معادلة مستوى بالنسبة لمتجه عادي ونقطة. معادلة المستوى الطبيعي

يمكن تحديده بطرق مختلفة (نقطة واحدة ومتجه ، نقطتان ومتجه ، ثلاث نقاط ، إلخ). ومن هذا المنطلق ، يمكن أن يكون لمعادلة المستوى أشكال مختلفة. أيضًا ، في ظل ظروف معينة ، يمكن أن تكون المستويات متوازية أو متعامدة أو متقاطعة ، إلخ. سنتحدث عن هذا في هذا المقال. سوف نتعلم كيفية كتابة المعادلة العامة للمستوى وليس فقط.

الشكل الطبيعي للمعادلة

لنفترض أن هناك مساحة R 3 بها نظام إحداثيات مستطيل XYZ. قمنا بتعيين المتجه α ، والذي سيتم تحريره من النقطة الأولية O. من خلال نهاية المتجه α ، نرسم المستوى P ، والذي سيكون عموديًا عليه.

قم بالإشارة بواسطة P إلى نقطة تعسفية Q = (x ، y ، z). سنوقع متجه نصف القطر للنقطة Q بالحرف p. طول المتجه α هو p = IαI و Ʋ = (cosα ، cosβ ، cosγ).

هذا متجه وحدة يشير بشكل جانبي ، تمامًا مثل المتجه α. α و و هي الزوايا التي تتشكل بين المتجه Ʋ والاتجاهات الإيجابية لمحاور الفضاء x و y و z على التوالي. إسقاط نقطة ما QϵП على المتجه Ʋ هو قيمة ثابتة تساوي р: (р، Ʋ) = р (р≥0).

هذه المعادلة منطقية عندما يكون p = 0. الشيء الوحيد هو أن المستوى P في هذه الحالة سيتقاطع مع النقطة O (α = 0) ، وهو أصل الإحداثيات ، ومتجه الوحدة Ʋ المنبعث من النقطة O سيكون عموديًا على P ، بغض النظر عن اتجاهه ، مما يعني أن المتجه Ʋ محدد بعلامة. المعادلة السابقة هي معادلة المستوى P ، معبرًا عنها في شكل متجه. لكن في الإحداثيات سيبدو كالتالي:

P هنا أكبر من أو يساوي 0. لقد أوجدنا معادلة المستوى في الفضاء بصيغته العادية.

معادلة عامة

إذا ضربنا المعادلة في الإحداثيات بأي رقم لا يساوي صفرًا ، نحصل على معادلة مكافئة للعدد المعطى ، والذي يحدد المستوى نفسه. سيبدو مثل هذا:

هنا أ ، ب ، ج أرقام تختلف في نفس الوقت عن الصفر. يشار إلى هذه المعادلة باسم معادلة المستوى العام.

معادلات الطائرة. حالات خاصة

يمكن تعديل المعادلة بشكل عام في ظل وجود شروط إضافية. دعونا نفكر في بعضها.

افترض أن المعامل A يساوي 0. هذا يعني أن المستوى المعطى موازٍ للمحور المحدد Ox. في هذه الحالة ، سيتغير شكل المعادلة: Ву + Cz + D = 0.

وبالمثل ، فإن شكل المعادلة سوف يتغير في ظل الشروط التالية:

• أولاً ، إذا كانت B = 0 ، فستتغير المعادلة إلى Ax + Cz + D = 0 ، مما يشير إلى التوازي مع محور Oy.
• ثانيًا ، إذا كانت С = 0 ، يتم تحويل المعادلة إلى Ах + Ву + D = 0 ، مما يشير إلى التوازي مع المحور المعطى Oz.
• ثالثًا ، إذا كانت D = 0 ، فستبدو المعادلة مثل Ax + By + Cz = 0 ، مما يعني أن المستوى يتقاطع مع O (الأصل).
• رابعًا ، إذا كانت A = B = 0 ، فستتغير المعادلة إلى Cz + D = 0 ، والتي ستكون موازية لـ Oxy.
• خامسًا ، إذا كانت B = C = 0 ، فإن المعادلة تصبح Ax + D = 0 ، مما يعني أن مستوى Oyz متوازي.
• سادساً ، إذا كانت A = C = 0 ، فستأخذ المعادلة الشكل Ву + D = 0 ، أي أنها ستبلغ عن التوازي مع Oxz.

نوع المعادلة في المقاطع

في الحالة التي تكون فيها الأرقام A و B و C و D غير صفرية ، يمكن أن يكون شكل المعادلة (0) كما يلي:

س / أ + ص / ب + ض / ج = 1 ،

فيها a \ u003d -D / A ، b \ u003d -D / B ، c \ u003d -D / C.

نحصل على نتيجة لذلك تجدر الإشارة إلى أن هذا المستوى سوف يتقاطع مع محور الثور عند نقطة ذات إحداثيات (أ ، 0،0) ، Oy - (0 ، ب ، 0) ، أوز - (0،0 ، ج).

مع الأخذ في الاعتبار المعادلة x / a + y / b + z / c = 1 ، من السهل تمثيل موضع المستوى بشكل مرئي بالنسبة لنظام إحداثيات معين.

إحداثيات متجه عادي

المتجه الطبيعي n على المستوى P له إحداثيات تمثل معاملات المعادلة العامة للمستوى المحدد ، أي n (A ، B ، C).

من أجل تحديد إحداثيات n العادي ، يكفي معرفة المعادلة العامة لمستوى معين.

عند استخدام المعادلة في المقاطع ، والتي لها الشكل x / a + y / b + z / c = 1 ، وكذلك عند استخدام المعادلة العامة ، يمكن للمرء أن يكتب إحداثيات أي متجه عادي لمستوى معين: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

تجدر الإشارة إلى أن المتجه الطبيعي يساعد في حل المشكلات المختلفة. الأكثر شيوعًا هي المهام التي تتكون من إثبات عمودية أو توازي المستويات ، ومشاكل في إيجاد الزوايا بين المستويات أو الزوايا بين المستويات والخطوط.

عرض معادلة المستوى وفقًا لإحداثيات النقطة والمتجه الطبيعي

المتجه غير الصفري n العمودي على مستوى معين يسمى عادي (عادي) لمستوى معين.

افترض أنه في مساحة الإحداثيات (نظام الإحداثيات المستطيلة) يتم إعطاء Oxyz:

• النقطة Mₒ مع الإحداثيات (xₒ ، yₒ ، zₒ) ؛
• متجه صفري n = A * i + B * j + C * k.

من الضروري تكوين معادلة لمستوى يمر عبر النقطة Mₒ عموديًا على n العمودي.

في الفضاء ، نختار أي نقطة عشوائية ونشير إليها بواسطة M (x y ، z). اجعل متجه نصف القطر لأي نقطة M (x ، y ، z) يكون r = x * i + y * j + z * k ، ومتجه نصف القطر للنقطة Mₒ (xₒ ، yₒ ، zₒ) يكون rₒ = xₒ * i + yₒ * j + zₒ * k. ستنتمي النقطة M إلى المستوى المحدد إذا كان المتجه MₒM عموديًا على المتجه n. نكتب شرط التعامد باستخدام المنتج القياسي:

[MₒM ، ن] = 0.

منذ MₒM \ u003d r-rₒ ، ستبدو معادلة المتجه للمستوى كما يلي:

يمكن أن تأخذ هذه المعادلة شكلًا آخر. للقيام بذلك ، يتم استخدام خصائص المنتج القياسي ، ويتم تحويل الجانب الأيسر من المعادلة. = -. إذا تمت الإشارة إلى c ، فسيتم الحصول على المعادلة التالية: - c \ u003d 0 أو \ u003d c ، والتي تعبر عن ثبات الإسقاطات على المتجه الطبيعي لمتجهات نصف القطر للنقاط المحددة التي تنتمي إلى المستوى.

الآن يمكنك الحصول على الصيغة الإحداثية لكتابة معادلة المتجه لمستوينا = 0. بما أن r-rₒ = (x-xₒ) * i + (y-yₒ) * j + (z-zₒ) * k ، و n = A * i + B * j + C * k ، لدينا:

اتضح أن لدينا معادلة لمستوى يمر عبر نقطة متعامدة مع n العمودي:

A * (x-xₒ) + B * (y-yₒ) C * (z-zₒ) = 0.

عرض معادلة المستوى وفقًا لإحداثيات نقطتين والمتجه الخطي المتجه للمستوى

نحدد نقطتين تعسفيتين M ′ (x ′ ، y ′ ، z ′) و M ″ (x ″ ، y ″ ، z ″) ، وكذلك المتجه a (a ، a ″ ، a).

يمكننا الآن تكوين معادلة لمستوى معين ، والتي ستمر عبر النقطتين المتاحتين M ′ و M ″ ، وكذلك أي نقطة M لها إحداثيات (x ، y ، z) موازية للمتجه المعطى a.

في هذه الحالة ، يجب أن تكون المتجهات М′М = (х-х ′ ؛ y-y ′ ؛ z-z ′) و М ″ M = (x ″ -x ′ ؛ y ″ -y ′ ؛ z ″ -z ′) متحد المستوى مع المتجه a = (a ، a ″ ، a ‴) ، مما يعني أن (M′M ، M) ، مما يعني أن (M′M ، M)

إذن ، معادلة المستوى في الفضاء ستبدو كما يلي:

نوع معادلة مستوى يتقاطع مع ثلاث نقاط

افترض أن لدينا ثلاث نقاط: (x ′ ، y ′ ، z ′) ، (x ″ ، y ″ ، z ″) ، (x ‴ ، y ‴ ، z ‴) ، والتي لا تنتمي إلى نفس الخط المستقيم. من الضروري كتابة معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط الثلاث المحددة. تدعي نظرية الهندسة أن هذا النوع من الطائرات موجود بالفعل ، إلا أنه الوحيد الذي لا يضاهى. نظرًا لأن هذا المستوى يتقاطع مع النقطة (x ′ ، y ′ ، z ′) ، سيكون شكل معادلته كما يلي:

هنا تختلف أ ، ب ، ج عن الصفر في نفس الوقت. أيضًا ، المستوى المعطى يتقاطع مع نقطتين أخريين: (x ″ ، y ″ ، z ″) و (x ‴ ، y ‴ ، z ‴). في هذا الصدد ، يجب استيفاء الشروط التالية:

الآن يمكننا تكوين نظام متجانس مع مجاهيل u ، v ، w:

في حالتنا ، x أو y أو z هي نقطة عشوائية تحقق المعادلة (1). مع الأخذ في الاعتبار المعادلة (1) ونظام المعادلتين (2) و (3) ، فإن نظام المعادلات الموضح في الشكل أعلاه يلبي المتجه N (A ، B ، C) ، وهو أمر غير تافه. هذا هو السبب في أن محدد هذا النظام يساوي الصفر.

المعادلة (1) ، التي حصلنا عليها ، هي معادلة المستوى. يمر بالضبط من خلال 3 نقاط ، وهذا من السهل التحقق منه. للقيام بذلك ، علينا فك المحدد على العناصر الموجودة في الصف الأول. يستنتج من الخصائص الحالية للمحدد أن المستوى الخاص بنا يتقاطع في نفس الوقت مع ثلاث نقاط معطاة في البداية (x ′، y ′، z ′)، (x ″، y ″، z ″)، (x ‴، y ‴، z ‴). وهذا يعني أننا حللنا المهمة الموضوعة أمامنا.

زاوية ثنائية السطوح بين الطائرات

الزاوية ثنائية السطوح هي شكل هندسي مكاني يتكون من نصفين ينبثقان من خط مستقيم واحد. بعبارة أخرى ، هذا هو الجزء من الفضاء الذي تحده هذه الطائرات النصفية.

لنفترض أن لدينا طائرتان بالمعادلات التالية:

نحن نعلم أن المتجهات N = (A ، B ، C) و N¹ = (A¹ ، B¹ ، C¹) متعامدة وفقًا للمستويات المحددة. في هذا الصدد ، فإن الزاوية φ بين المتجهين N و N¹ تساوي الزاوية (ثنائية السطوح) ، الواقعة بين هذين المستويين. المنتج العددي له الشكل:

NN¹ = | N || N¹ | كوس φ ،

على وجه التحديد بسبب

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + BB¹ + CC¹) / ((√ (A² + B² + C²)) * (√ (A¹) ² + (B¹) ² + (C¹) ²)).

يكفي أن تأخذ في الاعتبار أن 0≤φ≤π.

في الواقع ، مستويان يتقاطعان يشكلان زاويتين (ثنائي السطوح): φ 1 و φ 2. مجموعهم يساوي π (φ 1 + φ 2 = π). بالنسبة لجيب التمام ، فإن قيمها المطلقة متساوية ، لكنها تختلف في العلامات ، أي cos φ 1 = -cos φ 2. إذا استبدلنا في المعادلة (0) A و B و C بالأرقام -A و -B و -C على التوالي ، فإن المعادلة التي نحصل عليها ستحدد نفس المستوى ، الزاوية الوحيدة φ في المعادلة cos φ = NN 1 / | N || N 1 | سيتم استبداله بـ π-φ.

معادلة المستوى العمودي

تسمى المستويات المتعامدة إذا كانت الزاوية بينهما 90 درجة. باستخدام المادة الموضحة أعلاه ، يمكننا إيجاد معادلة مستوى متعامد مع مستوى آخر. لنفترض أن لدينا طائرتان: Ax + By + Cz + D = 0 و A¹x + B¹y + C¹z + D = 0. يمكننا القول أنهما سيكونان عموديين إذا كان cosφ = 0. هذا يعني أن NN¹ = AA¹ + BB¹ + CC¹ = 0.

معادلة المستوى المتوازي

بالتوازي طائرتان لا تحتويان على نقاط مشتركة.

الشرط (معادلاتهم هي نفسها كما في الفقرة السابقة) هو أن المتجهين N و N¹ ، المتعامدين معهما ، متعامدين. وهذا يعني أن شروط التناسب التالية مستوفاة:

A / A¹ = B / B¹ = C / C¹.

إذا تم تمديد شروط التناسب - A / A¹ = B / B¹ = C / C¹ = DD¹ ،

هذا يدل على أن هذه الطائرات تتزامن. هذا يعني أن المعادلتين Ax + By + Cz + D = 0 و A¹x + B¹y + C¹z + D¹ = 0 تصف مستوى واحدًا.

المسافة إلى الطائرة من النقطة

لنفترض أن لدينا المستوى P ، وهو معطى بالمعادلة (0). من الضروري إيجاد المسافة إليها من النقطة ذات الإحداثيات (xₒ، yₒ، zₒ) = Qₒ. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تحويل معادلة المستوى P إلى الشكل العادي:

(ρ، v) = p (p≥0).

في هذه الحالة ، ρ (x ، y ، z) هو متجه نصف قطر النقطة Q الموجودة على P ، p هو طول العمود العمودي على P الذي تم إطلاقه من نقطة الصفر ، v هو متجه الوحدة الموجود في الاتجاه.

الفرق ρ-ρº في متجه نصف القطر لنقطة ما Q \ u003d (x ، y ، z) التي تنتمي إلى P ، وكذلك متجه نصف القطر لنقطة معينة Q 0 \ u003d (xₒ ، yₒ ، zₒ) هو مثل هذا المتجه ، القيمة المطلقة للإسقاط على v تساوي المسافة d ، والتي يجب إيجادها من Q 0 \ u003d:

د = | (ρ-ρ 0 ، ت) | ، لكن

(ρ-ρ 0، v) = (، v) - (ρ 0، v) = р- (0، v).

هكذا اتضح

د = | (ρ 0، v) -p |.

وبالتالي ، سنجد القيمة المطلقة للتعبير الناتج ، أي ، d المطلوب.

باستخدام لغة المعلمات ، نحصل على ما هو واضح:

د = | Axₒ + Vuₒ + Cz | / √ (A² + B² + C²).

إذا كانت النقطة المعطاة Q 0 على الجانب الآخر من المستوى P ، وكذلك الأصل ، فإن المتجه ρ-ρ 0 و v يكون بالتالي:

د = - (ρ-ρ 0، v) = (0، v) -p> 0.

في الحالة التي تكون فيها النقطة Q 0 ، جنبًا إلى جنب مع الأصل ، على نفس الجانب من P ، فإن الزاوية التي تم إنشاؤها تكون حادة ، أي:

د \ u003d (ρ-ρ 0 ، v) \ u003d ص - (ρ 0 ، v)> 0.

نتيجة لذلك ، اتضح أنه في الحالة الأولى (ρ 0 ، v)> р ، في الحالة الثانية (ρ 0 ، v)<р.

مستوى الظل ومعادلته

المستوى المماس للسطح عند نقطة التلامس Mº هو المستوى الذي يحتوي على جميع الظلال الممكنة للمنحنيات المرسومة عبر هذه النقطة على السطح.

مع هذا الشكل من معادلة السطح F (x ، y ، z) \ u003d 0 ، ستبدو معادلة المستوى المماس عند نقطة الظل Mº (xº ، yº ، zº) كما يلي:

F x (xº، yº، zº) (x- xº) + F x (xº، yº، zº) (y-yº) + F x (xº، yº، zº) (z-zº) = 0.

إذا حددت السطح في شكل صريح z = f (x ، y) ، فسيتم وصف مستوى الظل بالمعادلة:

z-zº = f (xº، yº) (x- xº) + f (xº، yº) (y-yº).

تقاطع طائرتين

في نظام الإحداثيات (المستطيل) يوجد Oxyz ، يتم إعطاء طائرتين П ′ و П ″ ، والتي تتقاطع ولا تتطابق. نظرًا لأن أي مستوى يقع في نظام إحداثيات مستطيل يتم تحديده بواسطة معادلة عامة ، سنفترض أن P ′ و P ″ معطيان بواسطة المعادلتين A′x + B′y + C′z + D ′ = 0 و A ″ x + B y + C z + D ″ = 0. في هذه الحالة ، لدينا المستوى الطبيعي n ′ (A ′، B ′، C ′) للمستوى P ′ والطبيعي n ″ (A ″، B ″، C ″) للمستوى P ″. نظرًا لأن طائراتنا ليست متوازية ولا تتطابق ، فإن هذه المتجهات ليست على خط واحد. باستخدام لغة الرياضيات ، يمكننا كتابة هذا الشرط على النحو التالي: n ′ ≠ n ″ ↔ (A ′، B ′، C ′) ≠ (λ * A ″، λ * B ″، λ * C ″)، λϵR. دع الخط الذي يقع عند تقاطع P ′ و P ″ يُرمز إليه بالحرف a ، في هذه الحالة a = P ′ ∩ P ″.

a هو خط مستقيم يتكون من مجموعة من جميع نقاط المستويات (المشتركة) П ′ و П ″. هذا يعني أن إحداثيات أي نقطة تنتمي إلى الخط a يجب أن تحقق في نفس الوقت المعادلات A′x + B′y + C′z + D ′ = 0 و A ″ x + B y + C ″ z + D ″ = 0. هذا يعني أن إحداثيات النقطة ستكون حلاً خاصًا لنظام المعادلات التالي:

نتيجة لذلك ، اتضح أن الحل (العام) لنظام المعادلات هذا سيحدد إحداثيات كل نقطة من نقاط الخط المستقيم ، والتي ستكون بمثابة نقطة تقاطع П ′ و П ″ ، وتحدد الخط المستقيم a في نظام الإحداثيات Oxyz (مستطيل) في الفضاء.

1. المعادلة العامة للطائرة

تعريف. المستوى هو سطح ، جميع نقاطه تفي بالمعادلة العامة: Ax + By + Cz + D \ u003d 0 ، حيث A ، B ، C هي إحداثيات المتجه

N = Ai + Bj + Ck هو متجه المستوى الطبيعي. الحالات الخاصة التالية ممكنة:

أ \ u003d 0 - الطائرة موازية لمحور الثور

B = 0 - المستوى موازي لمحور Oy C = 0 - المستوى موازي لمحور Oz

D = 0 - تمر الطائرة عبر نقطة الأصل

A = B = 0 - المستوى موازي للمستوى xOy A = C = 0 - المستوى موازي لمستوى xOz B = C = 0 - المستوى موازي لمستوى yOz A = D = 0 - يمر المستوى عبر محور Ox

B = D = 0 - تمر الطائرة عبر محور Oy C = D = 0 - تمر الطائرة عبر محور Oz

A = B = D = 0 - يتطابق المستوى مع المستوى xОy A = C = D = 0 - يتطابق المستوى مع مستوى xOz B = C = D = 0 - يتطابق المستوى مع مستوى yOz

2. معادلة السطح في الفضاء

تعريف. أي معادلة تتعلق بإحداثيات x و y و z لأي نقطة على سطح ما هي معادلة لذلك السطح.

3. معادلة طائرة تمر بثلاث نقاط

من أجل رسم مستوى واحد عبر أي ثلاث نقاط في الفضاء ، من الضروري ألا تقع هذه النقاط على خط مستقيم واحد.

ضع في اعتبارك النقاط М1 (x1 ، y1 ، z1) ، M2 (x2 ، y2 ، z2) ، M3 (x3 ، y3 ، z3) في النظام الديكارتي العام

4. معادلة مستوى بالنسبة إلى نقطتين والمتجه الخطي المتجه للمستوى

دع النقاط М1 (x1، y1، z1)، M2 (x2، y2، z2) والمتجه a = (a 1، a 2، a 3) يتم إعطاؤها.

دعونا نؤلف معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطتين المعطاة M1 و M2 وتعسفيًا

5. معادلة مستوى فيما يتعلق بنقطة واحدة ومتجهين متصلين بالمستوى

دع متجهين أ = (أ 1 ، أ 2 ، أ 3) وب = (ب 1 ، ب 2 ، ب 3) يتم إعطاؤهما ، مستويات خطية متداخلة. ثم بالنسبة للنقطة التعسفية M (x ، y ، z) التي تنتمي إلى المستوى ، يجب أن تكون المتجهات a ، b ، MM 1 متحد المستوى.

6. معادلة مستوى بالنسبة لنقطة ومتجه عادي

نظرية. إذا كانت النقطة M 0 (x 0 ، y 0 ، z 0) معطاة في الفضاء ، فإن معادلة المستوى المار بالنقطة M 0 المتعامدة مع المتجه الطبيعي N (A ، B ، C) لها الشكل: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0.

7. معادلة المستوى في المقاطع

إذا كانت المعادلة العامة Ax + By + Cz + D = 0 قسّم كلا الجزأين على (-D)

مع محاور x ، y ، z.

8. معادلة المستوى في شكل متجه

r n = p ، حيث r = xi + yj + zk هو متجه نصف القطر للنقطة الحالية M (x ، y ، z) ،

n = i cosα + j cos β + k cosγ - متجه الوحدة له اتجاه ، عمودي ،

سقطت على الطائرة من الأصل. α و و هي الزوايا التي شكلها هذا المتجه مع محاور x و y و z. p هو طول هذا العمودي. في الإحداثيات ، هذه المعادلة لها الشكل:

x cosα + y cos β + z cosγ - ص = 0

9. المسافة من نقطة إلى طائرة

المسافة من نقطة عشوائية M 0 (x 0، y 0، z 0) إلى المستوى Ax + By + Cz + D = 0 هي:

د = Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B2 + C2

مثال. أوجد معادلة المستوى المار بالنقطتين A (2، -1،4) و B (3،2، -1) عموديًا على المستوى x + y + 2z - 3 = 0.

المعادلة المرغوبة للمستوى لها الشكل: Ax + By + Cz + D = 0 ، متجه الطبيعي لهذا المستوى n 1 (A ، B ، C). ينتمي المتجه AB (1،3 ، -5) إلى المستوى. الطائرة المعطاة لنا ،

عمودي على المطلوب له متجه طبيعي n 2 (1،1،2). لأن النقاط A و B تنتمي إلى كلا المستويين ، والمستويات متعامدة بشكل متبادل ، إذن

إذن ، المتجه الطبيعي هو n 1 (11 ، -7 ، -2). لأن النقطة أ تنتمي إلى المستوى المطلوب ، ثم يجب أن تفي إحداثياتها بمعادلة هذا المستوى ، أي

11.2 + 7.1− 2.4 + د = 0 ؛ D = - 21. في المجموع ، نحصل على معادلة المستوى: 11x - 7 y - 2z - 21 = 0

10. معادلة الخط في الفضاء

سواء على المستوى أو في الفضاء ، يمكن تعريف أي خط على أنه مجموعة من النقاط التي تتوافق إحداثياتها في بعض أنظمة الإحداثيات المختارة في الفضاء مع المعادلة:

F (x ، y ، z) = 0. هذه المعادلة تسمى معادلة الخط في الفضاء.

بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تعريف الخط في الفضاء بطريقة أخرى. يمكن اعتباره خط تقاطع بين سطحين ، يتم إعطاء كل منهما من خلال بعض المعادلات.

دع F (x ، y ، z) \ u003d 0 و Ф (x ، y ، z) \ u003d 0 هي معادلات الأسطح المتقاطعة على طول الخط L.

F (x ، y ، z) = 0

ثم زوج من المعادلات Ф (س ، ص ، ض) = 0 سوف يسمى معادلة خط في الفضاء.

11. معادلة خط مستقيم في الفضاء بالنسبة لنقطة ومتجه توجيه r 0 = M 0 M.

لأن المتجهات M 0 M و S متداخلة ، ثم تكون العلاقة M 0 M = St صحيحة ، حيث t هي بعض المعلمات. في المجموع ، يمكننا كتابة: r = r 0 + St.

لأن يتم استيفاء هذه المعادلة بإحداثيات أي نقطة على الخط ، ثم تكون المعادلة الناتجة هي المعادلة البارامترية للخط.

س = x0 + طن متري

يمكن تمثيل معادلة المتجه هذه في شكل إحداثيات: y = y 0 + nt

ض = z0 + نقطة

تحويل هذا النظام ومعادلة قيم المعلمة t ، نحصل على المتعارف عليه

تعريف. اتجاه جيب التمام للخط المستقيم هو اتجاه جيب التمام للمتجه S ، والذي يمكن حسابه بواسطة الصيغ:

من هنا نحصل على: m: n: p = cosα: cos β: cosγ.

الأرقام م ، ن ، ع تسمى ميل الخط. لأن S متجه غير صفري ، وبالتالي لا يمكن أن تكون m و n و p صفراً في نفس الوقت ، ولكن يمكن أن يكون رقم واحد أو رقمين من هذه الأعداد صفرًا. في هذه الحالة ، في معادلة الخط المستقيم ، يجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر.

12. معادلة خط مستقيم في الفضاء يمر بنقطتين

إذا كنا على خط في الفضاء ، حددنا نقطتين تعسفيتين M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) و

M 2 (x 2، y 2، z 2) ، إذن يجب أن تفي إحداثيات هذه النقاط بمعادلة الخط المستقيم التي تم الحصول عليها أعلاه:

للحصول على المعادلة العامة للمستوى ، نقوم بتحليل المستوى الذي يمر عبر نقطة معينة.

فليكن هناك ثلاثة محاور إحداثيات معروفة لنا بالفعل في الفضاء - ثور, أويو أوز. أمسك الورقة حتى تظل مسطحة. ستكون الطائرة هي الورقة نفسها واستمرارها في كل الاتجاهات.

يترك صطائرة عشوائية في الفضاء. يسمى أي متجه عمودي عليه ناقلات الطبيعي لهذه الطائرة. بطبيعة الحال ، نحن نتحدث عن ناقل غير صفري.

إذا كانت أي نقطة في الطائرة معروفة صوبعض المتجهات العادية بالنسبة لها ، فبواسطة هذين الشرطين يتم تحديد المستوى في الفضاء تمامًا(من خلال نقطة معينة ، يوجد مستوى واحد فقط عمودي على متجه معين). ستبدو المعادلة العامة للطائرة كما يلي:

إذن ، هناك شروط تحدد معادلة المستوى. للحصول عليها بنفسك معادلة الطائرة، الذي يحتوي على الشكل أعلاه ، نأخذ الطائرة صاِعتِباطِيّ نقطة م مع إحداثيات متغيرة x, ذ, ض. هذه النقطة تنتمي إلى الطائرة فقط إذا المتجه عمودي على المتجه(رسم بياني 1). لهذا ، وفقًا لحالة عمودية المتجهات ، من الضروري والكافي أن يكون الناتج القياسي لهذه المتجهات مساويًا للصفر ، أي

يتم إعطاء المتجه حسب الشرط. نحسب إحداثيات المتجه بالصيغة :

.

الآن ، باستخدام صيغة الضرب النقطي للمتجهات ، نعبر عن المنتج القياسي في شكل تنسيق:

منذ هذه النقطة م (س ، ص ، ض)يتم اختياره بشكل تعسفي على المستوى ، ثم يتم استيفاء المعادلة الأخيرة بإحداثيات أي نقطة ملقاة على المستوى ص. للنقطة ن، عدم الاستلقاء على مستوى معين ، أي المساواة (1) منتهكة.

مثال 1اكتب معادلة لمستوى يمر بنقطة وعمودي على متجه.

حل. نستخدم الصيغة (1) ، ننظر إليها مرة أخرى:

في هذه الصيغة ، الأرقام أ , بو جإحداثيات وأرقام المتجهات x0 , ذ0 و ض0 - إحداثيات النقطة.

الحسابات بسيطة للغاية: نستبدل هذه الأرقام في الصيغة ونحصل عليها

نقوم بضرب كل ما يحتاج إلى الضرب ونجمع فقط الأرقام (التي لا تحتوي على أحرف). نتيجة:

.

تبين أن المعادلة المطلوبة للمستوى في هذا المثال يتم التعبير عنها بالمعادلة العامة من الدرجة الأولى فيما يتعلق بالإحداثيات المتغيرة س ، ص ، ضنقطة تعسفية للطائرة.

إذن ، معادلة النموذج

مُسَمًّى المعادلة العامة للطائرة .

مثال 2بناء في نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل المستوى المعطى بواسطة المعادلة .

حل. لبناء مستوى ، من الضروري والكافي معرفة أي ثلاث نقاط من نقاطه لا تقع على خط مستقيم واحد ، على سبيل المثال ، نقاط تقاطع المستوى مع محاور الإحداثيات.

كيف تجد هذه النقاط؟ لإيجاد نقطة التقاطع مع المحور أوز، تحتاج إلى استبدال الأصفار بدلاً من x و y في المعادلة الواردة في بيان المشكلة: x = ذ= 0. لذلك ، نحصل عليه ض= 6. وبالتالي ، فإن المستوى المحدد يتقاطع مع المحور أوزفي هذه النقطة أ(0; 0; 6) .

بالطريقة نفسها ، نجد نقطة تقاطع المستوى مع المحور أوي. في x = ض= 0 نحصل عليه ذ= −3 ، أي نقطة ب(0; −3; 0) .

وأخيرًا ، نجد نقطة تقاطع المستوى مع المحور ثور. في ذ = ض= 0 نحصل عليه x= 2 ، أي نقطة ج(2 ؛ 0 ؛ 0). على أساس النقاط الثلاث التي حصلنا عليها في حلنا أ(0; 0; 6) , ب(0 ؛ −3 ؛ 0) و ج(2 ؛ 0 ؛ 0) نبني الطائرة المعطاة.

فكر الآن حالات خاصة من المعادلة العامة للطائرة. هذه هي الحالات التي تختفي فيها بعض معاملات المعادلة (2).

1. متى د = 0 معادلة يحدد مستوى يمر عبر الأصل ، منذ إحداثيات نقطة 0 (0؛ 0؛ 0) تحقق هذه المعادلة.

2. متى أ = 0 معادلة يحدد مستوى موازٍ للمحور ثور، لأن المتجه الطبيعي لهذا المستوى عمودي على المحور ثور(إسقاطه على المحور ثوريساوي صفر). وبالمثل ، عندما ب = 0 طائرة محور موازٍ أوي، وعندما ج = 0 طائرة بالتوازي مع المحور أوز.

3. متى أ = د =تحدد معادلة 0 مستوى يمر عبر المحور ثورلأنها موازية للمحور ثور (أ =د = 0). وبالمثل ، يمر المستوى عبر المحور أويوالمستوى عبر المحور أوز.

4. متى أ = ب =تحدد معادلة 0 مستوى موازٍ لمستوى الإحداثيات xOyلأنه يوازي المحاور ثور (أ= 0) و أوي (ب= 0). وبالمثل ، فإن المستوى موازي للمستوى yOzوالطائرة - الطائرة xOz.

5. متى أ = ب = د = 0 معادلة (أو ض = 0) يحدد المستوى الإحداثي xOy، لأنها موازية للمستوى xOy (أ = ب = 0) ويمر عبر الأصل ( د = 0). وبالمثل ، فإن المعادلة ص = 0 في الفضاء يحدد مستوى الإحداثيات xOzوالمعادلة س = 0 - تنسيق الطائرة yOz.

مثال 3يؤلف معادلة المستوى صمرورا بالمحور أويو نقطة .

حل. إذن ، يمر المستوى عبر المحور أوي. لذلك في معادلتها ذ= 0 وهذه المعادلة لها الشكل. لتحديد المعاملات أو جنستخدم حقيقة أن النقطة تنتمي إلى المستوى ص .

لذلك ، من بين إحداثياته ​​هناك تلك التي يمكن استبدالها في معادلة المستوى ، والتي اشتقناها بالفعل (). لنلق نظرة على إحداثيات النقطة مرة أخرى:

م0 (2; −4; 3) .

فيما بينها x = 2 , ض= 3. نستبدلها في المعادلة العامة ونحصل على المعادلة لحالتنا الخاصة:

2أ + 3ج = 0 .

نترك 2 أعلى الجانب الأيسر من المعادلة ، ننقل 3 جإلى الجانب الأيمن والحصول على

أ = −1,5ج .

استبدال القيمة التي تم العثور عليها أفي المعادلة ، نحصل عليها

أو .

هذه هي المعادلة المطلوبة في حالة المثال.

قم بحل المسألة في معادلات المستوى بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

مثال 4حدد المستوى (أو المستويات إذا كان هناك أكثر من واحد) فيما يتعلق بمحاور الإحداثيات أو مستويات الإحداثيات إذا تم إعطاء المستوى (المستويات) بواسطة المعادلة.

حلول للمشكلات النموذجية التي تحدث في الاختبارات - في دليل "مشاكل على مستوى: التوازي ، والعمودية ، وتقاطع ثلاث مستويات في نقطة واحدة".

معادلة طائرة تمر بثلاث نقاط

كما ذكرنا سابقًا ، فإن الشرط الضروري والكافي لبناء طائرة ، بالإضافة إلى نقطة واحدة ومتجه عادي ، هي أيضًا ثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد.

يجب إعطاء ثلاث نقاط مختلفة ، وعدم الاستلقاء على نفس الخط المستقيم. نظرًا لأن هذه النقاط الثلاث لا تقع على خط مستقيم واحد ، فإن المتجهات وليست متداخلة ، وبالتالي فإن أي نقطة من المستوى تقع في نفس المستوى مع النقاط ، وإذا وفقط إذا كانت المتجهات ، و متحد المستوى ، أي إذا وفقط إذا المنتج المختلط لهذه النواقليساوي صفر.

باستخدام تعبير المنتج المختلط في الإحداثيات ، نحصل على معادلة المستوى

(3)

بعد توسيع المحدد ، تصبح هذه المعادلة معادلة من الشكل (2) ، أي المعادلة العامة للطائرة.

مثال 5اكتب معادلة لمستوى يمر بثلاث نقاط معطاة لا تقع على خط مستقيم:

ولتحديد حالة معينة من المعادلة العامة للخط ، إن وجدت.

حل. وفقًا للصيغة (3) لدينا:

معادلة المستوى الطبيعي. المسافة من نقطة إلى طائرة

المعادلة العادية للمستوى هي معادلته ، مكتوبة بالصيغة

هي المعادلة العامة للطائرة في الفضاء

متجه المستوى العادي

المتجه الطبيعي للمستوى هو متجه غير صفري متعامد لكل متجه يقع في المستوى.

معادلة مستوى يمر عبر نقطة بمتجه عادي معين

هي معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطة M0 بمتجه عادي معين

ناقلات اتجاه الطائرة

يُطلق على متجهين غير خطيين موازيين للمستوى متجهات الاتجاه للمستوى

معادلات المستوى البارامترية

- المعادلة البارامترية للطائرة في شكل متجه

هي المعادلة البارامترية للمستوى في الإحداثيات

معادلة مستوى من خلال نقطة معينة ومتجهي اتجاه

-نقطة ثابتة

مجرد نقطة لول

متحد المستوى ، لذا فإن منتجهم المختلط هو 0.

معادلة مستوى يمر عبر ثلاث نقاط معينة

- معادلة مستوية من خلال ثلاث نقاط

معادلة المستوى في مقاطع

- معادلة مستوية في مقاطع

دليل

لإثبات ذلك ، نستخدم حقيقة أن مستوانا يمر عبر A و B و C والمتجه العادي

دعونا نستبدل إحداثيات النقطة والمتجه n في معادلة المستوى بالمتجه العادي

اقسم كل شيء واحصل على

هكذا يذهب.

معادلة المستوى الطبيعي

هي الزاوية بين الثور والمتجه الطبيعي للمستوى الخارج من O.

هي الزاوية بين oy والمتجه الطبيعي للمستوى الخارج من O.

هي الزاوية بين oz والمتجه الطبيعي للمستوى الخارج من O.

هي المسافة من أصل الإحداثيات إلى المستوى.

دليل أو بعض هذه الهراء

العلامة مقابل د.

وبالمثل بالنسبة لجيب التمام الأخرى. نهاية.

المسافة من نقطة إلى طائرة

النقطة S ، الطائرة

هي المسافة الموجهة من النقطة S إلى المستوى

إذا ، فإن S و O تقعان على جانبي الطائرة

إذا ، ثم S و O تقع على نفس الجانب

اضرب ب n

الترتيب المتبادل لخطين في الفضاء

الزاوية بين الطائرات

عند التقاطع ، يتكون زوجان من الزوايا العمودية ثنائية السطوح ، يسمى الأصغر بالزاوية بين المستويين

خط مستقيم في الفضاء

يمكن إعطاء خط في الفضاء كـ

تقاطع طائرتين:

المعادلات البارامترية للخط المستقيم

- المعادلة البارامترية لخط مستقيم في شكل متجه

هي المعادلة البارامترية لخط مستقيم في الإحداثيات

المعادلة المتعارف عليها

هي المعادلة الأساسية للخط المستقيم.

معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين معينتين

- المعادلة الأساسية لخط مستقيم في شكل متجه ؛

الترتيب المتبادل لخطين في الفضاء

الترتيب المتبادل لخط مستقيم ومستوى في الفضاء

الزاوية بين الخط والمستوى

المسافة من نقطة إلى خط في الفضاء

a هو متجه اتجاه خطنا المستقيم.

هي نقطة عشوائية تنتمي إلى خط معين

- النقطة التي نبحث عنها عن المسافة.

المسافة بين خطين متقاطعين

المسافة بين خطين متوازيين

M1 - نقطة تنتمي إلى السطر الأول

M2 هي نقطة تنتمي إلى السطر الثاني

منحنيات وسطوح من الدرجة الثانية

القطع الناقص عبارة عن مجموعة من النقاط في المستوى ، ومجموع المسافات التي يتم من خلالها إلى نقطتين معينتين (بؤر) قيمة ثابتة.

المعادلة المتعارف عليها للقطع الناقص

دعنا نستبدلها بـ

اقسم على

خصائص القطع الناقص

تقاطع محاور الإحداثيات

التماثل حول

1. الأصول

القطع الناقص هو منحنى يقع في جزء محدود من المستوى

يمكن الحصول على القطع الناقص من دائرة عن طريق شدها أو عصرها

المعادلة البارامترية للقطع الناقص:

- المخرجون

القطع الزائد

القطع الزائد عبارة عن مجموعة من النقاط في مستوى يكون فيها معامل الاختلاف في المسافات إلى نقطتين معينتين (بؤر) قيمة ثابتة (2 أ)

نفعل كل شيء كما هو الحال مع القطع الناقص ، نحصل عليه

استبدل ب

اقسم على

خصائص القطع الزائد

;

- المخرجون

خط مقارب

الخط المقارب هو خط مستقيم يقترب منه المنحنى إلى أجل غير مسمى ، وينحسر إلى ما لا نهاية.

القطع المكافئ

خصائص Parabot

العلاقة بين القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ.

العلاقة بين هذه المنحنيات لها تفسير جبري: يتم تقديمها جميعًا بواسطة معادلات من الدرجة الثانية. في أي نظام إحداثيات ، يكون لمعادلات هذه المنحنيات الشكل: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 ، حيث a ، b ، c ، d ، e ، f هي أرقام

تحويل أنظمة الإحداثيات الديكارتية المستطيلة

ترجمة موازية لنظام الإحداثيات

- O في نظام الإحداثيات القديم

- إحداثيات النقطة في نظام الإحداثيات القديم

- إحداثيات النقطة في نظام الإحداثيات الجديد

إحداثيات النقطة في نظام الإحداثيات الجديد.

تناوب في نظام تنسيق ديكارتي

- نظام إحداثيات جديد

مصفوفة الانتقال من الأساس القديم إلى الأساس الجديد

- (تحت العمود الأول أنا’ تحت الثانية ي’ ) مصفوفة الانتقال من الأساس أنا,يإلى الأساس أنا’ ,ي’

الحالة العامة

1 خيار

1. تنسيق دوران النظام

الخيار 2

1. تنسيق دوران النظام

   الترجمة الموازية للأصل

المعادلة العامة لأسطر الدرجة الثانية واختزالها إلى الشكل الأساسي

هو الشكل العام لمعادلات منحنى الدرجة الثانية

تصنيف منحنيات الدرجة الثانية

بيضاوي

المقاطع العرضية للقطع الناقص

- الشكل البيضاوي

- الشكل البيضاوي

الإهليلجويد للثورة

الإهليلجيات للثورة إما أن تكون شبه كروية مفلطحة أو متكاثرة ، اعتمادًا على ما نناوب حوله.

أحادية النطاق الزائد

أقسام من قطعة مفردة الزائدة

- القطع الزائد مع المحور الحقيقي

هو القطع الزائد مع محور س حقيقي

اتضح القطع الناقص لأي h. هكذا يذهب.

مفردة الشريط الزائد للثورة

يمكن الحصول على شكل مفرط ذو ورقة واحدة للثورة عن طريق تدوير القطع الزائد حول محوره التخيلي.

قطعتان زائدتان

أقسام من قطعتين زائدتين

- المبالغة في العمل. اكسسوز

هو القطع الزائد مع المحور الحقيقي oz

مخروط

- زوج من الخطوط المتقاطعة

- زوج من الخطوط المتقاطعة

مكافئ بيضاوي الشكل

- القطع المكافئ

- القطع المكافئ

التناوب

إذا ، فإن القطع المكافئ الإهليلجي هو سطح للثورة يتكون من دوران القطع المكافئ حول محور التناظر الخاص به.

القطع المكافئ الزائدي

القطع المكافئ

- القطع المكافئ

h> 0 القطع الزائد مع المحور الحقيقي الموازي لـ x

ح<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

تحت الأسطوانة ، نعني السطح الذي سيتم الحصول عليه عندما يتحرك خط مستقيم في الفضاء ، والذي لا يغير اتجاهه ، إذا كان الخط المستقيم يتحرك بالنسبة لـ oz ، فإن معادلة الأسطوانة هي معادلة المقطع بالمستوى xoy.

اسطوانة بيضاوية الشكل

اسطوانة الزائدية

اسطوانة مكافئ

المولدات المستقيمة للأسطح من الدرجة الثانية

تسمى الخطوط الموجودة تمامًا على السطح بالمولدات المستقيمة للسطح.

سطوح ثورة

اللعنة عليك لول

عرض

من خلال العرضدعنا نسمي القاعدة التي وفقًا لها يرتبط كل عنصر من عناصر المجموعة A بعنصر واحد أو أكثر من المجموعة B. إذا تم تعيين عنصر واحد من المجموعة B ، فسيتم استدعاء التعيين خالية من الغموض، خلاف ذلك غامض.

تحويلالمجموعة تسمى تعيين واحد لواحد للمجموعة على نفسها

حقنة

حقن أو تعيين واحد لواحد للمجموعة أ لتعيين ب

(عناصر مختلفة من a تتوافق مع عناصر مختلفة من B) على سبيل المثال y = x ^ 2

التكهن

صراع أو تعيين مجموعة أ على مجموعة ب

لكل ب ، هناك واحد على الأقل (على سبيل المثال ، جيب)

يتوافق كل عنصر من عناصر المجموعة B مع عنصر واحد فقط من المجموعة A. (على سبيل المثال ، y = x)

في هذه المقالة ، سننظر في المعادلة العادية للمستوى. دعونا نعطي أمثلة على بناء المعادلة العادية للمستوى وفقًا لزاوية ميل المتجه الطبيعي للمستوى من المحاور Ox ، Oy ، Ozوعن طريق المسافة صمن الأصل إلى الطائرة. دعونا نقدم طريقة لتقليل المعادلة العامة للخط المستقيم إلى الشكل العادي. فكر في الأمثلة العددية.

دع نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي يُعطى في الفضاء. ثم المعادلة العادية للطائرة Ω ممثلة بالصيغة التالية:

أين ص- المسافة من الأصل إلى الطائرة Ω ، أ α,β,γ هي الزوايا بين متجه الوحدة ن، متعامد مع الطائرة Ω وتنسيق المحاور Ox ، Oy ، Oz، على التوالي (الشكل 1). (لو ص> 0 ، ثم المتجه نموجهة نحو الطائرة Ω ، إذا كان المستوى يمر عبر الأصل ، ثم اتجاه المتجه نتم اختياره بشكل تعسفي).

نشتق الصيغة (1). دع نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي وطائرة تعطى في الفضاء Ω (رسم بياني 1). ارسم خطًا من خلال الأصل سعمودي على المستوى Ω ، وسيتم الإشارة إلى نقطة التقاطع بواسطة ص. في هذا الخط ، نختار متجه الوحدة ن، مع الاتجاه الذي يتزامن مع المتجه. (إذا كانت النقاط او صمباراة ، ثم الاتجاه نيمكن أن تؤخذ بشكل تعسفي).

نعبر عن معادلة المستوى Ω من خلال المعلمات التالية: طول المقطع وزوايا الميل α, β, γ بين المتجه نومحاور Ox ، Oy ، Oz، على التوالى.

منذ المتجه نهو متجه وحدة ، ثم إسقاطاته على Ox ، Oy ، Ozسيكون له الإحداثيات التالية:

حاصل الضرب النقطي للناقلات نولها الشكل التالي:

بشرط ن ={cosα ، cosβ ، cosγ}, ، سوف نحصل على:

لقد حصلنا على المعادلة العادية للمستوى Ω . المعادلة (7) (أو (1)) تسمى أيضًا معادلة المستوى الطبيعي. المتجه نمُسَمًّى ناقلات طائرة عادية.

كما هو مذكور أعلاه ، فإن الرقم صفي المعادلة (1) يوضح مسافة المستوى من الأصل. لذلك ، من خلال المعادلة العادية للمستوى ، من السهل تحديد مسافة المستوى من الأصل. للتحقق مما إذا كانت معادلة معينة للمستوى هي معادلة في الشكل العادي ، تحتاج إلى التحقق من طول المتجه الطبيعي لهذا المستوى وعلامة الرقم ص، أي. إذا | ن| = 1 و ص> 0 ، فهذه المعادلة هي معادلة عادية (طبيعية) للمستوى.

مثال 1. بالنظر إلى المعادلة المستوية التالية:

لنحدد طول المتجه ن:

نظرًا لأن المعادلتين (1) و (8) يجب أن تحدد نفس الخط المستقيم (الاقتراح 2 من مقالة "المعادلة العامة للمستوى") ، فهناك مثل هذا الرقم ر، ماذا

بسّط التعبير وابحث ر:

.

(11)

المقام في (11) يختلف عن الصفر لأن واحد على الأقل من المعاملات أ ، ب ، جلا يساوي الصفر (وإلا فإن الرقم (8) لن يمثل معادلة الخط المستقيم).

اكتشف ما هي علامة ر. دعونا ننتبه إلى المساواة الرابعة في (9). لأن صهي المسافة من الأصل إلى المستوى ، إذن ص≥0. ثم المنتج تاريخيجب أن يكون لها علامة سلبية. أولئك. لافتة ريجب أن يكون في (11) مقابل العلامة د.

الاستبدال بـ (1) بدلاً من cosα و cosβ و cosγ و −rالقيم من (9) ، نحصل عليها tAx + tBy + tCz + tD= 0. أولئك. لإحضار المعادلة العامة للمستوى إلى الصورة العادية ، تحتاج إلى ضرب المعادلة المعطاة في العامل (11). العامل (11) يسمى عامل التطبيع.

مثال 2. تم إعطاء المعادلة العامة للمستوى

لأن د> 0 ، ثم وقع رسلبي:

لاحظ أن الرقم هو المسافة من نقطة الأصل إلى الخط المستقيم (12).