ماذا يعني تمثيل كثيرة الحدود في الشكل القياسي. تعلم إحضار كثيرات الحدود إلى النموذج القياسي

في هذا الدرس ، سوف نتذكر التعريفات الرئيسية لهذا الموضوع ونأخذ في الاعتبار بعض المهام النموذجية ، أي إحضار كثير الحدود إلى نموذج قياسي وحساب قيمة عددية لقيم متغيرة معينة. سنحل العديد من الأمثلة التي سيتم فيها تطبيق التخفيض إلى النموذج القياسي لحل أنواع مختلفة من المشكلات.

عنوان:كثيرات الحدود. العمليات الحسابية على المونوميل

درس:اختزال كثير الحدود إلى شكل قياسي. المهام النموذجية

تذكر التعريف الأساسي: كثير الحدود هو مجموع المونوميرات. كل مونومال الذي هو جزء من كثير الحدود كمصطلح يسمى عضوها. علي سبيل المثال:

ذو حدين

متعدد الحدود؛

ذو حدين

نظرًا لأن كثير الحدود يتكون من monomials ، فإن الإجراء الأول مع كثير الحدود يتبع من هنا - تحتاج إلى إحضار كل monomials إلى النموذج القياسي. تذكر أنه لهذا تحتاج إلى ضرب جميع العوامل العددية - الحصول على معامل عددي ، وضرب الأسس المقابلة - احصل على جزء الحرف. بالإضافة إلى ذلك ، دعنا ننتبه إلى نظرية حاصل ضرب القوى: عند ضرب الأسس ، يتم جمع الأسس.

ضع في اعتبارك عملية مهمة - إحضار كثير الحدود إلى الشكل القياسي. مثال:

تعليق: من أجل إحضار كثير الحدود إلى النموذج القياسي ، تحتاج إلى إحضار جميع المونوميرات التي تشكل جزءًا منها إلى النموذج القياسي ، وبعد ذلك ، إذا كانت هناك أحاديات متشابهة - وهذه أحاديات لها نفس جزء الحرف - نفذ الإجراءات معهم.

لذلك ، فقد درسنا المشكلة النموذجية الأولى - إحضار كثير الحدود إلى الشكل القياسي.

المهمة النموذجية التالية هي حساب قيمة محددة لكثير الحدود لقيم عددية معينة للمتغيرات المضمنة فيها. دعنا نستمر في التفكير في المثال السابق وتعيين قيم المتغيرات:

تعليق: تذكر أن واحدًا في أي قوة طبيعية يساوي واحدًا ، وأن صفرًا في أي قوة طبيعية يساوي صفرًا ، بالإضافة إلى ذلك ، نتذكر أنه عند ضرب أي عدد في صفر ، نحصل على صفر.

ضع في اعتبارك عددًا من الأمثلة للعمليات النموذجية لإحضار كثير الحدود إلى نموذج قياسي وحساب قيمته:

مثال 1 - أحضر إلى النموذج القياسي:

تعليق: الإجراء الأول - نأتي بالمونوميرات إلى النموذج القياسي ، تحتاج إلى إحضار الأول والثاني والسادس ؛ الإجراء الثاني - نعطي أعضاءً متشابهين ، أي نقوم بإجراء العمليات الحسابية المعينة عليهم: نضيف الأول إلى الخامس ، والثاني إلى الثالث ، ونعيد كتابة الباقي دون تغييرات ، حيث لا يوجد لديهم عناصر متشابهة.

مثال 2 - احسب قيمة كثير الحدود من المثال 1 مع الأخذ في الاعتبار قيم المتغيرات:

تعليق: عند الحساب ، يجب أن نتذكر أن الوحدة في أي درجة طبيعية هي وحدة ، إذا كان من الصعب حساب قوى لاثنين ، يمكنك استخدام جدول الطاقة.

مثال 3 - بدلاً من علامة النجمة ، ضع علامة أحادية بحيث لا تحتوي النتيجة على متغير:

تعليق: بغض النظر عن المهمة ، يكون الإجراء الأول دائمًا هو نفسه - لإحضار كثير الحدود إلى النموذج القياسي. في مثالنا ، يتم تقليل هذا الإجراء إلى التمثيل مثل الأعضاء. بعد ذلك ، يجب عليك قراءة الحالة بعناية مرة أخرى والتفكير في كيفية التخلص من المونومال. من الواضح أنه لهذا تحتاج إلى إضافة نفس المونوميل إليه ، ولكن مع الإشارة المعاكسة -. ثم نستبدل علامة النجمة بهذه العلامة الأحادية ونتأكد من صحة قرارنا.

التعريف 3.3. أحادي يسمى التعبير الذي هو نتاج الأعداد والمتغيرات والقوى ذات الأس الطبيعي.

على سبيل المثال ، كل من التعبيرات
,
أحادي.

يقولون أن monomial له طريقة العرض القياسية ، إذا كان يحتوي على عامل عددي واحد فقط في المقام الأول ، ويتم تمثيل كل منتج من المتغيرات المتطابقة فيه بدرجة. يسمى العامل العددي للمونومالي المكتوب في شكل قياسي معامل أحادي . درجة أحادية هو مجموع الأس لجميع متغيراته.

التعريف 3.4. متعدد الحدود يسمى مجموع monomials. تسمى المونومرات التي تشكل كثير الحدودأعضاء كثير الحدود .

المصطلحات المماثلة - monomials في كثير الحدود - تسمى أعضاء متشابهين في كثير الحدود .

التعريف 3.5. متعدد الحدود النموذج القياسي يسمى كثير الحدود حيث يتم كتابة جميع المصطلحات في شكل قياسي ويتم إعطاء المصطلحات المماثلة.درجة نموذجية كثيرة الحدود اسم أكبر قوى monomials الخاصة به.

على سبيل المثال ، هي كثيرة الحدود للشكل القياسي من الدرجة الرابعة.

الإجراءات على المونومرات ومتعددة الحدود

يمكن تحويل مجموع وفرق كثيرات الحدود إلى صيغة معيارية كثيرة الحدود. عند إضافة اثنين من كثيرات الحدود ، تتم كتابة جميع المصطلحات الخاصة بهما ويتم إعطاء المصطلحات المتشابهة. عند الطرح ، تنعكس إشارات جميع حدود كثير الحدود المطلوب طرحها.

علي سبيل المثال:

يمكن تقسيم أعضاء كثير الحدود إلى مجموعات ووضعها بين قوسين. نظرًا لأن هذا هو التحويل المماثل المقلوب لتوسيع الأقواس ، فقد تم إنشاء ما يلي: حكم الأقواس: إذا تم وضع علامة الجمع قبل القوسين ، فإن جميع المصطلحات الموجودة بين قوسين تكتب بعلاماتها ؛ إذا تم وضع علامة الطرح أمام القوسين ، فإن كل المصطلحات الموجودة بين قوسين تكتب بعلامات معاكسة.

علي سبيل المثال،

قاعدة لضرب كثير الحدود في كثير الحدود: لضرب كثير الحدود في كثير الحدود ، يكفي ضرب كل حد من كثير حدود واحد في كل مصطلح من كثير الحدود الآخر وإضافة حاصل الضرب الناتج.

علي سبيل المثال،

التعريف 3.6. متعدد الحدود في متغير واحد الدرجة العلمية يسمى تعبير عن النموذج

أين
- أي أرقام يتم استدعاؤها معاملات كثيرة الحدود ، و
,هو عدد صحيح غير سالب.

إذا
ثم المعامل مسمى المعامل الرئيسي لكثير الحدود
، أحادية
- له كبار الأعضاء ، معامل في الرياضيات او درجة – عضو مجاني .

إذا بدلا من متغير في كثير الحدود
استبدال رقم حقيقي ، فالنتيجة هي رقم حقيقي
، من اتصل قيمة كثيرة الحدود
في
.

التعريف 3.7. رقم مسمىجذر متعدد الحدود
، إذا
.

ضع في اعتبارك تقسيم كثير الحدود على كثير الحدود ، حيث
و - أعداد صحيحة. القسمة ممكنة إذا كانت درجة كثيرة الحدود قابلة للقسمة
لا تقل عن درجة كثير الحدود المقسوم عليه
، بمعنى آخر
.

قسّم كثير الحدود
إلى كثير الحدود
,
، يعني العثور على اثنين من مثل هذه كثيرات الحدود
و
، ل

في نفس الوقت ، كثير الحدود
الدرجة العلمية
مسمى كثير الحدود حاصل ,
– بقية ,
.

ملاحظة 3.2. إذا كان القاسم
–ليس كثير حدود فارغة ، ثم قسمة
على ال
,
، يكون دائمًا ممكنًا ، ويتم تحديد حاصل القسمة والباقي بشكل فريد.

ملاحظة 3.3. في حالة متى
للجميع ، بمعنى آخر

أقول أنها كثيرة الحدود
منقسمة تماما(أو مشاركة)إلى كثير الحدود
.

يتم تقسيم كثيرات الحدود بشكل مشابه لتقسيم الأعداد متعددة القيم: أولاً ، يتم تقسيم العضو الكبير في كثير الحدود القابل للقسمة على العضو الأكبر في كثير الحدود المقسوم عليه ، ثم حاصل قسمة هؤلاء الأعضاء ، والذي سيكون العضو الأكبر من حاصل كثير الحدود ، يتم ضربه في كثير الحدود المقسوم عليه ويتم طرح المنتج الناتج من كثير الحدود القابل للقسمة. نتيجة لذلك ، يتم الحصول على كثير الحدود - الباقي الأول ، والذي يقسم على كثير الحدود المقسوم عليه بنفس الطريقة ويتم العثور على المصطلح الثاني من حاصل كثير الحدود. تستمر هذه العملية حتى يتم الحصول على الباقي صفر أو تكون درجة كثير الحدود المتبقية أقل من درجة كثير الحدود المقسوم عليه.

عند قسمة كثير الحدود على ذات الحدين ، يمكنك استخدام مخطط هورنر.

مخطط هورنر

فليكن مطلوبًا لتقسيم كثير الحدود

في ذات الحدين
. دلالة على حاصل القسمة على أنه كثير الحدود

والباقي . المعنى ، معاملات كثيرات الحدود
,
والباقي نكتب بالشكل التالي:

في هذا المخطط ، كل من المعاملات
,
,
, …,يتم الحصول عليها من الرقم السابق للصف السفلي بضربه في الرقم وإضافة إلى النتيجة التي تم الحصول عليها من الرقم المقابل للخط العلوي فوق المعامل المطلوب. إن وجدت درجة غائب في كثير الحدود ، فإن المعامل المقابل يساوي صفرًا. بعد تحديد المعاملات وفقًا للمخطط أعلاه ، نكتب حاصل القسمة

ونتيجة القسمة إذا
,

أو ،

إذا
,

نظرية 3.1. من أجل كسر غير قابل للاختزال (

,

)كان جذر كثير الحدود
مع معاملات عدد صحيح ، من الضروري أن الرقم كان القاسم على المصطلح الحر والعدد - القاسم على أعلى معامل .

نظرية 3.2. (نظرية بيزوت ) بقية من قسمة كثير الحدود
في ذات الحدين
يساوي قيمة كثير الحدود
في
، بمعنى آخر
.

عند قسمة كثير الحدود
في ذات الحدين
لدينا المساواة

هذا صحيح ، على وجه الخصوص ، ل
، بمعنى آخر
.

مثال 3.2.اقسم على
.

المحلول.دعنا نطبق مخطط هورنر:

بالتالي،

مثال 3.3.اقسم على
.

المحلول.دعنا نطبق مخطط هورنر:

بالتالي،

,

مثال 3.4.اقسم على
.

المحلول.

نتيجة لذلك ، حصلنا على

مثال 3.5.يقسم
على ال
.

المحلول.لنقم بتقسيم كثيرات الحدود على عمود:

ثم نحصل

.

أحيانًا يكون من المفيد تمثيل كثير الحدود كمنتج متساوٍ لاثنين أو أكثر من كثيرات الحدود. يسمى هذا التحول المتطابق تحليل كثير الحدود إلى عوامل . دعونا نفكر في الطرق الرئيسية لمثل هذا التحلل.

إخراج العامل المشترك من الأقواس. من أجل تحليل كثير الحدود إلى عوامل من خلال إخراج العامل المشترك من الأقواس ، من الضروري:

1) أوجد العامل المشترك. للقيام بذلك ، إذا كانت جميع معاملات كثير الحدود أعدادًا صحيحة ، فإن المقسوم المشترك الأكبر لجميع معاملات كثير الحدود يعتبر معامل العامل المشترك ، ويتم أخذ كل متغير مشمول في جميع مصطلحات كثير الحدود مع أعلى أس له في كثير الحدود هذا ؛

2) أوجد حاصل قسمة كثير الحدود على عامل مشترك ؛

3) اكتب حاصل ضرب العامل المشترك وحاصل القسمة الناتج.

تجمع الأعضاء. عند تحليل كثير الحدود إلى عوامل بواسطة طريقة التجميع ، يتم تقسيم أعضائها إلى مجموعتين أو أكثر بطريقة يمكن تحويل كل منها إلى منتج ، ويكون للمنتجات الناتجة عامل مشترك. بعد ذلك ، يتم تطبيق طريقة وضع أقواس للعامل المشترك للمصطلحات المحولة حديثًا.

تطبيق صيغ الضرب المختصرة. في الحالات التي يتحلل فيها كثير الحدود عامل ، له شكل الجانب الأيمن من بعض صيغ الضرب المختصرة ، يتم تحقيق عاملها باستخدام الصيغة المقابلة مكتوبة بترتيب مختلف.

اسمحوا ان

، ثم ما يلي صحيح. صيغ الضرب المختصرة:

إدخال أعضاء مساعدين جدد. تتكون هذه الطريقة من حقيقة أن كثيرة الحدود يتم استبدالها بكثرة حدود أخرى ، تساويها بشكل مماثل ، ولكنها تحتوي على عدد مختلف من المصطلحات ، عن طريق إدخال مصطلحين متعاكسين أو عن طريق استبدال أي مصطلح بمجموع المونوميرات المتشابهة التي تساويها بشكل مماثل. يتم إجراء الاستبدال بطريقة يمكن من خلالها تطبيق طريقة تجميع المصطلحات على كثير الحدود الناتج.

مثال 3.6..

المحلول.كل حدود كثير الحدود تحتوي على عامل مشترك
. بالتالي،.

إجابه: .

مثال 3.7.

المحلول.نقوم بتجميع المصطلحات التي تحتوي على المعامل بشكل منفصل ، وتحتوي على أعضاء . من خلال وضع أقواس بين العوامل المشتركة للمجموعات ، نحصل على:

.

إجابه:
.

مثال 3.8.حلل كثير الحدود إلى عوامل
.

المحلول.باستخدام صيغة الضرب المختصرة المناسبة ، نحصل على:

إجابه: .

مثال 3.9.حلل كثير الحدود إلى عوامل
.

المحلول.باستخدام طريقة التجميع ومعادلة الضرب المختصرة المقابلة ، نحصل على:

.

إجابه: .

مثال 3.10.حلل كثير الحدود إلى عوامل
.

المحلول.دعنا نستبدل على ال
قم بتجميع الأعضاء ، قم بتطبيق صيغ الضرب المختصرة:

.

إجابه:
.

مثال 3.11.حلل كثير الحدود إلى عوامل

المحلول.لأن ،
,
، ومن بعد

عند دراسة موضوع كثيرات الحدود ، تجدر الإشارة بشكل منفصل إلى أن كثيرات الحدود توجد في كل من الأشكال القياسية وغير القياسية. في هذه الحالة ، يمكن اختزال كثير الحدود للصيغة غير القياسية إلى نموذج قياسي. في الواقع ، سيتم تحليل هذا السؤال في هذه المقالة. سنصلح التفسيرات بأمثلة مع وصف تفصيلي خطوة بخطوة.

معنى إحضار كثير الحدود إلى النموذج القياسي

دعنا نتعمق قليلاً في المفهوم نفسه ، الإجراء - "اختزال كثير الحدود إلى شكل قياسي".

كثيرات الحدود ، مثل أي تعبيرات أخرى ، يمكن أن تتحول بشكل مماثل. نتيجة لذلك ، في هذه الحالة نحصل على تعبيرات مساوية للتعبير الأصلي.

التعريف 1

إحضار كثير الحدود إلى الشكل القياسي- يعني استبدال كثير الحدود الأصلي بكثير حدود متساوٍ للشكل القياسي ، الذي تم الحصول عليه من كثير الحدود الأصلي بمساعدة تحويلات متطابقة.

طريقة لتقليل كثير الحدود إلى نموذج قياسي

دعونا نناقش موضوع بالضبط ما هي التحويلات المتطابقة التي ستجلب كثير الحدود إلى النموذج القياسي.

التعريف 2

وفقًا للتعريف ، تتكون كل صيغة قياسية متعددة الحدود من أحادية الشكل القياسي ولا تحتوي على مثل هذه المصطلحات. قد تشتمل كثير الحدود من الشكل غير القياسي على أحاديات الشكل غير القياسي ومصطلحات مماثلة. مما سبق ، يتم استنتاج قاعدة بشكل طبيعي تخبر كيفية إحضار كثير الحدود إلى النموذج القياسي:

• بادئ ذي بدء ، يتم إحضار المونومرات التي تشكل كثير الحدود إلى الشكل القياسي ؛
• ثم يتم تقليل المصطلحات المماثلة.

أمثلة وحلول

دعونا نفحص بالتفصيل الأمثلة التي نجلب فيها كثير الحدود إلى النموذج القياسي. سوف نتبع القاعدة أعلاه.

لاحظ أنه في بعض الأحيان يكون لشروط كثير الحدود في الحالة الأولية نموذج قياسي ، ويبقى فقط إحضار مصطلحات مماثلة. يحدث أنه بعد الخطوة الأولى من الإجراءات لا يوجد مثل هؤلاء الأعضاء ، ثم نتخطى الخطوة الثانية. في الحالات العامة ، من الضروري تنفيذ كلا الإجراءين من القاعدة أعلاه.

مثال 1

تُعطى كثيرات الحدود:

5 × 2 ص + 2 ص 3 - س ص + 1 ,

0 ، 8 + 2 أ 3 0 ، 6 - ب أ ب 4 ب 5 ،

2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9-4 7 x 2-8.

من الضروري إحضارهم إلى النموذج القياسي.

المحلول

اعتبر أولًا كثير الحدود 5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1 : يمتلك أعضائها نموذجًا قياسيًا ، ولا يوجد أعضاء متشابهون ، مما يعني أن كثير الحدود معطى في شكل قياسي ، ولا يلزم اتخاذ إجراءات إضافية.

الآن دعنا نحلل كثير الحدود 0، 8 + 2 · a 3 · 0، 6 - b · a · b 4 · b 5. وهي تشمل الأحاديات غير القياسية: 2 · a 3 · 0 و 6 و - b · a · b 4 · b 5 ، أي نحن بحاجة إلى إحضار كثير الحدود إلى الشكل القياسي ، حيث يكون الإجراء الأول هو تحويل المونوميرات إلى الشكل القياسي:

2 أ 3 0 ، 6 = 1 ، 2 أ 3 ؛

- ب أ ب 4 ب 5 = - أ ب 1 + 4 + 5 = - أ ب 10 ، لذلك نحصل على كثير الحدود التالي:

0، 8 + 2 أ 3 0، 6 - ب أ ب 4 ب 5 = 0 8 + 1 2 أ 3 - أ ب 10.

في كثير الحدود الناتج ، جميع الأعضاء قياسيون ، ولا يوجد مثل هؤلاء الأعضاء ، مما يعني أن إجراءاتنا لإحضار كثير الحدود إلى النموذج القياسي قد اكتملت.

ضع في اعتبارك كثير الحدود الثالث المعطى: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9-4 7 x 2-8

نحضر أعضائها إلى النموذج القياسي ونحصل على:

2 3 7 × 2 - س ص - 1 6 7 × 2 + 9-4 7 × 2-8.

نرى أن كثير الحدود يحتوي على مصطلحات متشابهة ، فسنقلل المصطلحات المماثلة:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9-4 7 x 2-8 = = 2 3 7 x 2-1 6 7 x 2-4 7 x 2 - x y + (9-8) = = س 2 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - س ص + 1 = = س 2 17 7 - 13 7 - 4 7 - س ص + 1 = = س 2 0 - س ص + 1 = س ص + 1

وبالتالي ، فإن كثير الحدود المعطى 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9-4 7 x 2-8 اتخذ الشكل القياسي - x y + 1.

إجابه:

5 × 2 ص + 2 ص 3 - س ص + 1- كثير الحدود معطى كمعيار ؛

0 8 + 2 أ 3 0 6 - ب أ ب 4 ب 5 = 0 8 + 1 2 أ 3 - أ ب 10;

2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9-4 7 x 2-8 = - x y + 1.

في العديد من المشكلات ، يكون إجراء إحضار كثير الحدود إلى نموذج قياسي هو إجراء وسيط عند البحث عن إجابة لسؤال معين. لنفكر في مثل هذا المثال.

مثال 2

بالنظر إلى كثير الحدود 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0. 5 ض 2 + ض 3. من الضروري إحضارها إلى النموذج القياسي ، والإشارة إلى درجتها وترتيب شروط كثير الحدود المعطى في القوى التنازلية للمتغير.

المحلول

نأتي بشروط كثير الحدود المعطى إلى النموذج القياسي:

11-2 3 ض 3 + ع 5-0. 5 ض 2 + ض 3.

الخطوة التالية هي سرد ​​الأعضاء المتشابهين:

11-2 3 ض 3 + ع 5-0. 5 z 2 + z 3 \ u003d 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5-0، 5 z 2 \ u003d \ u003d 11 + 1 3 z 3 + z 5-0، 5 z 2

لقد حصلنا على كثير الحدود للصيغة القياسية ، مما يجعل من الممكن لنا أن نشير إلى درجة كثيرة الحدود (تساوي أكبر درجة من المكوِّنات أحادية الحدود). من الواضح أن الدرجة المطلوبة هي 5.

يبقى فقط ترتيب الحدود في القوى التنازلية للمتغيرات. لتحقيق هذه الغاية ، نقوم ببساطة بتبديل المصطلحات في كثير الحدود الناتج من النموذج القياسي ، مع مراعاة المتطلبات. وهكذا نحصل على:

ض 5 + 1 3 ص 3-0 ، 5 ض 2 + 11.

إجابه:

11-2 3 z 2 z + 1 3 z 5 3-0، 5 z 2 + z 3 \ u003d 11 + 1 3 z 3 + z 5-0، 5 z 2 ، بينما درجة كثير الحدود - خمسة ؛ كنتيجة لترتيب حدود كثير الحدود في تناقص قوى المتغيرات ، فإن كثير الحدود يأخذ الشكل: z 5 + 1 3 · z 3 - 0، 5 · z 2 + 11.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

قلنا أن كلا من كثيرات الحدود القياسية وغير القياسية تحدث. في نفس المكان ، لاحظنا أن أي متعدد الحدود إلى النموذج القياسي. في هذه المقالة ، سنكتشف أولاً المعنى الذي تحمله هذه العبارة. بعد ذلك ، نقوم بإدراج الخطوات التي تسمح لك بتحويل أي متعدد الحدود إلى نموذج قياسي. أخيرًا ، ضع في اعتبارك حلول لأمثلة نموذجية. سنصف الحلول بتفصيل كبير من أجل التعامل مع جميع الفروق الدقيقة التي تنشأ عند إحضار كثيرات الحدود إلى النموذج القياسي.

التنقل في الصفحة.

ماذا يعني إحضار كثير الحدود إلى الشكل القياسي؟

أولاً ، عليك أن تفهم بوضوح ما هو المقصود بإحضار كثير الحدود إلى النموذج القياسي. دعونا نتعامل مع هذا.

يمكن أن تخضع كثيرات الحدود ، مثل أي تعبيرات أخرى ، لتحولات متطابقة. نتيجة لهذه التحولات ، يتم الحصول على التعبيرات التي تساوي التعبير الأصلي بشكل مماثل. لذا فإن أداء بعض التحولات مع كثيرات الحدود ذات الشكل غير القياسي يسمح لنا بالمرور إلى كثيرات الحدود التي تتساوى معها تمامًا ، ولكنها مكتوبة بالفعل في شكل قياسي. يسمى هذا الانتقال باختزال كثير الحدود إلى النموذج القياسي.

وبالتالي، أحضر كثير الحدود إلى الشكل القياسي- وهذا يعني استبدال كثير الحدود الأصلي بكثير الحدود من الشكل القياسي الذي يساويها بشكل مماثل ، والذي تم الحصول عليه من الصيغة الأصلية عن طريق إجراء تحويلات متطابقة.

كيفية إحضار كثير الحدود إلى النموذج القياسي؟

لنفكر في التحويلات التي ستساعدنا في جعل كثير الحدود في الصورة القياسية. سنبدأ من تعريف كثير الحدود للصيغة القياسية.

بحكم التعريف ، فإن كل مصطلح في صيغة معيارية متعدد الحدود هو صيغة معيارية أحادية الحدود ، ولا تحتوي صيغة معيارية كثيرة الحدود على مثل هذه المصطلحات. في المقابل ، قد تتكون كثيرات الحدود المكتوبة في شكل آخر غير النموذج القياسي من أحادية في شكل غير قياسي وقد تحتوي على مصطلحات مماثلة. هذا يؤدي منطقيًا إلى القاعدة التالية. كيفية تحويل كثير الحدود إلى صيغة قياسية:

• عليك أولاً إحضار الأشكال الأحادية التي تشكل كثير الحدود الأصلي إلى النموذج القياسي ،
• ثم إجراء الحد من الأعضاء المماثلين.

نتيجة لذلك ، سيتم الحصول على صيغة معيارية متعددة الحدود ، حيث سيتم كتابة جميع أعضائها في شكل قياسي ، ولن تحتوي على مثل هؤلاء الأعضاء.

أمثلة ، حلول

ضع في اعتبارك أمثلة لإحضار كثيرات الحدود إلى النموذج القياسي. عند الحل ، سنتبع الخطوات التي تمليها القاعدة من الفقرة السابقة.

نلاحظ هنا أنه في بعض الأحيان يتم كتابة جميع مصطلحات كثير الحدود في شكل قياسي مرة واحدة ، وفي هذه الحالة يكفي إحضار مصطلحات مماثلة. في بعض الأحيان ، بعد اختزال شروط كثير الحدود إلى النموذج القياسي ، لا توجد أعضاء متشابهة ، لذلك ، يتم حذف مرحلة تقليل هذه الأعضاء في هذه الحالة. بشكل عام ، عليك أن تفعل كلا الأمرين.

مثال.

عبر عن كثيرات الحدود في الصورة القياسية: 5 × 2 ص + 2 ص 3 × ص + 1 ، 0.8 + 2 أ 3 0.6 ب أ ب 4 ب 5و .

المحلول.

جميع أعضاء كثير الحدود 5 x 2 y + 2 y 3 x y + 1 مكتوبون في الشكل القياسي ، وليس له مثل هذه المصطلحات ، لذلك ، تم تقديم كثير الحدود بالفعل في النموذج القياسي.

دعنا ننتقل إلى كثير الحدود التالي 0.8 + 2 أ 3 0.6 ب أ ب 4 ب 5. شكله غير قياسي ، كما يتضح من المصطلحين 2 · a 3 · 0.6 و b · a · b 4 · b 5 للصيغة غير القياسية. دعنا نمثلها في الصورة القياسية.

في المرحلة الأولى من إحضار كثير الحدود الأصلي إلى النموذج القياسي ، نحتاج إلى تمثيل جميع أعضائها في النموذج القياسي. لذلك ، فإننا اختزلنا monomial 2 a 3 0.6 إلى الصيغة القياسية ، لدينا 2 a 3 0.6 = 1.2 a 3 ، وبعد ذلك نحصل على monomial b a b 4 b 5 − ب أ ب 4 ب 5 = أ ب 1 + 4 + 5 = أ ب 10. في هذا الطريق، . في كثير الحدود الناتج ، تتم كتابة جميع المصطلحات في شكل قياسي ؛ علاوة على ذلك ، من الواضح أنها لا تحتوي على مثل هذه المصطلحات. لذلك ، يكمل هذا اختزال كثير الحدود الأصلي إلى النموذج القياسي.

ويبقى تمثيل آخر كثيرات الحدود في الشكل القياسي. بعد إحضار جميع أعضائها إلى النموذج القياسي ، سيتم كتابتها كـ . لديها أعضاء مثل ، لذلك تحتاج إلى تمثيل مثل الأعضاء:

إذن ، أخذ كثير الحدود الأصلي الصيغة القياسية −x y + 1.

إجابه:

5 × 2 ص + 2 ص 3 × ص + 1 - بالفعل في الشكل القياسي ، 0.8 + 2 a 3 0.6 − b a b 4 b 5 = 0.8 + 1.2 a 3 a b 10, .

غالبًا ما يكون إحضار كثير الحدود إلى النموذج القياسي مجرد خطوة وسيطة في الإجابة على سؤال المشكلة. على سبيل المثال ، يتضمن العثور على درجة كثيرة الحدود تمثيلها الأولي في شكل قياسي.

مثال.

أحضر كثير الحدود إلى النموذج القياسي ، حدد درجته ورتب المصطلحات وفقًا للقوى التنازلية للمتغير.

المحلول.

أولاً ، نأتي بكل شروط كثير الحدود إلى النموذج القياسي: .

الآن نعطي أعضاء متشابهين:

لذلك قمنا بإحضار كثير الحدود الأصلي إلى الصيغة القياسية ، وهذا يسمح لنا بتحديد درجة كثيرة الحدود ، والتي تساوي أكبر درجة من المونومرات المتضمنة فيها. من الواضح أنها 5.

يبقى ترتيب شروط كثير الحدود في تناقص قوى المتغيرات. للقيام بذلك ، من الضروري فقط إعادة ترتيب المصطلحات في كثير الحدود الناتج من النموذج القياسي ، مع مراعاة المتطلبات. المصطلح z 5 له أعلى درجة ، ودرجات الحدود −0.5 · z 2 و 11 تساوي 3 و 2 و 0 على التوالي. لذلك ، فإن كثيرة الحدود ذات المصطلحات المرتبة في تناقص قوى المتغير سيكون لها الشكل .

إجابه:

درجة كثير الحدود هي 5 ، وبعد ترتيب شروطها في تناقص قوى المتغير ، تأخذ الشكل .

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي لمدة 7 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، ك. آي نيشكوف ، إس بي سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة 17. - م: التربية والتعليم 2008. - 240 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019315-3.
• مردكوفيتش أ.الجبر. الصف السابع. الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية / أ. ج. مردكوفيتش. - الطبعة 17 ، إضافة. - م: Mnemozina، 2013. - 175 ص: م. ردمك 978-5-346-02432-3.
• الجبروبداية التحليل الرياضي. الصف العاشر: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات: الأساسية والملف الشخصي. المستويات / [Yu. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M.I Shabunin]؛ إد. A. B. Zhizhchenko. - الطبعة الثالثة. - م: التنوير ، 2010. - 368 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-022771-1.
• جوسيف ف.أ ، مردكوفيتش أ.الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية): Proc. بدل. - م ؛ أعلى المدرسة ، 1984. - 351 ص. ، مريض.

كثير الحدود هو مجموع المونومرات. إذا تمت كتابة جميع شروط كثير الحدود في شكل قياسي (انظر البند 51) وتم تقليل المصطلحات المماثلة ، فسيتم الحصول على كثير الحدود من النموذج القياسي.

يمكن تحويل أي تعبير عن عدد صحيح إلى كثير حدود للصيغة القياسية - وهذا هو الغرض من عمليات التحويل (التبسيط) للتعبيرات الصحيحة.

ضع في اعتبارك الأمثلة التي يجب فيها اختزال التعبير بالكامل إلى الشكل القياسي لكثير الحدود.

المحلول. أولًا ، نحضر شروط كثير الحدود إلى الصورة القياسية. نحصل بعد اختزال المصطلحات المماثلة ، نحصل على كثير الحدود للصيغة القياسية

المحلول. إذا كانت هناك علامة زائد أمام الأقواس ، فيمكن حذف الأقواس ، مع الاحتفاظ بإشارات جميع المصطلحات الموضوعة بين قوسين. باستخدام هذه القاعدة لفتح الأقواس ، نحصل على:

المحلول. إذا كان هناك ziak "ناقص" أمام الأقواس ، فيمكن حذف الأقواس بتغيير إشارات جميع المصطلحات الموجودة بين قوسين. باستخدام قاعدة الهروب هذه ، نحصل على:

المحلول. حاصل ضرب أحادية ومتعددة الحدود ، وفقًا لقانون التوزيع ، يساوي مجموع حاصل ضرب هذا المونومال وكل عضو في كثير الحدود. نحن نحصل

المحلول. لدينا

المحلول. لدينا

يبقى إعطاء مصطلحات مماثلة (يتم تسطيرها). نحن نحصل:

53. صيغ الضرب المختصر.

في بعض الحالات ، يتم اختزال التعبير بالكامل إلى الشكل القياسي لكثير الحدود باستخدام الهويات:

تسمى هذه الهويات بصيغ الضرب المختصرة ،

دعنا نفكر في الأمثلة التي من الضروري فيها تحويل تعبير معين إلى نموذج معياري myogles.

مثال 1. .

المحلول. باستخدام الصيغة (1) ، نحصل على:

مثال 2..

المحلول.

مثال 3..

المحلول. باستخدام الصيغة (3) ، نحصل على:

مثال 4

المحلول. باستخدام الصيغة (4) ، نحصل على:

54. تحليل متعدد الحدود.

في بعض الأحيان يمكنك تحويل كثير الحدود إلى منتج من عدة عوامل - كثيرات الحدود أو subterms. يسمى هذا التحول في الهوية بعوامل كثيرة الحدود. في هذه الحالة ، يُقال أن كثير الحدود يقبل القسمة على كل من هذه العوامل.

ضع في اعتبارك بعض طرق تحليل كثيرات الحدود ،

1) إخراج العامل المشترك من القوس. هذا التحول هو نتيجة مباشرة لقانون التوزيع (من أجل التوضيح ، ما عليك سوى إعادة كتابة هذا القانون "من اليمين إلى اليسار"):

مثال 1. تحليل كثير الحدود

المحلول. .

عادةً ، عند إخراج العامل المشترك من الأقواس ، يتم إخراج كل متغير مشمول في جميع أعضاء كثير الحدود مع أصغر الأس الموجود في كثير الحدود هذا. إذا كانت جميع معاملات كثير الحدود أعدادًا صحيحة ، فسيتم اعتبار القاسم المشترك الأكبر لكل معاملات كثير الحدود كمعامل للعامل المشترك.

2) استخدام صيغ الضرب المختصرة. الصيغ (1) - (7) من البند 53 ، التي تُقرأ "من اليمين إلى اليسار ، في كثير من الحالات تكون مفيدة في تحليل كثيرات الحدود.

مثال 2. التحليل إلى عوامل.

المحلول. لدينا . بتطبيق الصيغة (1) (فرق المربعات) نحصل عليها. التقديم

الآن الصيغتان (4) و (5) (مجموع المكعبات ، فرق المكعبات) ، نحصل على:

مثال 3..

المحلول. لنخرج العامل المشترك من القوس أولاً. للقيام بذلك ، نجد القاسم المشترك الأكبر للمعاملات 4 ، و 16 ، و 16 ، وأقل الأسس التي يتم تضمين المتغيرين أ و ب في الأحاديات التي تكون كثيرة الحدود. نحن نحصل:

3) طريقة التجميع. يعتمد على حقيقة أن القوانين التبادلية والترابطية للإضافة تسمح لك بتجميع شروط كثير الحدود بطرق مختلفة. في بعض الأحيان ، يكون هذا التجميع ممكنًا أنه بعد وضع أقواس للعوامل المشتركة في كل مجموعة ، تبقى واحدة متعددة الحدود واحدة بين قوسين ، والتي بدورها ، كعامل مشترك ، يمكن وضعها بين قوسين. ضع في اعتبارك أمثلة لتحليل كثير الحدود.

مثال 4..

المحلول. دعنا نجمعها على النحو التالي:

في المجموعة الأولى نخرج العامل المشترك في المجموعة الثانية - العامل المشترك 5. نحصل الآن على كثير الحدود كعامل مشترك نخرجه من القوس: وهكذا ، نحصل على:

مثال 5

المحلول. .

مثال 6

المحلول. هنا ، لن يؤدي أي تجميع إلى ظهور كثير الحدود نفسه في كل المجموعات. في مثل هذه الحالات ، قد يكون من المفيد أحيانًا تمثيل أي مصطلح من كثير الحدود كمجموع ، ثم حاول مرة أخرى لتطبيق طريقة التجميع. في مثالنا ، من المستحسن تمثيله كمبلغ نحصل عليه

مثال 7

المحلول. نجمع ونطرح المونومر ، نحصل على

55. كثيرات الحدود في متغير واحد.

كثير الحدود ، حيث أ ، ب أرقام متغيرة ، تسمى كثيرة الحدود من الدرجة الأولى ؛ كثير الحدود حيث أ ، ب ، ج هي أرقام متغيرة ، تسمى كثيرة الحدود من الدرجة الثانية أو ثلاثية الحدود مربعة ؛ كثيرة الحدود حيث a ، b ، c ، d هي أرقام ، المتغير يسمى كثير الحدود من الدرجة الثالثة.

بشكل عام ، إذا كانت o متغيرًا ، فعندئذٍ تكون كثيرة الحدود

تسمى الدرجة lshomogeneal (فيما يتعلق x) ؛ ، م - شروط كثير الحدود ، المعاملات ، المصطلح الرئيسي لكثير الحدود ، و- معامل المصطلح الرئيسي ، المصطلح الحر لكثير الحدود. عادة ، يتم كتابة كثير الحدود في تناقص قوى المتغير ، أي أن درجات المتغير تنخفض تدريجيًا ، على وجه الخصوص ، المصطلح الأقدم في المقام الأول ، والمصطلح المجاني في الأخير. درجة كثير الحدود هي درجة المصطلح الرائد.

على سبيل المثال ، كثير حدود من الدرجة الخامسة يكون فيه المصطلح الرئيسي ، 1 ، هو المصطلح الحر لكثير الحدود.

جذر كثير الحدود هو القيمة التي يختفي عندها كثير الحدود. على سبيل المثال ، الرقم 2 هو جذر كثير الحدود لأن