Евклидовы пространства. Линейная алгебра

Глава 4
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Из курса аналитической геометрии читатель знаком с понятием скалярного произведения двух свободных векторов и с четырьмя основными свойствами указанного скалярного произведения. В настоящей главе изучаются линейные пространства любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем безразлично каким) определено правило, ставящее в соответствие любым двум элементам число, называемое скалярным произведением этих элементов. При этом важно только, чтобы это правило обладало теми же четырьмя свойствами, что и правило составления скалярного произведения двух свободных векторов. Линейные пространства, в которых определено указанное правило, называются евклидовыми пространствами. В настоящей главе выясняются основные свойства произвольных евклидовых пространств.

§ 1. Вещественное евклидово пространство и его простейшие свойства

1. Определение вещественного евклидова пространства. Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством ), если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (х, у).
П. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:
1°. (х, у) = (у, х) (переместительное свойство или симметрия);
2°. (x 1 + x 2, у) = (х 1 , у) + (х 2 , у) (распределительное свойство);
3°. (λ х, у) = λ (х, у) для любого вещественного λ ;
4°. (х, х) > 0, если х - ненулевой элемент; (х, х) = 0, если х - нулевой элемент.
Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения).
Если же природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указаны, то евклидово пространство называется конкретным .
Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.
Пример 1. Рассмотрим линейное пространство В 3 , всех свободных векторов. Скалярное произведение любых двух векторов определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (т. е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними). В курсе аналитической геометрии была доказана справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1°- 4° (см. выпуск «Аналитическая геометрия», гл.2, §2, п.З). Стало быть, пространство В 3 с так определенным скалярным произведением является евклидовым пространством.
Пример 2. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство С [а, b ] всех функций x(t), определенных и непрерывных на сегменте а ≤ t ≤ b . Скалярное произведение двух таких функций x(t) и y(t) определим как интеграл (в пределах от а до b ) от произведения этих функций

Элементарно проверяется справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1°-4°. В самом деле, справедливость аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° вытекает из линейных свойств определенного интеграла; справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что интеграл от непрерывной неотрицательной функции x 2 (t) неотрицателен и обращается в нуль лишь тогда, когда эта функция тождественно равна нулю на сегменте а ≤ t ≤ b (см. выпуск «Основы математического анализа», часть I, свойства 1° и 2° из п. 1 §6 гл. 10) (т.е. является нулевым элементом рассматриваемого пространства).
Таким образом, пространство С [а, b ] с так определенным скалярным произведением представляет собой бесконечномерное евклидово пространство .
Пример 3. Следующий пример евклидова пространства дает n-мерное линейное пространство А n упорядоченных совокупностей n вещественных чисел, скалярное произведение двух любых элементов х= (х 1 , x 2 ,...,х n) и у = (y 1 , y 2 ,...,y n) которого определяется равенством

(х, у) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n . (4.2)

Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° легко проверяется достаточно вспомнить определение операций сложения элементов и умножения их на числа:

(х 1 , x 2 ,...,х n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n),

λ (х 1 , x 2 ,...,х n) = (λ х 1 , λ x 2 ,..., λ х n);

наконец, справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что (х, х) = х 1 2 + x 2 2 + ...+ х n 2 всегда является неотрицательным числом и обращается в нуль лишь при условии х 1 = х 2 = ... = х n = 0.
Рассмотренное в этом примере евклидово пространство часто обозначают символом Е n .
Пример 4. В том же самом линейном пространстве А n введем скалярное произведение любых двух элементов х= (х 1 , x 2 ,...,х n) и у = (y 1 , y 2 ,...,y n) не соотношением (4.2), а другим, более общим, способом.
Для этого рассмотрим квадратную матрицу порядка n

Составим с помощью матрицы (4.3) однородный многочлен второго порядка относительно n переменных х 1 , x 2 ,...,х n

Забегая вперед, отметим, что такой многочлен называется квадратичной формой (порождаемой матрицей (4.3)) (квадратичные формы систематически изучаются в гл. 7 этой книги).
Квадратичная форма (4.4) называется положительно определенной , если она принимает строго положительные значения для всех значений переменных х 1 , x 2 ,...,х n , одновременно не равных нулю (в гл. 7 этой книги будет указано необходимое и достаточное условие положительной определенности квадратичной формы).
Так как при х 1 = х 2 = ... = х n = 0 квадратичная форма (4.4), очевидно, равна нулю, то можно сказать, что положительно определенная
квадратичная форма обращается в нуль лишь при условии х 1 = х 2 = ... = х n = 0.
Потребуем, чтобы матрица (4.3) удовлетворяла двум условиям.
1°. Порождала положительно определенную квадратичную форму (4.4).
2°. Была симметричной (относительно главной диагонали), т.е. удовлетворяла условию a ik = а ki для всех i = 1, 2,..., n и k = I, 2,..., n .
С помощью матрицы (4.3), удовлетворяющей условиям 1° и 2°, определим скалярное произведение двух любых элементов х= (х 1 , x 2 ,...,х n) и у = (y 1 , y 2 ,...,y n) пространства А n соотношением

Легко проверить справедливость для так определенного скалярного произведения всех аксиом 1°-4°. В самом деле, аксиомы 2° и 3°, очевидно, справедливы при совершенно произвольной матрице (4.3); справедливость аксиомы 1° вытекает из условия симметричности матрицы (4.3), а справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что квадратичная форма (4.4), представляющая собой скалярное произведение (х, х), является положительно определенной.
Таким образом, пространство А n со скалярным произведением, определяемым равенством (4.5), при условии симметричности матрицы (4.3) и положительной определенности порождаемой ею квадратичной формы, является евклидовым пространством.
Если в качестве матрицы (4.3) взять единичную матрицу, то соотношение (4.4) перейдет в (4.2), и мы получим евклидово пространство Е n , рассмотренное в примере 3.
2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства. Устанавливаемые в этом пункте свойства справедливы для совершенно произвольного евклидова пространства как конечной, так и бесконечной размерности.
Теорема 4.1. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидова пространства справедливо неравенство

(x, y ) 2 ≤ (x, x )(y, y ), (4.6)

называемое неравенством Коши-Буняковского.
Доказательство. Для любого вещественного числа λ , в силу аксиомы 4° скалярного произведения, справедливо неравенство (λ х - у, λ х - у) > 0. В силу аксиом 1°-3°, последнее неравенство можно переписать в виде

λ 2 (x, x) - 2 λ(x, y) + (y, y) ≤ 0

Необходимым и достаточным условием неотрицательности последнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство (в случае (х, х) = 0 квадратный трехчлен вырождается в линейную функцию, но в этом случае элемент х является нулевым, так что (х, у) = 0 и неравенство (4.7) также справедливо)

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)

Из (4.7) сразу же вытекает неравенство (4.6). Теорема доказана.
Наша очередная задача - ввести в произвольном евклидовом пространстве понятие нормы (или длины ) каждого элемента. Для этого введем понятие линейного нормированного пространства.
Определение. Линейное пространство R называется нормированным , если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого каждому элементу х пространства R ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной ) указанного элемента и обозначаемое символом ||х||.
П. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:
1°. ||х|| > 0, если х - ненулевой элемент; ||х|| = 0, если х - нулевой элемент;
2°. ||λ х|| = |λ | ||х|| для любого элемента х и любого вещественного числа λ ;
3°. для любых двух элементов х и у справедливо следующее неравенство

||х + y || ≤ ||х|| + ||y ||, (4.8)

называемое неравенством треугольника (или неравенством Минковского) .
Теорема 4.2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если норму любого элемента х в нем определить равенством

Доказательство. Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением (4.9), справедливы аксиомы 1°-3° из определения нормированного пространства.
Справедливость для нормы аксиомы 1° сразу вытекает из аксиомы 4° скалярного произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2° почти непосредственно вытекает из аксиом 1° и 3° скалярного произведения.
Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3°, т. е. неравенства (4.8). Будем опираться на неравенство Коши-Буняковского (4.6), которое перепишем в виде

С помощью последнего неравенства, аксиом 1°-4° скалярного произведения и определения нормы получим

Теорема доказана.
Следствие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением (4.9), для любых двух элементов х и у справедливо неравенство треугольника (4.8).

Заметим далее, что в любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами х и у этого пространства. В полной аналогии с векторной алгеброй, мы назовем углом φ между элементами х и у тот (изменяющийся в пределах от 0 до π ) угол, косинус которого определяется соотношением

Данное нами определение угла корректно, ибо в силу неравенства Коши-Буняковского (4.7") дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по модулю не превосходит единицы.
Далее договоримся называть два произвольных элемента х и у евклидова пространства Е ортогональными, если скалярное произведение этих элементов (х, у) равно нулю (в этом случае косинус угла (φ между элементами х и у будет равен нулю).
Снова апеллируя к векторной алгебре, назовем сумму х + у двух ортогональных элементов х и у гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на элементах х и у.
Заметим, что во всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В самом деле, поскольку х и у ортогональны и (х, у) = 0, то в силу аксиом и определения нормы

||х + y || 2 = (x+y, x+y ) = (x, x ) + 2(x, y ) + (y, y) = (x,x) + (y, y) = ||х|| 2 + ||y || 2 .

Этот результат обобщается и на n попарно ортогональных элементов х 1 , x 2 ,...,х n: если z = х 1 + x 2 + ...+ х n , то

||х|| 2 = (х 1 + x 2 + ...+ х n ,х 1 + x 2 + ...+ х n) = (х 1 ,х 1) + (х 2 ,х 2) + .... + (х n ,х n ) = ||х 1 || 2 + ||х 1 || 2 +... +||х 1 || 2 .

В заключение запишем норму, неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника в каждом из конкретных евклидовых пространств, рассмотренных в предыдущем пункте.
В евклидовом пространстве всех свободных векторов с обычным определением скалярного произведения норма вектора а совпадает с его длиной |а|, неравенство Коши-Буняковского приводится к виду ((a,b ) 2 ≤ |а| 2 |b | 2 , а неравенство треугольника - к виду |a + b| ≤ |а| + |b | (Если сложить векторы а и b по правилу треугольника, то это неравенство тривиально сводится к тому, что одна сторона треугольника не превосходит суммы двух других его сторон).
В евклидовом пространстве С [а, b ] всех непрерывных на сегменте а ≤ t ≤ b функций х = x(t) со скалярным произведением (4.1) норма элемента х = x(t) равна , а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид

Оба эти неравенства играют важную роль в различных разделах математического анализа.
В евклидовом пространстве Е n упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (4.2) норма любого элемента х = (х 1 , x 2 ,...,х n) равна

Наконец, в евклидовом пространстве упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (4.5) норма любого элемента х = (х 1 , x 2 ,...,х n) равна 0 (напоминаем, что при этом матрица (4.3) симметрична и порождает положительно определенную квадратичную форму (4.4)).

а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид

§3. Размерность и базис векторного пространства

Линейная комбинация векторов

Тривиальная и нетривиальная линейная комбинация

Линейно зависимые и линейно независимые векторы

Свойства векторного пространства, связанные с линейной зависимостью векторов

п -мерное векторное пространство

Размерность векторного пространства

Разложение вектора по базису

§4. Переход к новому базису

Матрица перехода от старого базиса к новому

Координаты вектора в новом базисе

§5. Евклидово пространство

Скалярное произведение

Евклидово пространство

Длина (норма) вектора

Свойства длины вектора

Угол между векторами

Ортогональные векторы

Ортонормированный базис

§ 3. Размерность и базис векторного пространства

Рассмотрим некоторое векторное пространство (V, Å, ∘) над полем Р . Пусть – некоторые элементы множества V, т.е. векторы.

Линейной комбинацией векторов называется любой вектор, равный сумме произведений этих векторов на произвольные элементы поля Р (т.е. на скаляры) :

Если все скаляры равны нулю, то такая линейная комбинация называется тривиальной (простейшей), и .

Если хотя бы один скаляр отличен от нуля, линейная комбинация называется нетривиальной .

Векторы называются линейно независимыми , если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна :

Векторы называются линейно зависимыми , если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная .

Пример . Рассмотрим множество упорядоченных наборов четверок действительных чисел – это векторное пространство над полем действительных чисел. Задание: выяснить, являются ли векторы , и линейно зависимыми.

Решение .

Составим линейную комбинацию этих векторов: , где – неизвестные числа. Потребуем, чтобы эта линейная комбинация была равна нулевому вектору: .

В этом равенстве запишем векторы в виде столбцов чисел:

Если найдутся такие числа , при которых это равенство выполняется, и хотя бы одно из чисел не равно нулю, значит это нетривиальная линейная комбинация и векторы линейно зависимы.

Выполним действия:

Таким образом, задача сводится к решению системы линейных уравнений:

Решая ее, получим:

Ранги расширенной и основной матриц системы равны и меньше числа неизвестных , следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Пусть , тогда и .

Итак, для данных векторов существует нетривиальная линейная комбинация, например при , которая равна нулевому вектору, значит, эти векторы линейно зависимы.

Отметим некоторые свойства векторного пространства, связанные с линейной зависимостью векторов :

1. Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

2. Если среди векторов имеется нулевой вектор , то эти векторы линейно зависимы.

3. Если часть векторов являются линейно зависимыми, то и все эти векторы – линейно зависимые.

Векторное пространство V называется п -мерным векторным пространством , если в нем найдется п линейно независимых векторов, и любой набор из (п + 1) векторов является линейно зависимым.

Число п называется размерностью векторного пространства , и обозначается dim(V) от английского «dimension» – размерность (измерение, размер, габарит, величина, протяженность и т.д.).

Совокупность п линейно независимых векторов п -мерного векторного пространства называется базисом .

Формула (*) называется разложением вектора по базису , а числа – координатами вектора в этом базисе.

В векторном пространстве может быть более одного или даже бесконечно много базисов. В каждом новом базисе один и тот же вектор будет иметь разные координаты.

§ 4. Переход к новому базису

В линейной алгебре часто встает задача нахождения координат вектора в новом базисе, если известны его координаты в старом базисе.

Рассмотрим некоторое п -мерное векторное пространство (V, +, ·) над полем Р . Пусть в этом пространстве есть два базиса: старый и новый .

Задача: найти координаты вектора в новом базисе.

Пусть векторы нового базиса в старом базисе имеют разложение:

,

Выпишем координаты векторов в матрицу не строками, как они записаны в системе, а столбцами:

Полученная матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Матрица перехода связывает координаты любого вектора в старом и новом базисе следующим соотношением:

,

где - искомые координаты вектора в новом базисе.

Таким образом, задача нахождения координат вектора в новом базисе сводится к решению матричного уравнения: , где Х – матрица-столбец координат вектора в старом базисе, А – матрица перехода от старого базиса к новому, Х * – искомая матрица-столбец координат вектора в новом базисе. Из матричного уравнения получим:

Итак, координаты вектора в новом базисе находятся из равенства:

.

Пример. В некотором базисе даны разложения векторов:

Найти координаты вектора в базисе .

Решение .

1. Выпишем матрицу перехода к новому базису, т.е. координаты векторов в старом базисе запишем столбцами:

2. Найдем матрицу А –1:

3. Выполним умножение , где – координаты вектора :

Ответ : .

§ 5. Евклидово пространство

Рассмотрим некоторое п -мерное векторное пространство (V, +, ·) над полем действительных чисел R . Пусть – некоторый базис этого пространства.

Введем в этом векторном пространстве метрику , т.е. определим способ измерения длин и углов. Для этого определим понятие скалярного произведения.

Соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

N {\displaystyle n} -мерное евклидово пространство обозначается E n , {\displaystyle \mathbb {E} ^{n},} также часто используется обозначение (если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ 04 - Линейная алгебра. Евклидово пространство

✪ Неевклидова геометрия. Часть первая.

✪ Неевклидова геометрия. Часть вторая

✪ 01 - Линейная алгебра. Линейное (векторное) пространство

✪ 8. Евклидовы пространства

Субтитры

Формальное определение

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на векторах которого задана вещественнозначная функция (⋅ , ⋅) , {\displaystyle (\cdot ,\cdot),} обладающая следующими тремя свойствами:

Пример евклидова пространства - координатное пространство R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} состоящее из всевозможных кортежей вещественных чисел (x 1 , x 2 , … , x n) , {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),} скалярное произведение в котором определяется формулой (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . {\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла . Длина вектора u {\displaystyle u} определяется как (u , u) {\displaystyle {\sqrt {(u,u)}}} и обозначается | u | . {\displaystyle |u|.} Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что | a u | = | a | | u | , {\displaystyle |au|=|a||u|,} то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} определяется по формуле φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . {\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right).} Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости ) данное определение угла совпадает с обычным . Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен π 2 . {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}.}

Неравенство Коши - Буняковского - Шварца и неравенство треугольника

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) {\displaystyle \arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right)} был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство | (x , y) | x | | y | | ⩽ 1. {\displaystyle \left|{\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right|\leqslant 1.} Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши - Буняковского - Шварца . Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника : | u + v | ⩽ | u | + | v | . {\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.} Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция d (x , y) = | x − y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} координатного пространства R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} задаётся формулой d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . {\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y})=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор x {\displaystyle x} евклидова пространства задаёт линейный функционал x ∗ {\displaystyle x^{*}} на этом пространстве, определяемый как x ∗ (y) = (x , y) . {\displaystyle x^{*}(y)=(x,y).} Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и