مجال القوى المحتمل. ملاحظات المحاضرة ما يسمى بمجال القوى

في الفضاء ، في كل نقطة يتأثر فيها جسيم الاختبار بقوة محددة في الحجم والاتجاه (متجه القوة).

مميز تقنيًا (كما هو الحال مع أنواع أخرى من المجالات)

• الحقول الثابتة ، يمكن أن يعتمد حجمها واتجاهها فقط على نقطة في الفضاء (الإحداثيات x ، y ، z) ، و
• مجالات القوة غير الثابتة التي تعتمد أيضًا على الوقت t.

• مجال القوة المنتظم الذي تكون فيه القوة المؤثرة على جسيم الاختبار هي نفسها في جميع النقاط في الفضاء و
• مجال قوة غير متجانس لا يحتوي على هذه الخاصية.

أبسط ما يمكن دراسته هو حقل قوة ثابت ثابت ، ولكنه أيضًا أقل حالة عامة.

المجالات المحتملة

إذا كان عمل قوى المجال التي تعمل على جسيم اختبار متحرك فيه لا يعتمد على مسار الجسيم ، ويتم تحديده فقط من خلال موقعه الأولي والنهائي ، فإن هذا المجال يسمى الجهد. بالنسبة لها ، يمكننا تقديم مفهوم الطاقة الكامنة للجسيم - وظيفة معينة لإحداثيات الجسيمات بحيث يكون الفرق بين قيمها عند النقطتين 1 و 2 مساويًا للعمل الذي يقوم به المجال عند التحرك الجسيم من النقطة 1 إلى النقطة 2.

يتم التعبير عن القوة في مجال محتمل من حيث الطاقة الكامنة كتدرج لها:

أمثلة على مجالات القوة المحتملة:

المؤلفات

P. Razbitnaya، V. S. Zakharov "دورة في الفيزياء النظرية" ، كتاب 1. - فلاديمير ، 1998.

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

شاهد ما هو "مجال القوة (الفيزياء)" في القواميس الأخرى:

مجال القوة هو مصطلح غامض يستخدم في المعاني التالية: مجال القوة (الفيزياء) مجال ناقلات القوى في الفيزياء. ميدان القوة ( الخيال العلمي) بعض الحاجز غير المرئي ، وظيفته الرئيسية حماية البعض ... ويكيبيديا

هذه المادة مقترحة للحذف. يمكن العثور على شرح للأسباب والمناقشة المقابلة في صفحة ويكيبيديا: سيتم حذفه / 4 يوليو 2012. حتى اكتمال عملية المناقشة ، يمكن العثور على المقالة على ... ويكيبيديا

المجال هو مفهوم متعدد القيم مرتبط بالامتداد في الفضاء: الحقل في ويكيبيديا ... ويكيبيديا

- (من طبيعة physis اليونانية القديمة). دعا القدماء الفيزياء أي دراسة للعالم المحيط والظواهر الطبيعية. تم الحفاظ على هذا الفهم لمصطلح الفيزياء حتى نهاية القرن السابع عشر. فيما بعد ظهر عدد من التخصصات الخاصة: الكيمياء التي تدرس خواص ... ... موسوعة كولير

مجال القوة الذي يعمل على تحريك الشحنات الكهربائية وعلى الأجسام التي لها عزم مغناطيسي (انظر العزم المغناطيسي) ، بغض النظر عن حالة حركتها. يتميز M. p. بمتجه الحث المغناطيسي B ، والذي يحدد: ... ... كبير الموسوعة السوفيتية

بالإضافة إلى تفاعلات الاتصال التي تحدث بين الهيئات المتلامسة ، هناك أيضًا تفاعلات بين الأجسام البعيدة عن بعضها البعض. على سبيل المثال ، التفاعل بين الشمس والأرض ، والأرض والقمر ، والأرض والجسم المرتفع فوق سطحه ، والتفاعل بين الأجسام المكهربة. يتم تنفيذ هذه التفاعلات من خلال المجالات المادية، وهي شكل خاص من أشكال المادة. كل جسم يخلق حالة خاصة في الفضاء المحيط به ، يسمى قوةميدان. يتجلى هذا المجال في عمل القوى على الهيئات الأخرى. على سبيل المثال ، تخلق الأرض مجال جاذبية. في ذلك ، تعمل قوة - mg على كل جسم كتلته m عند كل نقطة بالقرب من سطح الأرض.

تسمى القوى التي لا يعتمد عملها على المسار الذي يتحرك فيه الجسيم ، ولكن يتم تحديدها فقط من خلال الموضع الأولي والنهائي للجسيم ، تحفظا.

دعونا نظهر أن عمل القوى المحافظة على أي مسار مغلق يساوي صفرًا.

ضع في اعتبارك مسارًا مغلقًا تعسفيًا. دعونا نقسمها على النقطتين 1 و 2 المختارين عشوائياً إلى قسمين: الأول والثاني. العمل المنجز على مسار مغلق هو:

الشكل 18.1. عمل القوى المحافظة على طريق مغلق

التغيير في اتجاه الحركة على طول القسم الثاني إلى العكس مصحوبًا باستبدال جميع عمليات النزوح الأولية dr بواسطة (-dr) ، مما يؤدي إلى عكس علامتها. ثم:

الآن ، بالتعويض عن (18.2.) في (18.1.) ، نحصل على أن A = 0 ، أي تم إثبات التأكيد أعلاه من قبلنا. يمكن صياغة تعريف آخر للقوى المحافظة على النحو التالي: القوى المحافظة هي القوى التي يكون عملها على أي مسار مغلق صفرًا.

يتم استدعاء جميع القوى غير المحافظة غير متحفظ. تشمل القوى غير المحافظة قوى الاحتكاك والمقاومة.

إذا كانت القوى المؤثرة على الجسيم هي نفسها في الحجم والاتجاه في جميع نقاط المجال ، فإن الحقل يسمى متجانس.

يسمى الحقل الذي لا يتغير بمرور الوقت ثابت. في حالة المجال الثابت المنتظم: F = const.

البيان: القوى المؤثرة على الجسيم في مجال ثابت موحد هي قوى متحفظة.

دعنا نثبت هذا البيان. بما أن المجال موحد وثابت ، فإن F = const. لنأخذ نقطتين عشوائيتين 1 و 2 في هذا المجال (الشكل 18.2.) ونحسب الشغل المبذول على الجسيم عندما يتحرك من النقطة 1 إلى النقطة 2.

18.2. عمل القوات في حقل ثابت ثابت في الطريق من النقطة 1 إلى النقطة 2

عمل القوى المؤثرة على جسيم في مجال ثابت موحد هو:

حيث r F هو إسقاط متجه الإزاحة r 12 على اتجاه القوة ، ويتم تحديد r F فقط من خلال مواضع النقطتين 1 و 2 ، ولا يعتمد على شكل المسار. بعد ذلك ، لا يعتمد عمل القوة في هذا المجال على شكل المسار ، ولكن يتم تحديده فقط من خلال مواضع نقطتي الإزاحة الأولية والنهائية ، أي. إن قوى الحقل الثابت الموحد متحفظة.

بالقرب من سطح الأرض ، مجال الجاذبية هو مجال ثابت منتظم والعمل الذي تقوم به القوة mg هو:

حيث (h 1 -h 2) هو إسقاط الإزاحة r 12 على اتجاه القوة ، يتم توجيه القوة mg عموديًا لأسفل ، وتكون قوة الجاذبية متحفظة.

تسمى القوى التي تعتمد فقط على المسافة بين الجسيمات المتفاعلة والموجهة على طول خط مستقيم يمر عبر هذه الجسيمات المركزية. أمثلة على القوى المركزية هي: كولوم ، الجاذبية ، المرونة.

ومع ذلك ، نظرًا لتفاعل النقطتين A و B ، يكون المشتق غير صفري. كما ذكرنا أعلاه ، لا تجيب الميكانيكا على السؤال عن سبب تأثير وجود النقطة B على حركة النقطة A ، ولكنها تنطلق من حقيقة أن مثل هذا التأثير يحدث ، وتحدد نتيجة هذا التأثير مع المتجه. يسمى تأثير النقطة B على حركة النقطة A بالقوة ويقال أن النقطة B تعمل على النقطة A بقوة يمثلها المتجه

هذه المساواة (باستخدام مصطلح "القوة") هي التي تسمى عادة قانون نيوتن الثاني.

دعنا ، علاوة على ذلك ، نفس النقطة أ تتفاعل مع العديد من الأشياء المادية. كل من هذه الأشياء ، إذا كانت واحدة ، من شأنها أن تسبب ظهور القوة ، على التوالي. في هذه الحالة ، يُفترض ما يسمى بمبدأ استقلالية عمل القوات: القوة الناتجة عن أي مصدر لا تعتمد على وجود القوات بسبب مصادر أخرى. ومن الأمور المركزية في هذا الافتراض أن القوى المطبقة على نفس النقطة يمكن إضافتها وفقًا للقواعد المعتادة لإضافة المتجه وأن القوة التي يتم الحصول عليها بهذه الطريقة تعادل القوة الأصلية. بسبب افتراض استقلالية عمل القوى ، يمكن استبدال مجموعة الإجراءات المطبقة على نقطة مادية بفعل واحد ، على التوالي ، يمثله قوة واحدة ، والتي يتم الحصول عليها عن طريق الصمغ الهندسي لمتجهات جميع القوى المؤثرة.

القوة هي نتيجة تفاعل الأشياء المادية. هذا يعني أنه إذا كان ذلك بسبب وجود النقطة B ، فعندئذ ، بالعكس ، بسبب وجود النقطة A. تم تحديد النسبة بين القوى بواسطة الافتراض الثالث (قانون) لنيوتن. وفقًا لهذا الافتراض ، عند التفاعل بين الأشياء المادية ، فإن القوى والمتساوية في الحجم ، تعمل على طول خط مستقيم واحد ، ولكنها موجهة نحو الجانبين المعاكسين. يُصاغ هذا القانون أحيانًا بشكل موجز على النحو التالي: "أي فعل مساوٍ لرد الفعل ومعاكس له".

هذا البيان هو افتراض جديد. لا ينشأ بأي شكل من الأشكال من الافتراضات الأولية السابقة ، وبشكل عام ، من الممكن بناء ميكانيكا بدون هذه الفرضية أو بصياغة مختلفة لها.

عند التفكير في نظام النقاط المادية ، من الملائم تقسيم جميع القوى المؤثرة على نقاط النظام قيد الدراسة إلى فئتين. تتضمن الفئة الأولى القوى التي تنشأ بسبب تفاعلات النقاط المادية المدرجة في نظام معين. تسمى القوى من هذا النوع بالداخل. تسمى القوى التي تنشأ بسبب التأثير على النقاط المادية للنظام قيد النظر للكائنات المادية الأخرى غير المدرجة في هذا النظام الخارجية.

2. عمل القوة.

نعبر عن المنتجات العددية من حيث إسقاطات العوامل على محاور الإحداثيات ، نحصل عليها

(18)

إذا تم التعبير عن توقعات القوى وزيادات الإحداثيات من حيث نفس المعلمة العددية (على سبيل المثال ، من حيث الوقت t أو ، في حالة النظام الذي يتكون من نقطة واحدة ، من حيث الإزاحة الأولية) ، فإن الكميات على الجانبين الأيمن من المساواة (17) و (18) يمكن تمثيلها كوظائف لهذه المعلمة ، مضروبة في تفاضلها ، ويمكن دمجها فوق هذه المعلمة ، على سبيل المثال ، أكثر من t في النطاق من إلى. يتم الإشارة إلى نتيجة التكامل وتسمى العمل الكلي للقوة والعمل الكلي لقوى النظام بمرور الوقت ، على التوالي.

عند حساب العمل الأولي والإجمالي لجميع قوى النظام ، يجب مراعاة جميع القوى ، الخارجية والداخلية. تبين أن حقيقة أن القوى الداخلية متساوية في أزواج وموجهة بشكل معاكس غير مهمة ، لأنه عند حساب العمل ، تلعب إزاحة النقاط دورًا أيضًا ، وبالتالي فإن عمل القوى الداخلية ، بشكل عام ، يختلف عن الصفر.

دعونا نفكر في حالة خاصة عندما يمكن تمثيل الكميات الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلات (17) و (18) على أنها تفاضلات إجمالية

في هذه الحالة ، من الطبيعي أيضًا اعتماد الترميز والتعريفات الواردة أعلاه:

من التكافؤين (21) و (22) يتبع ذلك أنه في تلك الحالات التي يكون فيها العمل الأولي هو التفاضل الكلي لبعض الوظائف Ф ، فإن العمل على أي فترة زمنية محددة يعتمد فقط على قيم في البداية والنهاية من هذه الفترة الزمنية ولا تعتمد على القيم الوسيطة لـ Ф ، أي على كيفية حدوث الحركة.

3. مجال القوة.

دعونا نفكر أولاً في الحالة عند دراسة حركة نقطة واحدة ، وبالتالي يتم أخذ قوة واحدة فقط في الاعتبار ، اعتمادًا على موضع النقطة. في مثل هذه الحالات ، لا يرتبط متجه القوة بالنقطة التي يتم فيها تنفيذ الإجراء ، ولكن بنقاط في الفضاء. من المفترض أنه مع كل نقطة من الفضاء ، محددة في إطار مرجعي بالقصور الذاتي ، هناك ارتباط معين ، يمثل القوة التي من شأنها أن تعمل على نقطة مادية إذا تم وضع الأخيرة في هذه النقطة من الفضاء. وبالتالي ، يُعتبر أن الفضاء في كل مكان "مليء" بالمتجهات. هذه المجموعة من النواقل تسمى مجال القوة.

يقال إن مجال القوة يكون ثابتًا إذا كانت القوات قيد الدراسة لا تعتمد صراحةً على الوقت. خلاف ذلك ، يسمى مجال القوة غير ثابت.

يُطلق على الحقل اسم الجهد إذا كانت هناك دالة قياسية لإحداثيات النقطة (وربما الوقت) بحيث تكون المشتقات الجزئية لهذه الوظيفة فيما يتعلق بإسقاطات القوة F على x ، y وتساويها و z محاور ، على التوالي:

نظرًا لحقيقة أن القوة F هي دالة لنقطة في الفضاء ، أي الإحداثيات ، وربما الوقت ، فإن إسقاطاتها هي أيضًا وظائف للمتغيرات.

تسمى الوظيفة ، إذا كانت موجودة ، وظيفة الطاقة. بالطبع ، لا توجد وظيفة القوة للجميع ميدان القوة، وشروط وجوده ، أي الظروف التي يكون فيها المجال محتملاً ، لا يتم شرحها في سياق الرياضيات ويتم تحديدها من خلال المساواة

عند دراسة حركة نقاط التفاعل N ، من الضروري مراعاة وجود القوى N المؤثرة عليها. في هذه الحالة ، يتم تقديم مساحة إحداثيات النقطة ذات الأبعاد. يحدد تحديد نقطة في هذا الفضاء موقع جميع نقاط المواد N للنظام قيد الدراسة. علاوة على ذلك ، يتم تقديم متجه الأبعاد مع الإحداثيات في الاعتبار ويفترض تقليديًا أن الفضاء ذي الأبعاد مملوء بكثافة في كل مكان بمثل هذه المتجهات. بعد ذلك ، لا يحدد تخصيص نقطة في هذا الفضاء ذي الأبعاد ، ليس فقط موضع جميع نقاط المواد بالنسبة إلى النظام المرجعي الأولي ، ولكن أيضًا جميع القوى المؤثرة على النقاط المادية للنظام. يسمى مجال القوة ذي الأبعاد هذا بالاحتمال إذا كانت هناك وظيفة قوة Φ لجميع الإحداثيات على هذا النحو

إذا كان من الممكن تمثيل القوات كمجموع من فترتين

بحيث ترضي المصطلحات العلاقات (24) ، لكن المصطلحات لا ترضيها ، عندئذٍ تسمى القوى المحتملة غير المحتملة.

يسمى نظام النقاط المادية بالمحافظة إذا كانت هناك وظيفة قوة لا تعتمد صراحةً على الوقت (مجال القوة ثابت) وأن جميع القوى التي تعمل على النقاط ترضي العلاقات (24).

العمل الأولي لقوى النظام المحافظ

من الملائم تقديمه في شكل مختلف ، معبراً عن المنتجات العددية من حيث توقعات العوامل المتجهة (الصيغة (18)). مع الأخذ بعين الاعتبار وجود دالة القوة Ф ، بموجب (23) نحصل عليها

أي أن العمل الابتدائي يساوي التفاضل الكلي لوظيفة القوة

وهكذا ، في ظل حركات النظام المحافظ ، يتم التعبير عن العمل الأولي من خلال التفاضل الكلي لبعض الوظائف ، وبالتالي

السطوح الفوقية

تسمى الأسطح المستوية.

في الصيغة (26) ، الرموز وتعني قيم في لحظات بداية الحركة ونهايتها. لذلك ، بالنسبة لأي حركة للنظام ، تتوافق بدايتها مع نقطة موجودة على سطح المستوى

والنهاية هي نقطة على سطح المستوى

العمل يحسب بالصيغة (26). وبالتالي ، عندما يتحرك النظام بشكل أكثر تحفظًا ، لا يعتمد العمل على المسار ، ولكن فقط على مستوى الأسطح التي بدأت الحركة وانتهت عليها. على وجه الخصوص ، يكون الشغل صفراً إذا بدأت الحركة وانتهت على نفس سطح المستوى.

تسمى القوى المحافظة بالقوى ، التي لا يعتمد عملها على مسار انتقال الجسم أو النظام من الموضع الأولي إلى الوضع الأخير. من الخصائص المميزة لهذه القوى أن العمل على مسار مغلق يساوي صفرًا:

تشمل القوى المحافظة: الجاذبية وقوة الجاذبية وقوة المرونة والقوى الأخرى.

تسمى القوى غير المحافظة بالقوى التي يعتمد عملها على مسار انتقال الجسم أو النظام من الوضع الأولي إلى الوضع الأخير. عمل هذه القوى على مسار مغلق هو عمل غير صفري. تشمل القوى غير المحافظة: قوة الاحتكاك وقوة الجر وقوى أخرى.

مجال القوة هو الفضاء المادي الذي يلبي الشرط الذي بموجبه تعمل القوى على نقاط نظام ميكانيكي موجود في هذا الفضاء ، اعتمادًا على موضع هذه النقاط أو على موضع النقاط والوقت. ميدان القوة. التي لا تعتمد قواها على الوقت تسمى ثابتة. يُطلق على مجال القوة الثابتة اسم الجهد إذا كانت هناك وظيفة تعتمد بشكل فريد على إحداثيات نقاط النظام ، والتي من خلالها يتم التعبير عن إسقاطات القوة على محاور الإحداثيات في كل نقطة من المجال على النحو التالي: X i = ∂υ / ∂x أنا ؛ Y i = ∂υ / ∂y i ؛ Z i = / ∂z i.

تتوافق كل نقطة من المجال المحتمل ، من ناحية ، مع قيمة معينة لمتجه القوة الذي يعمل على الجسم ، ومن ناحية أخرى ، مع قيمة معينة للطاقة الكامنة. لذلك ، يجب أن تكون هناك علاقة معينة بين القوة والطاقة الكامنة.

لإنشاء هذا الاتصال ، نحسب العمل الأولي الذي تقوم به قوى المجال أثناء إزاحة صغيرة للجسم تحدث على طول اتجاه تم اختياره عشوائيًا في الفضاء ، والذي نشير إليه بالحرف. هذا العمل

أين هو إسقاط القوة على الاتجاه.

نظرًا لأن العمل في هذه الحالة يتم بسبب مخزون الطاقة الكامنة ، فإنه يساوي فقدان الطاقة الكامنة على جزء من المحور:

من آخر تعبيرين نحصل عليهما

يعطي التعبير الأخير متوسط ​​القيمة في الفترة الزمنية. ل

للحصول على القيمة عند النقطة ، تحتاج إلى جعل المرور إلى الحد الأقصى:

نظرًا لأنه يمكن أن يتغير ليس فقط عند التحرك على طول المحور ، ولكن أيضًا عند التحرك في اتجاهات أخرى ، فإن الحد في هذه الصيغة هو ما يسمى بالمشتق الجزئي لـ:

هذه العلاقة صالحة لأي اتجاه في الفضاء ، على وجه الخصوص ، لاتجاهات محاور الإحداثيات الديكارتية x ، y ، z:

تحدد هذه الصيغة إسقاط متجه القوة على محاور الإحداثيات. إذا كانت هذه الإسقاطات معروفة ، فسيتم تحديد متجه القوة نفسه:

في ناقلات الرياضيات ,

حيث a هي دالة عددية لـ x ، y ، z تسمى التدرج اللوني لهذا العددي ويُشار إليها بالرمز. لذلك ، القوة تساوي انحدار الطاقة الكامنة ، مأخوذة مع الإشارة المعاكسة