Практическое занятие по теме обратные тригонометрические функции. Выразим через все обратные тригонометрические функции

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

ГОУ ВПО «Марийский Государственный Университет»

Кафедра математики и МПМ

Курсовая работа

Обратные тригонометрические функции

Выполнила:

студентка

33 группы ЕНФ

Яшметова Л. Н.

Научный руководитель:

к.п.н. доцент

Бородина М. В.

Йошкар-Ола

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава I. Определение обратных тригонометрических функций.

1.1. Функция у = arcsin x ……………………………………………………........4

1.2. Функция у = arccos x …………………………………………………….......5

1.3. Функция у = arctg x ………………………………………………………….6

1.4. Функция у = arcctg x …………………………………………………….......7

Глава II. Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями.

Основные соотношения для обратных тригонометрических функций….8

Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции……………………………………………………………………..11

Вычисление значений обратных тригонометрических функций…..........21

Заключение……………………………………………………………………….25

Список использованной литературы…………………………………………...26

Введение

Во многих задачах встречается необходимость находить не только значения тригонометрических функций по данному углу, но и, обратно, угол или дугу по заданному значению какой-нибудь тригонометрической функции.

Задачи с обратными тригонометрическими функциями содержатся в заданиях ЕГЭ (особенно много в части В и С). Например, в части В Единого государственного экзамена требовалось по значению синуса (косинуса) найти соответствующее значение тангенса или вычислить значение выражения, содержащего табличные значения обратных тригонометрических функций. Относительно этого типа заданий заметим, что таких заданий в школьных учебниках недостаточно для формирования прочного навыка их выполнения.

Т.о. целью курсовой работы является рассмотреть обратные тригонометрические функции и их свойства, и научиться решат задачи с обратными тригонометрическими функциями.

Чтобы достичь цели, нам потребуется решить следующие задачи:

Изучить теоретические основы обратных тригонометрических функций,

Показать применение теоретических знаний на практике.

Глава I . Определение обратных тригонометрических функций

1.1. Функция у = arcsin x

Рассмотрим функцию ,
. (1)

В этом промежутке функция монотонна (возрастает от -1 до 1), следовательно, существует обратная функция

,
. (2)

Каждому данному значению у (величины синуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение х (величины дуги) из промежутка
. Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

Где
. (3)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (1). Функция (3) называется арксинусом аргумента . График этой функции – кривая, симметричная графику функции , где , относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Приведем свойства функции, где .

Свойство 1. Область изменения значений функции: .

Свойство 2. Функция – нечетная, т.е.

Свойство 3. Функция, где , имеет единственный корень
.

Свойство 4. Если, то
; если , то.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от -1 до 1 значение функции возрастает от
до
.

1.2. Функция y = ar с cos x

Рассмотрим функцию
, . (4)

В этом промежутке функция монотонна (убывает от +1 до -1), значит, для нее существует обратная функция

, , (5)

т.е. каждому значению (величины косинуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка . Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

, . (6)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (4). Функция (6) называется арккосинусом аргумента х . График этой функции можно построить на основании свойств графиков взаимно обратных функций.

Функция , где , обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Область изменения значений функции :
.

Свойство 2. Величины
и
связаны соотношением

Свойство 3. Функция имеет единственный корень
.

Свойство 4. Функция отрицательных значений не принимает.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от -1 до +1 значения функции убывают от до 0.

1.3. Функция y = arctgx

Рассмотрим функцию
,
. (7)

Отметим, что эта функция определена для всех значений , лежащих строго внутри промежутка от до ; на концах этого промежутка она не существует, так как значения

- точки разрыва тангенса.

В промежутке
функция монотонна (возрастает от -
до
), следовательно, для функции (1) существует обратная функция:

,
, (8)

т.е. каждому данному значению (величины тангенса) из промежутка
соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка .

Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

,
. (9)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной (7). Функция (9) называется арктангенсом аргумента х . Отметим, что при
значение функции
, а при

, т.е. график функции имеет две асимптоты:
и.

Функция , , обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Область изменения значений функции
.

Свойство 2. Функция – нечетная, т.е. .

Свойство 3. Функция имеет единственный корень .

Свойство 4. Если
, то

; если , то
.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от до значения функции возрастают от до +.

1.4. Функция y = arcctgx

Рассмотрим функцию
,
. (10)

Эта функция определена для всех значений , лежащих внутри промежутка от 0 до ; на концах этого промежутка она не существует, поскольку значения и - точки разрыва котангенса. В промежутке (0,) функция монотонна (убывает от до), следовательно, для функции (1) существует обратная функция

, (11)

т.е. каждому данному значению (величины котангенса) из промежутка (
) соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка (0,). Переходя к общепринятым обозначениям, получаем связаны соотношением.Реферат >> Математика тригонометрическим функциям . К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций : аркси́нус...

Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции

Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

1. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.

Пример 1

Решим уравнение: a ) sin x = 1/2; б) sin x = а.

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x 1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x 1 . По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: где k ∈ Z .

б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а. Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Эти две формулы можно объединить в одну: при этом

Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции. Такая задача является многозначной - существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению. Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.

Арксинус числа a (arcsin , синус которого равен а, т. е.

Арккосинус числа a (arccos а) - такой угол а из промежутка , косинус которого равен а, т. е.

Арктангенс числа a (arctg а) - такой угол а из промежутка тангенс которого равен а, т. е. tg а = а.

Арккотангенс числа a (arcctg а) - такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е. ctg а = а.

Пример 2

Найдем:

Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:

Пример 3

Вычислим

Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим: Учтено, что и cos a ≥ 0. Итак,

Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.

Пример 4

Найдем область определения функции

Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства которое эквивалентно системе неравенств Решением первого неравенства является промежуток х ∈ (-∞; +∞), второго - Этот промежуток и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции

Пример 5

Найдем область изменения функции

Рассмотрим поведение функции z = 2х - х2 (см. рисунок).

Видно, что z ∈ (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что Таким образом, область изменения

Пример 6

Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть Тогда tg а = -х или х = - tg а = tg (- a ), причем Следовательно, - a = arctg х или а = - arctg х. Таким образом, видим, что т. е. у(х) - функция нечетная.

Пример 7

Выразим через все обратные тригонометрические функции

Пусть Очевидно, что Тогда Так как

Введем угол Так как то

Аналогично поэтому и

Итак,

Пример 8

Построим график функции у = cos (arcsin х).

Обозначим а = arcsin x , тогда Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x 2 + у2 = 1, и ограничения на х (х ∈ [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos (arcsin х) является полуокружность.

Пример 9

Построим график функции у = arccos (cos x ).

Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке . Будем иметь в виду, что у = arccos (cos x ) = х на отрезке ; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos x , теперь легко построить график.

Отметим некоторые полезные равенства:

Пример 10

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции Обозначим тогда Получим функцию Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно Таким образом, и

Пример 11

Решим уравнение

Учтем, что Тогда уравнение имеет вид: или откуда По определению арктангенса получим:

2. Решение простейших тригонометрических уравнений

Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.

Пример 12

Решим уравнение

Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде Решения этого уравнения: откуда находим

Пример 13

Решим уравнение

По приведенной формуле запишем решения уравнения: и найдем

Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:

для уравнения sin х = 1 решения

для уравнения sin х = 0 решения х = π k ;

для уравнения sin х = -1 решения

для уравнения cos х = 1 решения х = 2π k ;

для уравнения cos х = 0 решения

для уравнения cos х = -1 решения

Пример 14

Решим уравнение

Так как в данном примере имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решение: откуда найдем

III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Дайте определение и перечислите основные свойства обратных тригонометрических функций.

2. Приведите графики обратных тригонометрических функций.

3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

IV. Задание на уроках

§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);

§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).

V. Задание на дом

§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;

§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).

VI. Творческие задания

1. Найдите область определения функции:

Ответы :

2. Найдите область значений функции:

Ответы:

3. Постройте график функции:

VII. Подведение итогов уроков

Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия №2

Учитель математики

Габриелян Жасмена Артушовна

Пояснительная записка.

Предлагаемая программа элективного учебного предмета разработана для учащихся профильных (10-11-х) классов физико-математического направления и рассчитана на 17 часов; из них 9 часов отводится на изучение теоретического материала, 8 часов отводится на практические занятия. В конце изучения данного учебного предмета учащиеся выполняют зачетную работу, состоящую из теоретической и практической частей. Программа предназначена для учеников, которые выбрали для себя ту специальность, где математика играет роль основного аппарата, специфического средства для изучения закономерностей окружающего мира и вопросов, связанных с экономической деятельностью.

Цель предмета : обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний общеобразовательной программы по математике по теме «Обратные тригонометрические функции», приобретение практических умений выполнения заданий с обратными тригонометрическими функциями, повышение уровня математической подготовки школьников.

Задачи предмета :

Развить мыслительные и творческие способности учащихся;

Познакомить учащихся с приложением теоретических знаний при решении конкурсных и олимпиадных задач;

Вовлечь учащихся в самостоятельную работу;

Научить учащихся работать со справочной и научной литературой;

Научить оформлению зачетной работы с использованием компьютерных технологий;

Способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;

Способствовать формированию познавательного интереса к математике.

Требования к уровню усвоения учебного материала.

В результате изучения программы элективного учебного предмета «Обратные тригонометрические функции» учащиеся:

должны знать : определения обратных тригонометрических функций; основные свойства и формулы обратных тригонометрических функций; методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции;

должны уметь : применять определения, свойства обратных тригонометрических функций при решении конкурсных и олимпиадных задач; читать и строить графики функций, аналитическое выражение которых содержит понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса; решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс.

Обратная функция. График обратной функции. Определения обратных тригонометрических функций: у=arcsinx,у=arccosx, у=arctgx, у=arcctgx.

Значения функций у=arcsinx и у=arccosx в точках

Значения функции у=arctgx в точках Нахождение числовых значений у=arctgx, у=arcsinx, у=arccosx с использованием вычислительной техники.

Область определения, множество значений, монотонность функций y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, непрерывность,ограниченность,наибольшее и наименьшее значения, экстремумы.

Графики функций y=arcsinx, y=arсcosх, y=arctgх и функций, связанных с ними.Тождества для обратных тригонометрических функций. Преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.Значения основных тригонометрических функций от обратных. Уравнения и неравенства, системы уравнений и системы неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Производные и первообразные обратных тригонометрических функций. Исследование функций, содержащих обратные тригонометрические функции и построение их графиков.

Тематическое планирование занятий по курсу

«Обратные тригонометрические функции»

Литература

1. Вересова Е.е., Денисова Н.С., Полякова Т.П. Практикум по решению математических задач.- Москва «Просвещение»,1979 г.

2. Ишханович Ю.А. Введение в современную математику. Москва «Наука»,1965 г.

3. Кущенко В.С. Сборник конкурсных задач по математике. Москва «Просвещение»,1979 г.

4. Никольский С.М. Элементы математического анализа. Москва «Наука», 1989 г.

5. Понтрягин Л.С. Математический анализ для школьников. Москва «Наука», 1983 г.

6. Цыпкин А.Г. Справочник по математике. Москва «Наука», 1983 г.

7. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике. Москва «Наука»,1984 г.

обратных функций таблица 3 Аргумент Функция sin  cos ... , то следует воспользоваться свойствами соответствующих обратных тригонометрических функций , тогда: При а = 1; ...