاستنتاجي الرياضي والقدرات العقلية العامة.

القسم 1. صيغة نيوتن ذات الحدين

التوليفات وخصائصها

لنفترض أن X مجموعة تتكون من عناصر n. تسمى أي مجموعة فرعية Y من المجموعة X التي تحتوي على عناصر k مجموعة من عناصر k من n و k ≤ n.

يُرمز إلى عدد التركيبات المختلفة لعناصر k من n إلى C n k. إحدى أهم صيغ التوافقية هي الصيغة التالية للرقم C n k:

يمكن كتابتها بعد الاختصارات الواضحة على النحو التالي:

خاصه،

هذا يتفق تمامًا مع حقيقة أنه في المجموعة X توجد مجموعة فرعية واحدة فقط من 0 عنصر - المجموعة الفرعية الفارغة.

للأرقام C n k عدد من الخصائص الرائعة.

الصيغة С n k = С n - k n صالحة ، (3)

معنى الصيغة (3) هو أن هناك تطابق واحد لواحد بين مجموعة كل المجموعات الفرعية k-member من X ومجموعة كل المجموعات الفرعية (n - k) - الأعضاء من X: لإنشاء هذه المراسلات ، يكفي لكل مجموعة فرعية من k من Y تطابق مكملتها في المجموعة X.

الصيغة С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n صالحة (4)

يعبر المجموع الموجود على الجانب الأيسر عن عدد جميع المجموعات الفرعية للمجموعة X (C 0 n هو عدد المجموعات الفرعية المكونة من 0 عضو ، C 1 n هو عدد المجموعات الفرعية المكونة من عضو واحد ، وما إلى ذلك).

لأي k ، 1≤ k≤ n ، المساواة

C k n \ u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

من السهل الحصول على هذه المساواة باستخدام الصيغة (1). بالفعل،

1.2 اشتقاق صيغة نيوتن ذات الحدين

ضع في اعتبارك قوى ذات الحدين أ +ب .

ن = 0 ، (أ +ب ) 0 = 1

ن = 1 ، (أ +ب ) 1 = 1 أ + 1ب

ن = 2(أ +ب ) 2 = 1 أ 2 + 2 أب +1 ب 2

ن = 3(أ +ب ) 3 = 1 أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أب 2 +1 ب 3

ن = 4(أ +ب ) 4 = 1 أ 4 + 4 أ 3 ب + 6 أ 2 ب 2 + 4 أب 3 +1 ب 4

ن = 5(أ +ب ) 5 = 1 أ 5 + 5 أ 4 ب + 10 أ 3 ب 2 + 10 أ 2 ب 3 + 5 أب 4 + 1 ب 5

لاحظ الانتظامات التالية:

عدد شروط كثير الحدود الناتج أكبر من الأس ذي الحدين ؛

ينخفض ​​أس المصطلح الأول من n إلى 0 ، ويزداد أس المصطلح الثاني من 0 إلى n ؛

درجات جميع المونومرات تساوي درجات ذات الحدين في الحالة ؛

كل أحادية هي نتاج التعبيرين الأول والثاني في قوى مختلفة وعدد معين - المعامل ذي الحدين ؛

المعاملات ذات الحدين متساوية البعد من بداية ونهاية التمدد.

تعميم هذه الصيغ هو الصيغة التالية ، تسمى صيغة نيوتن ذات الحدين:

(أ + ب ) ن = ج 0 ن أ ن ب 0 + ج 1 ن أ ن -1 ب + ج 2 ن أ ن -2 ب 2 + ... + ج ن -1 ن أب ن -1 + ج ن ن أ 0 ب ن . (6)

في هذه الصيغة نيمكن أن يكون أي عدد طبيعي.

نشتق الصيغة (6). بادئ ذي بدء ، دعنا نكتب:

(أ + ب ) ن = (أ + ب )(أ + ب ) ... (أ + ب ), (7)

حيث عدد الأقواس المراد ضربها هو ن. من القاعدة المعتادة لضرب المجموع في المجموع ، يتبع ذلك التعبير (7) يساوي مجموع كل المنتجات الممكنة ، والتي يمكن أن تتكون على النحو التالي: أي مصطلح في أول المجاميع أ + بمضروبة في أي حد من المجموع الثاني أ + ب، في أي فترة من المجموع الثالث ، إلخ.

مما قيل يتضح أن المصطلح في التعبير ل (أ + ب ) نتطابق سلاسل (واحد لواحد) بطول n ، وتتألف من أحرف أ و ب.من بين المصطلحات ستكون هناك شروط مماثلة ؛ من الواضح أن هؤلاء الأعضاء يتوافقون مع سلاسل تحتوي على نفس عدد الأحرف أ. لكن عدد الأسطر التي تحتوي بالضبط k مضروبًا في الحرف أ، يساوي C n k. ومن ثم ، فإن مجموع كل الحدود التي تحتوي على الحرف a مع عامل بالضبط k مرة يساوي С n k أ ن - ك ب ك . بما أن k يمكن أن تأخذ القيم 0 ، 1 ، 2 ، ... ، n-1 ، n ، فإن الصيغة (6) تتبع تفكيرنا. لاحظ أنه يمكن كتابة الرقم (6) بشكل أقصر: [8)

على الرغم من أن الصيغة (6) تسمى اسم نيوتن ، إلا أنها في الواقع تم اكتشافها حتى قبل نيوتن (على سبيل المثال ، عرفها باسكال). تكمن ميزة نيوتن في حقيقة أنه وجد تعميمًا لهذه الصيغة في حالة الأسس غير الصحيحة. كان أنا نيوتن عام 1664-1665. اشتقت صيغة تعبر عن درجة ذات الحدين للأسس الكسرية والسالبة التعسفية.

الأرقام C 0 n ، C 1 n ، ... ، C n n ، المضمنة في الصيغة (6) ، تسمى عادةً المعاملات ذات الحدين ، والتي يتم تعريفها على النحو التالي:

من الصيغة (6) يمكن للمرء الحصول على عدد من خصائص هذه المعاملات. على سبيل المثال ، افتراض أ= 1 ، ب = 1 ، نحصل على:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n،

هؤلاء. صيغة (4). إذا وضعنا أ= 1 ، ب = -1 ، ثم سيكون لدينا:

0 \ u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

أو С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ....

هذا يعني أن مجموع معاملات الشروط الزوجية للتوسع يساوي مجموع معاملات الشروط الفردية للتوسع ؛ كل منهم يساوي 2 ن -1.

معاملات المصطلحات متساوية البعد من نهايات التمدد متساوية. تتبع هذه الخاصية من العلاقة: С n k = С n n - k

حالة خاصة مثيرة للاهتمام

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

أو أقصر (x +1) n = ∑C n k x n - k.

1.3. نظرية متعدد الحدود

نظرية.

دليل - إثبات.

من أجل الحصول على مونومال بعد فتح الأقواس ، تحتاج إلى اختيار تلك الأقواس التي تم أخذها منها ، تلك الأقواس التي تم أخذها منها ، إلخ. وتلك الأقواس التي أُخذت منها. معامل هذا المونومال بعد تقليل المصطلحات المماثلة يساوي عدد الطرق التي يمكن من خلالها اتخاذ مثل هذا الاختيار. يمكن تنفيذ الخطوة الأولى في تسلسل الاختيارات بطرق ، والخطوة الثانية - ، والثالثة - وما إلى ذلك ، والخطوة رقم - بطرق. المعامل المطلوب يساوي المنتج

القسم 2. مشتقات الرتب الأعلى.

مفهوم مشتقات الطلبيات العليا.

دع الدالة تكون قابلة للتفاضل في بعض الفترات. ثم مشتقها ، بشكل عام ، يعتمد على X، وهذا هو ، وظيفة X. لذلك ، فيما يتعلق به ، يمكننا مرة أخرى طرح مسألة وجود المشتق.

تعريف . مشتق المشتق الأول يسمى مشتق من الدرجة الثانية أو المشتق الثاني ويشار إليه بالرمز أو ، أي

تعريف . مشتق المشتق الثاني يسمى مشتق الرتبة الثالثة أو المشتق الثالث ويشار إليه بالرمز أو الرمز.

تعريف . المشتقن الترتيب عشرالمهام يسمى المشتق الأول من المشتق (ن -1) الترتيب الثالث لهذه الوظيفة ويشار إليه بالرمز أو:

تعريف . تسمى مشتقات الترتيب الأعلى من الأول المشتقات الأعلى.

تعليق. وبالمثل ، يمكن الحصول على الصيغة ن- المشتق من الوظيفة:

المشتق الثاني لوظيفة محددة بارامترياً

إذا تم إعطاء دالة حدوديًا بواسطة المعادلات ، فعندها للعثور على مشتق من الدرجة الثانية ، من الضروري التفريق بين تعبير مشتقها الأول كدالة معقدة لمتغير مستقل.

منذ ذلك الحين

وبالنظر إلى ذلك ،

لقد حصلنا عليها ، هذا هو.

وبالمثل ، يمكننا إيجاد المشتق الثالث.

تفاضل المجموع والمنتج والحاصل.

نظرًا لأنه يتم الحصول على التفاضل من المشتق بضربه في تفاضل متغير مستقل ، إذن ، بمعرفة مشتقات الوظائف الأولية الأساسية ، بالإضافة إلى قواعد إيجاد المشتقات ، يمكن للمرء أن يتوصل إلى قواعد مماثلة لإيجاد الفروق.

1 0 . تفاضل الثابت هو صفر.

2 0 . تفاضل المجموع الجبري لعدد محدود من الدوال القابلة للتفاضل يساوي المجموع الجبري لتفاضلات هذه الدوال .

3 0 . تفاضل حاصل ضرب وظيفتين قابلتين للتفاضل يساوي مجموع حاصل ضرب الدالة الأولى وتفاضل الدالتين الثانية والثانية وتفاضل الأول .

عاقبة. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التفاضل.

2.3 الدوال المعطاة حدوديًا ، تفاضلها.

تعريف . يقال أن الوظيفة يتم تعريفها بشكل حدودي إذا كان كلا المتغيرين X و يتم تعريف كل على حدة على أنها وظائف أحادية القيمة لنفس المتغير المساعد - المعلمةر :

أينر التغييرات في الداخل.

تعليق . نقدم المعادلات البارامترية للدائرة والقطع الناقص.

أ) الدائرة متمركزة في الأصل ونصف القطر صله معادلات حدودية:

ب) لنكتب المعادلات البارامترية للقطع الناقص:

من خلال استبعاد المعلمة رمن المعادلات البارامترية للخطوط قيد الدراسة ، يمكن للمرء أن يصل إلى معادلاتها الأساسية.

نظرية . إذا كانت الوظيفة ذ من الجدل يتم إعطاء x حدًا حدوديًا بواسطة المعادلات ، حيث تكون قابلة للاشتقاق فيما يتعلق بـر وظائف وبعد ذلك.

2.4 صيغة لايبنيز

لإيجاد المشتق نالترتيب الرابع لمنتج وظيفتين ، صيغة لايبنيز ذات أهمية عملية كبيرة.

اسمحوا ان شو الخامس- بعض الوظائف من متغير Xوجود مشتقات من أي أمر و ذ = الأشعة فوق البنفسجية. يعبر نالمشتق -th من خلال مشتقات الوظائف شو الخامس .

لدينا باستمرار

من السهل ملاحظة التشابه بين التعبيرات الخاصة بالمشتقتين الثانية والثالثة وتمدد نيوتن ذي الحدين في القوة الثانية والثالثة على التوالي ، ولكن بدلاً من الأسس توجد أرقام تحدد ترتيب المشتق والوظائف يمكن اعتبارهم أنفسهم "مشتقات بدون ترتيب". بالنظر إلى هذا ، نحصل على صيغة Leibniz:

يمكن إثبات هذه الصيغة عن طريق الاستقراء الرياضي.

القسم 3. تطبيق صيغة الليبنيز.

لحساب مشتق أي ترتيب من منتج وظيفتين ، وتجاوز التطبيق المتسلسل لصيغة حساب مشتق منتج وظيفتين ، نستخدم صيغة لايبنيز.

باستخدام هذه الصيغة ، ضع في اعتبارك أمثلة لحساب المشتق التاسع لحاصل ضرب وظيفتين.

مثال 1

أوجد المشتق الثاني للدالة

بحكم التعريف ، المشتق الثاني هو المشتق الأول للمشتق الأول ، أي

لذلك ، نجد أولًا مشتق من الدرجة الأولى للدالة المعطاة وفقًا لـ قواعد التمايزواستخدام جدول مشتق:

نوجد الآن مشتقة المشتقة الأولى. سيكون هذا هو المشتق المطلوب من الدرجة الثانية:

إجابه:

مثال 2

أوجد مشتق دالة من الدرجة th

قرار.

سنجد بشكل تسلسلي مشتقات من الأول والثاني والثالث وما إلى ذلك وفقًا لأوامر الدالة المعينة من أجل إنشاء نمط يمكن تعميمه على المشتق -th.

نجد المشتقة من الدرجة الأولى كـ مشتق من حاصل القسمة:

هنا يسمى التعبير عاملي الرقم. مضروب الرقم يساوي حاصل ضرب الأعداد من واحد إلى ، أي ،

المشتق الثاني هو المشتق الأول للمشتق الأول ، أي

مشتق من الدرجة الثالثة:

المشتق الرابع:

لاحظ الانتظام: يحتوي البسط على مضروب الرقم الذي يساوي ترتيب المشتق ، ويحتوي المقام على تعبير في القوة بمقدار واحد أكبر من ترتيب المشتق ، أي

إجابه.

مثال 3

أوجد قيمة المشتق الثالث للدالة عند نقطة.

قرار.

بالنسبة الى جدول المشتقات عالية المستوى، نملك:

في هذا المثال ، حصلنا على

لاحظ أنه يمكن أيضًا الحصول على نتيجة مماثلة من خلال إيجاد المشتقات على التوالي.

عند نقطة معينة ، يكون المشتق الثالث هو:

إجابه:

مثال 4

أوجد المشتق الثاني للدالة

قرار.أولاً ، لنجد المشتق الأول:

لإيجاد المشتق الثاني ، اشتقنا التعبير الخاص بالمشتق الأول مرة أخرى:

إجابه:

مثال 5

ابحث عما إذا كان

نظرًا لأن الوظيفة المعينة هي نتاج وظيفتين ، فمن المستحسن تطبيق صيغة Leibniz للعثور على مشتق من الدرجة الرابعة:

نجد كل المشتقات ونحسب معاملات الحدود.

1) احسب معاملات المصطلحات:

2) أوجد مشتقات الوظيفة:

3) أوجد مشتقات الوظيفة:

إجابه:

مثال 6

الدالة y = x 2 cos3x معطاة. أوجد مشتق الرتبة الثالثة.

دع u = cos3x، v = x 2 . بعد ذلك ، وفقًا لصيغة Leibniz ، نجد:

المشتقات في هذا التعبير هي:

(cos3x) ′ = - 3sin3x ،

(cos3x) ′ ′ = (- 3sin3x) ′ = - 9cos3x ،

(cos3x) ′ ′ ′ = (- 9cos3x) ′ = 27sin3x ،

(x2) ′ = 2x ،

(x2) ′ ′ = 2 ،

(x2) ′ ′ ′ = 0.

إذن ، المشتق الثالث للدالة المعطاة هو

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2 + 3 (−9cos3x) ⋅ 2x + 3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2 + 1 cos3x ⋅ 0

27x2sin3x − 54xcos3x − 18sin3x = (27x2−18) sin3x − 54xcos3x.

مثال 7

أوجد المشتقن من ترتيب وظيفة y = x 2 cosx.

نستخدم صيغة Leibniz ، الإعدادش = كوسكس, الخامس = س 2 . ثم

الشروط المتبقية من السلسلة تساوي الصفر ، منذ ذلك الحين(x2) (i) = 0 لـ i> 2.

مشتق وظيفة جيب التمام من الترتيب:

إذن ، مشتقة الدالة هي

خاتمة

تدرس المدرسة وتستخدم ما يسمى بصيغ الضرب المختصرة: مربعات ومكعبات مجموع واختلاف تعبيرين وصيغتين لتحليل فرق المربعات ومجموع وفرق مكعبات تعبيرين. إن تعميم هذه الصيغ هو صيغة تسمى صيغة نيوتن ذات الحدين وصيغ تحليل مجموع القوى واختلافها. غالبًا ما تستخدم هذه الصيغ في حل المشكلات المختلفة: إثبات القابلية للقسمة ، وتقليل الكسور ، والحسابات التقريبية. تم أخذ الخصائص المثيرة للاهتمام لمثلث باسكال ، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمثلث نيوتن ذي الحدين ، في الاعتبار.

تنظم الورقة المعلومات المتعلقة بالموضوع ، وتوفر أمثلة على المهام الخاصة باستخدام صيغة نيوتن ذات الحدين والصيغ لحساب مجموع الدرجات واختلافها. يمكن استخدام العمل في عمل دائرة رياضية ، وكذلك للدراسة المستقلة من قبل أولئك الذين يحبون الرياضيات.

قائمة المصادر المستخدمة

1. Vilenkin N. Ya. التوافقية - أد. "العلم". - م ، 1969

2. نيكولسكي إس إم ، بوتابوف إم كي ، ريشيتنيكوف إن إن ، شيفكين إيه في. الجبر وبداية التحليل الرياضي. الصف العاشر: كتاب مدرسي. للتعليم العام منظمات المستويات الأساسية والمتقدمة - م: التربية والتعليم 2014. - 431 ص.

3. حل المشكلات في الإحصاء والتوافقية ونظرية الاحتمالات. 7-9 خلايا / مؤلف - المترجم V.N. ستودينيتسكايا. - أد. الثاني ، المصحح ، - فولغوغراد: مدرس ، 2009

4. Savushkina I.A.، Khugaev K.D.، Tishkin S.B. المعادلات الجبرية للدرجات العليا / الدليل المنهجي لطلاب القسم التحضيري بين الجامعات. - سان بطرسبرج ، 2001.

5. Sharygin I.F. مقرر اختياري في الرياضيات: حل المشكلات. كتاب مدرسي لـ 10 خلايا. مدرسة ثانوية. - م: التنوير ، 1989.

6.العلم والحياة ، ذات الحدين لنيوتن ومثلث باسكال[مورد إلكتروني]. - وضع وصول: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

يتم إعطاء صيغة لايبنيز لحساب المشتق التاسع لحاصل ضرب وظيفتين. يتم إثباتها بطريقتين. يعتبر مثال لحساب مشتق من الترتيب n.

أنظر أيضا: مشتق من حاصل ضرب وظيفتين

صيغة لايبنيز

باستخدام صيغة لايبنيز ، يمكنك حساب المشتق التاسع لحاصل ضرب وظيفتين. تبدو هكذا:
(1) ,
أين
هي معاملات ذات الحدين.

المعاملات ذات الحدين هي معاملات توسيع ذات الحدين في قوى و:
.
الرقم أيضًا هو عدد التركيبات من n إلى k.

دليل على صيغة لايبنيز

نطبق صيغة مشتق حاصل ضرب وظيفتين:
(2) .
دعونا نعيد كتابة الصيغة (2) بالشكل التالي:
.
أي أننا نعتبر أن إحدى الوظائف تعتمد على المتغير x والأخرى تعتمد على المتغير y. في نهاية الحساب ، نفترض. ثم يمكن كتابة الصيغة السابقة على النحو التالي:
(3) .
نظرًا لأن المشتق يساوي مجموع المصطلحات ، وكل مصطلح هو نتاج وظيفتين ، ثم لحساب مشتقات الطلبات الأعلى ، يمكنك تطبيق القاعدة باستمرار (3).

ثم بالنسبة لمشتق الرتبة n لدينا:

.
بالنظر إلى ذلك ، نحصل على صيغة Leibniz:
(1) .

الإثبات عن طريق الاستقراء

نقدم إثبات صيغة لايبنيز بطريقة الاستقراء الرياضي.

دعنا نعيد كتابة صيغة Leibniz:
(4) .
بالنسبة إلى n = 1 لدينا:
.
هذه هي صيغة مشتق حاصل ضرب وظيفتين. إنها عادلة.

لنفترض أن الصيغة (4) صالحة لمشتق الرتبة n. دعنا نثبت أنه صالح للمشتق n + 1 الترتيب.

تميز (4):
;



.
لذلك وجدنا:
(5) .

استبدل بـ (5) مع مراعاة ما يلي:

.
يوضح هذا أن الصيغة (4) لها نفس الشكل للمشتق n + 1 الترتيب.

إذن ، الصيغة (4) صالحة لـ n = 1 . من افتراض أن هذا صحيح بالنسبة لبعض الأعداد n = m ، فإن ذلك يعني أنه صحيح بالنسبة لـ n = m + 1 .
تم إثبات تركيبة لايبنيز.

مثال

احسب المشتق النوني للدالة
.

نطبق صيغة لايبنيز
(2) .
في حالتنا هذه
;
.

حسب جدول المشتقات لدينا:
.
نطبق خصائص الدوال المثلثية:
.
ثم
.
هذا يدل على أن تمايز دالة الجيب يؤدي إلى تحولها بمقدار. ثم
.

نجد مشتقات الدالة.
;
;
;
, .

منذ ذلك الحين ، فقط المصطلحات الثلاثة الأولى في صيغة Leibniz ليست صفرية. إيجاد معاملات ذات الحدين.
;
.

وفقًا لصيغة Leibniz ، لدينا:

.

يتم تقليل حل المشكلات المطبقة إلى حساب التكامل ، ولكن ليس من الممكن دائمًا القيام بذلك بدقة. في بعض الأحيان يكون من الضروري معرفة قيمة تكامل محدد بدرجة معينة من الدقة ، على سبيل المثال ، لألف.

هناك مهام عندما يكون من الضروري العثور على القيمة التقريبية لتكامل معين بالدقة المطلوبة ، ثم يتم استخدام التكامل العددي مثل طريقة Simposn ، شبه المنحرف ، المستطيلات. لا تسمح لنا كل الحالات بحسابها بدقة معينة.

تتناول هذه المقالة تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز. هذا ضروري للحساب الدقيق للتكامل المحدد. سيتم إعطاء أمثلة مفصلة ، وسيتم النظر في تغيير المتغير في التكامل المحدد ، وسنجد قيم التكامل المحدد عند التكامل بالأجزاء.

صيغة نيوتن ليبنيز

عندما تكون الدالة y = y (x) متصلة من المقطع [a ؛ ب] ، و F (x) هي أحد المشتقات العكسية لوظيفة هذا المقطع ، إذن صيغة نيوتن ليبنيزتعتبر عادلة. لنكتبها على هذا النحو ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a).

تعتبر هذه الصيغة الصيغة الأساسية لحساب التفاضل والتكامل.

لإثبات هذه الصيغة ، من الضروري استخدام مفهوم التكامل مع الحد الأعلى المتغير المتاح.

عندما تكون الدالة y = f (x) متصلة من المقطع [a ؛ ب] ، ثم قيمة الوسيطة x ∈ a ؛ ب ، والتكامل له الصورة ∫ a x f (t) d t ويعتبر دالة في الحد الأعلى. من الضروري قبول تدوين الدالة على الشكل ∫ a x f (t) d t = Φ (x) ، وهي متصلة ، وعدم المساواة في الشكل ∫ a x f (t) d t "= Φ" (x) = f (x) صالحة لذلك.

نصلح أن زيادة الدالة Φ (x) تتوافق مع زيادة الوسيطة ∆ x ، فمن الضروري استخدام الخاصية الرئيسية الخامسة لتكامل محدد والحصول على

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + x - x = و (ج) ∆x

حيث القيمة ج ∈ س ؛ س + ∆x.

نصلح المساواة في الشكل Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c). بتعريف مشتق الدالة ، من الضروري المرور إلى النهاية كـ ∆ x → 0 ، ثم نحصل على صيغة من النموذج تقع على [أ ؛ ب] وإلا ، يمكن كتابة التعبير

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C ، حيث تكون قيمة C ثابتة.

لنحسب F (a) باستخدام الخاصية الأولى للتكامل المحدد. ثم نحصل على ذلك

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C ، وبالتالي C = F (a). تكون النتيجة قابلة للتطبيق عند حساب F (b) ونحصل على:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) ، بمعنى آخر ، F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (أ). تثبت المساواة صيغة نيوتن-لايبنيز ∫ أ ب و (س) د س + و (ب) - و (أ).

يتم أخذ الزيادة في الوظيفة على أنها F x a b = F (b) - F (a). بمساعدة الترميز ، تصبح صيغة نيوتن-لايبنيز ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a).

لتطبيق الصيغة ، من الضروري معرفة أحد المشتقات العكسية y = F (x) للتكامل y = f (x) من المقطع [a ؛ ب] ، احسب الزيادة في المشتق العكسي من هذا المقطع. ضع في اعتبارك بعض الأمثلة على الحسابات باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز.

مثال 1

احسب التكامل المحدد ∫ 1 3 x 2 d x باستخدام صيغة Newton-Leibniz.

قرار

ضع في اعتبارك أن تكامل الصورة y = x 2 مستمر من الفترة [1 ؛ 3] ، إذن و هو تكامل على هذا الفاصل. وفقًا لجدول التكاملات غير المحددة ، نرى أن الدالة y \ u003d x 2 بها مجموعة من المشتقات العكسية لجميع القيم الحقيقية لـ x ، مما يعني أن x ∈ 1 ؛ ستتم كتابة 3 بالصيغة F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C. من الضروري أخذ المشتق العكسي باستخدام C \ u003d 0 ، ثم نحصل على F (x) \ u003d x 3 3.

دعنا نستخدم صيغة نيوتن-لايبنيز ونحصل على أن حساب التكامل المحدد سيأخذ الصورة ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

إجابه:∫ ١ ٣ × ٢ د س = ٢٦ ٣

مثال 2

احسب التكامل المحدد ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x باستخدام صيغة Newton-Leibniz.

قرار

الوظيفة المعينة متصلة من المقطع [- 1 ؛ 2] مما يعني أنه قابل للتكامل عليه. من الضروري إيجاد قيمة التكامل غير المحدد ∫ x e x 2 + 1 d x باستخدام طريقة الجمع تحت العلامة التفاضلية ، ثم نحصل على ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 هـ × 2 + 1 + ج.

ومن ثم لدينا مجموعة من المشتقات العكسية للدالة y = x · e x 2 + 1 ، وهي صالحة لجميع x ، x ∈ - 1 ؛ 2.

من الضروري أخذ المشتق العكسي عند C = 0 وتطبيق صيغة Newton-Leibniz. ثم نحصل على تعبير عن النموذج

∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 هـ 2 (هـ 3-1)

إجابه:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3-1)

مثال 3

احسب التكاملات ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x و ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x.

قرار

الجزء - 4 ؛ - يقول 1 2 أن الوظيفة تحت علامة التكامل متصلة ، مما يعني أنها قابلة للتكامل. من هنا نجد مجموعة المشتقات العكسية للدالة y = 4 x 3 + 2 x 2. لقد حصلنا على ذلك

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

من الضروري أخذ المشتق العكسي F (x) \ u003d 2 x 2-2 x ، ثم بتطبيق صيغة Newton-Leibniz ، نحصل على التكامل الذي نحسبه:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

نجعل الانتقال إلى حساب التكامل الثاني.

من المقطع [- 1 ؛ 1] لدينا أن التكامل يعتبر غير محدود ، لأن lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ، ثم يترتب على ذلك شرط ضروري لإمكانية التكامل من المقطع. ثم F (x) = 2 x 2 - 2 x ليس مشتق عكسي لـ y = 4 x 3 + 2 x 2 من الفترة [- 1 ؛ 1] ، نظرًا لأن النقطة O تنتمي إلى المقطع ، ولكنها غير مدرجة في مجال التعريف. هذا يعني أن هناك تكاملًا محددًا لكل من Riemann و Newton-Leibniz للدالة y = 4 x 3 + 2 x 2 من الفترة [- 1 ؛ واحد ] .

الجواب: ∫ - 4-1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \ u003d - 28 ،يوجد تكامل محدد بين Riemann و Newton-Leibniz للدالة y = 4 x 3 + 2 x 2 من الفترة [- 1 ؛ واحد ] .

قبل استخدام صيغة Newton-Leibniz ، عليك أن تعرف بالضبط وجود تكامل محدد.

تغيير المتغير في تكامل محدد

عندما يتم تعريف الدالة y = f (x) ومستمرة من المقطع [a ؛ ب] ، ثم المجموعة الموجودة [أ ؛ ب] يعتبر نطاق الوظيفة x = g (z) المحددة في الفاصل α ؛ β مع المشتق المستمر الحالي ، حيث g (α) = a و g β = b ، ومن ثم نحصل على ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z.

تُستخدم هذه الصيغة عندما يكون من الضروري حساب التكامل ∫ a b f (x) d x ، حيث يكون التكامل غير المحدد بالصيغة ∫ f (x) d x ، نحسبها باستخدام طريقة التعويض.

مثال 4

احسب تكاملاً محددًا للصيغة ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x.

قرار

يعتبر التكامل مستمرًا في فترة التكامل ، مما يعني أن التكامل المحدد موجود. لنفترض أن 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. تعني القيمة x \ u003d 9 أن z \ u003d 2 9-9 \ u003d 9 \ u003d 3 ، وبالنسبة لـ x \ u003d 18 نحصل على ذلك z \ u003d 2 18-9 \ u003d 27 \ u003d 3 3 ، ثم g α \ u003d g (3) \ u003d 9، g β = g 3 3 = 18. استبدال القيم التي تم الحصول عليها في الصيغة ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z ، نحصل على ذلك

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 د ض

وفقًا لجدول التكاملات غير المحددة ، لدينا أن أحد المشتقات العكسية للدالة 2 z 2 + 9 يأخذ القيمة 2 3 a r c t g z 3. ثم ، بتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز ، نحصل على ذلك

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - 4 = 18

يمكن إجراء النتيجة دون استخدام الصيغة ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z.

إذا استخدمت طريقة الاستبدال تكاملًا بالصيغة ∫ 1 x 2 x - 9 d x ، فيمكننا الوصول إلى النتيجة ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

من هنا سنجري العمليات الحسابية باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز ونحسب التكامل المحدد. لقد حصلنا على ذلك

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18-9 3 - a r c t g 2 9-9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - 4 \ u003d π 18

النتائج المتطابقة.

الجواب: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

التكامل بالأجزاء في حساب تكامل محدد

إذا كان على المقطع [أ ؛ ب] الدالتان u (x) و v (x) مُعرَّفتان ومستمرتان ، ثم تكون مشتقاتهما من الدرجة الأولى v "(x) u (x) قابلة للتكامل ، لذا من هذا الفاصل الزمني للدالة القابلة للتكامل u" (x) v ( x) المساواة ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u" (x) v (x) d x صحيحة.

يمكن استخدام الصيغة بعد ذلك ، من الضروري حساب التكامل ∫ a b f (x) d x ، و ∫ f (x) d x كان من الضروري إيجادها باستخدام التكامل بالأجزاء.

مثال 5

احسب التكامل المحدد ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x.

قرار

الدالة x sin x 3 + π 6 قابلة للتكامل في المقطع - π 2 ؛ 3 π 2 ، إذن فهي متصلة.

دع u (x) \ u003d x ، ثم d (v (x)) \ u003d v "(x) d x \ u003d sin x 3 + π 6 d x ، و d (u (x)) \ u003d u" (x) د س \ u003d د س ، و v (س) = - 3 كوس π 3 + π 6. من الصيغة ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u" (x) v (x) d x نحصل على ذلك

∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + 6 d x \ u003d \ u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + 6 - - 3 - π 2 cos - 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \ u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + 6 - sin - π 6 + 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

يمكن حل المثال بطريقة أخرى.

أوجد مجموعة المشتقات العكسية للدالة x sin x 3 + π 6 باستخدام التكامل بالأجزاء باستخدام صيغة Newton-Leibniz:

∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x، d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x، v = - 3 cos x 3 + 6 = = - 3 cos x 3 + 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + 6 + C ⇒ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 سينتشوس x 3 + 6 - - - 3 - π 2 كوس - 6 + 6 + 9 خطيئة - π 6 + π 6 = = 9 4 + 9 3 2 - 3 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

الجواب: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

مشتقات الطلبات الأعلى

في هذا الدرس ، سوف نتعلم كيفية إيجاد مشتقات من الرتب الأعلى ، وكذلك كتابة الصيغة العامة للمشتق "nth". بالإضافة إلى ذلك ، سيتم النظر في صيغة Leibniz لمثل هذا المشتق ، ووفقًا للطلب الشائع ، سيتم النظر في مشتقات الدرجة الأعلى من وظيفة ضمنية. أقترح أن تجري اختبارًا صغيرًا على الفور:

ها هي الوظيفة: وهنا مشتقها الأول:

في حالة وجود أي صعوبات / سوء فهم حول هذا المثال ، يرجى البدء بمقالتين أساسيتين من الدورة التدريبية الخاصة بي: كيف تجد المشتق؟و مشتق دالة مركبة. بعد إتقان المشتقات الأولية ، أوصي بقراءة الدرس أبسط مسائل المشتقة، التي تعاملنا معها ، على وجه الخصوص المشتق الثاني.

ليس من الصعب حتى تخمين أن المشتق الثاني هو مشتق من المشتق الأول:

من حيث المبدأ ، يعتبر المشتق الثاني بالفعل مشتقًا من رتبة أعلى.

وبالمثل: المشتق الثالث هو مشتق من المشتق الثاني:

المشتق الرابع هو مشتق من المشتق الثالث:

المشتق الخامس: ، ومن الواضح أن جميع مشتقات الطلبات الأعلى ستكون أيضًا مساوية للصفر:

بالإضافة إلى الترقيم الروماني ، غالبًا ما تُستخدم التسميات التالية في الممارسة:
، بينما يتم الإشارة إلى مشتق الترتيب "n" بالرمز. في هذه الحالة ، يجب وضع الفهرس المرتفع بين قوسين.- لتمييز المشتق عن "y" في الدرجة.

في بعض الأحيان يكون هناك إدخال مثل هذا: - المشتقات الثالثة ، الرابعة ، الخامسة ، ... ، العدد التاسع ، على التوالي.

إلى الأمام دون خوف أو شك:

مثال 1

إعطاء وظيفة. لايجاد .

قرار: ماذا يمكنك أن تقول ... - إلى الأمام للمشتق الرابع :)

لم يعد من المعتاد وضع أربع ضربات ، لذلك ننتقل إلى المؤشرات الرقمية:

إجابه:

حسنًا ، دعنا نفكر الآن في هذا السؤال: ماذا تفعل إذا كان مطلوبًا ، وفقًا للشرط ، إيجاد ليس الرابع ، ولكن ، على سبيل المثال ، المشتق العشرين؟ إذا لمشتق 3-4-5 (الحد الأقصى ، 6-7)النظام ، يتم وضع الحل بسرعة كبيرة ، ثم "سنصل" إلى مشتقات الطلبات الأعلى ، أوه ، كيف ليس قريبًا. لا تكتب ، في الواقع ، 20 سطرا! في مثل هذه الحالة ، تحتاج إلى تحليل العديد من المشتقات التي تم العثور عليها ، ومعرفة النمط ووضع صيغة للمشتق "nth". لذلك ، في المثال رقم 1 ، من السهل أن نفهم أنه مع كل تمايز لاحق ، فإن "ثلاثية" إضافية "ستقفز" قبل الأس ، وفي أي خطوة تكون درجة "الثلاثي" مساوية لعدد المشتق ، لذلك:

أين هو رقم طبيعي تعسفي.

وبالفعل ، إذا تم الحصول على المشتق الأول بالضبط: ، إذا - ثم الثاني: إلخ. وهكذا ، يتم تحديد المشتق العشرين على الفور: - ولا "أوراق الكيلومتر"!

الاحماء بمفردنا:

مثال 2

ابحث عن الميزات. اكتب مشتق الترتيب

الحل والجواب في نهاية الدرس.

بعد إحماء منشط ، سننظر في أمثلة أكثر تعقيدًا سنعمل من خلالها على حل خوارزمية الحل أعلاه. لمن قرأ الدرس حد التسلسل، سيكون الأمر أسهل قليلاً:

مثال 3

ابحث عن الوظيفة.

قرار: لتوضيح الموقف نجد عدة مشتقات:

لسنا في عجلة من أمرنا لمضاعفة الأرقام الناتجة! ؛-)


ربما يكفي. ... حتى أنني أفرطت في الأمر قليلاً.

في الخطوة التالية ، من الأفضل كتابة صيغة المشتق "رقم n" (بمجرد أن لا يتطلب الشرط ذلك ، يمكنك الحصول على مسودة). للقيام بذلك ، ننظر إلى النتائج التي تم الحصول عليها وتحديد الأنماط التي يتم الحصول عليها من كل مشتق تالٍ.

أولا ، يوقعون. يوفر Interleaving "المتعري"، وبما أن المشتق الأول موجب ، فإن العامل التالي سيدخل الصيغة العامة: . الخيار المكافئ سيفي بالغرض ، ولكن بصفتي شخصًا متفائلًا ، أحب علامة الجمع =)

ثانيًا ، في البسط "رياح" عاملي، وهو "يتخلف" عن رقم المشتق بوحدة واحدة:

وثالثًا ، تزداد قوة "اثنين" في البسط ، وهو ما يساوي عدد المشتقة. يمكن قول الشيء نفسه عن درجة المقام. أخيراً:

لأغراض التحقق ، دعنا نستبدل قيمتين "en" ، على سبيل المثال ، و:

عظيم ، الآن ارتكاب الخطأ هو مجرد خطيئة:

إجابه:

وظيفة أبسط لحل افعلها بنفسك:

مثال 4

ابحث عن الميزات.

ومشكلة أصعب:

مثال 5

ابحث عن الميزات.

دعنا نكرر الإجراء مرة أخرى:

1) في البداية نجد عدة مشتقات. عادة ما تكون ثلاثة أو أربعة كافية لالتقاط الأنماط.

2) ثم أوصي بشدة بالتجميع (على الأقل في المسودة)المشتق "nth" - مضمون للحماية من الأخطاء. لكن يمكنك الاستغناء عنه ، أي قدر عقليًا واكتب على الفور ، على سبيل المثال ، المشتق العشرين أو الثامن. علاوة على ذلك ، يستطيع بعض الأشخاص بشكل عام حل المشكلات قيد الدراسة شفهيًا. ومع ذلك ، يجب أن نتذكر أن الأساليب "السريعة" محفوفة بالمخاطر ، ومن الأفضل تشغيلها بأمان.

3) في المرحلة النهائية ، نتحقق من المشتق "n" - نأخذ زوجًا من القيم "en" (أفضل من القيم المجاورة) ونجري استبدالًا. والأكثر موثوقية هو التحقق من جميع المشتقات الموجودة سابقًا. ثم نستبدل القيمة المرغوبة ، على سبيل المثال ، أو نقوم بتمشيط النتيجة بعناية.

حل موجز للمثالين الرابع والخامس في نهاية الدرس.

في بعض المهام ، من أجل تجنب المشاكل ، تحتاج إلى القيام ببعض السحر على الوظيفة:

مثال 6

قرار: لا أريد التفريق بين الوظيفة المقترحة على الإطلاق ، حيث سيتضح أنها كسر "سيئ" ، مما يجعل العثور على المشتقات اللاحقة أمرًا صعبًا للغاية.

في هذا الصدد ، من المستحسن إجراء تحولات أولية: نستخدم فرق صيغة المربعاتو خاصية اللوغاريتم :

أمر مختلف تمامًا:

والأصدقاء القدامى:

أعتقد أن كل شيء يتم النظر إليه. لاحظ أن الكسر الثاني موقَّع ، لكن الكسر الأول ليس كذلك. نقوم ببناء مشتق الطلب:

السيطرة:

حسنًا ، للجمال ، نخرج العامل من الأقواس:

إجابه:

مهمة مثيرة للاهتمام لحل مستقل:

مثال 7

اكتب صيغة الترتيب المشتق للدالة

والآن حول المسؤولية المتبادلة التي لا تتزعزع ، والتي سوف تحسدها حتى المافيا الإيطالية:

المثال 8

إعطاء وظيفة. لايجاد

المشتق الثامن عشر عند النقطة. مجرد.

قرار: أولا ، من الواضح ، عليك أن تجد. اذهب:

بدأوا من الجيب ، وأتوا إلى الجيب. من الواضح أنه مع مزيد من التفاضل ، ستستمر هذه الدورة إلى اللانهاية ، ويظهر السؤال التالي: ما هي أفضل طريقة "للوصول" إلى المشتق الثامن عشر؟

طريقة "الهاوي": نكتب بسرعة عدد المشتقات اللاحقة على اليمين في العمود:

هكذا:

لكنها تعمل إذا لم يكن ترتيب المشتق كبيرًا جدًا. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد المشتق المائة ، على سبيل المثال ، فعليك استخدام القابلية للقسمة على 4. مائة قابلة للقسمة على 4 بدون الباقي ، ومن السهل ملاحظة أن هذه الأرقام موجودة في المحصلة النهائية ، لذلك:.

بالمناسبة ، يمكن أيضًا تحديد المشتق الثامن عشر من اعتبارات مماثلة:
يحتوي السطر الثاني على أرقام قابلة للقسمة على 4 مع باقي 2.

طريقة أخرى أكثر أكاديمية تعتمد على دورية شرطو صيغ التخفيض. نستخدم الصيغة الجاهزة مشتق "nth" من الجيب ، حيث يتم استبدال الرقم المطلوب ببساطة. علي سبيل المثال:
(صيغة التخفيض ) ;
(صيغة التخفيض )

في حالتنا هذه:

(1) نظرًا لأن الجيب هو دالة دورية ذات فترة ، فيمكن أن تكون الحجة "غير مفككة" بدون ألم 4 فترات (أي).

يمكن إيجاد مشتق ترتيب حاصل ضرب وظيفتين بالصيغة:

خاصه:

لا تحتاج إلى تذكر أي شيء على وجه التحديد ، لأنه كلما زادت الصيغ التي تعرفها ، قل فهمك لها. أفضل بكثير لمعرفة ذات الحدين لنيوتن، نظرًا لأن صيغة لايبنيز تشبهه كثيرًا جدًا. حسنًا ، هؤلاء المحظوظون الذين حصلوا على مشتق من الصف السابع أو أعلى (وهو أمر غير محتمل حقًا)سيضطر إلى القيام بذلك. ومع ذلك ، عندما يحين الوقت التوافقية- لا يزال يتعين عليك =)

لنجد المشتق الثالث للدالة. نستخدم صيغة Leibniz:

في هذه الحالة: . من السهل النقر على المشتقات لفظيًا:

نقوم الآن بإجراء الاستبدال بعناية وحذر وتبسيط النتيجة:

إجابه:

مهمة مماثلة لحل مستقل:

المثال 11

ابحث عن الميزات

إذا كان الحل في المثال السابق "على الجبهة" لا يزال يتنافس مع صيغة لايبنيز ، فعندئذ سيكون الأمر غير سار بالفعل هنا. وحتى أكثر سوءًا - في حالة الترتيب الأعلى للمشتق:

المثال 12

أوجد مشتق الترتيب المحدد

قرار: الملاحظة الأولى والأساسية - لاتخاذ قرار مثل هذا ، على الأرجح ، ليس من الضروري =) =)

دعنا نكتب الدوال ونجد مشتقاتها حتى الرتبة الخامسة شاملة. أفترض أن مشتقات العمود الأيمن أصبحت شفهية بالنسبة لك:

في العمود الأيسر ، المشتقات "الحية" "منتهية" بسرعة وهذا أمر جيد جدًا - في صيغة Leibniz ، سيتم صفر ثلاثة شروط:

سوف أتطرق مرة أخرى إلى المعضلة التي ظهرت في المقال بتاريخ المشتقات المعقدة: لتبسيط النتيجة؟ من حيث المبدأ ، يمكنك ترك الأمر على هذا النحو - سيكون من الأسهل على المعلم التحقق. لكنه قد يحتاج إلى أخذ القرار في الاعتبار. من ناحية أخرى ، فإن التبسيط بمبادرة المرء محفوف بالأخطاء الجبرية. ومع ذلك ، لدينا إجابة تم الحصول عليها بطريقة "أولية" =) (انظر الرابط في البداية)وآمل أن يكون هذا صحيحًا:

عظيم ، كل شيء سار على ما يرام.

إجابه:

مهمة سعيدة لحل الذات:

المثال 13

للوظيفة:
أ) البحث عن طريق التفاضل المباشر ؛
ب) البحث عن طريق صيغة لايبنيز ؛
ج) احسب.

لا ، أنا لست ساديًا على الإطلاق - النقطة "أ" هنا بسيطة جدًا =)

ولكن على محمل الجد ، فإن الحل "المباشر" عن طريق التمايز المتتالي له أيضًا "الحق في الحياة" - وفي بعض الحالات يكون تعقيده قابلاً للمقارنة مع تعقيد تطبيق صيغة لايبنيز. استخدم ما تراه مناسبًا - من غير المحتمل أن يكون هذا سببًا لعدم احتساب المهمة.

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.

لرفع الفقرة الأخيرة عليك أن تكون قادرًا على ذلك التفريق بين الوظائف الضمنية:

مشتقات الرتبة الأعلى للوظائف الضمنية

لقد أمضى الكثير منا ساعات طويلة وأيامًا وأسابيع في الدراسة الدوائر, القطع المكافئ, مقارنة مبالغ فيها- وفي بعض الأحيان بدا الأمر وكأنه عقاب حقيقي. فلننتقم ونفرق بينهما بشكل صحيح!

لنبدأ مع "المدرسة" القطع المكافئ في الموقف الكنسي:

المثال 14

يتم إعطاء معادلة. لايجاد .

قرار: الخطوة الأولى مألوفة:

حقيقة أن الوظيفة ومشتقاتها معبر عنها ضمنيًا لا تغير جوهر الأمر ، فإن المشتق الثاني هو مشتق من المشتق الأول:

ومع ذلك ، هناك قواعد اللعبة: عادة ما يتم التعبير عن مشتقات من الرتب الثانية والأعلى فقط من خلال "x" و "y". لذلك ، نستبدل المشتق الثاني الناتج:

المشتق الثالث هو مشتق من المشتق الثاني:

وبالمثل ، دعنا نستبدل:

إجابه:

المبالغة في "المدرسة" في الموقف الكنسي- للعمل المستقل:

المثال 15

يتم إعطاء معادلة. لايجاد .

أكرر أنه يجب التعبير عن المشتق الثاني والنتيجة فقط من خلال "x" / "y"!

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.

بعد مقالب الأطفال ، دعونا نلقي نظرة على المواد الإباحية الألمانية @ fia ، فلنلقِ نظرة على المزيد من الأمثلة الخاصة بالبالغين ، والتي نتعلم منها حلًا مهمًا آخر:

المثال 16

الشكل البيضاوينفسه.

قرار: أوجد المشتق الأول:

والآن دعنا نتوقف ونحلل اللحظة التالية: علينا الآن اشتقاق الكسر ، وهو أمر غير مشجع على الإطلاق. في هذه الحالة ، بالطبع ، الأمر بسيط ، لكن في مشاكل الحياة الواقعية ، لا يوجد سوى زوجان من هذه الهدايا. هل هناك طريقة لتجنب إيجاد المشتق المرهق؟ يوجد! نأخذ المعادلة ونستخدم نفس الأسلوب المتبع عند إيجاد المشتق الأول - نعلق الضربات على كلا الجزأين:

يجب التعبير عن المشتق الثاني فقط من خلال وهكذا الآن (فى الحال)من الملائم التخلص من المشتق الأول. للقيام بذلك ، نعوض في المعادلة الناتجة:

لتجنب الصعوبات الفنية غير الضرورية ، نقوم بضرب كلا الجزأين في:

وفقط في المرحلة النهائية نرسم كسرًا:

الآن ننظر إلى المعادلة الأصلية ونلاحظ أنه يمكن تبسيط النتيجة التي تم الحصول عليها:

إجابه:

كيفية إيجاد قيمة المشتق الثاني في مرحلة ما (التي تنتمي بالطبع إلى القطع الناقص)، على سبيل المثال ، في هذه النقطة ؟ سهل جدا! تمت مصادفة هذا النموذج بالفعل في الدرس حول معادلة عادية: في التعبير عن المشتق الثاني تحتاج إلى تعويض :

بالطبع ، في جميع الحالات الثلاث ، يمكنك الحصول على وظائف محددة بوضوح وتمييزها ، ولكن بعد ذلك تستعد عقليًا للعمل مع وظيفتين تحتويان على جذور. في رأيي ، الحل أكثر ملاءمة للتنفيذ "ضمنيًا".

المثال الأخير للحل الذاتي:

المثال 17

البحث عن وظيفة ضمنية